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Números índices
Tema V 200
TEMA V: NUMEROS INDICES¡Error! Marcador no definido.
V.1.- Introducción, concepto y clasificación
V.2.- Números índices simples. Definición y propiedades
V.3.- Números índices complejos
V.3.1.- Números índices complejos sin ponderar
V.3.2.- Números índices complejos ponderados
V.3.2.1.- Índice de Laspeyres
V.3.2.2.- Índice de Paasche
V.3.2.3.- Índice de Fisher
V.4.- Índices complejos ponderados de precios y cantidades
V.5.- Cambio de base y enlace de series temporales
V.6.- El problema de la deflación de series temporales
Anexo V.1.- Índices Funcionales
Anexo V.2.- Elaboración de un número índice
Anexo V.3.- Participación y repercusión
Anexo V.4.- Algunos índices elaborados en España
ESTADISTÍCA I
Tema V 201
1.- Introducción, concepto y clasificación
Generalmente las magnitudes socioeconómicas varían en el
espacio y/ó en el tiempo y normalmente surge la necesidad de
hacer comparaciones en función del tiempo y/ó el espacio,
tanto por separado como por grupos o conjunto de las mismas.
Con el fin de poder realizar estas comparaciones es necesario
elaborar series de indicadores económicos, siendo los números
índices uno de ellos.
En síntesis podemos decir que los números índices constituyen
una técnica para analizar y comparar un conjunto de datos en
distintos momentos del tiempo y/ó del espacio.
Los números índices pueden tener distinta naturaleza: A)
NATURALEZA ESTADISTICA, cuando se obtienen sin tener en cuenta
las posibles relaciones funcionales de las magnitudes en
estudio, y B) NATURALEZA FUNCIONAL, cuando se obtienen
suponiendo una relación funcional entre los valores de las
variables y su entorno. En este tema nos centraremos en los
números índices de naturaleza estadística y comentaremos los
de naturaleza funcional en un anexo.
Mediante los números índices se pretende estudiar las
variaciones de un fenómeno complejo por medio de una expresión
que permita comparar dos o más situaciones distintas en el
tiempo y/ó el espacio.
Números índices
Tema V 202
La teoría de los números índices se ha desarrollado,
fundamentalmente, para el estudio de las variaciones de
precios, tratando de medir el nivel general de precios e
inversamente, el poder adquisitivo del dinero. Sin embargo, la
aplicabilidad de estos indicadores no se limita al estudio de
los precios, utilizándose en todos los campos de la actividad
humana que se pueden observar y cuantificar estadísticamente.
En economía tienen un gran empleo, existiendo números índice
de salarios, producción, precios, comercio exterior, etc.
En resumen, podemos decir que un número índice, indica,
mediante sus variaciones, los cambios de una magnitud que no
es susceptible de medición exacta en sí misma, ni de una
evaluación directa en la práctica.
Atendiendo a la naturaleza estadística, podemos establecer la
siguiente clasificación de los números índice:
�� �SIMPLES �� � �� �ARITMETICA � �� �MEDIA SIMPLE �GEOMETRICA NUMEROS � �SIN PONDERAR � �ARMONICA � � � �� INDICE � � �MEDIA AGREGATIVA SIMPLE � � �� �COMPLEJOS � �� � � �LASPEYRES � � �PAASCHE � �PONDERADOS �EDGEWORTH � � �FISHER �� �� ��
V.2.- Números Índices simples. Definición y propiedades.
ESTADISTÍCA I
Tema V 203
Los números índices simples se refieren a un solo artículo o
concepto, lo cual se traduce a trabajar con una variable
unidimensional. Son simples relaciones o porcentajes entre los
valores de un artículo o concepto correspondientes a dos
épocas o lugares que desean compararse. La comparación se
realiza entre el valor correspondiente a un periodo fijo
(periodo base) y el valor alcanzado por la magnitud en
cualquier otro momento t.
Formalicemos el concepto. Dada una serie temporal {Ht}, los
números índices se obtienen dividiendo cada uno de los valores
de la variable en cada momento por el valor que tomó la
variable en el instante de referencia, denominado periodo
base.
Definimos el índice de la magnitud H y lo denotamos por It/0(H)
a:
Siendo: Ht el valor de la variable en el momento t.
H0 el valor de la variable en el momento 0.
El índice así definido nos da el tanto por uno en que se ha
modificado la magnitud H desde el periodo 0 al periodo t. Por
ejemplo, si
H
H = (H)I0
tt/0
Números índices
Tema V 204
quiere decir que por cada unidad de la variable H que existía
en el instante 0 (periodo base), en el instante t existen 1.5
unidades.
Normalmente se utiliza el índice en términos porcentuales:
En este caso obtenemos el tanto por ciento.
Realmente, lo que hacemos al hallar el número índice es un
cambio de variable, pasamos de la magnitud H a la magnitud
I(H) y por tanto todos los estadísticos que definamos para H,
estarán definidos para I(H) y viceversa.
La variación porcentual que presenta la magnitud H desde el
instante 0, al actual (t), la denominamos incremento del
índice y lo expresamos:
Si ÄIt/0 (H) = 20 significa que la magnitud H, desde el
1.5 = H
H = (H)I0
tt/0
100 x H
H = (H)I0
tt/0
100 - (H)I =
= 100 - 100 x HH = 100 x
HH - H = (H)I
t/0
0
t
0
0tt/0∆
ESTADISTÍCA I
Tema V 205
instante 0 al t, se ha incrementado en un 20%.
Algunas de las propiedades que presentan los números índices
simples se enumeran a continuación.
1ª.-Propiedad circular
A) Consideramos tres instantes del tiempo (0, t', t) los cuales
verifican la relación: 0 < t' < t.
