NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIÓN

5/13/2018 NATURALEZA DE LA INVESTIGACI N DE OPERACI N - slidepdf.com

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, PROGRAMACIÓN LINEAL Y MÉTODO SIMPLEX

NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIÓN

Concepto:

Es la aplicación, del método científico a problemas relacionados

con el control de la organización de un sistema (hombre-máquina). Como

herramienta de toma de decisiones, la investigación de operaciones es una

ciencia y un arte. Es una ciencia por las técnicas matemáticas que presenta,

y es un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen en la

resolución del modelado matemático depende mucho de la creatividad y la

experiencia de equipo.

Características:

Una de las características más generales de la investigación de

operaciones es que las soluciones no se obtienen en formas cerradas, es

decir, parecidas a fórmulas. Se determina mediante algoritmos (por medio

de repeticiones o mejor llamado como iteración) donde se obtiene una

solución cada vez más cercana a la óptima. También tiende a representar el

problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio

común.

Importancia:

La importancia de la investigación de operaciones para la

informática radica en la implementación en los aspectos de coordinación de

operaciones y actividades de la organización o sistema que éste analice,

mediante el empleo de modelos que describan las interacciones entre los

componentes del sistema y de éste con su medio ambiente. Además, por

medio de la misma se pueden determinar toda importante variable,

probabilidad y resultados razonables de una decisión, antes de emprender

la acción.

Objetivos:

El objetivo fundamental de la investigación de operaciones es la

aplicación de procedimientos, técnicas y herramientas científicas a

problemas operativos con el objeto de ayudar a desarrollar y evaluar

posibles soluciones.




PROGRAMACIÓN LINEAL

Conceptos:

Es la técnica más importante de investigación de operaciones, ya

que fue diseñada para modelos con funciones objetivos y restricciones

estrictamente lineales.

Función objetivo: es una función lineal de varias

variables la cual se puede en su caso maximizar o minimizar.

Formulación de modelos matemáticos:

Los términos claves son recursos y actividades, en donde M

denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y N

denota el número de actividades bajo consideración.

Z= Valor ver a medida global de efectividad.

X j (variables de decisión) = nivel de la actividad J (para J= 1,2,3.,n).

C j = incrementado en Z quien resulta al aumentar una unidad en el

nivel de la actividad J.

Bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades

(para i= 1,2,3,.m).

Aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la

actividad j.

El modelo establece el problema en términos de tomar

decisiones sobre los niveles de actividades, por lo que X1, X2,. Xn, se

llaman variables de decisión, los valores de C j, Bi, A ij (para i = 1,2,.,

m y j = 1,2,., n) son las constantes de enterada al modelo.

Soluciones gráficas:

Se usa en los casos de modelos con dos variables de decisión.

Además, ilustra que la solución óptima correspondía a un punto extremo, sí

hayamos estos con su correspondiente valor de Z, podríamos encontrar la

solución óptima.

Constante de

entrada al modelo

o parámetros




Región Factible: es la región determinada por el

sistema de restricciones de tipo lineal. Es un conjunto de puntos

cuyas coordenadas satisfacen las restricciones del problema.

Variables de holgura:

Son las variables ficticias que se utilizan para llevar una

desigualdad en la forma estándar. Se representa por S i, donde i es el

número de restricción a la que se aplica, se colocan siempre del lado

izquierdo de la desigualdad.

Ejemplo:

ax1 + bx2 c

Aplicando variables de holgura queda:

ax1 + bx2 + s1 c

Se crea una variable que satisface la ecuación.

Cuando se da el caso de es necesario restar la variable por

ejemplo:

ax1 + bx2 s1 = c

Esta variable sirve para la determinación de la solución óptima.

Variables artificiales:

Sumar una variable no negativa al primer miembro de cada

ecuación o restricción que no tenga variables básicas iniciales evidentes.

Esta variable desempeña la misma función que una variable de holgura, al

proporcionar una variable básica inicial para una solución básica inicial.

Las variables artificiales no tiene sentido físico (artificial) y será

válido cuando se hace igual a cero, cuando le llegue al valor óptimo.

