Ángulos, longitudes y proporcionalidad: su aplicación a la construcción de una tabla

de orientación y al cálculo de la latitud del lugar

MARTA BERINI*

Es una experiencia realizada con un grupo heterogéneo de alumnos y alumnas de 1.° deESO que tenía como finalidad construir una tabla de orientación.Organizamos una salida a la cima de St Pere Màrtir, una montaña cercana al Instituto,desde donde se podía observar toda Barcelona. Habíamos construido en clase deTecnología diversos goniómetros horizontales y también contábamos con los teodolitosdel Centro. Además llevamos una meridiana para observar las sombras de un bastón a lolargo de la mañana y comprobar, como habíamos comentado en días anteriores, que amediodía solar la sombra es la más corta y que indica el Norte. Situando el 0° del gonió-metro en dirección Norte, fuimos midiendo los ángulos de distintos lugares de Barcelonay una vez en el Centro, con ayuda de un plano a escala y escogiendo la escala adecuadaa cada lámina, el alumnado dibujó su tabla de orientación. En clase de dibujo se puedenrealizar diseños para construir diversos tipos de tablas de orientación.También como aplicación de los ángulos y la proporcionalidad, el día del equinoccio de pri-mavera, durante el mediodía solar, es posible dibujar a escala un bastón con su sombra, parapoder medir el ángulo de elevación del Sol que ese día precisamente es la colatitud del lugar.

La experiencia y el trabajo que explico a continuación tiene como finalidad mostrar algu-nas actividades fuera del aula que pueden realizarse con estudiantes de 1.° de ESO y queestán íntimamente ligadas al concepto de ángulo y de escala.

En general, el trabajo con ángulos que se realiza en la Educación Primaria y Secundariase basa en tomar medidas (o en darlas directamente) sobre figuras geométricas regulares oirregulares para intentar que se encuentren regularidades. En esta ponencia intentaré mos-trar otras actividades que se pueden llevar a cabo en el aula y que creo que, al estar con-textualizadas en un entorno próximo al alumnado, provocan un mayor interés en ellas yhace que aumente su capacidad de razonamiento.

Este trabajo se realizó el curso 1999-2000 con un curso normal de 30 alumnos y alumnasde 1.° de ESO en el que fui ayudada por una estudiante del CAP y durante este curso 2000-2001 lo hice con 12 alumnos y alumnas de un curso de estudiantes con deficiencias de apren-dizaje, inmigrantes con distintos grados de conocimiento de nuestras lenguas y algún alum-no de conducta difícil; en este último curso conté con la ayuda de dos alumnos del CAP.

Como actividad introductoria al tema los alumnos y las alumnas tuvieron que respon-der, en general de forma individual, unas fichas de trabajo que están incluidas en un anexo

717X JAEM. Ponencia P82, pp. 717-726

de la Unidad Didáctica «Sol y Tierra» y que sirven para introducir el concepto de «ángulocomo giro» en situaciones próximas al alumnado. Puedo nombrar algunos ejemplos como:piensa en objetos que giren, piensa objetos que puedan realizar un giro completo y otros queno, gira tu cabeza hacia la derecha un cuarto de giro, mira el mando del horno de tu casa yexplica cómo y cuánto gira, piensa cómo se mueve el bombo de la lavadora de tu casa, expli-ca cómo giran las dos manecillas del reloj, una puerta, una noria, etc.

