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Mundo Reticular (2)

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mundo reticular

Text of Mundo Reticular (2)

  • Premios del Departamento de Matemticas

    de la Universidad Autnoma de Madrid para Estudiantes de Secundaria

    Cuarta Edicin, 2009/2010

    TRABAJO: Paseo por un mundo reticular en el cuaderno de mates GANADOR EN LA CATEGORA DE E.S.O. AUTORES: o David Laso lvarez o Javier Lazcano Pardos o Daniel Loscos Barroso o Jorge Prez Gonzlez TUTORA: o Mercedes Snchez Benito CENTRO: IES Gran Capitn (Madrid)

  • PASEOPORUNMUNDORETCULAR

    ENELCUADERNODEMATES

    PUNTOSSUSPENSIVOS

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos2/26

    INTRODUCCINYANTECEDENTES:Elproblemadepartida es, aparentemente sencillo,pero encierraotros problemasque losmatemticoshantardadobastantetiempoenresolver:Llamamospuntosreticularesalconjuntodepuntosdelplanodecoordenadasenteras.Dadounnmeroenteropositivo A ,encontrartodoslosrectngulos,esencialmentedistintos, que tienenun vrtice en elpunto (0,0)O y losotros tres vrtices enpuntosreticularesderea A .

    Entendemosporrectngulosesencialmentedistintosaquellosquenosepuedenobtenerunodelotroapartirdeungiro,unasimetraounatraslacin.Porejemploestosdosrectngulossonesencialmenteelmismo

    Al resolver algunos casos particulares hemosdescubiertoque hay algunosnmerosque sepuedenobtenercomosumadedoscuadradosyotrosqueno.Buscandolainformacinnecesariapararesolveresteproblemahemosencontradoresultadosmuy interesantes en el plano reticular, parecementira que bajo una apariencia tan simplehayaproblemastandifciles,yalgunostodavasinresolver!

    OBJETIVOS:Conocermejoresemundodelosnmerosenterosdesdeelpuntodevistanumricoysobretododesdeelpuntodevistageomtricoenelsentidodelasconstruccionesgeomtricasquesepuedenhacerenunplanodecoordenadasenteras,puesaunque losnmerosenteros losconocemosdesdelaprimariacuandounproblemaexigequelassolucionesseanslonmerosenterosempiezaunlomuygrande.

    RESULTADOSHemos analizado en un mundo reticular, el comportamiento de las rectas, los polgonosregulares, los crculos las circunferencias, es decir si tienen puntos reticulares, cuntostienen?HemosencontradolamgicafrmuladePickparacalcularelreadeunpolgonoreticularyhemosextendidoestafrmulaaunpolgonoreticularcontenidoenunplanoenelespacio.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos3/26

    Comenzamosresolviendoelproblemainicial.Obviamente, elnmerode rectngulosposiblesdependede ladescomposicin en factoresprimosdelnmero A .Loprimeroquehemosaprendidoes sabercuntosdivisores tieneunnmero N ycmo secalculan.

    Si 1 21 2 ................ kaa a kN p p p , el nmero de divisores que tiene N , es1 2( 1)( 1)........( 1)ka a a

    Pero adems de la descomposicin de A en factores primos tendremos que ver si hayfactoresquesepuedanponercomosumadedoscuadradosdenmerosenterosydecuntasmaneraspuedehacerse.Losnmerosprimosexceptoel 2 son imparesyhemosobservadodistinto comportamientosegnseandelaforma4 1n odelaforma 4 3n .Vamosaexploraralgunoscasos:

    13A ,unnmeroprimodelaforma4 1n .Enestecasoslohay2rectngulos

    7A ,unnmeroprimodelaforma4 3n ,enestecasoslohay1

    65A ,unnmerocompuestoyensudescomposicinhaydosfactoresprimosdelaforma

    4 1n .Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 65b y 5a ,

    13b ;sepuedenconstruirlosrectngulosdelados 13 5a , 5b y 5 13a , 13b

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos4/26

    Perotambin65 1 64 y65 16 49 ,porlotanto,haydoscuadradosdelado 65 quesonesencialmenteelmismo

    Esdecirpara 65A salen5Si 15A ,unnmerocompuestoporunnmeroprimodelaforma4 1n yotrodelaforma4 3n Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 15b y 3a , 5b ,podemosconstruirelquetienenporlados 5a y 3 5b Enestecasohay3Si 45A ,unnmerocompuestoporunprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 45b ; 3a y