B) Tomamos la magnitud H que toma valores desde el instante t
= 0, 1,...t',...t,...T
La propiedad circular nos dice que:
It/0(H) = It/t'(H) x It'/0(H)
La demostración es inmediata,
2ª.-Propiedad de encadenamiento
A) Consideramos tres instantes del tiempo (0, t', t) los cuales
verifican la relación: 0 < t' < t.
B) Tomamos la magnitud H, desde el instante t = 0,1,...t'...t
hasta t = T.
Se cumple: It/0(H) = It/t-1(H) x It-1/t-2 (H)...I1/0(H)
Demostración:
H
H = (H)I0
tt/0
(H)I x (H)I = H
H x H
H = H
H x H
H = (H)I /0tt/t0
t
t
t
t
t
0
tt/0 ′′
′
′′
′
Números índices
Tema V 206
3ª.-Propiedad del producto
Sea una magnitud compleja R que se obtiene como producto de
dos magnitudes simples F y K. R toma valores desde
t = 0, 1,..., T
R = F x K; {R} → t = 0, 1, ..., T
Se verifica que It/0(R) = It/0(F) x It/0(K)
Demostración:
4ª.-Propiedad del cociente
Si tenemos una magnitud compleja R que se obtiene como
cociente entre dos magnitudes simples F y K, se verifica:
It/0(R) = It/0(F) / It/0(K)
Demostración:
Ejemplo: Dada la siguiente tabla:
H
H = H
H x ... x H
H x H
H x H
H = (H)I0
t
0
1
3-t
2-t
2-t
1-t
1-t
tt/0
(K)I x (F)I = K
K x F
F = R
R = (R)I t/0t/00
t
0
t
0
tt/0
(K)I(F)/I = K/F
K/F = R
R = (R)I t/0t/000
tt
0
tt/0
ESTADISTÍCA I
Tema V 207
¡Error! Marcador no definido. t
Ht
0 5
1 7
2 6
3 8
4 9
5 10
(1) Hallar los índices simples respecto al período t=0.
(2) Comprobar que se cumple la propiedad circular y la de
encadenamiento.
(3) Interpretar alguno de los índices.
SOLUCION:
(1)
¡Error! Marcador no definido. t
Ht It/0(H) (1)
0 5 I0/0(H) = 5/5 = 1
1 7 I1/0(H) = 7/5 = 1.4
2 6 I2/0(H) = 6/5 = 1.2
3 8 I3/0(H) = 8/5 = 1.6
4 9 I4/0(H) = 9/5 = 1.8
5 10
(2):(A) Propiedad circular.
Números índices
Tema V 208
It/0(H) = It/t'(H) x It'/0(H)
Si t' = 4 y t = 5, sería:
I5/0(H) = I5/4(H) x I4/0(H)
I5/0(H) = 2
I5/4(H) = 10/9
I4/0(H) = 9/5
2 = 10/9 x 9/5
(2): (B) Propiedad de encadenamiento.
It/0(H) = It/t-1(H) x It-1/t-2(H)...I1/0(H);
para t = 5:
I5/0 = I5/4 x I4/3 x I3/2 x I2/1 x I1/0:
10/5 = 10/9 x 9/8 x 8/6 x 6/7 x 7/5 = 2
(3): Si I5/0(H) = 2, supone que la magnitud H se ha duplicado
entre el periodo 0 y el 5.
V.3.- Números índices complejos.
Los números índices complejos hacen referencia a varios
artículos o conceptos a la vez (magnitudes complejas) y su
evolución en el espacio y/ó el tiempo.
Supongamos que una empresa tiene tres productos A, B y C; cada
uno de los cuales tiene su correspondiente precio (PA, PB y
PC). Si nos interesara la evolución de cada precio
individualmente, hallaríamos los índices simples de PA, PB y
PC, pero si lo que queremos analizar es la evolución del precio
general de la empresa, tendremos que tener en cuenta la
ESTADISTÍCA I
Tema V 209
evolución conjunta de todos ellos. Esto lo podemos hacer de
dos formas:
(A) Suponiendo que cada producto tiene la misma importancia
relativa dentro de la empresa, en este caso calcularíamos los
INDICES COMPLEJOS SIN PONDERAR.
(B) Suponiendo que cada producto tiene distinta importancia
relativa dentro de la empresa. Calcularíamos los INDICES
COMPLEJOS PONDERADOS.
V.3.1.- Números índices complejos sin ponderar.
Sea una magnitud compleja H, formada por K magnitudes
simples:H= = {H1, H2,...,Hk}, si queremos analizar la evolución
de H, lo tendremos que hacer en función de la evolución de las
K magnitudes simples que la forman.
I(H) = f[I(Hi)],
es decir, el índice de H se obtiene en función de los índices
de Hi. Dos formas de hacerlo son mediante los índices de la
MEDIA SIMPLE, y mediante la MEDIA AGREGATIVA SIMPLE.
INDICES DE LA MEDIA SIMPLE:
1.-Indice de la media aritmética simple
Números índices
Tema V 210
Es una media aritmética de los índices simples.
