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Grupo 4 Norelys Abarca Juan Castillo Jesus Juarez
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LARENSE
Primera Edición
Descubre las
Ventajas y
desventajas del
control digital
www.tiempodehogar.com
LARENSE
Selección de Muestreo Retenedor Digital PIB Control Digital
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¿QUE
ES UN
MUESTREO
DIGITAL? El muestreo digital es una de las partes
que intervienen en la digitalización de las
señales.
Consiste en tomar muestras periódicas.
El muestreo digital es una de las partes
del proceso de digitalización de las
señales.
Consiste en tomar muestras de una señal
analógica a una frecuencia o tasa de
muestreo constante, para
cuantificarlas posteriormente.
Si buscamos en el diccionario el término
Muestreo dirá proceso o acción de tomar
una pequeña parte o porción de algo como
muestra para su análisis.
En el control y comunicaciones, muestrear
una señal implica reemplazar la magnitud
continua por secuencia de números que
representan los valores de dicha señal en
determinados instantes.
Un sistema muestreado es entonces, aquel
que partiendo de una señal o magnitud
analógica o continua es capaz de generar
una secuencia de valores discretos,
separados a intervalos de tiempo.
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Descripción del proceso de muestreo El muestreo está basado en el teorema de
muestreo, que es la base de la representación
discreta de una señal continua en banda
limitada. Es útil en la digitalización de señales (y
por consiguiente en las telecomunicaciones) y en
la codificación del sonido en formato digital.
Independientemente del uso final, el error total
de las muestras será igual al error total del
sistema de adquisición y conversión más los
errores añadidos por el ordenador o cualquier
sistema digital.
Para dispositivos incrementales, tales como
motores paso a paso y conmutadores, el error
medio de los datos muestreados no es tan
importante como para los dispositivos que
requieren señales de control continuas.
Sea la señal de banda limitada y paso-
bajo (dominio del tiempo) cuyo
espectro (dominio de la frecuencia) es
nulo para: . Sea también la onda:
El producto es una onda formada
por deltas de peso igual a las muestras de :
,
que dará lugar a otro tren de deltas:
Funcion escala fs
La transformada de es la de repetida
y centrada en cada armónico de la frecuencia de
muestreo, exceptuando el término constante o la
función escala .
No se producirá solapamiento entre los
espectros parciales de si se verifica que:
De la observación del espectro se
deduce la posibilidad de
recuperar simplemente pasando por
un filtro paso-bajo cuya frecuencia de
corte cumpla la condición:
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Sistema muestreadoEl muestreador es un mecanismo que
entrega un tren de pulsos cuya amplitud
corresponde a los valores de la señal análoga
a muestrear en el instante que se produce el
muestreo.
Un sistema muestreado, es aquel que,
partiendo de una señal o amplitud analógica
o continua es capaz de generar una
secuencia de valores discretos, separados a
intervalos de tiempo.
Es útil tener una descripción del muestreo.
Esta acción significa simplemente
reemplazar una señal por su valor en un
numero finito de puntos. Sea Z el conjunto
de números enteros y {t :k Z el subconjunto
de números reales llamados instantes de
muestreo. La versión muestreada de f es
entonces la secuencia {f(t) : k Z . el
muestreo es una operación lineal.
Lo más común es muestrear con un periodo
constante T llamado periodo de muestreo. El
muestreador y el conversor normalmente
están juntos en un mismo elemento.
El proceso no sufre alteración alguna y este
era continuo lo seguirá siendo.
El periodo de muestreo es normalmente
constante o sea t = kT . en estas condiciones
se llama muestreo periódico y T es llamado
periodo de muestreo. Fs = 1/T (Hz) se
denomina frecuencia de muestreo.
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Muestreadores
Los muestreadores adquieren muestras de la
señal con frecuencia constante, se cumple un
periodo de muestreo.
Retenedores
Los retenedores mantienen el valor de la
señal retenida hasta que llega un nuevo valor
correspondiente a una nueva muestra.
Funciones de un Computador de
Proceso
Tratamiento (Data Login):
Recoger la máxima información sobre el
funcionamiento del proceso.
Medición de variables y parámetros.