    15b ; 5a , 9b estarnlosquetienenporlados 5a , 9 5b , 3 5a , 3 5b

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos5/26

    Enestecasohay5Si 36A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el 2 secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n )yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .Ademsdelosrectngulosdelados1.36 2.18 3.12 4.9 6.6 paralelosalaretcula;estnlosquetienenporlados 2a , 18 2b ; 2 2a , 9 2b ; 3 2a , 6 2b

    Enestecasoencontramos:8Si 90A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 ,unprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .Todoslosproductosdedosfactores1.90 2.45 3.30 5.18 6.15 9.10 yademssepuedenconstruir 2 , 5 y 10 ,entonceshacemoslasparejascorrespondientes:

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos6/26

    2 y45 2 ;3 2 y15 2 ;5 2 y9 2 ; 5 y18 5 ; 2 5 y9 5 ;3 5 y6 5 ;10 y9 10 ;3 10 y3 10

    Total:14Si 216A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 yelcubodeunprimodelaforma4 3n .Enestecasotenemos1.216 2.108 3.72 4.54 6.36 8.27 9.24 12.18 deladosparalelosalaretculaylosquetienenporlados 2a , 108 2b ; 2 2a , 54 2b ;

    3 2a , 36 2b ; 4 2a , 27 2b ; 6 2a , 18 2b ; 9 2a , 12 2b .Total:14Si 72A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el2 secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n )yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .

    Ademsdelosquetienenlosladosparalelosalatramareticularencontramos:

    Entodosestosrectngulosentendemosqueunodesusvrticeseselpunto (0,0) porqueenrealidad lo que importa es la longitud de sus lados y que los vrtices sean puntosreticulares.Total:11Pararesolveresteproblematenemosquesabersiunnmeroprimosepuededescomponercomosumadedoscuadradosyhemosencontradolosiguiente:

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos7/26

    Sitenemosunnmeroprimo p delaforma 4 3p k ,nosepuedeponercomosumadedoscuadrados:Comoesimpar,unodelossumandosdebeserparyelotroimpar.Siunnmeroesimpar,obienesdelaforma4 1k ,obienesdelaforma 4 3k ;peroelcuadradodeunnmerodelaforma4 1k esdelaforma 2 2 24 1 16 8 1 4(4 2 ) 1k k k k k ,yelcuadradodeunnmerodelaforma 4 3k es 2 2 24 3 16 24 9 4(4 6 2) 1k k k k k ,asquenuncasepuedeobtenerunnmeroprimodelaforma 4 3p k comosumadedoscuadradosdenmerosenteros.Eulerdemostrquetodonmeroprimodelaforma 4 1p k siempresepuedeponercomosumadedoscuadradosdeformanica.Porlotantosiemprevamosapoderelegirpuntosreticularesadecuadosparaconstruirsegmentosdelongitudes: 2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5,5....... Teniendoencuentaestosdosresultados,siunnmero 1 2 1 21 2 1 22 .... ....k ma ba a b ba k mA p p p q q q ,dondelosnmeros: 1 2, ,.... kp p p sondelaforma4 1n y 1 2, ... mq q q sondelaforma 4 3n ,elnmeroderectngulosquevamosapoderconstruireslomismoqueconsiderarque

    1 1 22 2 21 1 22 ............ ....k ma a a bb bk mA p p q q q ,yelnmerodedivisoresquepodramosobtenerser: 1 1 22 1 2 1 ..... 2 1 1 1 ..... 1k mR a a a b b b ,si

    2R r ,elnmeroderectngulosqueseobtienenes r ;ysi 2 1R r ,elnmeroderectngulosqueobtenemoses r Yahemosconseguidounprimerresultado!!!!Despusderesolveresteproblemavamosainiciarunpaseoporalgunosproblemasplanteadosenunplanoreticular,comonuestrocuadernodemates.

    RECTAS:Enelplanohayrectasquenotienenpuntosreticulares,talescomoporejemplolasrectasquepasasporlospuntosmediosdedosladoscontiguosodosladosopuestosdeuncuadradounidad.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos8/26

    Hayrectasqueslotienenunpuntoreticular,porejemplolaquepasapor(0,0)yformaunngulode60conelejeOX.