Ejemplo: Una empresa fabrica el producto H cuyos componentes
son H1, H2 y H3, suponiendo que todos los componentes tienen la
misma importancia relativa en H. Calcular It/0(H) e interpretar
los resultados según la siguiente tabla:
¡Error! Marcador no definido. t
H1 H2 H3
0 2 1 3
1 4 2 2
2 5 1 1
3 7 3 1
4 9 4 4
SOLUCION:
Para calcular It/0(H):
1º.-Calculamos los índices simples con respecto al instante 0,
[It/0(Hi)]: I2/0(H
2) = 2/1 = 2
¡Error! Marcador no definido.t
H1 H2 H3 It/0(H1) It/0(H2)
It/0(H3)
0 2 1 3 1 1 1
1 4 2 2 4/2=2 2/1=2 2/3=0.7
)( HIK
1 = I i
t/0
k
1=it/0 ∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 211
2 5 1 1 5/2=2.5 1/1=1 1/3=0.3
3 7 3 1 7/2=3.5 3/1=3 1/3=0.3
4 9 4 4 9/2=4.5 4/1=4 4/3=1.3
2º.-Calculamos el índice complejo It/0(H) = 1/K Σki=1 It/0(H
i):
I4/0(H) = 1/3 Σki=1 I4/0(H
i) = 1/3 (4.5+4+1.3) = 3.3:
¡Error! Marcador no definido.t
H1 H
2 H
3 It/0(H
1) It/0(H
2) It/0(H
3) It/0(H)
0 2 1 3 1 1 1 1/3(1+1+1)=1
1 4 2 2 4/2=2 2/1=2 2/3=0.7 1/3(2+2+0.7)=1.6
2 5 1 1 5/2=2.5 1/1=1 1/3=0.3 1/3(2.5+1+0.3)=1.3
3 7 3 1 7/2=3.5 3/1=3 1/3=0.3 1/3(3.5+3+0.3)=2.3
4 9 4 4 9/2=4.5 4/1=4 4/3=1.3 1/3(4.5+4+1.3)=3.3
Interpretación: La magnitud H, en el momento 1, tiene 1.6
unidades por cada unidad que tenía en el instante 0; en el
momento 2, tiene 1.3 con respecto 0; etc.
Una vez calculados los índices para cada instante t en
relación al periodo inicial podemos calcular el incremento
porcentual que ha tenido la magnitud H desde el instante 0 al
período actual:
Incremento del Indice:
Números índices
Tema V 212
ÄI1/0(H) = I1/0(H) x 100 - 100 = 160 - 100 = 60%
ÄI2/0(H) = I2/0(H) x 100 - 100 = 130 - 100 = 30%
ÄI3/0(H) = I3/0(H) x 100 - 100 = 230 - 100 = 130%
ÄI4/0(H) = I4/0(H) x 100 - 100 = 330 - 100 = 230%
2.-Indice de la media geométrica: En este caso se utiliza la
media geométrica de los índices simples (Hi) para calcular el
índice complejo It/0 (H).
3.-Indice de la media armónica: El promedio que utilizamos, en
este caso, es la media armónica de los índices simples (Hi)
El índice complejo mediante la MEDIA AGREGATIVA SIMPLE
considera la relación entre las sumas de los dos distintos
valores en los dos períodos:
It/0(H) = Σki=1 Hti/ Σk
i=1 H0i
Estos índices tienen todos las mismas limitaciones,
100 x H
H-H = 100 - 100 x I = (H)I0
0tt/0t/0∆
ki0
it
k
1=i
t/0H
H = (H)I ∏
HH
K = (H)I
it
i0
k
1=i
t/0
∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 213
destacando:
1) Heterogeneidad de las unidades de medida, motivo que nos
impide hacer comparaciones entre distintos índices.
2) Dan la misma importancia relativa a cada componente simple
(Hi) de la magnitud compleja H.
Por estos motivos no se ha generalizado su uso, empleándose,
en la mayoría de los casos, los índices complejos ponderados.
V.3.2.- Números índices complejos ponderados.
Su objetivo es solucionar los problemas planteados por los
índices complejos sin ponderar. Los índices complejos
ponderados tienen en cuenta la importancia relativa de las
distintas magnitudes simples que lo componen, que
denominaremos wi. Por construcción se debe de cumplir:
para todo t, siendo k, el número de magnitudes simples que
forman la magnitud compleja.
¿Qué importancia tiene la ponderación? Si queremos obtener un
índice de precios de consumo deberíamos,
1º Determinamos los elementos (magnitudes) que componen el
consumo habitual de una familia,
2º Averiguamos los precios de esos elementos.
3º Averiguamos la importancia relativa (wi) de cada elemento en
1 = wit
k
1=i∑
Números índices
Tema V 214
el consumo habitual de la familia.
Es evidente que todas las familias consumen alimentos,
vestido, vivienda y energía; pero también es evidente que la
importancia de cada uno de estos elementos en el consumo
habitual de una familia es muy distinta. Si diéramos la misma
importancia a todos ellos (índice complejo sin ponderar)
obtendríamos un Indice de Precios de Consumo que poco tiene
que ver con la realidad.
En función de la relación entre las ponderaciones wti y los
índices de las componentes It/0(Hi), podemos definir distintos
tipos de índices.
V.3.2.1.- Índice de Laspeyres.
De forma general, llamamos índice sintético de Laspeyres de la
magnitud compleja (H) (formada por k magnitudes simples) en el
instante t, con respecto al instante 0:
Es decir, es el sumatorio de la importancia relativa de la
magnitud simple i, en el instante 0, (wi0), multiplicada por el
índice de la magnitud simple i en el instante t con respecto
al instante 0 [It/0 (Hi)]:
T0,...,=t k;1,2,...,=i );( HIw = (H)L it/0
i0
k
1=it/0 ∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 215
V.3.2.2.- Índice de Paasche.
Llamamos índice sintético de Paasche de la magnitud compleja H
(formada por k magnitudes simples), en el instante t con
respecto al instante 0, y lo denotaremos por Pt/0 (H), a:
El inverso del índice de Paasche [1/Pt/0 (H)] lo obtenemos como
el cociente entre el sumatorio de las importancias relativas
de la magnitud simple i en el instante t (wti) y el índice de
la magnitud simple i en el instante t respecto al instante 0
[It/0 (Hi)]:
H
H w = )H(I
w = (H)P
1it
i0
it
k
1=ii
t/0
it
k
1=it/0∑∑
La diferencia fundamental entre los índices de Laspeyres y
Paasche estriba en las ponderaciones, mientras que en
Laspeyres, wi se refiere al periodo base (w0i), en Paasche se
refiere al periodo actual (wti). Esto hace que su cálculo sea
H
Hw = (H)L
i0
it
i0
k
1=it/0 ∑
)H(I
w = (H)P
1i
t/0
it
k
1=it/0∑
Números índices
Tema V 216
más difícil puesto que en cada instante hay que calcular wti.
