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Ángulos y Triángulos
Integrantes: Felipe Lara
Cristopher Oyarzún
Mauricio Vásquez
Asignatura: Álgebra
Profesor: Orlando Torres
mmm... ojalá
te sirva este
módulo
ÁngulosPara aprender sobre los ángulos primero tenemos que tener claros estos conceptos, esperemos que este cuadro te ayude
Nombre del
Conjunto
Punto Recta Segmento Rayo Plano
Representación
P
M N M N M N
Símbolo
P MN MN MN P
Se lee Punto P Recta MN
Recta NM
Segmento MN
Segmento NM
Rayo MN Plano P
Dimensión No tiene Una: Largo
(Longitud)
Una: Largo
(Longitud)
Una: Largo
(Longitud)
Dos: Largo y
Ancho
Ahora si podemos comenzar. Un ángulo es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Así como muestra la figura
Ángulos
Este es el que se conoce como Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de
estas partes constituyen un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’)
que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales
(60") correspondiendo cada una de estas partes a un
segundo.
ÁngulosSistema de Medición de ángulos
“Con esfuerzo y
constancia lograras
aprender los contenidos”
Tipos de Ángulos
Ángulos
Tipo de ángulo Rango
Ángulo Agudo
0º 90º
Ángulo Recto
90º =
Ángulos
Ángulo Extendido
180º =
Ángulo Obtuso
0º 90º
Ángulo Convexo
180º 360º
Ángulos
Ángulo Completo
360º =
Haber muchachos,
después de esto nos
vamos a meter en la
materia de la
clasificación de
ángulos así que
prepárense
Ángulos
Ángulos Adyacentes
Clasificación de ángulos
• Son ángulos que tienen un lado común y el mismo
vértice. BAC es adyacente con DAC
Ángulos
Ángulos Opuestos por el vértice
Clasificación de ángulos
• Dos líneas que se interceptan generan ángulos
opuestos por el vértice. - Son ángulos no
adyacentes. 1, 2, 3 y 4
• Son ángulos congruentes:
1 = 2 y 3 = 4
Ángulos
Ángulos Complementarios
Clasificación de ángulos
• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya
particularidad es que suman 90°. +=90º
• El BAC es adyacente al DAC y viceversa
Ángulos
Ángulos Suplementarios
Clasificación de ángulos
• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya
particularidad es que suman 180°. +=180º
• El BAC es adyacente al DAC y viceversa
Ángulos
Llegó la hora de hacer el primer quiz, esperemos que estés
listo después de todo lo aprendido
Va a ser un quiz de 3 preguntas simples con alternativas
BUENA SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1) ¿Qué tipo de ángulo sería este?
a) Obtuso
b) Convexo
c) Agudo
d) Extendido
QUIZ 1
ÁngulosQUIZ 1
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Pasa a la siguiente preguntaVuelve si quieres
ÁngulosQUIZ 1
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
Ángulos
2) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 21º ?
a) 159º
b) 69º
c) 339º
d) 29º
QUIZ 1
ÁngulosQUIZ 1
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Pasa a la siguiente preguntaVuelve si quieres
ÁngulosQUIZ 1
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
Ángulos
3) En los siguientes pares de ángulos cuales son
opuestos por el vértice
a) 1 y 2
b) 1 y 3
c) 2 y 3
d) 4 y 1
QUIZ 1
ÁngulosQUIZ 1
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue
ÁngulosQUIZ 1
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
ÁngulosQUIZ 1
Calificaciones
3/3=Aprendiste MUY BIEN!!!!!!!!
2/3=Estas bien pero falta repasar
1/3=Necesitas más estudio
0/3= ESTUDIA!!!!!!!!!!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
¿Qué pasa si se intersectan paralelascon una recta llamada transversal?
Si quieres saber mira la siguiente
página
Ángulos
Ángulos entre paralelas
• Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera
determinan ocho ángulos.
Ángulos
Ángulos entre paralelas
• Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulos:
Ángulos interiores y exteriores
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos
Ángulos conjugados
Ángulos
• Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre
las rectas paralelas se llaman ángulos interiores.
Ángulos interiores
Ángulos
Los ángulos que no son interiores se denominan
ángulos exteriores.
Ángulos exteriores
Ángulos
• Son los que están al mismo lado de las paralelas y al
mismo lado de la transversal
Ángulos correspondientes
Ángulos
• Son los que están entre las paralelas a distinto lado de
ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos internos
Ángulos
• Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de
ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos
Los ángulos
correspondientes son
iguales entre sí.