    Siunarectacontienemsdeunpuntoreticular,entoncestieneinfinitospuntosreticularesigualmenteespaciados:

    POLGONOSREGULARES:Lospolgonosregularesquerellenanelplanosoneltringulo,elcuadradoyelhexgono.Esimposibleobteneruntringuloequilteroconlostresvrticesenpuntosreticulares,puessiunvrticeeselpunto (0,0) yel

    otroeselpunto ( ,0)l ,entonceseltercerodebeser 3,2 2l l

    ysi l es

    unnmeroentero 32

    lnoloes.

    Demaneraanlogasepuedeverqueelhexgonoregularnopuedetenertodoslosvrticesenpuntosreticulares,alfinyalcabounhexgonoestformadopor6tringulosequilteros.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos9/26

    Elnicopolgonoregularquepuedesercolocadoenelplanodecoordenadasenterasdemodoquesusvrticesseanpuntosreticulareseselcuadrado.LademostracindeesteresultadosepuedeverenunartculodeDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002.Lademostracinsebasaentresideas:

    I) Si A eselreadeunpolgonoenelplanocuyosvrticessonpuntosreticularesentonces 2A esunnmeroentero(resultadoelementalapartirdelTeoremadePickcomoveremosmsadelante).

    II) Lafrmulaparacalcularelreadeunpolgonoregularde n ladosdelongitud s es:

    2

    ( )4 tan

    nnsA P

    n

    III) Si 3n elvalorde tann esracionalslopara 4n .Paracompletaresta

    demostracinsonnecesariosunosclculosconfuncionestrigonomtricas,nosdicenquelascuentasnosondifcilesperonosotrossabemosmuypocodetrigonometra.

    CRCULOSYCIRCUNFERENCIASH.Steinhauspropusoelsiguienteproblema.Paracadanmeronaturaln ,existeenelplanouncrculoquecontengaensuinteriorexactamenten puntosreticulares?Esfcildemostrarqueexistennmerosnaturalesn paralosquenohayningncrculoconcentroenunpuntoreticularyencuyointeriorhayaexactamente n puntosreticulares.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos10/26

    Claramente:Sitenemosuncrculodecentrounpuntoreticularyradio 1r entoncesslohayunpuntoreticularensuinterior;perosielradioes1 2r entoncesenelinteriordeesecrculohabrexactamentecincopuntosreticulares.Ynoexisteningncrculodecentrounpuntoreticularquetengaensuinteriorexactamentedos,tresocuatropuntosreticulares.

    Situviramosuncrculoderadio 1/ 2r ycentroelpuntomediodeunladocualquieradeuncuadradounidaddelretculo,nohabrningnpuntoreticularensuinterior,peroparaunradio1/ 2 5 / 2r ,tendramosexactamentedospuntosreticularesenelinteriordelcrculo.

    Siahoraconsideramosuncrculocuyocentroseaelcentrodecualquiercuadradounidadyradio 2 / 2r ,entoncestampocotendramospuntosreticularesensuinterior;peroparaunradio 2 / 2 10 / 2r ,habraexactamentecuatropuntosreticularesensuinterior.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos11/26

    Supongamosacontinuacinqueelcentrodenuestrocrculopudieramoversepartiendodelcentrodeuncuadradounidadysiguiendoladireccindeladiagonal,podramosconseguiruncrculoquetieneexactamentetrespuntosreticularesensuinteriorProbaremosahoraque,eligiendouncentroyunradioapropiadosenelplano,esposibleteneruncrculoencuyointeriorhayaexactamenteelnmerodepuntosreticularesquequeramos.Sifijamosunosejesdecoordenadas,vamosaelegircomocentrodelcrculoelpunto

    12,3

    O ,entoncesparacadanmeronatural n existirunradio nr talqueenelinteriordelcrculodecentroO yradio nr contendrexactamente n puntosreticulares.

    Parademostrarlo:PRIMERO:lasdistanciasdelpuntoO adospuntosreticularescualesquierasondistintas,porloquesiemprehabruncrculoconunradiocomprendidoentrelasdistanciasdedospuntosdistintosaP.ComotodosellostienendistanciasdistintasaPlosordenamosenunasucesinfinitadeacuerdoasusdistanciacrecientesdesdeO . 1 2, ..... nP P P .

