New Problemas Directos e Inversos para Modelos de … · 2005. 4. 29. · Problemas Directos e Inversos para Modelos de Advección/Didusión de Contaminantes Atmosféricos. Aplicación

Problemas Directos e Inversos para Problemas Directos e Inversos para Modelos de Advección/Modelos de Advección/DidusiónDidusión de de

Contaminantes Atmosféricos. Contaminantes Atmosféricos. Aplicación de Técnicas de Aplicación de Técnicas de HighHigh DimentionalDimentional

ModelsModels RepresentationRepresentation

Vladimir TchijovVladimir TchijovOlegOleg Nagornov*Nagornov*

Maria del Carmen Gómez FuentesMaria del Carmen Gómez Fuentes

Seminario de Modelación Matemática y Computacional 2005Seminario de Modelación Matemática y Computacional 2005

FES Cuautitlán UNAMFES Cuautitlán UNAM*Instituto de Física e Ingeniería de Moscú*Instituto de Física e Ingeniería de Moscú

Proyectos y tesisProyectos y tesis

Proyectos PAPIITProyectos PAPIITIN101598IN101598 (1998(1998--2001), IN105401 (20012001), IN105401 (2001--2004), 2004),

IN100405 (2005IN100405 (2005--2007)2007)

Tesis de Doctorado terminadasTesis de Doctorado terminadasArmando Aguilar MárquezArmando Aguilar Márquez “Modelo de calidad del aire para la “Modelo de calidad del aire para la contaminación de ozono en la zona metropolitana de la Ciudad de contaminación de ozono en la zona metropolitana de la Ciudad de México”México”Frida María León RodríguezFrida María León Rodríguez “Análisis comparativo de los “Análisis comparativo de los mecanismos de reacción y cinética química de los compuestos mecanismos de reacción y cinética química de los compuestos orgánicos volátiles para la formación de orgánicos volátiles para la formación de smogsmog fotoquímico en la fotoquímico en la Ciudad de México”Ciudad de México”

Proyectos y tesisProyectos y tesis

Tesis de Doctorado en procesoTesis de Doctorado en procesoMaria del Carmen GómezMaria del Carmen Gómez “Desarrollo e implantación de “Desarrollo e implantación de

algoritmos de representación de modelos de alta dimensionalidad”algoritmos de representación de modelos de alta dimensionalidad”

Tesis de Maestría terminadasTesis de Maestría terminadasGustavo Gustavo MonroyMonroy SánchezSánchez “Modelos computacionales en “Modelos computacionales en problemas de contaminación ambiental”problemas de contaminación ambiental”FransiscoFransisco Hiram Calvo CastroHiram Calvo Castro “Algoritmos de expansión de “Algoritmos de expansión de datos aplicados a la contaminación atmosférica de la Ciudad de datos aplicados a la contaminación atmosférica de la Ciudad de México”México”

CONTENIDOCONTENIDO

Advección/Difusión de contaminantesAdvección/Difusión de contaminantesProblema directoProblema directoTratamiento de reacciones químicas: sistemas rígidos de Tratamiento de reacciones químicas: sistemas rígidos de ecuaciones diferenciales ordinariasecuaciones diferenciales ordinariasExtrapolación de datos irregulares a una malla rectangularExtrapolación de datos irregulares a una malla rectangularEsquema numéricoEsquema numérico

Advección/Difusión de contaminantes: Problema Advección/Difusión de contaminantes: Problema inversoinversoHighHigh Dimensional Dimensional ModelsModels RepresentationRepresentation y su aplicación y su aplicación en problemas de advección/difusiónen problemas de advección/difusión

Advección/Difusión: Problema directoAdvección/Difusión: Problema directo

( ) ( ) ( )i i i i i i ix y z i

c uc vc wc c c cK K K Rt x y z x x y y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(0 < x < Lx, 0 < y < Ly, 0 < z < Lz, 0 ≤ t ≤ T; i = 1, … N )

ic

( )1 2, , ...,i i NR R c c c=Las funciones están relacionadascon el esquema de reacciones químicas elegido. Generalmente, estas funciones Ri son polinomios de las concentraciones c1, c2, …, cN.