V.3.2.3.- Índice de Fisher.
Dada una magnitud compleja H, compuesta por k magnitudes
simples, se define el índice de Fisher de la magnitud H y se
denota por Ft/0 (H), como la raíz cuadrada del producto del
índice de Paasche por el índice de Laspeyres:
Como se puede obserar, el índice de Fisher es una valor
promedio de los índices de Laspeyres y Paasche.
V.4.- Índices complejos ponderados de precios y cantidades.
Un caso concreto de uso de los índices complejos es el cálculo
de la evolución de los precios y de las cantidades de nuestra
empresa, de una economía regional, nacional, etc... Es por
ello que el estudio de los índices de precios y cantidades sea
un epígrafe importante a desarrollar en este punto del
temario.
Debido al problema de la homogenización, en economía se maneja
el valor de los bienes, el cual se obtiene mediante el
producto: precio x cantidad.
(H)P(H)L = (H)F t/0t/0t/0
ESTADISTÍCA I
Tema V 217
V = P x Q
Si queremos obtener el valor de un producto en distintos
períodos, tendríamos:
período 0 ---- V0 = P0 x Q0 período 1 ---- V1 = P1 x Q1 período 2 ---- V2 = P2 x Q2 . . (1) . período t ---- Vt = Pt x Qt
Siendo V0 ... Vt la serie de valores en los distintos periodos.
Las variaciones en Vi vienen originadas tanto por variaciones
en los precios (Pi) como en las cantidades (Qi).
Si dejamos fija la cantidad (suponemos que en todos los
períodos se produce o se consume lo mismo), la serie de
valores obtenida será:
período 0 ---- V0 = P0 x Q período 1 ---- V1 = P1 x Q período 2 ---- V2 = P2 x Q . . (2) . período t ---- Vt = Pt x Q
V0, V1 ..., Vt sería la serie de valores cuyas variaciones son
debidas, exclusivamente, a cambios en los precios.
Si dejamos fijo el precio (suponemos que en todos los períodos
el precio es constante), la serie de valores obtenida será:
Números índices
Tema V 218
período 0 ---- V0 = P x Q0 período 1 ---- V1 = P x Q1 período 2 ---- V2 = P x Q2 . . (3) . período t ---- Vt = P x Qt
V0, V1 ..., Vt sería la serie de valores cuyas variaciones son
debidas, exclusivamente, a cambios en las cantidades.
Si en la serie de valores (2) calculamos un índice
obtendríamos un índice de precios:
Si calculamos el índice en (3) obtendríamos un índice de
cantidad:
Al calcular el índice en (1), obtenemos un índice de valor:
Podemos observar que el índice de precios (P) está ponderado
por la cantidad, mientras que el índice de cantidad (Q), está
ponderado por el precio, pero ninguna de estas ponderaciones
QP
QP = P
ii0
k
1=i
iit
k
1=it/0
∑
∑
QP
QP = Q
i0
ik
1=i
it
ik
1=it/0
∑
∑
QP
QP = V
i0
i0
k
1=i
it
it
k
1=it/0
∑
∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 219
está referida a un periodo concreto. Según el periodo a que
esté referida la ponderación tenemos los índices de LASPEYRES,
PAASCHE, FISHER tal y como ya hemos visto.
INDICES DE LASPEYRES
En economía las aplicaciones de números índice se concretan en
analizar las evoluciones de precios y cantidades. Si aplicamos
a este fín el índice de Laspeyres, estamos estudiando las
variaciones de precios o cantidades tomando como periodo de
ponderación el año base. En este caso el factor de ponderación
wi0 es:
La ponderación (wi0) viene definida como la importancia
relativa de un artículo en el periodo base.
El índice de Laspeyres de precios será:
qp
q p = w
i0
i0
k
1=i
i0
i0i
0
∑
qp
qp
p
p
qp
q p
PIw = (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
it
i0
i0
k
1=i
i0
i0
k
1=i
it/0
i0
k
1=it/0
= x
= )(
∑
∑
∑∑
∑
Números índices
Tema V 220
Para cantidades tendremos:
INDICES DE PAASCHE
En este caso, la ponderación se expresa como:
Este índice es aconsejable utilizarlo en el caso de que se
sepa que la importancia relativa de las magnitudes cambiaron a
lo largo del tiempo.
Para precios, el índice de Paasche lo calculamos como:
qp
qp
q
q
qp
q p
QIw = (Q)L
i0
i0
k
1=i
it
i0
k
1=i
i0
it
i0
i0
k
1=i
i0
i0
k
1=i
it/0
i0
k
1=it/0
= x
= )(
∑
∑
∑∑
∑
qp
q p = w
it
it
k
1=i
it
iti
t
∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 221
pq
pq
P
pq
pq
p
p
pq
p q =
= )P(I
w = (P)P
1
i0
it
k
1=i
it
it
k
1=it/0
it
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
it
i0
it
it
k
1=i
it
it
k
1=i
it/0
it
k
1=it/0
= (P) :decir Es
= x
∑
∑
∑
∑
∑∑
∑
El índice de Paasche de cantidades será:
pq
pq
P
pq
pq
q
q
pq
p q =
= )Q(I
w = (Q)P
1
it
i0
k
1=i
it
it
k
1=it/0
it
it
k
1=i
it
i0
k
1=i
it
i0
it
it
k
1=i
it
it
k
1=i
it/0
it
k
1=it/0
= (Q) :decir Es
= x
∑
∑
∑
∑
∑∑
∑
INDICES DE FISHER
El índice de Fisher para precios vendrá dado por la siguiente
expresión:
)P(P)P(L = )P(F it/0
it/0
it/0
Números índices
Tema V 222
Y para cantidades, tendremos la expresión:
Ejemplo: dada la siguiente información sobre precios y
cantidades vendidas (en miles de pesetas) de determinados
artículos:
��������������������������������������������������������� � � A Ñ O S � � ������������������������������������������������ � BIENES � 1987 � 1988 � 1989 � � ������������������������������������������������ � � P � Q � P � Q � P � Q � ��������������������������������������������������������� �Patatas � 50 � 150 � 60 � 140 � 75 � 135 � ��������������������������������������������������������� �Judias � 150 � 430 � 180 � 450 � 200 � 460 � ��������������������������������������������������������� �Aceite � 180 � 300 � 200 � 310 � 220 � 325 � ��������������������������������������������������������� �Pescado � 1000 � 250 � 1150 � 270 � 1300 � 300 � ���������������������������������������������������������
Determinar los índices de precios y cantidades de Laspeyres,
Paasche y Fisher para 1989, con respecto al año base, 1987.