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos12/26

    Supongamosque 1( , )P a b y 2 ( , )P c d sondospuntosreticularesdistintos,peroqueladistanciaaO fueralamisma,esdecir: 1 2( , ) ( , )d O P d O P

    PorelteoremadePitgorassetendraque: 2 22 21 12 23 3a b c d ,dedonde 2 2 2 2 22 2

    3c a c d a b b d ,ycomoelmiembrodeladerechaesun

    nmeroracional,entonces c a yconsecuentemente 2 03

    d b b d ,perocomob yd sonnmerosenterosb d ,contrarioalahiptesisdequelospuntos 1P y 2P sondistintos.SEGUNDO:claramente,cadacrculodecentroO yradiosuficientementegrandecontendrmsdenpuntosreticulares.Enelinteriordeunodeesoscrculoshabrunnmerofinitodepuntosreticulares.Vamosallamar kn1 alcrculodecentroO quepasaporelpuntoPn1.As,losnicospuntosqueestnenelcrculosonlospuntos

    1 2, ..... nP P P

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos13/26

    ResultadosmuydifcilesdeprobarEnlawebhttp://mathworld.wolfram.comhemosencontradolossiguientesresultados

    Paracadanmeronaturaln ,existeuncrculoderea n quecontieneensuinteriorexactamente n puntosreticulares?Steinhausprobquesiempreesposible.

    Paracadanmeronaturaln ,existeuncrculoencuyacircunferenciahayaexactamenten puntosreticulares?LademostracinsedebeaA.Schinzel:

    Si n 2k 1(impar)siendo k unentero 0k lacircunferenciadecentro 1/ 3,0 yradio 5

    3

    k

    r contieneexactamentenpuntosreticulares.

    Si n espar, n 2k siendo k unnmeronatural,lacircunferenciadecentroenel

    punto 1 ,02

    yradio1

    252

    k

    r

    contendr n puntosreticulares.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos14/26

    Estasolucinnoproporcionaelmenorradioposible

    Paracadanmeronaturaln existeenelplanouncuadradoquecontieneensuinteriorexactamente n puntosreticulares.

    Muchasotrascuestionessepuedenformularsobrecrculosypuntosreticulares:Sitenemosuncrculoconcentroenunpuntoreticularypasapor,almenos,unpuntoreticular,Culessuradio?Imaginemosqueelcentroesel (0,0)O ,sipasaporelpuntoreticular ( , )A a b ,entonces

    2 2 2r a b ,esdecirelradioalcuadradodebepoderseescribircomosumadedoscuadrados.Otraveznosencontramosconladescomposicindeunnmerocomosumadedoscuadrados!!Teniendoencuentaloquesabemosalrespecto,larespuestaanuestrapreguntaes:Elradiodelcrculotienequeserigualalarazcuadradadeunnmeronaturalque,cuandosedivideporsumayorfactorcuadrtico,dauncocientequeesunnmeroquenotienedivisoresdelaforma 4 3p k .As,siconsideramosuncrculoconcentroenunpuntoreticularyensucircunferenciahayalmenosunpuntoreticular,susradiosposiblesson:1, 2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5...

    Otrapreguntaquenospodemoshacer:Cuntospuntosreticularespuedenestarenlacircunferenciadeuncrculodecentrounpuntoreticular?

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos15/26

    Esfcilver,porsimetraquesiempreobtendremosunmltiplode 4 ,perolomscuriosoesquesepuedeobtenercualquiermltiplode 4 .Sehademostradoque:Paraunnmeronatural k ,uncrculoconcentroenunpuntoreticularyradio 15kr tendrensucircunferenciaexactamente 4k puntosreticulares.

    UnproblematodavanoresueltoExisteunortoedrocuyasaristas,diagonalesdelascarasydiagonalesinteriorestengantodaslaslongitudesenteras?Esteproblemaesequivalente,utilizandoelTeoremadePitgoras,aversiexisten,ono,nmerosnaturales x , y , z talesquecadaunodelosnmeros 2 2x y , 2 2x y , 2 2y z y

    2 2 2x y z seancuadradosdenmerosnaturales.Porelmomento,parecequetodavanohayrespuesta!!!!!!!

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos16/26

    Unacuriosidad:Lospuntosreticularessepuedenordenar:Sepuedennumerartodoslospuntosreticularesenunasucesininfinita,detalmodoquepuedanserordenados:

    ELTEOREMADEPICKparaunpolgonosimpleSupongamosquetenemosuntringulodevrtices (0,0)A , ( , )B m n y ( , )C r s ,puntos

    reticulares,elreadeltringulolacalculamosrestandoalreadelrectngulolasreasdelostrestringulosquehemosaadidoparaformarelrectnguloyobtenemosquees:

    2ms rn

    A

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos17/26

    Llamamostringulofundamentalauntringulocuyosvrticessonpuntosreticularesynotienenningnpuntoreticularnienelinteriornienloslados(slolosvrtices).Veamosqueelreadecualquiertringulofundamentales.Podemosmovercualquiertringulofundamentaldemodoquetengaunvrticeenelpunto (0,0) ,entoncessegnelproblemaanteriorelreadecualquiertringulofundamentalsiempresermayoroigualque 1

    2,pueselnumeradoresunnmeroentero

    positivononulo,yelmspequeodetodosesel1.Dadounpolgonosimple(losladosnosecortan)reticularcualquiera,lodescomponemosentringulosfundamentales.SupongamosquehayT tringulosfundamentales,enesecasolasumatotaldelosngulosdetodoslostringuloses180T ,peroporcadapuntointeriorestamosaadiendo360 grados,luegolasumaser180 360T I .Sinembargoenunpolgonode k lados,losngulosinterioressuman 2 180k ,peroahoraestamosconsiderandocomovrticeslospuntosdelbordequenolosonensentidoclsico.Cadaunodeellosincrementalasumaen180grados.AsqueentrminosdeB ,lasumavale 2 180B .Igualando180 360 ( 2)180T I B ,esdecir 2 2T B I Resultadosorprendente,elnmerodetringulosfundamentalesdeunpolgonoreticularsimpleslodependedelospuntosquehayenelbordeydelosquehayenelinteriorynodependedecmoseelijanlostringulos.Dadountringulofundamental,seguroquesepuedeinscribirenuncuadradoreticulardeladon .Descomponemosesecuadradoentringulosfundamentales,unodeloscualeseseltringuloinicial,elnmerodetringulosfundamentalesser 2 24 2 2( 1) 2T n n n ,Tendremosentoncesqueelcuadradolotenemosdescompuestoen 22n tringulosfundamentalesylasumadelasreasdetodoselloses 2n ,comoelreadecadaunodeellosesmayoroiguala,necesariamentetodostienenquetenerrea.Portantocualquiertringulofundamentaltienerea.

    TeoremadePickEn1899GeorgePickdescubriunafrmulaparacalcularelreadeunpolgonosimplePcuyosvrticessonpuntosreticulares(simplesignificaqueelpolgononosecortaasmismo)

    Elreaes 12BA I ,siendo I lospuntosreticularesqueestnenelinterioryB los

    puntosreticularesqueestnenelborde.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos18/26

    Dadocualquierpolgonosimplereticularlodescomponemosentringulosfundamentales,anteshemosvistoque 2 2T B I ycadatringulofundamentaltienerea,entonces

    1 2 2 12 2 2

    B I BA T I

    Lafrmuladelreaesaditivaenelsentidodequesilafrmulaesvlidaparadospolgonosconinterioresdisjuntos,peroqueestnunidosporunaaristacomn,entoncestambinesvlidaparaelpolgonoformadoporlaunindelosdosanteriores.Polgono1Polgono2 Polgono1+2

    rea 5 rea 4 rea 9

    Si llamamos 11 1 12BA I a la frmula de Pick para el polgono 1P , y 22 2 12

    BA I a la frmula

    de Pick para el polgono 2P , y finalmente, 12BA I la frmula de Pick para el polgono

    P construido con los polgonos 1P y 2P unidos por una arista comn. Si E es el nmero de puntos reticulares de la arista comn, entonces 1 2 2B B E B E , 1 2 2I I I E y por lo tanto 1 2A A A

    Si el polgono no es simple tambin se puede calcular el rea mediante una

    generalizacin de la frmula de Pick teniendo en cuenta el nmero de agujeros

    que tenga el polgono o si se cruzan o no los lados.

    Si en el polgono los lados no se cortan y tiene m agujeros que no se tocan

    entonces, calculamos el rea del polgono sin agujeros y el rea de los agujeros

    y despus se restan, pero tambin podemos hacerlo todo a la vez teniendo en

    cuenta que el nmero de puntos interiores del polgono ha disminuido en tantos

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos19/26

    como tienen los huecos incluido los de sus bordes, pero por otro lado el nmero de lados del polgono se

    ha incrementado y haciendo las cuentas al final queda que el rea es (1 )2BA I m .Enla

    figuraanterior 364 (1 3) 242

    A

    Esteresultadonosepuedeaplicarafigurascomo:

    Antes de abordar la siguiente parte necesitamos poder utilizar una nueva herramienta llamada determinante:

    Un determinante de orden 2 se calcula de la siguiente manera a b

    ad bcc d

    ;

