LICEO PARTICULAR LOS ANDES Matemática/2°Medio A

Cristina Antilef Robarte

Guía de Actividades Nº2 : “Números Racionales e Irracionales”

Nombre: Curso: 2ºMedio A Fecha de entrega:

Unidad 1 Objetivo: Caracterizar el conjunto de los números racionales

Transformar decimales a fracción y viceversaResolver operaciones con números racionales

Caracterizar el conjunto de los números irracionales Reconocer el conjunto de los números reales

Instrucciones: 1.Lea atentamente los contenidos e instrucciones de cada ítem y de cada ejercicio.2.NO es necesario que imprimas esta guía, la puedes trabajar en tu cuaderno.3. Para poder llevar un registro del trabajo realizado, recuerda guardar muy bien el

material que se te ha entregado, se recomienda para ello que armes una carpeta o desarrolles las guías en tu cuaderno, ya que al momento de reintegrarte al establecimiento se te pedirá que las entregues.

4. Será tu responsabilidad presentar todo el material que se ha puesto a tu disposición en ésta asignatura.

5. Si tienes alguna duda puedes contáctame al número telefónico +56978003744 o al correo cantileflla@gmail.com. Es muy importante que consideres que solo responderé dudas respecto del material entregado para la asignatura, los demás temas debes conversarlos con tu profesor o profesora jefe.

6. Una vez que termines tus guías de trabajo deberás fotografiar tu avance y enviarla al número que se fue entregado anteriormente: +56978003744.

RECUERDA AÚN NO ESTÁS DE VACACIONES Y EN ÉSTE MOMENTO ES CUANDO DEBES DAR LO MEJOR DE TI .

Introducción a los Números Racionales: https://www.youtube.com/watch?v=kYyDc0XRUeg

TEMA 1: NUMEROS RACIONALES

¿Qué conjuntos conoces?

Los Números Naturales (N) se representan por N = {1, 2, 3, …}. Estos son los números que utilizamos para contar elementos.

Los Números Enteros (Z) se representan por Z= {…–2, –1, 0, 1, 2…}. Este conjunto está compuesto por los números negativos, el cero y los números positivos (o Naturales)

Luego, ¿Cuál es definición del conjunto de Números Racionales?

¿Pero, qué significa? En palabras simples:

“Los números racionales, son todos aquellos números que puedo expresar como una fracción, donde tanto el numerador (a) como denominador (b) son números enteros, y donde siempre el denominador (b) debe ser distinto de cero”

Responde: ¿Por qué b o el denominador de una fracción debe ser distinto de cero?

¿QUÉ NÚMEROS SON RACIONALES?

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1. Las fracciones. Obviamente por definición todas son racionales [Siempre y cuando el numerador y denominador sean números enteros y el denominador distinto de cero]

Ejemplo : 13, −5

11, 5 1

2

¿Cómo se llama el número 512 ? ¿Cómo se podía transformar a fracción impropia?

2. Los números enteros. Pues puedo escribirlos como fracción dividiéndolos por 1.Ejemplo:

2 es racional pues lo puedo escribir como 21

-3 es racional pues lo puedo escribir como −31

0 es racional pues lo puedo escribir como 01

3. Las raíces cuadradas exactas. Pues estas dan como resultado números enteros y ya sabemos que todos lo enteros son racionales.Ejemplo:

√16= 4 ó √16= -4 ambos resultados son números enteros y por lo tanto también racionales.

√100= 10 ó √100= -10

4. Los decimales finitos. Pues se pueden transformar a fracción.

Ejemplo: Transformar 1,52 a fracción

1,52=152100

=152:4

100: 4 =3825

Pasos:1º Escribo el número completo sin coma2º Lo divido por una potencia de 10, o sea escribo un 1 y tantos ceros como cifras decimales

tenga el número.3º Si es posible, simplifico.