A lo largo de este trabajo es importante hablar de los dos sentidos que tiene un giro yla manera universal de designarlos, así como de que un giro puede ser mayor de 360°. Eneste momento aparece un trabajo muy interesante y que permite una discusión muy pro-ductiva en clase, ya que si queremos saber en qué posición ha quedado un objeto después degirar un ángulo x (mayor de 360°) y el número de vueltas que ha dado, y queremos hacerlocon y sin la calculadora, habrá que realizar unos cálculos que para la mayoría del alumnadono son evidentes. Es un buen ejercicio para ellos el explicar cómo resolverían el problemay, posteriormente, hacer una puesta en común para comentar las diferentes maneras de reso-lución que han encontrado. En nuestro caso aparecieron distintas maneras de resolución:dividir manualmente x por 360 y mirar el cociente y el resto de la división; ir restando 360a x tantas veces como sea posible y mirar el ángulo restante; ir multiplicando 360 por 2, por3, por 4... sin sobrepasar x, restar de x el correspondiente múltiplo de 360, y mirar el resul-tado, hasta finalmente, en el caso de hacer la división de x por 360 con la calculadora, comono aparece el resto sino un cociente con decimales, es necesario multiplicar la parte enterade este cociente por 360 y restárselo a x con lo que habremos hallado la posición final delgiro inicial.

Cuando aparece la noción de ángulo recto y de rectas perpendiculares es necesario tam-bién hablar de horizontalidad y verticalidad ayudándose de un globo terráqueo, una ploma-da y de un nivel e iniciar una discusión sobre todos estos conceptos.

Como aplicación y contextualización de los conceptos que se han estudiado fue muyinteresante realizar una salida fuera del centro escolar para aprender a orientarse y a enten-der cómo se construye una tabla de orientación.

Salida a Sant Pere Màrtir. Construcción de una tabla de orientaciónAntes de realizar la salida es conveniente haber contestado el cuestionario inicial de la uni-dad didáctica «Sol y Tierra» para que reflexionen sobre la posición y la altura del Sol y dela longitud y dirección de la sombra de un bastón en diversos momentos del día, y hacerposteriormente las observaciones necesarias que corroborarán o negarán las afirmacionesque han escrito sobre las preguntas del cuestionario; esto les hará posible orientarse en cual-quier hora del día y sobre todo les permitirá saber dónde está el Norte en todo momento.Para realizar esta actividad necesitaremos una brújula, una meridiana, un goniómetro hori-zontal y un plinto de Tolomeo (aparatos que nosotros construimos en clase de Tecnología).

Cuestionario sobre la unidad didáctica «Sol y Tierra»1. Seguro que has observado que los días que hace Sol tu cuerpo proyecta una sombra

en el suelo. ¿En qué momento es más larga esta sombra, a las 10 de la mañana o almediodía? ¿Sabrías explicar el porqué?

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2. Dibuja sobre el papel la sombra que podría proyectar tu cuerpo en el suelo a las 10 hy después la que proyectaría tu cuerpo a las 12 h (indica cuál sería cada una de lassombras).

3. ¿Sabes por qué punto cardinal (norte, sur, este u oeste) sale el Sol cada mañana?4. Si en este momento miras por la ventana de la clase, ¿sabes hacia qué dirección miras

aproximadamente: norte, sur, este u oeste? ¿Por qué crees que es así?5. Si estuvieras mirando en dirección norte, ¿sabrías situar el resto de los puntos cardi-

nales? ¿Cómo?6. ¿Sabes por qué en España hace más calor en julio que en enero y en cambio en

Argentina pasa lo contrario?Resulta interesante recoger y revisar las respuestas a estas preguntas para poder iniciar

posteriormente el trabajo que hemos de realizar.Como una de las finalidades de esta actividad es que aprendan a orientarse en cualquier

momento del día, uno de los aspectos más importantes que necesitamos asegurar que domi-nen es la manera sencilla y universalmente aceptada: es la que nos dice que hemos de colo-car o bien la mano derecha hacia el Este, o el cogote que dé al Sur, o la mano izquierda quemarque el Oeste o la cara mire hacia el Norte y siempre sabremos la posición del resto delos puntos cardinales.

También será necesario haber observado que en el momento del mediodía solar (la 1 olas 2 de la tarde según la época del año) el Sol está en su punto más alto (lo que podemoscomprobar utilizando un plinto de Tolomeo) y la sombra de nuestro cuerpo nos indica elNorte (lo que podemos comprobar utilizando la brújula).