Los ángulos alternos
internos son iguales entre
sí.
Los ángulos alternos
externos son iguales entre
sí.
Y los ya estudiados
opuestos por el vértice,
también
Ángulos
• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos conjugados internos.
Ángulos conjugados internos
Ángulos
• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos conjugados externos.
Ángulos conjugados externos
A ver A ver A ver..., que
crees tú que pasa con los
conjugados internos y
externos.
1) Suman 90°
2) Son rectos
3) Suman 180°
4) Son agudos
NO NO NO NO NO!!!
DEBES DEDUCIR MEJOR,
ASI ESTARÁS MEJOR
PREPARADO PARA LOS
QUIZESITOS
Vuelve a la pregunta anterior
Los ángulos
conjugados internos
entre paralelas son
suplementariosy
también los ángulos
conjugados internos
entre paralelas
BIEN!!!!!sigue avazando
Vuelve a la pregunta anterior Pasa a ver como te fue
QUIZ 2
1) En los siguientes pares de ángulos cuales son
Interiores:
a) 1 y 2
b) 3 y 4
c) 1 y 8
d) 7 y 2
Ángulos
Llegó la hora de hacer el segundo Quiz. Como ya
estas familiarizado no hay mucho que decir, solo:
BUENA SUERTE!!!!!!
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue
ÁngulosQUIZ 2
2) En los siguientes pares de ángulos cuales son
Correspondientes:
a) 5 y 6
b) 3 y 4
c) 5 y 8
d) 2 y 6
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente
ÁngulosQUIZ 2
3) En los siguientes pares de ángulos cuales son
Conjugados externos:
a) 1 y 7
b) 5 y 6
c) 4 y 8
d) 2 y 5
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente
ÁngulosVamos a hacer varios ejercicio simples en el que tendrás que
descubrir los diferentes ángulos de las sig. figuras
3 2 1
5
4
1 = 67 º
2 =
3 =
4 =
5 =
Ángulos
3 1
2
4
1 = 80 º
2 =
3 =
4 =
Ángulos
3 1
4 2
6
5
1 = 55 º
2 = 120º
3 =
4 =
5 = 125º
6 =
Ángulos
3 1 2
4 6 5
1 =
2 =
3 =
4 = 63º
5 =
6 = 69º
Ángulos
5 1
2
4
3
1 = 111º
2 =
3 =
4 =
5 =
6 =
Ángulos
Muy Bien
¡¡¡¡¡¡¡¡Se Acabó!!!!!!!!
Espero que te hayan servido
esos ejercicios para practicar.
Ahora se viene la unidad de
TRIÁNGULOS
Esperemos que estés listo
SUERTE ; )
Triángulos
Comenzaremos con el tema de
los triángulos.
Aquí estudiaremos a como
clasificarlos, sus elementos
primarios y secundarios, también
haremos algunos quizes.
TriángulosLo primero que veremos será que son los triángulos y sus
partes, para esto nos ayudará la siguiente imagen.
Este triángulo nos dice las siguientes
cosas:
Triángulo ABC:
Lados: BC=a; AC=b; AB=c
Ángulos: CAB ; ABC ; BCA
Según sus lados:
1) Equilátero AB BC AC
TriángulosClasificación de los triángulos
2) Isósceles AB AC
Según sus lados:
TriángulosClasificación de los triángulos
3) Escaleno AB ≠ BC ≠ AC
Según sus lados:
TriángulosClasificación de los triángulos
Según sus ángulos:
4) Acutángulo: Todos sus ángulos interiores son agudos
(miden menos de 90º)
TriángulosClasificación de los triángulos
5) Rectángulo: 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios
Según sus ángulos:
TriángulosClasificación de los triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos:
6) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y dos agudos
Triángulos
Triángulos
Propiedades de todo Triángulo
II. Los tres ángulos exteriores suman en conjunto 360º.
’ + ’ + ’ = 360º
Clasificación de los triángulos
Triángulos
Propiedades de todo Triángulo
I. Los tres ángulos interiores suman en conjunto 180º.
+ + = 180º
Clasificación de los triángulos
En un triángulo es posible construir
diversos segmentos de gran importancia para su
estudio, los que son llamados comúnmente
“elementos secundarios”.
Si , si ,si si,si si........ Pero también cabe mencionar que cada uno de estos
elementos posee propiedades especiales y generan a su vez nuevos elementos.
Elementos secundarios de un triángulo
Segmento perpendicular que une un
vértice del triángulo con el lado
opuesto.