Pretratamiento:
Normalizar
Convertir unidades
Linealizar parámetros
Procesamiento:
Cálculos
Análisis estadística
Almacenamiento en dispositivos
Presentación en plantilla o impresora
Supervisión:
Alarmas: verificar el correcto
funcionamiento del proceso – aviso de
falla.
Asistencia: facilitar las operaciones
normales del operador.
Indicación de acciones a ejecutar.
Presentación: entrega información
importante para la toma de decisiones en la
operación de mando y control.
Cuantizacion: en el proceso de conversión
A/D o el proceso de representar una señal en
un numero finito de estados discretos, la
precisión depende de # de bits de la palabra
de cuantizacion.
Sistema de muestreo Múltiple
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Selección de
Muestreo Selección del Periodo de
Muestreo.
El teorema del muestreo especifica
que una señal de tiempo continua
con componentes de frecuencia
hasta WC rad /seg, teóricamente
puede ser reconstruid sin distorsión
si se muestrea a una velocidad
mayor de 2WC rad/seg. En procesos
con constante de tiempo mayor se
podrá utilizar un tiempo de
muestreo más grande.
En proceso con constante de tiempo
mayores se podrá utilizar un tiempo
de muestreo mas grande. Debe
tenerse en cuenta:
a) El tiempo de medida: se
recomienda diseñarlos con
Wcorte = ancho de banda de
red cerrada.
b) El rechazo a las perturbaciones:
se recomienda frecuencias de
muestreo entre 5 y 20 veces el
ancho de banda de la respuesta
al ruido en red abierta. En la
medida en que se exijan tiempo
de muestreo más altos, se
requiere de conversores y
microprocesadores mas
rápidos.
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Selección de
Muestreo c) La calidad del control:
generalmente disminuye con
periodos de muestreos largos.
-Muestrear entre 8 y 10 veces
durante el ciclo de oscilación
amortiguada en la señal, si el
sistema es sub-amortiguado.
-Muestrear de 8 a 10 veces la
frecuencia del ancho de banda
de red cerrada, el límite inferior
teórico es 2.
-Muestrear de 8 a 10 veces
durante el tiempo de subida si
es sobreamortiguado.
Tipos de Señales
Señal de Tiempo Continuo:
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Muestreo de Señales
Continuas
Durante el instante de
muestreo el muestreados
toma la señal continua y
toma la forma de la Fig. (a)
para el desarrollo
matemático el muestreador
actúa, el área bajo el
impulso es igual al valor o
magnitud de la señal
continúa en el instante del
muestreo, el impulso en el
punto del muestreo es dado
por:
La secuenciad de
impulsos a la salida del
muestreados es:
Un muestreador con salida
como la ecuación es como
muestreados impulso ideal.
Reconstrucción de señal continúas a
partir de señales discretas
Considere la señal de control
producida intermitentemente cada
T segundos por un computador
expresado por una seria de
impulsos:
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Retenedor
Digital PIB Caso modelado discreto del
retenedor digital PIB
Sea el valor muestreado en el
instante de muestreo, al compararlo
con el valor resulta en
, a acción central
proporcional es:
La acción de control integral es
basado en la integración del ERROR
sobre un periodo de tiempo con los
valores del ERROR son variables en
modo discreto.
Puede ser aproximado por
integración numérica (usando
integración rectangular)
Entonces la acción de control en
modo integral está dada por:
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Reconstrucción de SeñalUn conversor digital-analógico es un
dispositivo que recibe una señal digital
(muestras digitalizadas, representadas en
números binarios) y la transforma,
mediante un factor de escala, a una señal
analógica (tensión eléctrica).
Se usa en distintos tipos de reproductores.
Por ejemplo, las señales almacenadas en
un CD son digitales y para ser escuchadas
a través de los parlantes deben ser
convertidas a señales analógicas.
La retención simple es el proceso
mediante el cual se obtiene un valor
proporcional al número binario de cada
muestra y se mantiene constante ese valor
hasta que llegue una nueva muestra. Se
genera así una onda escalonada.