719ÁNGULOS, LONGITUDES Y PROPORCIONALIDAD: SU APLICACIÓN A LA CONSTRUCCIÓN…

Jordi, Kilian y Rodolfo comprueban que la sombraa las 12 h solares indica el Norte

Pasamos a continuación a reflexionar sobre los pasos previos que tenemos que realizarpara construir una tabla de orientación (es importante mostrarles alguna): señalar el Norte,medir los ángulos (demora) que forman con la dirección Norte las direcciones de los edifi-cios, montañas, iglesias... que queramos situar (lo que podemos hacer con un goniómetrohorizontal); buscar en un plano (mirar a qué escala está dibujado) la distancia que hay desdedonde nos encontramos hasta el objeto de nuestra atención y pasar esta medida a distanciareal, y posteriormente buscar la escala adecuada para poder dibujar todos los objetos sobreun Din A3, Din A4 (u otra medida de lámina).

Cumplidos todos estos requisitos podemos iniciar la salida a la montaña escogida (ennuestro caso la de St Pere Màrtir cercana a nuestro centro) con los aparatos de medidanecesarios: goniómetro horizontal, plinto de Tolomeo, brújula, papel y lápiz.

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Ahlam midiendo la demora de un edificiocon el goniómetro horizontal

Rodolfo midiendo la demora de un edificiocon el goniómetro que hemos construido nosotros

Las dos veces que he hecho esta actividad la he realizado en primavera y alrededor delas 13 h (mediodía solar) lo que nos permite situar el norte con bastante precisión (sin nece-sidad de utilizar la brújula) e indicarlo con el goniómetro horizontal

Una vez hayan medido los ángulos que forman con el norte las direcciones de los pun-tos que situaremos en la tabla de orientación y después de que en clase hayan hecho los cálcu-los para determinar la distancia a la que se encuentran (mediante un mapa a escala) habránde rellenar una tabla como la siguiente:

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Sergi y Jordi miden en un plano la distanciaentre nuestro punto de mira y un edificio

Lugar demora dist. plano dist. real dist. tabla

Sagrada FamiliaTorres OlímpicasMontjuicCamp NouPutxetUniversidadEl Corte InglésLas tres chimeneas

Las principales dificultades aparecen en el momento de decidir qué escala hemos detomar para que la tabla de orientación no sea ni demasiado pequeña ni se salga de la hojaen la que hemos de situar los puntos que hemos calculado.

En clase de Educación Visual y Plástica pueden construirse tablas de orientación sobredistintos materiales y con diferentes diseños lo que permite hacer una exposición de los tra-bajos realizados.

Otra actividad que puede realizarse fuera del aula y que tiene relación con los ángulos,la proporcionalidad aritmética y la proporcionalidad geométrica es la que explico a conti-nuación.

Cálculo de la latitud del lugar el día del equinoccio de primavera. Un interesante trabajo de proporcionalidadEsta actividad se puede realizar tanto el día del equinoccio de primavera como el de otoñoque son los dos únicos días que el día dura exactamente 12 horas en todo el planeta pues losrayos del Sol llegan perpendiculares al eje de rotación de la Tierra pero es imprescindiblehacerlo a las 12 h solares.

Bajamos al patio del Instituto a las 13 h (12 h solares) el 21 de marzo con la finalidadde realizar las medidas necesarias para calcular la latitud de Esplugues.

Los alumnos y las alumnas midieron la altura del poste de la portería de fútbol sala (2,10m) y la sombra de dicho poste (1,80 m) y en clase tuvieron que realizar un dibujo a escalade la situación: dibujaron un ángulo recto y situaron sobre sus catetos la longitud del postey de la sombra, de los que previamente se han calculado las medidas a la escala adecuada.Medimos el ángulo que nos daría la altura del Sol y esta medida la restamos a 90°. El ángu-lo que encontramos es precisamente la latitud del lugar en el que se ha realizado la medida

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Fran y Víctor midiendo la longitudde la sombra del poste de la portería

La mayoría del alumnado tomó la escala 1 cm = 1 m con lo que resulta un triángulomuy pequeño y en el que un pequeño error de medida puede dar un error considerable enla latitud.