BIENES P87 Q87 P87 Q89 P89 Q87 P89 Q89
�����������������������������������������������
PATATAS 7500 6750 11250 10125
JUDIAS 64500 69000 86000 92000
ACEITE 54000 58500 66000 71500
PESCADO 250000 300000 325000 390000
������������������������������������
SUMAS 376000 434250 488250 563625
)Q(P)Q(L = )Q(Fi
t/0i
t/0i
t/0
ESTADISTÍCA I
Tema V 223
Qi = Q87i + Q89i; Pi = P87i + P89i
BIENES Qi P89 Qi P87 Qi Pi Q89 Pi Q87 Pi
��������������������������������������������������������
PATATAS 285 21375 14250 125 16875
18750
JUDIAS 890 178000 133500 350 161000 150500
ACEITE 625 137500 112500 400 130000 120000
PESCADO 550 715000 550000 2300 690000 575000
������������������������������������������
SUMAS 1051875 810250 3175 997875 864250
129.82 = 129.79 x 129.85 = (P)P(P)L = (P)F 89/8789/8789/87
129.85 = 100 x 376000
488250 =
qp
qp = (P)L
i87
i87
4
1=i
i87
i89
4
1=i89/87
∑
∑
129.79 = 434250
563625 = 100 x
pq
pq = (P)P
i87
i89
4
1=i
i89
i89
4
1=i89/87
∑
∑
115.49 = 100 x 376000
434250 =
qp
qp = (Q)L
i87
i87
4
1=i
i89
i87
4
1=i89/87
∑
∑
115.44 = 488250
563625 = 100 x
pq
pq = (Q)P
i89
i87
4
1=i
i89
i89
4
1=i89/87
∑
∑
Números índices
Tema V 224
115.46 = 115.44 x 115.49 = (Q)P(Q)L = (Q)F 89/8789/8789/87
V.5.- Cambio de base y enlace de seies temporales.
En el transcurso del tiempo tienen lugar cambios en los
elementos que componen un número índice, cambia la producción,
los hábitos de consumo, desaparecen productos de consumo
habitual al mismo tiempo que aparecen otros nuevos, etc. Es
decir, al cabo de cierto tiempo el conjunto de variables
seleccionadas puede que haya dejado de ser representativo. En
cuanto a las ponderaciones (si se eligieron los datos del año
base) es posible que no se ajusten a la estructura del consumo
actual.
Cuando esto sucede hay que iniciar de nuevo el proceso:
renovar el índice con una nueva base.
Al modificar la base de un sistema de números índice se
produce, generalmente, una ruptura en la continuidad de las
series, que desde un punto de vista teórico no admite solución
cuando el cambio de base realizado introduce modificaciones
tanto en la cobertura y clasificación de los artículos como en
sus ponderaciones. No obstante, como se necesitan series
continuadas que permitan realizar predicciones y estudios
sobre la evolución histórica de los números índice, todos los
ESTADISTÍCA I
Tema V 225
países al realizar un cambio de base buscan un procedimiento
que permita enlazar las series con el menor deterioro posible
del rigor científico.
El procedimiento de enlace generalmente aceptado es buscar un
coeficiente de enlace por el cual se multiplican los índices
de la base antigua para hacerlos congruentes con la nueva
base. De esta forma se prolongan hacia atrás los índices con
la nueva base. Si lo que se desea es prolongar hacia delante
los índices de bases anteriores se usará el coeficiente como
divisor de los índices correspondientes a la nueva base.
En la práctica el enlace de series de números índice se
realiza:
1) Indices simples
Para realizar el cambio de base nos apoyamos en la propiedad
circular:
It/0(H) = It/t'(H) x It'/0 (H)
Si tenemos una serie referida al periodo 0 y queremos esa
misma serie referida a t', estamos realizando un cambio de base
del periodo 0 al periodo t':
2) Indices complejos, aunque no cumplen la propiedad circular,
(H)I
(H)I = (H)I/0t
t/0t/t
′′
Números índices
Tema V 226
actuamos como si lo hicieran y aplicamos el mismo
procedimiento que en los índices simples. Lo que hacemos es
dividir el índice dado por el índice basado en el nuevo
periodo con respecto al periodo base inicial:
It/0(H) = It/t'(H) x It'/0(H)
Donde
t: es el año del cual queremos calcular el índice en una nueva
base.
0: es el periodo base antiguo.
t': nuevo periodo base.
Esta propiedad nos dice que el índice del año t en base 0
(It/0), es igual al índice de ese mismo año en la nueva base
(It'/t), multiplicado por el índice del nuevo año base en base 0
(It'/0). Es decir:
El índice del año t en la nueva base t' (It/t'(H)) es igual al
cociente entre el índice del año t en base 0 (It/0 (H)) y el
índice del año t' en base 0 (It'/0 (H)).