El efecto de esto no debería ser
importante porque genera frecuencias por
encima del espectro audible, pero es
conveniente agregar un filtro de
suavizado. Este es un filtro pasa bajos
que, aplicado a la señal reconstruida,
permite sacar su forma escalonada,
limitando el contenido de frecuencias a lo
necesario para evitar aquellas que podrían
interferir con otros procesos.
El filtro de suavizado puede provocar
problemas al sacar la forma escalonada de
la onda (como lo hacen los filtros
antialias), por eso es necesario aplicar
otro proceso, llamado sobremuestreo
(over sampling).Mediante el
sobremuestreo se intercalan entre las
muestras realmente obtenidas otras
muestras que surgen por interpolación (es
decir que son calculadas). Por ejemplo, un
sobremuestreo por ocho intercala siete
muestras calculadas por cada una muestra
original: en una frecuencia de muestreo
de 44,1 KHz, al aplicar un sobremuestreo
por ocho, queda una frecuencia de
muestreo de 352,8 KHz. Aplicar un
sobremuestreo por cuatro en un sistema
cuya frecuencia de muestreo esde 44,1
KHz permitiría obtener una frecuencia de
muestreo de 176,4 KHz. La señal
reconstruida no coincide totalmente con
la original.
El error se reduce cuanto mayor es la
resolución del sistema (es decir cuánto
más pequeños son los intervalos en los
que se divide el rango útil de la señal).
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.
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Retención de Datos En un muestreador convencional, un
interruptor se cierra cada periodo de
muestreo T para admitir una señal de
entrada. En términos prácticos, la
duración del muestreo es mucho más
corta que la constante de tiempo más
significativa de la planta.
Un muestreador convierte una señal en
tiempo continuo en un tren de pulsos
que se presenta en los instantes de
muestreo t = 0, T, 2T, … Entre dos
instantes de muestreo consecutivos el
muestreador no transfiere información.
La retención de datos es un proceso de
generación de una señal en tiempo
continuo h(t) a partir de una señal en
tiempo discreto x(kT). Un circuito
retenedor convierte la señal muestreada
en una señal en tiempo continuo, que
reproduce aproximadamente la señal
aplicada al muestreador.
La señal h(t) en el intervalo de tiempo
kT ≤ t < (k+1) T se puede aproximar
mediante un polinomio en τ como:
τ τ τ τ
Donde 0 ≤ τ < T.
La señal h(kT) debe ser igual a x(kT),
por lo que:
τ τ τ τ
Al circuito de retención de datos con un
extrapolador de orden n se le denomina
retenedor de n-esimo orden y emplea
los n+1 datos discretos anteriores x((k-
n)T), x((k-n+1)T), … , x(kT) para
generar una señal h(kT+τ).
La exactitud en la aproximación de la
señal en tiempo continuo se mejora a
medida que el numero de muestras
anteriores utilizadas se incrementa. Sin
embargo, esta mejoría en la exactitud
implica un tiempo de retraso mayor. En
sistemas de control en lazo cerrado,
cualquier tipo de retardo adicional en el
lazo afectará la estabilidad del sistema
pudiendo causar incluso su
inestabilidad.
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Retención de orden cero
Cuando n=0, se tiene que h(kT+τ) =
x(kT), donde 0 ≤ τ < T y k = 0, 1, 2, …
El retenedor de orden cero retiene la
amplitud de la muestra de un instante
de muestreo al siguiente. Su salida es
una función escalón. La figura presenta
un retenedor de orden cero.
La señal de entrada x(t) se muestrea en
instantes discretos y la señal
muestreada se pasa a través del
retenedor de orden cero. El circuito del
retenedor de orden cero suaviza la señal
muestreada para producir la señal h(t),
la cual es constante desde el ultimo
valor muestreado hasta que se puede
disponer de la siguiente muestra. Esto
es:
La exactitud del retenedor de orden cero
como un extrapolador depende de la
frecuencia de muestreo ωs; su salida se
puede hacer tan cercana a la señal en
tiempo continuo original haciendo que el
periodo de muestreo T sea tan pequeño
como la situación practica lo permita.
* Mientras menos
términos utilice, mas
error va haber y entre
mayor orden , menor
velocidad ya que se
retroalimenta por cada
grado que aumenta.