    Un determinante de orden 3 se puede calcular a travs de 3 determinantes de orden 2

    ' ' ' ' ' '' ' '

    '' '' '' '' '' '''' '' ''

    a b cb c a c a b

    a b c a b cb c a c a b

    a b c

    Dados dos vectores de componentes ', ', 'u a b c y '', '', ''v a b c se llama producto vectorial de estos dos vectores al vector cuyas componentes son

    ' ' ' ' ' ', ,

    '' '' '' '' '' ''b c a c a b

    uxvb c a c a b

    Si los vectores u y v tienen distinta direccin determinan un paralelogramo, pues bien el rea de este paralelogramo es uxv

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos20/26

    Una exploracin del teorema de Pick en el espacio

    Dado un polgono simple reticular P, el rea de P viene dada por: 12BA I , siendo A el rea que

    encierra el polgono, I es el nmero de puntos reticulares que hay en el interior del polgono y B es el nmero de puntos reticulares en el borde del polgono.

    Por ejemplo en esta figura, 22I , 11B , por lo tanto el rea es

    11 5322 12 2

    A .

    Vamos a intentar extender la frmula de Pick a polgonos en una

    retcula tridimensional.

    Si hacemos una transformacinlineal enelplano,elteoremadePick sigue siendo vlido. Sitransformamos nuestra retculainicial en otra retcula: porejemplo consideramos laaplicacin que transforma el punto (1,0) en el punto (2,0) y el punto (0,1) en el (1,1),obtenemosestanuevaretcula.Alparalelogramoobtenidoaltransformarelcuadradounidadlellamaremosparalelogramounidad.

    Esta transformacin sepuede escribirde la siguientemanera: ' 2'

    x x yy y ,obien en forma

    matricial:2 1 '0 1 '

    x xy y

    Lospuntosreticularesdelaprimerafigurasetransformanenlosdelasegunda.Elnmerodepuntosreticularesquehayenelinterioryenlafronteraeselmismoqueantes,sinembargoelreaeseldoblede laanterior.Laraznesqueelparalelogramounidadde laretculanuevatienerea2.Un resultadoelemental nosdicequeelvalorabsolutodeldeterminantede lamatriz 2 1 2

    0 1 ,eselreade la imagendelcuadradounidadyengeneraleselfactorpara

    convertirreas.EnelteoremadePickpodemosinterpretarelreacomoelnmerodecuadradosunidadquehay en el polgono, en esta nueva retcula podemos interpretarlo de la misma manera,

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos21/26

    Cuntosparalelogramosunidadcabenen la imagendelpolgonooriginal?Por lotantoparacalcular el rea del polgono transformado, hacemos lo mismo que antes pero habr quemultiplicaresacantidadporelreadelparalelogramounidad.Enestecaso ' 53A EngeneralsielparalelogramounidadtienereaU ,entoncestenemos:TeoremadePickparauna retcula construida coneseparalelogramounidad:El readeunpolgonosimpleformadoporpuntosreticulareses 1

    2BA U I

    RetculasunidimensionalesConsideremoslarectaqueunelospuntosreticulares (0,0) y ( , )a b .Paracualquiernmeroentero n ,elpunto ( , )na nb estendicharecta.Porlotantoenelsegmentoqueunelospuntos (0,0) y ( , )a b nohaypuntosreticularessiyslosa yb sonprimosentresi,esdecirsi ( , ) 1mcd a b .Engeneraldadoelsegmentoqueunelospuntos (0,0) y ( , )a b ,si ( , )d mcd a b ,entonces. ,a b

    d d ,

    2 2,a bd d

    ( 1) ( 1),d a d b

    d d sonlos

    ( 1)d puntosreticularesqueestnenelinteriordelsegmento.PuntosreticularesdeunplanoenelespacioConsideremoselplano : 2 3 6 12x y z .Todoslospuntosreticularesenelespaciosepuedenproyectarenelplanoreticular ,x y .Porejemploelpunto (3, 4, 1) queestenelplano seproyectaenelpunto (3,4) enelplano,x y .

    Queremosconstruirunaretculasobreelplano parapoderaplicarelteoremadePickaunpolgonoconstruidosobreesaretcula.Para construirdicharetcula,primerotenemosque determinardosdireccionesparaformarunparalelogramounidad.

    Si 0z ,tenemoslarecta 2 3 12x y ,enestarectaestnlospuntos 3,2,0 , 6,0,0 .