( ) ( ), , ,0 , , , 1,...,i ic x y z x y z i N= Φ =

ii x in

cu c K u cx

∂⋅ − = ⋅

∂

Condiciones iniciales:

Frontera x = 0 y x = Lx:

Flujo de entrada:

Flujo de salida: 0ix

cKx

∂− =

∂


ii y in

cv c K v cy

∂⋅ − = ⋅

∂Flujo de entrada:

Frontera y = 0 y y = Ly:

Flujo de salida: 0iy

cKy

∂− =

∂


ii z

cQ Kz

∂= −

∂ Frontera z = 0:

donde Qi es el flujo por emisión en superficie

Frontera z = Lz: 0iz

cKz

∂− =

∂

Advección/Difusión: Dominio computacionalAdvección/Difusión: Dominio computacional

Dominio de simulación computacional Ω:

En el plano z = 0: una malla de 14×16 celdas, cada celda es de 5×5 km2

Lx = 65 km, Ly = 75 km

Sobre el eje Oz: 20 puntos

Lz = 1 km

Advección/Difusión: Esquemas de reacciones Advección/Difusión: Esquemas de reacciones químicasquímicas

Ejemplo: ciclo fotoquímico básico

1

2

3

12 1

5 2 12 3 2

1 1 13 2 2 3

, 0.4min

, 2.33 10 ppm min

, 2.95 10 ppm min

k

k

k

NO h NO O k

O O M O M k

O NO NO O k

ν −

− − −

− −

+ ⎯⎯→ + =

+ + ⎯⎯→ + = ×

+ ⎯⎯→ + = ×

donde M es una tercera especie química (generalmente N2)

Advección/Difusión: Esquemas de reacciones Advección/Difusión: Esquemas de reacciones químicasquímicas

Aplicando las leyes de la cinética química, se obtiene el sistema rígido de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Sean c1 = [NO], c2 = [NO2], c3 = [O3], c4 = [O]

2

2 2

11 2 3 2 1

21 1 4 3 1 3 2

32 4 O M 3 2 3

41 2 2 3 M 4

O

O

dc k c k c c Rdtdc k c c k c c Rdtdc k c c c k c c Rdtdc k c k c c Rdt

= − ≡

= − + ≡

= − ≡

= − ≡

¿¿Qúe son sistemas rígidos de ecuaciones Qúe son sistemas rígidos de ecuaciones diferenciales ordinariasdiferenciales ordinarias ??

La rigidez ocurre en problemas donde se encuentran dos o más escalas muy diferentes de la variable independiente.En forma más exacta, un sistema de EDO es rígido si se cumplan las condiciones:

( )( ) ( )

Re 0

max Re min Re 1i

i i

y

Q

λ

λ λ

<

=

donde λi son valores propios de la matriz Jacobiana del sistema


La matriz Jacobiana de un sistema de N ecuaciones:

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

N

N

N N N

N

R R Rc c cR R Rc c cJ

R R Rc c c

∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Ejemplo (Gear, 1971):

( ) ( )

998 1998

999 1999

0 1, 0 0

du u vdtdv u vdt

u v

⎧ = − +⎪⎪⎨⎪ = − −⎪⎩

= =


Solución exacta:Solución exacta:

1000

1000

2 t t

t t

u e ev e e

− −

− −

⎧ = −⎨

= − +⎩

Se pueden ver dos escalas diferentes de la variable t:

1 y 0.001t t

Métodos numéricos implícitos con paso variableMétodos numéricos implícitos con paso variable

Paquetes de cómputo especializados (CVODE)Paquetes de cómputo especializados (CVODE)

Usando la técnica CutUsando la técnica Cut--HDMRHDMR

¿Cómo resolver numéricamente sistemas rígidos ¿Cómo resolver numéricamente sistemas rígidos de ecuaciones diferencialesde ecuaciones diferenciales ordinarias?ordinarias?