Si aún tienes dudas revisa: https://www.youtube.com/watch?v=a2QefNNcLEI

5. Los decimales infinitos periódicos. Pues también se puede transformar a fracción.

Se llaman así porque su parte decimal se repite infinitamente y se pueden abreviar escribiendo una “rayita” sobre estos números.Ejemplo:

4,77777777777777…. = 4 , 7 el 7 corresponde al Periodo del número decimal.

12,45454545454545… = 12 , 45 el 45 corresponde al Periodo del número decimal.

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¿Cómo se transforman a fracción estos números?

Ejemplo: Transformar 3 , 2 y 0 ,45 a fracción

3 , 2=32−39

=299

0 , 45=45−099

=4599

=45: 9

99: 9 =511

Pasos:1º En el numerador escribo el número completo sin coma menos la parte entera del decimal.2º Lo divido por tantos 9 como cifras tenga el periodo.3º Resuelvo la resta del numerador4º Si es posible, simplifico la fracción.

Si aún tienes dudas revisa: https://www.youtube.com/watch?v=f5l_lpb5nUo

6. Los decimales infinitos semiperiódicos. Pues también se pueden transformar a fracción.

Se llaman así porque en su parte decimal tienen un anteperiodo (número que no se repite después de la coma) y luego tienen un periodo o sea un número que se repite infinitamente y se puede abreviar escribiendo una “rayita” sobre el periodo.

Ejemplo:

4,437777777777777…. = 4,43 7 el 43 corresponde al Anteperiodo y 7 al Periodo.

12,345454545454545… = 12,3 45 el 3 corresponde al Anteperiodo y el 45 al Periodo.

¿Cómo se transforman a fracción estos números?

Ejemplo: Transformar 1,3 2 y 0,7 45 a fracción

1,13 2=1132−113900

=1019900 0,7 45=745−7

990=738

990=738: 18

990 :18 =4155

Pasos:1º En el numerador escribo el número completo sin coma menos todo lo que no está bajo el

periodo (O sea resta la parte decimal y anteperiodo)2º Lo divido y escribo tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga el

anteperiodo.3º Resuelvo la resta del numerador4º Si es posible, simplifico la fracción.

Si aún tienes dudas revisa: https://www.youtube.com/watch?v=IJm0Kk2vjyI

RESUMEN:

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ACTIVIDADES

1. Anota si el número Pertenece al conjunto numérico, en caso contrario anota que significa No Pertenece.

a) 2,5 ____ Z b) 125 ____ N c) -4 ____ N

d) −27 ____ Z e) 4,2 ____ Q f) −2 , 5 ____ Q

2. Observa el siguiente diagrama. Luego, ubica los elementos en el menor conjunto numérico al que corresponda.

Q : Racionales Z: Enteros N: Naturales

3. Representa los siguientes números decimales como una fracción e identifica a qué tipo de decimal corresponde.

a) 3,2 5 = b) 8,35353535 … =

c) 6,4 = d) 9 , 9 =

4. Desarrolla los ítems 1, 2 y 3 de la página 5 de tu Cuaderno de Ejercicios. El ítem 1 y 3 puedes desarrollarlos en tu Cuaderno de Ejercicios (libro delgado) o copiar en tu cuaderno. Pero el ítem 2 si o sí debe ir desarrollado en tu cuaderno.

5. Desarrolla los ítems 1 y 2 de la página 6 de tu Cuaderno de Ejercicios. Puedes hacer el desarrollo en tu Cuaderno de Ejercicios (libro delgado) o copiar en tu cuaderno.

Ayuda: En el ítem 1 utiliza una calculadora dividiendo el numerador con respecto al denominador.

Ejemplo: 53⟹5: 3=1,666666 …=1 ,6

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TEMA 2: SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

1. Resuelve las siguientes sumas o resta de fracciones con igual denominador.

SUMA O RESTAS CON IGUAL DENOMINADORRecuerda: 1° Se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.2° Simplifica el resultado, si es posible.Ejemplo:

−52

+ 92=−5+9

2=4

2=2

a)

143

+103

+ 43=

b)

−14

+−44

=

c)

−52

+ 72=

d)

−15

+−45

+ 85=

2. Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los siguientes conjuntos de números.

¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=FiopqzCb2LI

Considera dividir por los Números Primos: 2 – 3 – 5 – 7 - 11 – 13 - 17- 19 - 23 … Pasos:1º Buscar un número primo que divida a todos los números a la vez, sino a dos de ellos o al menos uno de ellos.2º Dividir por el número primo a todos aquellos que sean divisibles por él (o sea que el resto sea cero). Los números que no divida de forma exacta se bajan tal cual.3º Y así sucesivamente, hasta que todos los resultados sean 1.4º Se multiplican todos los números primos utilizados. Así encontrarás el m.c.m.

a) mcm(3,4,12) b) mcm (2,12,20)

mcm(3,4,12) = 12

b) mcm(36, 10) d) mcm(30,45,5)

3 - 1 - 3 : 32 23=12

1 - 1 - 1

3 - 2 - 6 : 2

: 23 - 4 - 12

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3. Resuelve las siguientes sumas y restas con distintos denominador. Revisa el recuadro con atención pues existen al menos dos formas para resolver estas operaciones.

SUMA O RESTAS CON DISTINTO DENOMINADORFORMA 11° Se calcula el mínimo común múltiplo entre los denominadores (con la tablita)2° Se divide el mcm por cada denominador, y el resultado se multiplica por el numerador.3° Se suman o restan los numeradores resultantes y se conserva el denominador.

Ejemplo: −5∙2

4+1∙ 1

8=−10+1

8=−9

8

¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=lchNKwcuojM

FORMA 21° Se multiplican los denominadores y se escribe como denominador común.2° Se divide el denominador común por cada denominador, y el resultado se multiplica por el numerador.3° Se suman o restan los numeradores resultantes y se conserva el denominador.

Ejemplo:−54

+ 18=−5 ∙ 8+1∙ 4

32=−40+4

32=−36 :4

32: 4 =−98

¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=alKGXlG_TCE

¿Cuál es la diferencia entre una u otra forma?Pues cuando usamos la Forma 1 calculando el m.c.m el resultado que obtenemos está, generalmente, más simplificado. En cambio, en la Forma 2 debemos considerar simplificar, siempre. Pero no importa cual usen siempre llegarán al mismo resultado.

a)45+ 1

20=¿ b)

−512

+ 36=¿

c) 3 13+4 1

2=¿ d)

110

+ 1100

+ 11000

=¿

e)119

+−418

+ 13=¿ f)

45− 1

10−3

7=¿

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4. Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales.

Estrategia: Cuando resuelves sumas o restas de números racionales que involucran números decimales y fraccionarios a la vez, se recomienda pasar los números decimales a fracción. Sobre todo si estos son infinitos periódicos o semiperiódicos.

Revisa el siguiente ejemplo.23+1 , 2−0,5=¿

23+ 11

9−1

2=12+22−9

18=25

18

1 ,2=12−19

=119

0,5= 510

=12

mcm(2, 3, 9) = 18

a) 0 ,14+0 ,3=¿ b)45−0,8=¿

c)23+1 , 5−0 ,3=¿ d)

13−0 ,25+1=¿

TEMA 3: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones, pero antes revisa la información del recuadro.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESRecuerda: 1° Siempre simplifica, si es posible.2° Multiplica numerador con numerador3° Multiplica denominador con denominador.Ejemplo:

No olvides la regla de los signos.¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=FqVhGXmvTwg

a)17

∙ 12=¿ c)

−45

∙ 36=¿

b) −20

3∙−3

10=¿ d)

−12

∙ 24

∙ 23=¿

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2. Resuelve las siguientes divisiones, pero antes revisa la información de los recuadros.