Una alumna decidió tomar la escala 3 cm = 1 m (con lo que el triángulo resultante esde mayores medidas) e hizo los cálculos correspondientes, pero cuando quiso explicárselosal resto de la clase, en general no logró que se entendieran lo que me obligó a hacer un tra-bajo de proporcionalidad muy interesante:

1 m = 3 cm1 dm = 3 mmentonces 1,80 m = 1m + 8 dm = 3 cm + 8·3 mm = 3 cm + 2,4 cm = 5,4 cmy 2,10 m = 2 m + 1 dm = 2·3 cm + 3 mm = 6 cm + 3 mm = 6,3 cmComo aún había estudiantes que no lo comprendían tuvimos que realizar más ejemplos

con otras medidas (algunos las resolvieron con datos más complicados como 2,14...) y aque-llos que ya lo habían entendido escogieron escalas diferentes (4 cm = 1 m, 5 cm = 1 m) ycomprobaron que la medida del ángulo que encontraban era la misma

Al dibujar el triángulo correspondiente y medir la altura del Sol el ángulo resultante fuede 50° y al restarlo de 90° obtuvimos que la latitud de Esplugues era aproximadamente de 40°.

723ÁNGULOS, LONGITUDES Y PROPORCIONALIDAD: SU APLICACIÓN A LA CONSTRUCCIÓN…

Resolución gráfica del cálculo de la latitud de Esplugues

Rayos del Sol

40,5°

49,5°

poste

2,10 m = 6, 3 cm

Sombra 1,80 m = 5,4 cm

Realizando los cálculos con la ayuda de la trigonometría (les dije que en 4° de ESOsabrían resolver el problema con una fórmula adecuada y sin necesidad de hacer el gráfico)y de la calculadora obtuvimos la latitud de Esplugues y el resultado fue de 40,60°, medida

que nos permite volver a realizar un trabajo de proporcionalidad para pasarla a grados yminutos (si no queremos hacerlo directamente con la calculadora) con lo que se obtiene 40°36’ (vuelve a aparecer el problema de la proporcionalidad y para que la mayoría del alum-nado lo entienda se ha de hacer un trabajo específico y tomar distintos ejemplos de medi-das de ángulos). Tambien fue interesante hacer una puesta en común de las diferentesmaneras de resolver la cuestión.

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Buscando la latitud de Esplugues en un mapa y en la Enciclopedia vimos que es de 41°20’ lo que permite asegurar que nuestras medidas fueron muy precisas.

En nuestro instituto en aquellos momentos estábamos realizando un proyectoComenius con Finlandia y Portugal que trataba de la influencia que tiene la latitud en lavida de las personas y en una de nuestras reuniones decidimos realizar todos los centros estaactividad el mismo día. La escuela de Kiiminki (Finlandia) nos envió sus medidas y susresultados que comentamos y comprobamos en clase para calcular la latitud de esta ciudad.

Sin la esperanza de que toda la clase lo entendiera, pero con la intención de que se vieraque había una explicación a los cálculos que habían efectuado los alumnos y las alumnas enclase, llevé un Telurium (sistema Sol-Tierra-Luna) al aula para mostrar en grupos reducidosla variación de la posición relativa de los rayos del Sol y del eje de la Tierra a lo largo delaño, y así poder comprobar que el día de los equinoccios el eje de la Tierra y los rayos delSol son perpendiculares y podemos realizar los razonamientos y cálculos que se habíanhecho (aproveché para mostrar el porqué hay diferentes estaciones, para que entendieranpor qué hay día y noche, por qué el día no siempre dura el mismo número de horas, paraque comprobaran por qué no hay eclipses de Sol ni de Luna cada mes...).

Abdel y Jordi miden la altura del Sol a las 12 h solares

725ÁNGULOS, LONGITUDES Y PROPORCIONALIDAD: SU APLICACIÓN A LA CONSTRUCCIÓN…

Cristel y Wences observando el Telurium

A continuación, muestro un esquema en el que pueden comprobarse los razonamientosrealizados para el día de los equinoccios.