Ejemplo: Dada la serie del Indice de Precios de Consumo (IPC)
de los años 1978-1983 con base 1976 y la misma serie referida
a los años 1983-1988 con base 1983. Calcular la serie
homogénea de IPC de los años 1978-1988 con base 1983.
(H)I
(H)I = (H)I/0t
t/0t/t
′′
ESTADISTÍCA I
Tema V 227
¡Error! Marcador no definido.AÑOS/IPC
Base 1976
Base 1983
78 149.1
79 172.5
80 199.3
81 228.4
82 261.3
83 293.1 100
84 110.3
85 120.0
86 130.5
87 137.4
88 144.0
Donde, t: año que queremos calcular.
t': nuevo año base (76)
0: año base antiguo (68)
¡Error! Marcador no definido.AÑOS/IPC
Base 1976
Base 1983
Nueva serie IPC (base 1976 = 100 )
78 149.1 I78/83 = 50.87
79 172.5 I79/83 = 58.85
80 199.3 I80/83 = 68.0
(IPC)I
(IPC)I = (H)I/0t
t/0t/t
′′
(IPC)I
(IPC)I = (IPC)I83/76
78/7678/83
Números índices
Tema V 228
81 228.4 I81/83 = 77.9
82 261.3 I82/83 = 89.15
83 293.1 100 I83/83 = 100
84 110.3
85 120.0
86 130.5
87 137.4
88 144.0
Es posible que nos interese hacer el procedimiento contrario,
es decir, pasar de base 83 a base 76, en este caso haríamos:
It/76 = It/83 x I83/76/100
I84/76 = I84/83 x I83/76/100 = (110.3 x 293.1)/100 = 323.29
.
.
I88/76 = (I88/83 x I83/76)/100 = (144.0 x 293.1)/100 = 422.06
V.6.- El problema de la deflación de series temporales. En economía existe la necesidad de comparar el valor (precio
por cantidad) de las magnitudes económicas a lo largo del
tiempo. Cuando esa valoración ha sido hecha siempre a los
precios del mismo periodo base (precios constantes) podemos
realizar la comparación directamente. En cambio, si la
valoración ha sido hecha en cada periodo al precio
correspondiente al mismo (precios corrientes) no podemos
realizar la comparación directamente porque la serie no es
homogénea. En este caso tenemos que expresar la serie en
precios constantes (referidos al mismo periodo base).
ESTADISTÍCA I
Tema V 229
Para pasar de una serie en precios corrientes a otra en
precios constantes tenemos que dividir la primera por un
índice de precios y ello es lo que se conoce como DEFLACION de
una serie. Al índice de precios elegido para realizar el
proceso se le llama DEFLACTOR.
Dado que los índices de precios más utilizados son los de
Laspeyres y Paasche, vamos a ver cómo se utilizan como
deflactores.
Tenemos el valor de una magnitud en dos instantes del tiempo:
V0 = Σki=1 p0i q0i: valor a precios del año base.
Vt = Σki=1 pti qti: valor actual, a precios corrientes.
A) Aplicando el índice de precios de Laspeyres:
Al deflactar un valor por un índice de Laspeyres no pasamos de
precios corrientes a constantes, sino que se obtiene la
proyección temporal del valor inicial (V0) a través de un
índice cuántico de Paasche.
B) Si deflactamos por un índice de precios de Paasche
P(Q) x V = qp
qp qp =
qp
qp
qp =
L(P)V
0i0
it
k
1=i
it
it
k
1=ii0
i0
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
it
it
k
1=it
∑
∑∑
∑
∑
∑
Números índices
Tema V 230
tendremos:
Obtenemos la valoración de la producción actual a precios del
periodo base. Por lo tanto, el índice de Paasche es el idóneo
para deflactar. No obstante se pueden utilizar otros con la
condición de que sea siempre el mismo.
Cuando tenemos los valores de una magnitud a precios
corrientes y a precios constantes (valor de la magnitud en el
año base) podemos obtener un índice de precios de dicha
magnitud el cual se conoce como el deflactor implícito y es
igual al cociente entre la magnitud a precios corrientes y a
precios constantes multiplicado por cien.
Ejemplo: el valor del PIB (producto interior bruto) a precios
corrientes en el año 1984 fue de 25934,4 (miles de millones),
en el mismo año el PIB alcanzó un valor de 3945 (miles de
millones) a precios constantes. El deflactor del PIB en el año
1984 es:
qp =
qp
qp
qp =
P(P)V i
ti0
k
1=i
it
i0
k
1=i
it
it
k
1=i
it
it
k
1=it ∑
∑
∑
∑
657.4 = 100 x 3945
25934.4
ESTADISTÍCA I
Tema V 231
EJERCICIO 1: Dados los precios y cantidades de tres artículos
A, B y C desde 1986 a 1990; calcular los índices de precios y
cantidades de Laspeyres, Paasche y Fisher para cada año
tomando como año base 1986. Renovar los índices de Paasche
tomando como año base 1988.