Extrapolación de datos irregulares a una Extrapolación de datos irregulares a una malla rectangularmalla rectangular

Red Automática de Monitoreo AtmosféricoRed Automática de Monitoreo Atmosférico

Red Automática de Monitoreo AtmosféricoRed Automática de Monitoreo Atmosférico

Métodos de expansión de datosMétodos de expansión de datos

El algoritmo de CressmanEl algoritmo de Cressman

El algoritmo basado en la triangulación de VoronoiEl algoritmo basado en la triangulación de Voronoi

El algoritmo Kriging El algoritmo Kriging -- resultó ser más adecuado resultó ser más adecuado para aplicaciones de expansión de datos de para aplicaciones de expansión de datos de contaminación atmosférica en la Cd. de Méxicocontaminación atmosférica en la Cd. de México

Esquema numérico para problema directo de Esquema numérico para problema directo de advección/difusión de contaminantesadvección/difusión de contaminantes

Esquema numéricoEsquema numérico

Se aplicán particiones del problema tridimensional para reducirlo a una secuencia de ecuaciones en una dimensión:

( )

( )

( )

1

2

3

:

:

:

ii ix

ii iy

ii iz

u cc cL Kt x x x

v cc cL Kt y y y

w cc cL Kt z z z

∂ ⋅∂ ∂∂ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ⋅ ⎛ ⎞∂ ∂∂+ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ⋅∂ ∂∂ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠


Como ejemplo, el esquema de cálculos numéricos en la dimensión xviene dada por:

(1) (1) (1) (1)(1), , , , 1, , 1, ,

(1) , ,, , , ,

(1) (1) (1) (1)(1)1, , 1, , , , , ,

, ,

(1) (1) (1)

1, , , , 1, , 1, , , ,2

, 0

, 0

2 22 2

m n k m n k m n k m n km n k

xm n k m n k

m n k m n k m n k m n km n k

x

m n k m n k m n k m n k m n k mx x

x

ht

h

K Kh

u c u c uc cu c u c u

c c c c c

− −

+ +

− + − +

⎧ −⎪ ≥

− ⎪+ =⎨Δ −⎪

<⎪⎩

− + − ++ 1, ,

2n k

xhc


LasLas concentraciones calculadas por concentraciones calculadas por LL11 en en dimensidimensióón n xx para cada nodo para cada nodo ((x,y,zx,y,z) ) ∈∈ ΩΩ serseráán concentraciones iniciales para la ecuacin concentraciones iniciales para la ecuacióón n LL 22 en la en la dimensidimensióón n yy..

LasLas concentraciones calculadas por concentraciones calculadas por LL22 en en dimensidimensióón n yy para cada nodo para cada nodo ((x,y,zx,y,z) ) ∈∈ ΩΩ serseráán concentraciones iniciales para la ecuacin concentraciones iniciales para la ecuacióón n LL33 en la en la dimensidimensióón n zz..

LasLas concentraciones calculadas por concentraciones calculadas por LL33 en en dimensidimensióón n zz para cada nodo para cada nodo ((x,y,zx,y,z) ) ∈∈ ΩΩ serseráán concentraciones iniciales para el mecanismo de n concentraciones iniciales para el mecanismo de reacciones qureacciones quíímicas utilizado:micas utilizado:

( )1 2, ,..., , 1,...,ii N

dc R c c c i Ndt

= =

Estas Estas úúltimas concentraciones a su vez serltimas concentraciones a su vez seráán condiciones inicales para n condiciones inicales para el siguiente paso en tiempo.el siguiente paso en tiempo.

Advección/difusión: problema inversoAdvección/difusión: problema inverso


El El problema inversoproblema inverso para el sistema de ecuaciones diferenciales para el sistema de ecuaciones diferenciales de advección/difusión de contaminantes consiste en el cálculo de advección/difusión de contaminantes consiste en el cálculo de las concentraciones de las concentraciones ccii((x,y,z,tx,y,z,t) ) y, al mismo tiempo, en la y, al mismo tiempo, en la recuperación de los coeficientes de difusión recuperación de los coeficientes de difusión KKxx, , KKyy y y KKzz((zz) los ) los cuales, en este caso, se consideran desconocidos.cuales, en este caso, se consideran desconocidos.