Se utilizan para la solución y después se hacen cero en la función

final, de lo contrario, la solución resultante será no factible.

y Sí todas las restricciones son de tipo menor o igual, se

utilizan las variables de holgura para determinar la solución.

y Sí las restricciones del problema son igual o mayor igual, se

debe emplear la técnica de las variables artificiales.




Soluciones factibles:

Cualquier punto dentro de la región factible determina valores

numéricos para las variables que satisfacen las restricciones.

Solución factible óptima:

Entre todas las soluciones factibles, buscamos aquella que

maximice o minimice la función objetivo, además que satisfaga la

restricciones impuestas.

Soluciones no factibles:

Los modelos de programación lineal con restricciones

inconsistentes no tienen solución factible. Desde el punto de vista práctico,

un espacio no factible indica la posibilidad de que el modelo no esté bien

formulado.

Región factible no acotada: una región es no

acotada si no se pueden cerrar en un círculo. Generalmente se

piensa que el problema está mal planteado.

EJEMPLO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Una empresa produce dos tipos de productos identificados como A y B. Cada unidad

del producto A requiere para su producción 2 horas- máquinas, 5 horas-hombre 6 unidades

de materia prima. Cada unidad de producto B requiere 2 horas- máquinas, 10 horas hombre

y 3 unidades de materia prima. El beneficio unitario de los productos A y B es de Bs. 5 y 4

respectivamente. Las disponibilidades diarias de los recursos son: 14 horas- máquina, 60

horas- hombre y 36 unidades de materia prima. Se pretende determinar cuántas unidades

diarias deben producirse de A y B para maximizar los beneficios.




Solución:

Sí se designan con x1 y x2 las cantidades que los productos que se

producirán diariamente, y z representa el beneficio total diario, el

problema puede formularse matemáticamente así:

La función objetivo hacer maximizada es:

Maximizar Z = 5x1 + 4x2

Sujeto a:

2x1 + 2x2 14 función objetivo (se debe maximizar)

5x1 + 10x2 60 ecuación que especifica el número total de horas máquinas que no debe exceder lo

disponible

6x1 + 3x2 36 representación de restricciones relativas a los recursos horas-hombres y materia prima.

X1 y x2 0 indica que el número de unidades producidas no puede ser negativo.

Si consideramos un eje de coordenadas cartesianas, el que medimos la variable x 1

en el eje de abscisas y x2 en el eje de ordenadas; sabemos que las inecuaciones del modelo

puede ser representadas gráficamente como semiplanos. Al hacer la representación gráficas

de las inecuaciones, vamos hallar los puntos que satisfacen todas las restricciones

simultáneamente; o sea, aquellos pares de valores de x1 y x2 que son posibles soluciones del

modelo.

Resolviendo:

2x1 + 2x2 = 14

X2 = 0

2x1 + 2(0) = 14 2x1 = 14 x1 = 14/7 x1 = 7

X1 = 0

2(0) + 2x2= 14 2x2 = 14 x2 = 14/7 x2 = 7

5x1 + 10x2 = 60

X2 = 0

5x1 + 10(0) = 60 5x1 = 60 x1 = 60/5 x1 = 12

X1 = 0




5(0) + 10x2= 60 10x2 = 60 x2 = 60/10 x2 = 6

6x1 + 3x2 = 36

X2 = 0

6x1 + 36(0) = 36 6x1 = 36 x1 = 36/6 x1 = 6

X1 = 0

6(0) + 3x2= 36 3x2 = 36 x2 = 36/3 x2 = 12

En primer lugar, las restricciones de no negatividad X1 y x2 0, implica que las

soluciones del modelo necesariamente tienen que estar en el primer cuadrante.

Si no existieran otras restricciones, cualquier punto del primer cuadrante sería una

posible solución del modelo.

Gráficamente, las restricciones están representadas por el conjunto de puntos de

bajo o en la recta de las inecuaciones.




Cualquier punto fuera de la región factible deja de satisfacer por lo menos una

restricción. Se habrá observado que hay infinitas soluciones posibles del modelo; hay que

escoger aquella que es óptima, es decir, aquella que maximiza Z.

El punto adonde se cruzan unas de las rectas representadas en las inecuaciones representar

la solución óptima. El mismo, se encuentran en la intersección de las rectas 2x1 + 2x2 = 14 y

6x1 + 3x2 = 36; luego, los coordenadas son x1 = 5, x2 = 2.

