Método de Newton-Raphson

Alejandra Sahabi Angón LezamaLuis Yair Mendez Perez

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0.Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula

𝑥𝑖+1=𝑥 𝑖

𝑓 (𝑥¿¿ 𝑖)𝑓 ′ (𝑥¿¿ 𝑖)¿

¿

Newton-Raphson

Representación gráfica

Criterio de terminación y estimación de errores

Tiene una velocidad de convergencia expresada por:

𝐸 𝐼+1=0(𝐸𝐼 ¿¿2)¿

Podemos observar que si utilizamos todos los términos de la serie de Taylor se obtendrá un resultado exacto.

Para esta situación

Ejemplo 6.4

Como se dedujo, el método de Newton-Raphson es convergente en forma cuadrática , el error es proporcional al cuadrado del error anterior.

Se evalúan en Xr = 0.56714329

En el ejemplo 6.3, el error inicial fue , el cual se sustituye en la ecuación de error que predice:

Es cercano al error verdadero de 0.06714329.

En la siguiente iteración

Para la tercera iteración:

i xi Xi+1 et0 0 0.5 1001 0.5 0.566311003 11.709290982 0.566311003 0.567143165 0.1467287083 0.567143165 0.56714329 2.21064E-054 0.56714329 0.56714329 5.08968E-13

Finalmente:

Ilustra que el error en el método de Newton-Raphson para este caso, proporcional por un factor de 0.18095, al cuadrado del error de la iteración anterior.

Error 6.3 Error 6.4

0.06714329 0.0582

0.0008323 0.0008158

1.25 x 10¯⁷ 1.25 x 10¯⁷