En un triángulo existen tres alturas y
la intersección entre ellas recibe el
nombre de Ortocentro.
Según el tipo de triángulo, el
ortocentro esta fuera, dentro o sobre
un lado del triángulo.
Altura
¿Cómo se dibuja
una altura?. Házme
click
Una altura, cuyo símbolo es
h, es el trazo perpendicular
que une un lado del triángulo
con el vértice opuesto.
La altura se traza con una
escuadra, para lograr una
mayor precisión. Ponemos un
cateto de ella sobre el lado y
el otro cateto debe pasar por
el vértice opuesto.
El punto donde se intersectan las alturas se llama ortocentro.
En un triángulo
rectángulo cada
cateto es altura del
otro, y el ortocentro
es el vértice del
ángulo recto.
Elementos secundarios de un triángulo
Rectas perpendiculares a cada lado
lado del triángulo en su punto
medio.
Su intersección, llamado
circuncentro, es un punto que
equidista de los vértices del triángulo
y es el centro de la circunferencia
circunscrita.
Mediatrices o Simetrales
¿Cómo se dibuja
una simetral?.
Házme click
La simetral es una recta
perpendicular que dimidia a
un trazo. Se obtiene colocando la
punta metálica del compás en
ambos extremos del trazo ( P y Q
) y, con la misma medida,
formamos un punto arriba y otro
abajo de él. La recta que une los
puntos formados (R y S) es la
simetral.
El símbolo de simetral es una s y
el nombre del lado.
Elementos secundarios de un triángulo
Segmentos que dividen al ángulo del
vértice en dos partes iguales. Las
bisectrices del triángulo se
intersectan en un punto del triángulo
llamado Incentro, y que es el centro
de la circunferencia inscrita.
Bisectrices
¿Cómo se dibuja
una bizectriz?.
Házme click
Utilizaremos el compás. Apoyamos la punta de metal en el vértice ( I ) y hacemos un arco con una medida cualquiera. Obtenemos 2 puntos R y T. Aplicamos la medida anterior -u otra mayor que la mitad del arco- desde T y desde R para formar un punto ( S ). Unimos el vértice con ese punto y obtenemos IS = bisectriz. Así:
Las 3 bisectrices de un triángulo se
intersectan en un punto llamado
incentro. El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo.
Elementos secundarios de un triángulo
Las medianas son las rectas que unen
los vértices del triángulo con los
puntos medios de los lados opuestos.
Se cortan en el Baricentro o Centro
de Gravedad, que es el centro
geométrico del triángulo. El
Baricentro se encuentra a 2/3 del
vértice y 1/3 del punto medio del
lado opuesto.
Transversales de gravedad y Medianas
¿Cómo se dibuja
una mediana?.
Házme click
Para dibujar esto no hay mucha
dificultad.
El punto donde se intersectan las tres transversales se llama
Centro de Gravedad del triángulo.
Tranversal de
Gravedad
Las medianas
quedan paralelas a
los lados.
Son los segmentos
que unen los
puntos medios del
triángulo.
Medianas
TriángulosQUIZ “Larguito”
Llegó la hora de hacer el Primer Quiz Larguito.
Como ya estas familiarizado con los Quiz anteriores
no hay mucho que decir, solo: BUENA
SUERTE!!!!!!
1) ¿Según sus lados qué Triángulo es este si: AB AC?
a) Equilátero
b) Escaleno
c) Isósceles
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
QUIZ “Larguito”
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta
QUIZ “Larguito”
TriángulosQUIZ “Larguito”
2) ¿Según sus ángulos qué Triángulo es este si tiene un
ángulo obtuso?
a) Acutángulo
b) Obtusángulo
c) Rectángulo
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
QUIZ “Larguito”
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
QUIZ “Larguito”
Pasa a la otra pregunta
TriángulosQUIZ “Larguito”
3) Encuentra el dato que falta:
a) 15º
b) 105º
c) 120º
d) 45º
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
QUIZ “Larguito”
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
QUIZ “Larguito”
Pasa a la otra pregunta
TriángulosQUIZ “Larguito”
4) Encuentra el dato que falta:
a) 40º
b) 120º
c) 60º
d) 90º
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
QUIZ “Larguito”
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
QUIZ “Larguito”
Pasa a la otra pregunta
TriángulosQUIZ “Larguito”
5) Descubre el valor de X
a) 120º
b) 45º
c) 50º
d) 30º
ÁngulosQUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior
QUIZ “Larguito”
ÁngulosQUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
QUIZ “Larguito”
Continuara ...