Según esto, la solución óptima es la siguiente: se deben producir 5 unidades del

producto A; 2 unidades del B, y esto da un beneficio de Z = 5x1 + 4x2 = 33 bolívares.

MÉTODO SIMPLEX

Conceptos:

Es el método para resolver problemas de programación lineal por medio de una

herramienta esencial como lo es la computadora determinando en forma algebraica los

puntos esquina. Esto se logra convirtiendo primero todas las restricciones de desigualdad en

ecuaciones, para después manipular esas ecuaciones en una forma sistemática.

Puntos esquina: es una recta que marca el límite de lo que permite

la restricción.

Puntos de intercepción: son las soluciones en los vértices para el

problema. Naturaleza iterativa del método Simplex:

El método simplex comienza en el origen en el plano

cartesiano donde x1 = x2 = 0. En este punto de inicio, el valor de la

función Z es cero.

El método simplex proporciona una regla definida

principalmente para facilitar el desarrollo de la función. En forma

específica cuando éste está maximizando, la variable que tenga el

coeficiente positivo en la función objetivo más grande es la que se

selecciona para aumentar Z. Si hay un empate, la selección se hace

en forma arbitraria.




Cómo f unciona el método simplex?

Se parte de una solución básica inicial para la función objetivo en un vértice

cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore la anterior

solución. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono de soluciones

factibles o de las aristas de la región solución, si el número de variables es mayor. Cómo el

número de vértices y de lados o aristas es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

Forma estándar de un problema:

Un problema lineal está en forma estándar si todas las restricciones son igualdades y se

conoce una solución factible. En notación matricial, la forma estándar es:

Optimizar z = cx

Con la condición: ax = b

Con: X=> 0

Dónde:

X es el vector columna de todas las variables de holgura,

superfluas (exceso) y artificiales.

C es el vector renglón de los costos (utilidades) correspondientes.

a es la matriz de coeficientes de las ecuaciones de restricciones.

b es el vector columna de los lados derechos de las ecuaciones de

restricciones (vector mano derecha o de disponibilidad de

recursos).

Solución básica:

Una solución básica es aquella que es factible o se encuentra en uno de los vértices de la

región solución. Con m ecuaciones y n variables una solución básica se determina haciendo n-mvariables iguales a cero. En general existen n!/[m!(n-m)!] soluciones básicas posibles.

Variables No Básicas:

Son las n -m variables que hemos hecho igual a cero.




Operaciones de renglón de Gauss- Jordan:

los cálculos de Gauss-Jordan para obtener una nueva solución básica.

OPERACIONES NECESARIAS:

La fila de la variable que sale es la ecuación pivote.

Nueva ecuación pivote:

= ecuación pivote / elemento pivote

Las demás ecuaciones incluyendo Z:

(Ecuación anterior) [coeficiente de la columna de la variable que entra]x(nueva

ecuación pivote)

Variables básicas:

Son m variables restantes diferentes de cero. La solución básica será factible si

todos los valores de las variables básicas son no negativos. Si alguna de las variables es negativa

entonces la solución será no factible.

Método De La Gran M:

Si todas las restricciones no son del tipo , es decir hay restricciones de = y , entonces no

es posible obtener una solución básica inicial con las variables de holgura, en este caso se utilizan

otras variables llamadas variables artificiales (Rm) que se agregan a las restricciones que son del

tipo o de = con coeficiente 1, en la función objetivo se penalizan agregándolas con coeficiente




muy alto si es minimización o muy bajo si es maximización (una M o -M). Las iteraciones se hacen

igual que el simplex normal y las condiciones de optimidad y factibilidad son las mismas. Si en la

solución óptima hay variables artificiales, se dice que el modelo es no factible.

Técnica De Las Dos Fases:

Fase I: Minimizar las variables artificiales sujetas a las restricciones originales. Si

el valor mínimo es cero el problema tiene solución y se pasa a la fase II. Si el valor

mínimo es positivo el modelo es infactible.

Fase II: Se utiliza la solución básica óptima de la fase I como solución inicial para

el problema original.