Años Artículo A Artículo B Artículo C
������������������������������������������������������������
PRECIO CANTIDAD PRECIO CANTIDAD PRECIO
CANTIDAD
1986 30 100 32 105 40 200
1987 35 105 35 100 45 210
1988 41 112 43 110 47 215
1989 45 120 45 115 50 220
1990 56 125 50 123 55 225
A) Indices de Laspeyres:
PRECIOS CANTIDAD
��������������������� 1986 100 100
1987 112.6393 102.7159
1988 125.4526 107.7994
1989 133.8788 111.9777
1990 152.1588 116.1978
B) Indices de Paasche:
Números índices
Tema V 232
PRECIOS CANTIDAD
���������������������� 1986 100 100
1987 112.7119 102.7821
1988 125.4974 107.8379
1989 134.1729 112.2237
1990 152.9726 116.8192
C) Indices de Fisher:
PRECIOS CANTIDAD
���������������������� 1986 100 100
1987 112.6756 102.749
1988 125.475 107.8187
1989 134.0258 112.1006
1990 152.5651 116.5081
D) Indice de Paasche renovado:
1988=100 1986=100 1988=100 1986=100
��������������������������������������� 1986 79.68292 100 92.73177 100
1987 89.8121 112.7119 95.31163 102.7821
1988 100 125.4974 100 107.8379
1989 106.9129 134.1729 104.067 112.2237
1990 121.893 152.9726 108.3285 116.8192
EJERCIO 2: Dada la siguiente tabla estadística sobre
ESTADISTÍCA I
Tema V 233
cantidades gastadas en lotería en una ciudad en los años que
se especifican y el IPC de esos años. Expresar las citadas
cantidades en pesetas constantes de 1985.
AÑOS CANTIDAD EN(PTS. CORRIENTES) IPC BASE 1983 86 1841250 120.0 86 2345168 130.5 87 2654896 137.4 88 2972154 144.0 89 3281562 153.8 90 3456917 164.1
SOLUCION:
AÑOS IPC BASE 1985 CANTIDAD (PTS.CONSTANTES DE 1985) 85 100 1841250 = (1841250/100)*100 86 109.25 2146607 = (2345168/109.25)*100 87 114.58 2317000 = (2654896/114.58)*100 88 120.00 2476795 = (2972154/120.00)*100 89 128.17 2560386 = (3281562/128.17)*100 90 136.75 2527910 = (2356917/136.75)*100 EJERCICIO 3: Conocidos los costes de una empresa durante los
años 1985 a 1990 y el IPC con base 1983 en el mismo periodo,
se pide calcular los índices de coste con base 1985 en
términos corrientes y constantes.
AÑOS COSTES IPC(1983=100) ���������������������������������� 1985 5542135 120
1986 6723086 130.5 1987 6985756 137.4 1988 7035211 144 1989 7681276 153.8 1990 8125679 164.1
SOLUCION:
AÑOS IPC83 IPC85 COSTES COSTES(CORR) COSTES(CTE) ��������������������������������������������������������������
Números índices
Tema V 234
1985 120 100.00 5542135 100.00 100.00
1986 130.5 108.75 6723086 121.31 111.55 (1) 1987 137.4 114.50 6985756 126.05 110.09 1988 144 120.00 7035211 126.94 105.78 1989 153.8 128.17 7681276 138.60 108.14 1990 164.1 136.75 8125679 146.62 107.21 (1)
A) IPC86/85 = IPC86/83 / IPC85/83 = (130.5/120)*100 = 108.75
B) COSTES(CORR)86/85 = (COSTES86/COSTES85)*100 =
(6723086/5542135)*100 = 121.31
C) COSTES(CTE)86/85 = (COSTES(CORR)86/85/IPC86/85)*100 =
(121.31/108.75)*100 = 111.55
EJERCICIO 4: Se dispone de la siguiente información
estadística sobre el IPC con base 1983 =100:
¡Error! Marcador no definido. GRUPOS
wi I12,91/83
Alimentos, bebidas y tabaco 33.03 181.1
Vestido y calzado 8.7 188.4
Vivienda 18.6 170.6
Menaje y servicios del hogar 7.4 167.3
Servicios médicos y conservación de la salud
2.4 178.2
Transportes y comunicaciones 14.4 166.5
Esparcimiento deporte y cultura
6.96 171.0
Otros gastos 8.5 205.3
ESTADISTÍCA I
Tema V 235
Calcular:
1.-El índice general de precios de consumo correspondiente a
diciembre de 1991.
SOLUCION
1.-IPC12,91 = Σ8i=1 Ii wi/Σ8
i=1 wi =
(181.1 * 33.03 + 188.4 * 8.7 + 170.6 * 18.6 + 167.3 * 7.4 +
178.2 * 2.4 + 166.5 * 14.4 + 171.0 * 6.96 + 205.3 * 8.5)/100 =
123.5436
EJERCICIO 5:
El siguiente cuadro muestra las ponderaciones de los 8 grupos
de gasto del IPC (base 1983=100)
¡Error! Marcador no definido. GRUPOS
PONDERACION EN%
Alimentos, bebidas y tabaco 33.03
Vestido y calzado 8.74
Vivienda 18.57
Menaje 7.41
Servicios médicos y sanitarios 2.39
Transporte y comunicaciones 14.38
Esparcimiento,enseñanza y cultura
6.96
Otros bienes y servicios 8.52
Números índices
Tema V 236
Calcular el IPC general en el periodo t suponiendo que cada
grupo tiene las siguientes variaciones: 5%, 7%, 10%, 12%, 6%,
9%, 14% y 8%, respectivamente; del periodo 0 al t.
SOLUCION:
w
wI = /83IPC
i83
8
1=i
i83
it
8
1=it
∑
∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 237
GRUPOS PONDERACIONES INDICEt PARTICIPACIONi
������������������������������������������������� 1 33.03 105 34.6815
2 8.7 107 9.309
3 18.6 110 20.46
4 7.4 112 8.288
5 2.4 106 2.544
6 14.4 109 15.696
7 6.96 114 7.9344
8 8.5 108 9.18
IPCt/83 = 108.0929 = Suma participaciones =
Anexo V.1: Índices funcionales
En los índices que hemos visto, aunque se incluyen en ellos
precios y cantidades, no se supone relación funcional alguna,
condicionante, entre ellos.
Existen otro tipo de índices en los que se supone una relación
funcional, de naturaleza económica, entre los precios y las
cantidades; son los que Samuelson denominó de naturaleza o
base económica.