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Para reconstruir la señal original a partir de
una señal muestreada, existe una frecuencia
mínima que la operación de muestreo debe
satisfacer.
En general las señales muestreadas son las
salidas de sistemas físicos, cuyas
transformadas tenderán a cero según
aumenta la frecuencia (aunque
estrictamente sean distintas de cero). Por
tal motivo, será necesario llegar a un
compromiso entre un periodo muy estricto
o a un periodo menos exigente (con pérdida
de información).
Un criterio aproximado para la elección de
este periodo de muestreo consiste en elegir
el mismo como: w=(1/T) = 10B; donde B es
el ancho de banda de la señal.
Para respetar que la señal muestreada
cumple con la frecuencia de operación se
hace necesario conocer el Teorema de
Muestreo.
Teorema de Muestreo
Si la frecuencia de muestreo es
suficientemente alta (tiempo de muestreo
suficientemente corto), comparada con la
componente más alta en frecuencia que se
incluye en la señal en tiempo continuo, las
características de amplitud de la señal en
tiempo continuo se pueden preservar en la
envolvente de la señal muestreada.
Para reconstruir la señal original a partir de
una señal muestreada, existe una frecuencia
mínima que la operación de muestreo debe
satisfacer.
El teorema de muestreo establece que si
ωs, definida como 2π / T, donde T es el
periodo de muestreo, es mayor que 2 ω1, (
ωs > 2 ω1 ), donde ω1 es la componente de
más alta frecuencia presente en la señal de
tiempo continuo x(t), entonces la señal x(t)
se puede reconstruir completamente a
partir de la señal muestreada x*(t).
Si aumento la frecuencia hay más puntos de
coincidencia pero no me sirve, igual si hay
una con menos frecuencia no sirve, hay que
encontrar una muy parecida.
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Control
Digital Un controlador digital es un sistema controlador en tiempo discreto. Los pasos para la construcción de un controlador digital son:
Elección del periodo de muestreo (Se escoge el periodo T varias veces más pequeño que la constante de tiempo más pequeña de la planta)
Se calcula la ley del control: Comando en función del error en las etapas actuales y anteriores y del comando en las etapas anteriores.
Algoritmo de control
1. Leer la variable de salida mediante un sensor y conversor analógico digital
2. Calcular el error e(k) 3. Calcular u(k) con la ley de control y enviarlo al sistema mediante un conversor digital analógico 4. Esperar a que t=(k+1)*T 5. Hacer k=k+1 6. Ir al punto 1. Uso del Computador en el lazo de Control Ventajas
Realización de acciones de control complejas.
Manejo de varios lazos de control simultáneo
Estrategias de Control Modificables.
Realización de funciones complentarias como estadísticas, informes, etc.
Desventajas
Complejidad
Alto costo
Graves problemas si falla un computador que controla todos los lazos de un proceso
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Control Digital Comparación entre un SCC y SCD
Sistema de Control Continuo (SCC)
Sistema de Control Digital (SCD)
La realización de filtros y controladores digitales puede incluir tanto software, hardware o
ambos. En general de realización de funciones transferencias pulso significa determinar la
configuración física para la combinación más adecuada de operaciones aritméticas y de
almacenamiento.
En el campo del procesamiento digital de señales, un filtro digital es un algoritmo de
cálculo que convierte una secuencia de números de entrada en una secuencia de salida, de
modo que las características de la señal cambien de una forma predeterminada.
Observemos que hay diferencias importantes entre el procesamiento digital de señales
utilizadas en telecomunicaciones y el que se utiliza en control. En control digital el
procesamiento de señales debe
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hacerse en tiempo real. En comunicaciones, el
procesamiento de señales puede tolerar retardos en
el procesamiento para mejorar la exactitud de la
señal.
En esa lección trataremos la realización de
diagramas en bloques para filtros digitales que
emplean elementos de retardos sumadores,
multiplicadores. Veremos diferentes estructuras
para realizar diagramas de bloques. Estas son la
base para realizar diseños de software o hardware.
Una vez hecho el diseño, la realización física es
directa.