Caso especiales del método simplex:

Solución degenerada:

Si se presenta un empate en la variable que sale de forma repetida, una variable básica

tomará valor cero, esto hace que la solución sea degenerada. Lo anterior es debido a la existencia

de a lo menos una restricción redundante.




Multiples soluciones optimas:

Se presenta cuando la función objetivo es paralela a una restricción activa (se

satisface como igualdad en la solución óptima), en este caso hay infinitas soluciones. Desde

el punto de vista práctico permite escoger la solución que mejor se adapte a la situación.

Solución infactible:

Ocurre cuando las restricciones no se pueden satisfacer de forma simultánea. Este

tipo de solución no se presenta si todas las restricciones son del tipo , en otro tipo de

restricciones hace falta el uso de variables artificiales, lo que puede dar lugar a soluciones

no factibles. Un modelo con solución infactible puede significar que ha sido mal planteado o

que las restricciones no estén destinadas a cumplirse simultáneamente, por lo que haría

falta una estructura diferente del modelo.

Método Dual Simplex:

Parte de una solución óptima infactible, la diferencia con el método simplex primal

está en las condiciones para la variable que entra y la variable que sale:

Condición de Factibilidad: La variable que sale es aquella variable básica con valor más

negativo, si todas son no negativas el proceso termina.

Condición de Optimidad: La variable que entra es aquella no básica con la razón más

pequeña (minimización), o con valor absoluto más pequeño (maximización). Las razones se

calculan dividiendo los coeficientes del primer miembro de la función objetivo entre los

correspondientes coeficientes negativos en la ecuación de la variable que sale. Si todos los

valores son ceros o positivos el modelo es infactible (no hay solución). En ambas

condiciones los empates se rompen de forma arbitraria.




INTRODUCCIÓN

Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades en la forma más eficaz,

pues los recursos cada vez Howard tres casos y crecen las complejidades de los sistemas

generando problemas para decisiones óptimas.

La investigación de operaciones se le atribuye más a los servicios militares prestados

a principio de la II guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad

urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades

dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares

americanas y británicas hicieron un llamado a un gran número de científicos para que

apliquen el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. Esto

equipos de científicos fueron los primeros equipos de investigación de operaciones, el

desarrollo de métodos efectivos que contribuyeron a numerosos triunfos.

Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la

conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La

naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de

operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas.

La investigación de operaciones usa una de las técnicas la cual se puede considerar

como la más importante es la programación lineal, se diseña para modelos con funciones

objetivo y restricciones estrictamente lineales. En la actualidad es una herramienta de uso

normal que ha ahorrado miles o millones a muchas compañías o negocios, incluyendo

empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros

sectores de la sociedad se está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande que los

cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal. La

variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande,

y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación

de los recursos nacionales a las necesidades de un país.

Dentro de la programación lineal se encuentra una propiedad muy importante para

resolver la misma, como lo es el método Simplex, cuya función es mejorar potencialmente

la función objetivo.

A continuación, se estudiará más detalladamente lo anteriormente descrito.




CONCLUSIÓN

La investigación de operaciones es el procedimiento científico que está auxiliado por

modelos y técnicas matemáticas, servible para diseñar y operar los problemas complejos.

Utiliza todas las herramientas científicas pertinentes que prevé una base cuantitativa para

decisiones administrativas. Surgiendo así, equipos de investigación integrados para la

profundización de las diferentes opciones de acción.

La investigación de Operaciones es una herramienta cuantitativa para medir

anticipadamente el impacto de la decisión, además es generadora de valor agregado y su

uso produce ventajas competitivas, permite que con éstas técnicas se lleve a cabo un

adecuado proceso de toma de decisiones en la empresa, pero uno de los problemas que se

presentan es que no es aplicable a todas las organizaciones y que sólo se puede utilizar

cuando los problemas son cuantificables.

La programación lineal utiliza un modelo matemático para descubrir el problema. El

adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser

funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en

computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata

de planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que

mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas alternativas

de solución.

En el caso del método simplex para sistemas lineales las condiciones de optimidad y

factibilidad garantizan, partiendo de un punto extremo factible (solución básica), el poder

mejorar el valor de la función objetivo hasta llegar al óptimo en cada iteración.