Su supone que se conocen Su supone que se conocen condiciones de sobredeterminacióncondiciones de sobredeterminación: : concentraciones de los contaminantes concentraciones de los contaminantes ccii en función de tiempo en función de tiempo en algunos puntos del dominio computacional en algunos puntos del dominio computacional ΩΩ. Se usaban las . Se usaban las concentraciones medidas en las estaciones de RAMA.concentraciones medidas en las estaciones de RAMA.


( ) ( ) ( )i i i i i i ix y z i

c uc vc wc c c cK K K Rt x y z x x y y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ), , , 0 , ,i ic x y z x y z= Φ

, 0z

i iz i

z o z L

c cK Qz z= =

∂ ∂− = =

∂ ∂

0x

i i

x o x L

c cx x= =

∂ ∂= =

∂ ∂

0y

i i

y o y L

c cy y= =

∂ ∂= =

∂ ∂

( 1,..., )i N=


Solución del problema inverso: minimización del funcional

( ) ( )

2

1 1 0

K ( , , , ;K) ( , , , )

K , ,

TN M

i p p p i p p pi p

x y z

c x y z t c x y z t dt

K K K= =

Φ = −

=

∑∑∫r r

r

Supongamos: Kx = Ky ≡ Kh = const, Kz(z)= Kv= const


( ) ( )1 K e K esign , h,v; 1,2,...

2

k k k kk k

kj j

f fj k

fK K β+⎡ ⎤Φ + ⋅ −Φ − ⋅⎢ ⎥= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦

r r

Método numérico: aproximación estocástica

Criterio de paro de iteraciones:

1 20.01 m /k k

j j sK K δ+ − ≤ =

Advección/difusión: problema inverso.Advección/difusión: problema inverso.Resultados.Resultados.

El error en recuperación deEl error en recuperación de KKz z dado que dado que KKxx = K= Kyy == 1 m1 m22/s /s es es menor de 5%menor de 5%Se necesitan 20Se necesitan 20--30 iteraciones para minimizar el funcional 30 iteraciones para minimizar el funcional ΦΦPara recuperar el valor de Para recuperar el valor de KKzz con la tolerancia de 5con la tolerancia de 5--10% se 10% se necesitan por lo menos 10 puntos de sobredeterminaciónnecesitan por lo menos 10 puntos de sobredeterminaciónPara recuperar el valor de Para recuperar el valor de KKz z = = constconst se necesita conocer solo las se necesita conocer solo las concentraciones en la capa concentraciones en la capa zz = 0= 0Para recuperar la función Para recuperar la función KKzz((zz) se necesita conocer ) se necesita conocer las las concentraciones en la capa concentraciones en la capa zz = 0 y en las capas superiores= 0 y en las capas superiores

Representación de modelos de alta Representación de modelos de alta dimensionalidad (HDMR) y su dimensionalidad (HDMR) y su

aplicación en modelos de difusión/ aplicación en modelos de difusión/ advección de contaminantesadvección de contaminantes

Las siglas HDMRLas siglas HDMR

HDMR por sus siglas en inglés:

High Dimensional ModelsRepresentation.

Representación de modelosde Alta Dimensionalidad.

High Dimensional ModelsHigh Dimensional Models RepresentationRepresentation

¿De que manera influye cada una de las componentes x1, x2, x3,...,xn en la salida F(x)?

- Contaminación atmosférica.- Propiedades electrónicas y estructurales de los

materiales.

SISTEMA- Transporte de radiación.- Cinética química.- Análisis estadístico.

x1 x2 x3 ....... xn

MODELO?

Descripción:Descripción:¿Que es HDMR?¿Que es HDMR?

La conjetura fundamental de las HDMRes que en los problemas típicos de laPráctica no parece existir un orden

alto de cooperatividad.

1 2( , ,..., )nx x x=x

0 12... 1 21 1 < 1 < <

( ) ( ) ( , ) ( , , ) ... ( , ,...,n

i i ij i j ijk i j k n ni i j n i j k n

)f f f x f x x f x x x f x x x= ≤ ≤ ≤ ≤

= + + + + +∑ ∑ ∑x


La experiencia ha demostrado queun grado de cooperatividad l =2 confrecuencia proporciona una descripciónsatisfactoria de f (X) Para muchos

sistemas multidimensionales.