DIVISIÓN DE FRACCIONESRecuerda: 1° Se invierte la fracción correspondiente al divisor y se transforma en multiplicación.2° Multiplica numerador con numerador3° Multiplica denominador con denominador.4° Se simplifica si es posible.Ejemplo:

No olvides la regla de los signos

a)17

: 12=¿ c)

−42

: 36=¿

b)−23

: −310

=¿ d) −12

: 24=¿

DIVISIÓN DE FRACCIONES (OTRA FORMA)Recuerda: 1° Se multiplican los extremos con los extremos.2° Se multiplican los medios con los medios.3° Si es posible, se simplifica.

Ejemplo:

¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=NOPXC2-W6U0

e)1317

=¿f)

115

−15

=¿

3. Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales.

Estrategia: Cuando resuelves multiplicaciones o divisiones de números racionales que involucran números decimales y fraccionarios a la vez. Se recomienda pasar los números decimales a fracción. Sobre todo si estos son infinitos periódicos o semiperiódicos.

Ejemplo:

23

∙ 1, 2 :0,5=¿

¿ 23

∙ 119

: 12

¿ 23

∙ 119

∙ 21 Se convierte la división en multiplicación invirtiendo la fracción.

1 ,2=12−19

=119

0,5= 510

=12

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¿ 4427 Se multiplican todos los numeradores y denominadores respectivamente.

a)14

∙1,15=¿ b)−18

:1,7=¿

c)34

∙1 ,5 :0 ,7=¿ d)18

:0,25 ∙1=¿

Para más información revisa, la materia de Matemática Primero Medio en:

https://sites.google.com/mathema.academy/wwwmathemaacademy/matem%C3%A1tica

TEMA 4: NÚMEROS IRRACIONALES

¿Cuáles son los números irracionales?

Son todos aquellos números que a diferencia de los racionales NO se pueden escribir como fracción y que corresponden a decimales infinitos no periódicos.

Se denotan con la letra I o Q*

1. Decimales infinitos No periódicos: Son aquellos números infinitos en los cuales no se repite ninguna cifra infinitamente.

Ejemplo: 3,47852198653907…. 768,4179839641331…

2. Raíces no exactas: Son aquellas cuyos resultados no son racionales.

Ejemplo: √7≈ 2,64575131… √20 ≈ 4,47213595 … 3√4 ≈1,587401052 …

3. Números especiales. Estos números son utilizados en matemática en fórmulas y cada uno de ellos se denota con una letra griega. Estos son:π=3,14159265359 … (Pi)

φ=1,6180339887 … (Phi, “Fi”; también llamado “Número Áureo”)

e=2,71828182845 … (Número de Euler)

¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=dylOlnnL5FI

ACTIVIDADES1. Desarrolla los ítems 4 y 5 de la página 6 de tu Cuaderno de Ejercicios. Puedes hacer el

desarrollo en tu Cuaderno de Ejercicios (libro delgado) o copiar en tu cuaderno.

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2. Marca con una X todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen los siguientes elementos. Recuerda:

N: Naturales Z: Enteros Q: Racionales I: Irracionales

3. Resuelve las siguientes operaciones y clasifica los números en racionales o irracionales. (Ayúdate con una calculadora)

TEMA 5: NÚMEROS REALES

¿Cuál es el conjunto de los Números Reales?

El conjunto de los Números Reales esta compuesto por el conjunto de los Números Racionales y por el conjunto de los Números Irracionales.

R = Q I

“Los Reales son la unión de los Racionales con los Irracionales”

Para más información sobre los Reales:https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQhttps://www.youtube.com/watch?v=7ndKbTX1Vkg

Responde:1. ¿Qué elementos tienen en común los racionales y los irracionales?

2. ¿Qué conjuntos componen los racionales

3. ¿Qué elementos componen los irracionales?

4. ¿Existirá un conjunto más grande que el de los Números Reales?