Ejemplo del Método Simplex:

Vamos a resolver el siguiente problema:

Maximizar Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2x2

Sujeto a: 2 x1 + x2 18

2x1 + 3x2 42

3x1 + x2 24

X1 0 , x2 0

Paso I: Convertir las desigualdades en igualdades:

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s 1,

s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estándar.

FORMA ESTANDAR:

2x1 + x2 + s1 = 18

2 x 1 + 3 x 2 + s2 = 42

3 x 1 + x 2 + s3 = 24

Paso II: Igualar la función objetivo a cero y después agregar las variables de holgura

del sistema anterior:

Z - 3 x 1 - 2 x 2 = 0

Para este caso en particular la función objetivo ocupa la última fila del tablero, pero

de preferencia siempre se deberá de colocar como la primer fila

Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de F.O para convertirlo en

negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de F.O para convertirlo en

positivo.

Paso III: Escribir el tablero inicial simplex:

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las

filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la

última fila con los coeficientes de la función objetivo:




Paso IV: Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de

holgura que sale de la base.

Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA ROJA PARTE

SUPERIOR), observamos la última fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo

y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto).

En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3. Si existiesen dos o máscoeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige cualquiera de

ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha

alcanzado la solución óptima.

Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del

método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en

color azulado).

Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA ROJA

COSTADO IZQUIERDO) se divide cada término de la última columna (valores solución) por el

término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores

que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En

Base Variable de decisión Variable de holgura Solución

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18

S2 2 3 0 1 0 42

S3 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0




el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos

una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor

cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la

base, S3. Esta fila se llama fila pivote (en color azulado).

Iteración No. 1

Base Variable de

decisión

Variable de

holgura

Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18 18/2 = 9

S2 2 3 0 1 0 42 42/2 = 21

S3 3 1 0 0 1 24 24/3 = 8

Z -3 2 0 0 0 0

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las

variables correspondientes puede salir de la base.

En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote

operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura S3

sale.

Paso V: Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los

coeficientes de la fila por el pivote operacional 3, ya que este se debe convertir en 1.




A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los

restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de

las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

Como en los elementos de la última fila hay un número negativo, -1, significa que no

hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A.La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde

al coeficiente -1 .

B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la

columna solución entre los términos de la nueva columna pivote: y como el menor cociente

positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale es S1.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Y se opera de forma

análoga a la anterior iteración.

Resultado de Iteración No. 1

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 f(S1) 2 f(X1)

S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 f(S2) 2 f(X1)

X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 (1/3) X1

Z 0 -1 0 0 1 24 f(Z) + 3 f(X1)




Iteración No. 2

Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 2/(1/3) = 6

S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 26/(7/3) = 78/7

X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 8/(1/3) = 24

Z 0 -1 0 0 1 24


Base Variable de

decisión


X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 3 0 -2 6 3X2

S2 0 0 -7 0 4 12 f(S2) (7/3) f(X2)

X1 1 0 -1 0 1 6 f(X1) (1/3) f(X2)

Z 0 0 3 0 -1 30 f(Z) + f(X2)

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos

llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al

coeficiente -1.

Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna

entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:




6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]. Y como el menor cociente positivo es 3, tenemos

que la variable de holgura que sale es S2. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1,

es 4. Obtenemos la tabla:

Iteración No. 3

Base Variable de

decisión


X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 3 0 -2 6 No se toma por

ser negativo

S2 0 0 -7 0 4 12 12/4 = 3

X1 1 0 -1 0 1 6 6/1 = 6

Z 0 0 3 0 -1 30


Base Variable de

decisión


X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 -1/2 0 0 12 f(X2) + 2 f(S3)

S3 0 0 -7/4 0 1 3 (1/4) S3

X1 1 0 -3/4 0 0 3 f(X1) f(S3)

Z 0 0 5/4 0 0 33 f(Z) + f(S3)




Tablero Final

Base Variable de decisión Variable de holgura Solución

X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 -1/2 0 0 12

S3 0 0 -7/4 0 1 3

X1 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos

llegado a la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna

de los valores solución, en nuestro caso: 33.

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