1 2( , ,..., )nx x x=x

01 1 <

( ) ( ) ( , )n

i i ij i ji i j n

f f f x f x x= ≤ ≤

≈ + +∑ ∑x


Determinación de las funciones que componen las HDMR.

Existen dos tipos de expansiones HDMR usadas comúnmente:

RS-HDMR: Para datos con muestreo aleatorio. Depende del valor promedio de f(x) sobre todo el dominio Ω.

Cut-HDMR: Para datos con muestreo ordenado. Depende del valor de f(x) en un punto de referencia específico.

Donde:


Las funciones componentes de Cut-HDMR poseen las siguientes formas:

0 ( )f f= X

0( ) ( , )i

i i if x f x f= −X

0( , ) ( , , ) ( ) ( )ij

ij i j i i i i j jf x x f x x f x f x f= − − −X

1 11( , ) ( ,..., , , ,..., )i

i i ni ix x x x x x− +=X1 1 1 11( , , ) ( ,..., , , ,..., , , ,..., )

iji i j j ni j i jx x x x x x x x x x− + − +=X

Aplicaciones de HDMRAplicaciones de HDMR

Construcción de modelos basados en la observación Construcción de modelos basados en la observación directa desde el laboratorio o de los datos del directa desde el laboratorio o de los datos del campo.campo.Construcción de un modelo operacional Construcción de un modelo operacional completamente equivalente (≡ FEOM).completamente equivalente (≡ FEOM).Valoración de la incertidumbre global e Valoración de la incertidumbre global e identificación de las variables clave.identificación de las variables clave.

¿Que es un FEOM?¿Que es un FEOM?((FullyFully EquivalentEquivalent OperationalOperational ModelModel))

Un Un Modelo Operacional Completamente EquivalenteModelo Operacional Completamente Equivalente se usa en se usa en lugar de una parte del sistema (o del sistema completo) y es lugar de una parte del sistema (o del sistema completo) y es una de las principales aplicaciones de las HDMR.una de las principales aplicaciones de las HDMR.

Fases para implantar un FEOM:

Entrenamiento o aprendizaje.

Operación del modelo.

Una aplicación del FEOMUna aplicación del FEOM

La substitución de un integrador numérico pararesolver un sistema de ecuaciones diferenciales,por su correspondiente FEOM, permite obtenerresultados rápidos en tiempos grandes.

Modelado de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Fases para la implantación de un FEOM. Fases para la implantación de un FEOM. Fase de entrenamiento.Fase de entrenamiento.

1.- Por medio del sistema original (el que será reemplazado por el FEOM) se obtienen las salidas correspondientes a un conjunto de diferentes

situaciones iniciales (entradas).

En esta fase se elaboran las tablas con las funcionescomponente:

( , )ij i jf x x2.- Se utilizan las ecuaciones del Cut-HDMR (en este caso) para determinar las funciones componente , ......( )i if x

Fases para la implantación de un FEOM.Fases para la implantación de un FEOM.Fase de entrenamiento.Fase de entrenamiento.

Forma esquemática de generar un FEOM.

Conjunto de valores de entrada:1,2,...,n

Conjunto de valores de salida:1,2,...,n

Sistemaoriginal.

Elaboración de lasfuncionescomponente de la expansión HDMR.

FEOM

Salida en el tiempoti+1= ti + δt

Fases para la implantación de un FEOM.Fases para la implantación de un FEOM.Fase de operación.Fase de operación.

¿Cómo opera un FEOM para resolver un sistema de ecuacionesditerenciales ordinarias al tiempo t?

Condición inicial

FEOM para resolver un sist. de ecs. dif. para un valor ΔT fijo.

Aproximación a la salida en el tiempo ti+1

Parámetros auxiliares calculados en otros módulos

La salida obtenida se convierte en la nueva condición inicial.

i = i+1

Iniciar en el tiempo t0

Salida en el tiempo final.

Entrada en eltiempo ti .

Fases para la implantación de un FEOM.Fases para la implantación de un FEOM.Como opera un FEOM para modelar un sistema de Como opera un FEOM para modelar un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias al tiempo ecuaciones diferenciales ordinarias al tiempo tt ..