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos22/26

    Cualquier otra recta de la forma 2 3x y k ser paralela a la dada, pero para que estcontenidaenelplano, k tienequesermltiplode 6 .Porejemplosi 6k ,entonces 1z ,ysobre esa recta podemos sealar los puntos reticulares 3,2,1 , 6,0,1 .; es decir yapodemosformarunparalelogramounidadparaconstruirunatramareticularenelplano .Vamosahacerloengeneral:Supongamosque tenemosunplanoquepasaporelorigen 0ax by cz , (sielplanonopasaporelorigen,trazamoselplanoparaleloalquepasaporelorigenparaconstruirunatrama reticular)demaneraque , ,a b c no son todosnulos.Yparams comodidad vamosasuponerquelostrescoeficientesnotienendivisorescomunes,esdecir ( , , ) 1mcd a b c .Elplano cortaalplano ,x y enlarecta 0ax by ,vamosaconsiderarestarectacomounade lasdireccionesparaformarelparalelogramounidad.Si 0a tendramos larecta 0y ,ytendramosrectasparalelasaleje OX .Algoparecidosucedesi 0b .Estoscasossonmuysimples,esmejortratarloscomouncasoaparte.Asquesuponemosque 0a y 0b La recta 0ax by contiene lospuntos reticulares (0,0,0) y ( , ,0)b a .Por loquehemosvistoantes,si ( , )d mcd a b ,entonces lospuntosreticularesqueestnenesarectason lospuntos ,nb na

    d d para todo n entero. El punto reticular ,

    b ad d

    es adyacente al punto

    (0,0) ;esdecirelvectordecomponentes ,b ad d

    esunodelosvectoresquedeterminanelparalelogramobase.Engeneral, lasrectasparalelasaestasonde laforma ax by k ,yparaqueestaecuacintengasolucinennmerosenteros k nd siendo n entero.(Hemosaprendidodelalgoritmode Euclides para calcular elmximo comn divisor que si ( , )d mcd a b , existen enterosx , y talesque ax by d )Cada una de las rectas ax by nd estn contenidas en el plano , pero no todascorrespondenaunvalorenterode z .Paraellotienequesucederque cz nd yporlotanto

    ndzc

    .

    Como ,a b y c sonprimos entre si, entonces d y c tambin lo son.Por lo tanto,paraquez seaunentero, c tienequedividira n .Por lo tanto las rectasdepuntos reticularesenelplano deben ser de la forma ax by cmd para cualquier entero m y en ese casoz md .

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    Puntossuspensivos23/26

    Larecta ax by d esadyacentea 0ax by enelplano ,x y .Si 0 0,x y esunasolucinen nmeros enteros de ax by d , entonces los mltiplos enteros del vector decomponentes 0 0,x y determinarnpuntosreticularesencadanivel.Paracadam ,lospuntos 0 0,cmx cmy sern puntos reticulares correspondientes a la retcula tridimensional en elplano .Porlotantoelproblemaresideenencontrar 0 0,x y ,peroestopuedehacerseporunsencillotanteo.Entoncestenemoselsiguienteresultado:Sea unplanodeecuacin 0ax by cz demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque ( , , ) 1mcd a b c . Entonces los puntos de la retcula tridimensional que estn sobre elplano tienen por coordenadas 0 0, ,nb nacmx cmy mdd d

    siendo ( , )d mcd a b , 0 0,x y esunasolucinparticularde ax by d yn esunenterocualquiera.Estosepuedeescribiras 0 0 0 0, , , , ,0nb na b acmx cmy md m cx cy d nd d d d

    Ylosvectores 0 0,cx cy d y , ,0b ad d formanunaparalelogramounidaddelaretcula

    tridimensionalenelplano .

    ELreadeesteparalelogramoeselmdulode 0 0, , ,0 , ,b acx cy d x a b cd d

    ;esdecir 2 2 2U a b c .YahorayaestamosencondicionesdegeneralizarelteoremadePickaunplanocontenidoenelespacio.