Comprobación de que la latitud coincide con el ángulo complementariode la altura del sol a las 12 h solares el día del equinoccio

bastónαA

L

Rayos del Sol

eje de rotación de la Tierra

L = α ⇒ α + A = 90° ⇒ L = 90° – A

Una vez finalizadas todas estas actividades los alumnos y las alumnas tuvieron que rea-lizar un trabajo a partir del guión que les entregué:

Guión para el trabajo sobre la construcción de una tablade orientación y el cálculo de la latitud de EspluguesEl trabajo ha de presentarse con una lámina en la que esté dibujada la tabla de orientación.Recuerda que este trabajo es común para la asignatura de Lengua y de Matemáticas. Se valo-rará la claridad de la redacción, la presentación, la ortografía y la sintaxis, los razonamien-tos matemáticos y la validez de los resultados.

1. Explica qué es una tabla de orientación, dónde se coloca y para qué se utiliza.2. Di qué aparatos has utilizado para construir la tabla de orientación y para qué sirve

cada uno de ellos.3. Comenta cómo fue la salida que hicimos a St Pere Màrtir, qué hicimos para iniciar

la actividad, qué medidas tuvimos que tomar y con qué aparatos de medida.4. Una vez en el Instituto, explica qué medidas tuviste que tomar y cómo calculaste la

longitud de la distancia entre nuestro punto de mira y el edificio para situarlo en latabla de orientación. Ha de quedar claro qué escala has tomado y por qué.

5. Di qué es el equinoccio de primavera y de otoño y qué sucede ese día con relación ala duración del día y de la noche.

6. Explica qué es la latitud y la longitud de un punto de la Tierra.7. Explica las medidas que tomamos para poder calcular la latitud de Esplugues.8. Haz a escala el gráfico que nos permite medir el ángulo de elevación del Sol y di

cómo se calcula la latitud de Esplugues el día del equinoccio. Haz los cálculos corres-pondientes con los datos que hemos medido y di cual es la latitud de Esplugues.

En la valoración que pido que hagan mis alumnos y alumnas sobre el funcionamientode las clases de matemáticas al finalizar el curso, esta actividad fue la más valorada y en laprueba que realizaron sobre el tema comprobé que la mayor parte del alumnado supo dibu-jar una tabla de orientación con otros datos que les di y también que habían aprendido aorientarse a partir de la posición del Sol o de la dirección de las sombras.

Durante la semana de esquí que se organiza cada curso en mi centro aproveché paraexplicar la manera de orientarse por la noche por la posición de la Osa Mayor, de maneraque en principio espero y deseo que mis alumnos y mis alumnas «no pierdan nunca el Norte».

BibliografíaBERINI, M. y C. LLADÓ (1990): «Sol y Tierra». Unidad Didáctica que forma parte del Proyecto

«Medida y Realidad» seleccionado en el Concurso Nacional de Material Didáctico (BOE n.° 51,1/3/90).

BOERO, P.: Campi semantici nell’insegnamento-aprendimento della matematica, Documento presentadoen el Seminario Nazionali di Recerca in Didattica della Matematica, Pisa.

BOERO, P. (1986): Insegnare matematica nella scuola di tutti, Fabbri Editori, Milano.GRUP ZERO (1988): El Dia i la Nit, Ed. Serpa, Barcelona.INSTITUT «JOANOT MARTORELL» (1980): Esplugues. Una població a cavall del Barcelonès i del

Baix Llobregat, Material experimental, ICE UAB, Barcelona.JORBA, J. y N. SANTMARTÍ (1994): Módulo IV, Diversificación Curricular, MEC, Madrid. NOVAK, J.D. y D.B. GOWIN (1988): Aprendiendo a aprender, Ed. Martínez Roca, Barcelona.

Notas* IES Joanot Martorell, Esplugues (Barcelona). FEEMCAT.

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