A continuación veremos filtros digitales que se
emplean con propósitos de filtrado y control. La
forma general de la ecuación de transferencia pulso
entre la salida Y(z) y la entrada X(z) está dada por:
G(z) = Y(z) = b0 + b1z-1 + b2z-2 + b3z-3 + ….. +
bmz-m
X(z) 1 + a1z-1 + a2z-2 + a3z-3 + …. + anz-n
Se estudiarán las formas de programación Directa
y Estándar de los filtros digitales.
En estas formas de programación, los coeficientes
ai y bi aparecen como multiplicadores en el
diagrama de bloques de la realización, este tipo de
esquema se denomina Estructuras directas.
Programación Directa
La función transferencia de un sistema posee n
polos y m ceros. Programación directa significa que
se obtiene la realización del numerador y el
denominador de la función transferencia pulso
mediante conjuntos de elementos de retraso por
separado.
El numerador utiliza un conjunto de m elementos
de retraso y el denominador utiliza n elementos de
retraso, de esta manera el número total de
elementos de retraso que utiliza la Programación
Directa es m+n (donde n³m).
En la práctica se trata de utilizar el número mínimo
de elementos de retrasos en la función
transferencia pulso dada. Por tanto, la
programación directa que requiere un número de
elementos mayor que el mínimo es más o menos de
valor académico más que de lo práctico.
Programación Estándar
La programación estándar permite reducir el
número de elementos de retrasos requeridos para
la Programación Directa. El número de elementos
de retraso de la ecuación se puede reducir de n+m
a n (n≥m) mediante el reacomodo de de diagrama
de bloques.
Esta programación utiliza el menor número posible
de retrasos.
En este método se utilizan n elementos de retraso.
Los coeficiente a1, a2.a3,....an aparecen como
elementos de la retroalimentación y los coeficientes
b0,b1,b2,.........bm aparecen como elementos de
retroalimentación.
El método consta de 3 diagramas, se prefiere el
diagrama final ya que utiliza el menor número de
retrasos.
Fuentes de Error que afectan la exactitud
En la realización de filtro y controladores, es
importante tener un buen nivel de exactitud. Son
tres las fuentes de error que afectan la exactitud:
Error debido a la cuantificación de la señal de
entrada en un número finito de niveles (ruido
blanco)
Error debido a la acumulación de redondeo en las
operaciones aritméticas que se efectúen en el
sistema digital.
Error debido a la cuantificación de los coeficientes
ai y bi de la función transferencia pulso. Se
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incrementa a medida que la función T. P. se
incrementa.
Estos errores surgen debido a las
limitaciones prácticas del número de bits
que representa las muestras de la señal y los
coeficientes. El último tipo de error se
puede reducir mediante la descomposición
matemática de las funciones de
transferencia pulso de orden superior en
otras de orden. más pequeño.
Para la descomposición de funciones de
transferencia pulso a fin de evitar el
problema de sensibilidad de los
coeficientes, se utilizan por lo regular los
siguientes enfoques:
Programación en Serie.
Programación en Paralelo.
Programación en Serie
El primer enfoque empleado para evitar el
problema de sensibilidad consiste en
implantar la función de transferencia de
pulso G(z) como una conexión en serie de
funciones de transferencias pulso de
primero y segundo orden.
Procedimiento
Primero: Elegir las funciones de primer y
segundo orden.
Segundo: Agrupar los polos y los ceros
reales y los conjugados
Tercero: Se realizan los diagramas de
bloque
El diagrama de bloque para
el filtro digital G(z) es una
conexión en serie de p
componentes de filtros
digitales.
Programación en Paralelo
El segundo enfoque para evitar el problema
de sensibilidad consiste en expandir la
función transferencia pulso G(z) en
fracciones parciales y realizar una conexión
en paralelo de sus componentes.
Procedimiento
Primero: Expandir la función
transferencia en “Fracciones
Parciales”.
Segundo: Agrupar los polos y los
ceros reales y los conjugados.
Tercero: Se realizan los diagramas de
bloque.
El diagrama de bloque es la
conexión en paralelo de q+1
componentes de filtros
digitales.
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CRUCIGRAMA
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