Si se tiene una condición inicial y0j, la salida al tiempo t1: y(y0j,t1) que se obtiene con el FEOM se usa como cond. inicial del mismo FEOM paraaproximar la salida del sistema al tiempo t2: y(y0j ,t2)

Fases para la implantación de un FEOM.Fases para la implantación de un FEOM.

1.- La fase de entrenamiento se realiza una sola vez para obtener lastablas con las funciones componente, ya que se obtuvieron las tablas,se ejecuta solamente la fase de operación cada vez que se requieraobtener el estado final a partir de un punto x después de cierto tiempo t.

2.- El uso del FEOM para simular sistemas de ecuaciones diferenciales se aplica a sistemas autónomos, es decir, en sistemas endonde el tiempo t no aparece explícitamente en ninguna ecuación.

Ejemplo de una aplicación de un FEOM.Ejemplo de una aplicación de un FEOM.[[Shorter J., Shorter J., PercilaPercila IpIp and and RabitzRabitz H. H. An efficient Chemical Kinetics An efficient Chemical Kinetics

Solver using High Dimensional Model RepresentationSolver using High Dimensional Model Representation, J. Phys. Chem. , J. Phys. Chem. A, A, 103103, 7192, 7192--7198 (1999)]7198 (1999)]

En este artículo se aplica un FEOM para la simulación de la cinéEn este artículo se aplica un FEOM para la simulación de la cinética tica química y se obtuvieron los siguientes resultados:química y se obtuvieron los siguientes resultados:

Integración numérica:

Si t = 1 dia Aprox. 2000 pasos .Si t = 30 años Aproximadamente 21,900,000 pasos .

Si t = 6 años Aprox. 1000 veces mas lento que FEOM.Resultados exactos pero cada paso es mas lento que el FEOM.

Integración por FEOM:

Si t = 1 dia => un paso Si t = 30 años => 10,800 pasos.

Si t = 6 años Aprox. 1000 veces mas rápido que la integración numérica.Resultados muy similares a los obtenidos numéricamente pero cada paso es mas rápido.

HDMR y FEOM: ConclusionesHDMR y FEOM: Conclusiones

El uso del FEOM para modelar sistemas de El uso del FEOM para modelar sistemas de ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales es conveniente es conveniente cuando se requieren soluciones masivas.cuando se requieren soluciones masivas.Se está aplicando CutSe está aplicando Cut--HDMR y FEOM para HDMR y FEOM para sustituir el sustituir el solversolver numérico en los algoritmos numérico en los algoritmos de problemas directo e inverso de de problemas directo e inverso de advección/difusión de contaminantesadvección/difusión de contaminantes

Referencias (HDMR)Referencias (HDMR)

1. 1. AlisAlis, , ÖÖ..and and RabitzRabitz, H., , H., General Foundations of High Dimensional Model General Foundations of High Dimensional Model Representations,Representations, J. Math. ChemJ. Math. Chem., ., 2525, 197, 197--233 (1999).233 (1999).

2. 2. RabitzRabitz Hershel, Hershel, ÖÖ F. F. AlisAlis. . Efficient implementation of high dimensional Efficient implementation of high dimensional model representationsmodel representations, , J. Math. ChemJ. Math. Chem., ., 2929, 127, 127--142 (2000).142 (2000).

3. 3. GenyuanGenyuan Li, C. Rosenthal and Hershel Li, C. Rosenthal and Hershel RabitzRabitz. . High Dimensional High Dimensional Model Representations.Model Representations. J. Phys. ChemJ. Phys. Chem. A, . A, 105105, 7765, 7765--7777(2001).7777(2001).

4. 4. GenyuanGenyuan Li, Li, ShengSheng--WeiWei Wang and Hershel Wang and Hershel RabitzRabitz. . Practical Practical Approaches To Construct RSApproaches To Construct RS--HDMR Component FunctionsHDMR Component Functions. . J. Phys. ChemJ. Phys. Chem. . A, A, 106106, 8721, 8721--8733 8733 (2002)(2002)..

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