    TeoremadePickenunplanocontenidoenelespacio

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    Puntossuspensivos24/26

    SupongamosqueP esunpolgonocuyosvrticessonpuntosreticularesenelespacioqueestncontenidosenelplano 0ax by cz ,demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque ( , , ) 1mcd a b c .SiB eselnmerodepuntosreticularesdelbordedeP , I eselnmerodepuntosreticularesdelinteriordeP ,entonceselreadeP es

    2 2 2 12BA a b c I

    Ejemplo:Consideramoselplanodeecuacin 2 3 6 0x y z ;(paraleloalplano 2 3 6 12x y z ).Como (2,3) 1mcd ,laecuacin2 3 1x y tienesolucinennmerosenteros,porejemplolasolucinparticular 1,1 Losvectoresqueformanelparalelogramobaseson ( 6,6, 1) y 3, 2,0 yelreadeeste

    paralelogramounidades7 .Entonceselreadeltringulodeterminadoporlospuntos 6,0,0A , 0,4,0B y (0,0,2)C ser

    67 0 1 142

    A ,porquenotieneningnpuntoreticularenelinterioryhay6puntosreticularesenelborde.

    Realmenteenesteejemploencontrar I esmscomplicadoqueencontrar A porqueelpolgonoP esuntringulo.Sinembargovamosaexplorarunpocomsestafrmula:Consideramoselplano 0ax by cz ,demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque

    ( , , ) 1mcd a b c ,sabemosqueelreadeunparalelogramounidades 2 2 2a b c .Siproyectamoslosvectoresqueformanlaretculasobreelplano ,x y tenemoslosvectores

    0 0, ,0cx cy y , ,0b ad d ,ysiconsideramoslaretculaquedeterminanestosvectores,el

    paralelogramounidadtieneporreaelmdulodelvector:

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    Puntossuspensivos25/26

    0 0 0 00,0, 0,0, (0,0, ) 0,0,1cax cby c cax by d cd d d d ;esdecir c

    Sillamamos xyA alreadelpolgonoproyeccindeP sobreelplano xy ,tendremosque:

    2 2 2

    xy

    A a b cA c

    Anlogamentesetendrque2 2 2

    xz

    A a b cA b

    y2 2 2

    yz

    A a b cA a

    siendo xzA y yzA lasproyeccionesdeP sobrelosplanos xz y yz .

    Esdecir: 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy yzxzA AAA a b c a b c a b cc b a

    yteniendoencuentaestoseobtieneque:

    2 2 2 2xy yz xzA A A A

    Sorprendentementepodemosencontrarelrea A deotramanera:Consideremoselcuadrilterocuyosvrticesson

    0,0,0A , 6, 2, 1B , 3,2, 2C y 3,6, 2D queestsobreelplano2 3 6 0x y z .Proyectandoestecuadrilterosobreelplano xy nosdauncuadrilterocuyosvrticesson

    ' (0,0)A , ' 6, 2B , ' 3, 2C y ' 3,6D ,enestafiguraesfcilverqueenelinteriorhay18puntosyenlafrontera8,porloque 21xyA

    Porloque: 2 2 2 21 492 3 66 2

    A

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos26/26

    Yadems,como 216 3 2

    yzxz AA podemossaberque 212xz

    A yque 7yzA Ahoratambinpodemosutilizaresteresultadoparacontarlospuntosqueestnenelinteriordelpolgono,delafrmuladePicktenemosque 49 7 1

    2 2BI ,esdecir9 2I B ,elnmerode

    puntosquehayenelbordeesfcildeencontrar:enestecasoformamoslosvectoresquedeterminanlosladosdelcuadriltero: (6, 2,1)AB ; ( 3,4, 1)BC ,

    ( 6,4,0) 2( 3,2,0)CD y (3, 6,2)DA ;tresdeellostienensuscomponentesprimosentresiyenunodeellosel ( 6,4) 2mcd ,porlotanto 5B hay5puntosenelborde,asque 2I Esdecir,podemoscalcularelreadelpolgonoP sinmsqueconocerelreadesuproyeccinsobreelplano xy yutilizarlafrmuladePickparacalcularlospuntosreticularesquehayenelinteriordelpolgono.CONCLUSIONES:Apartirdeunproblema,aparentementefcilhemosexploradounmundoreticularyhemosencontradounamaneradeutilizarelteoremadePickparacalcularelreadeunpolgonosimplereticularcontenidoenunplanoenelespacio.NosgustarahaberdesarrolladotambinlafrmuladePickparaunpolgonocualquiera!YrelacionarlaconlafrmuladeEuler,pero

    BIBLIOGRAFA:Gardiner:MathematicalPuzzling.DoverDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002W.Sierpinski:AselectionofProblemsintheTHEORYOFNUMBERS.PergamonPressHowardIseriMathematicsMagazineVol81,n2Abril2008http://mathworld.wolfram.com