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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II
145
NIVEL: SECUNDARIA tercero de secundaria
Ecuaciones de Segundo Grado II
Ecuaciones de Segundo Grado II
Naturaleza de RaícesNaturaleza de Raíces
= b2 - 4ac
Discriminante
= b2 - 4ac
Discriminante
si
> 0
Raíces reales diferentes
> 0
Raíces reales diferentes
= 0
Raíces iguales
= 0
Raíces iguales
< 0
Raíces complejas y conjugadas
< 0
Raíces complejas y conjugadas
> 0
Raíces reales
> 0
Raíces reales
x1 x2x1 x2 x1 = x2
x1 = x2 x1 = m + ni
x2 = m – ni
m; n Rademás:
x1 = m + ni
x2 = m – ni
m; n Rademás:
depende
a
bxx 21
Propiedades de las Raíces
Propiedades de las Raíces
suma
a
cx.x 21
producto
|a|xx 21
Diferencia
Suma = SSuma = S
Formación de la Ecuación
Formación de la Ecuación
se debe tener
Producto = P
Producto = P
donde
x2 – Sx + P = 0x2 – Sx + P = 0
Una raíz es: x1 = m, la
otra es: x2 = -m
Una raíz es: x1 = m, la
otra es: x2 = -m
ObservacionesObservaciones
Raíces Recíprocas o Inversas
Raíces Recíprocas o Inversas
Raíces Simétricas u Opuestas
Raíces Simétricas u Opuestas
Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes
Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes
sisi
Una raíz es: x1 = m, la otra es:
Una raíz es: x1 = m, la otra es:
sisi
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
mx2 + nx + p = 0 ; m 0
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
mx2 + nx + p = 0 ; m 0
si las ecuaciones
si las ecuaciones
x1 + x2 = 0x1 + x2 = 0
se cumplese cumple
x1x2 = 1x1x2 = 1
se cumple
se cumple
Las mismas raíces o
soluciones
Las mismas raíces o
soluciones
tienentienen
p
c
n
b
m
a
se cumple
se cumple
Ejercicios Resueltos
1. Ejemplo: En la ecuación x2 + 6x + 5
= 0
Calculemos el DISCRIMINANTE:
= b2 – 4ac
= (6)2 – 4(1)(5)
= 16, es decir > 0
Por la fórmula General:
De donde:
es
decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales y diferentes!.
2. Ejemplo: En la ecuación x2 – 14x + 49
= 0
Calculamos el DISCRIMINANTE:
= b2 – 4ac
= (-14)2 – 4(1)(49)
= 196 – 196
= 0, entonces las raíces son reales e
iguales.
Comprobemos:
La ecuación dada también se escribe así:
(x - 7)2 = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0
Igualando cada factor a CERO:
x – 7 = 0 x1 = 7
x – 7 = 0 x2 = 7
entonces: C.S. = {7; 7}
3. Ejemplo: En la ecuación x2 – 6x + 25
= 0
Los coeficientes son: a = 1; b = -6; c = 25
El DISCRIMINANTE es: = b2 – 4ac
= (-6)2 – 4(1)(25)
= -64, es decir < 0
Lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS.
4. Ejemplo: Indicar la suma y producto
de raíces de: x2 + 5x + 3 = 0
Solución:Identificamos: a = 1; b = 5; c = 3
Entonces:
146
5. Ejemplo: Formar la ecuación de
segundo grado si se tienen las raíces x1 =
2; x2 = -3.
Solución:Sabemos:
S = x1 + x2 = 2 – 3 = -1
P = x1x2 = (2)(-3) = -6
entonces de la ecuación:
x2 – Sx + P = 0
x2 – (-1)x + (-6) = 0
x2 + x – 6 = 0 Ecuación de 2º Grado
6. Ejemplo: Hallar las raíces de la
ecuación e indicar que tipo de raíces tiene:
x2 – 100 = 0
Solución:
(x + 10) (x - 10) = 0
x = -10 x = 10
147
EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN
Factorizando
Son simétricos
1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:
a) x2 + 2x + 1 = 0b) x2 + x + 1 = 0c) 5x2 + 2x + 3 = 0d) 7x2 + 2x – 1 = 0e) 3x2 – 2x + 5 = 0f) x2 + 8x + 9 = 0
2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:
a) x2 + 2x + 1 = 0
Rpta.: _______________
b) x2 + 1 = 0
Rpta.: _______________
c) x2 + 5x + 2 = 0
Rpta.: _______________
d) x2 – 1 = 0
Rpta.: _______________
e) x2 – x + 1 = 0
Rpta.: _______________
f) 5x2 + 3x + 1 = 0
Rpta.: _______________
g) 7x2 + 4x – 2 = 0
Rpta.: _______________
h) 2x2 + 3x – 3 = 0
Rpta.: _______________
3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
x2 + 5x + 1 = 0Indicar el valor de:
E = (x1 + x2)2 – 2x1x2
a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 25
4. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.
(m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0
a) 25 b) 25/9 c) 9/25d) 1/4 e) N.A.
5. Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0
con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”.
Si: 3(x1x2)k-4 = 1
a) 9/2 b) 7/2 c) 5/2d) 4 e) 9
6. En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble)
a) ±1 b) ±2 c) ±3d) ±4 e) N.A.
7. Si una de las raíces de la ecuación:x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la otra raíz es:
a) -2 b) -1 c) -3d) -4 e) N.A.
8. Si la ecuación:(b + 5)x2 + 3bx + b = 0
presenta raíces iguales. Hallar: “b”
a) 0 b) -2 c) 4d) 8 e) 6
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