La idea inicial de este tipo de índices partió de KONÜS, que
100
10809 = w
wI
i8
1=i
iit
8
1=i
∑
∑
Números índices
Tema V 238
en 1924 pretendió analizar el coste de la vida en Rusia. A
causa de la censura su trabajo no se conoció hasta 1936.
El concepto introducido por KONÜS fue clarificado en 1939 por
SHULT, precisando que el índice del coste de la vida es la
relación, en dinero, del gasto realizado por un individuo, en
distintos momentos del tiempo, que le proporciona el mismo
nivel de vida o utilidad total en esas dos situaciones
temporales; las cuales difieren únicamente en precios.
Suponiendo que nos encontramos en un sistema económico con dos
productos (A y B) de los cuales un individuo consume las
cantidades qA y qB. En el período base (t=0) los precios del
sistema económico considerado son p0A y p0B, para los productos
A y B, respectivamente. En este período el individuo percibe
una renta que utiliza en adquirir los productos A y B, es
decir, su renta es igual al gasto que realiza:
G0 = p0A x q0
A + p0B x q0
B
representada gráficamente:
ESTADISTÍCA I
Tema V 239
El individuo de referencia tiene una función de utilidad en el
período base:
U0 = u0 (q0A, q0B),
representada gráficamente:
Para maximizar su utilidad, el individuo tiene que tener en
cuenta su renta: G0 = p0A x q0A + p0
B x q0B cuya pendiente es:
Las cantidades que maximizan la utilidad (q0A*, q0B*) las
obtenemos igualando la pendiente de la recta representativa
p
p- =
dq
dqB0
A0
A0
B0
Números índices
Tema V 240
del gasto con la pendiente de la función de utilidad:
Gráficamente, tendremos:
De forma que (q0A*, q0B*) son las cantidades correspondientes al
punto de tangencia: M
En el instante t , la estructura de precios será :
(ptA, ptB) y la función de utilidad del individuo vendrá dada
por la expresión:
Ut = ut(qtA, qtB)
Ahora como consecuencia de estos cambios nos planteamos dos
alternativas:
1) Calcular la nueva función de gasto y determinar las
cantidades óptimas (qtA*, qtB*) las cuales compararemos con las
obtenidas en el periodo base (q0A*, q0B*) para determinar si,
como consecuencia del cambio en los precios, la utilidad del
p
p- = U B
0
A0
0′
ESTADISTÍCA I
Tema V 241
individuo ha aumentado o disminuído. Teniendo en cuenta que el
individuo obtiene mayor utilidad cuanto más se aleje del
origen y suponiendo que los bienes consumidos son normales.
2) Obtener las cantidades óptimas en t (qtA**, qtB**) con la
nueva estructura de precios (ptA, ptB) manteniendo la misma
utilidad que en el periodo base. Para ello determinamos el
gasto Gt** que es necesario realizar para mantener el mismo
nivel de vida en 0 y en t, lo cual implica minimizar la
expresión:
Gt** = ptA x qtA + ptB x qtB
sujeta a: U0 = u0(qtA, qtB)
El cociente Gt** / G0 = K, que es la variación monetaria
necesaria para mantener el mismo nivel de vida en los dos
periodos. Este cociente es el índice de Konüs:
Ejemplo: Partiendo de las estructuras de precios para el año
base y el año t:
p0A = 5; p0
B = 4; ptA = 6; ptB = 5.
Y dada la función de utilidad en el periodo base:
U0 = (9 - q0A) x (4 - q0
B)
qp
qp =
qp+ qp
qp + qp =
G
G = Ki0
i0
k
1=i
**it
it
k
1=iB0
B0
A0
A0
Bt
Bt
At
At
0
**t
t
∑
∑
Números índices
Tema V 242
Sabiendo que la utilidad en el año base fue = 40.
Calcular el índice funcional de Konüs.
1º) Calculamos los valores de q que maximizan la función de
utilidad, dada la estructura de precios, la restricción
presupuestaria, en el periodo base que es:
G0 = p0A x q0A + p0B x q0B = 5q0A + 4q0B
cuya pendiente es:
Y la función de utilidad en el año base:
40 = (9 - q0A) x (4 - q0B)
En el óptimo: la pendiente de la recta = pendiente de la
curva: tenemos que derivar q0B respecto a q0A en la función de
utilidad, 40 = (9 - q0A) x (4 - q0B).
4 - q0B = 40/(9 - q0A);
q0B = - 40/(9 - q1) + 4
dq0B/dq0A = -40/(9 - q1)2: pendiente de la función de utilidad.
En el óptimo: dq0B/dq0A = - p0A/p0B;-40/(9 - q0
A)2 = - 5/4
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos:
(a) q0A = 14.6
(b) q0A = 3.4
45
- = p
p- B
0
A0
ESTADISTÍCA I
Tema V 243
Al sustituir 14.6 (a) y 3.4 (b) en la función de utilidad
obtenemos 11.1 (a) y -3.1 (b) para q0B, por lo tanto elegimos
q0A = 14.6 y q0B = 11.1, como cantidades óptimas para el año
base.
2º) Dada la nueva estructura de precios en t, como pretendemos
mantener la utilidad igual que en 0, tenemos que igualar la
derivada de la función de utilidad en 0 a la pendiente de la
recta de gasto correspondiente a la nueva estructura de
precios:
(q0B)' = - 40/(9 - q0A)2 = - ptA/ptB = - 6/5;
- 40/(9 - q0A)2 = - 6/5.
qA = 14.8 (a)
qA = 3.2 (b).
Al sustituir 14.8 (a) y 3.3 (b) en la función de utilidad
obtenemos 10.9 (a) y -2.9 (b) para qB, por lo tanto elegimos
qA = 14.8 y qB = 10.9, como cantidades óptimas para el año t.
De esta forma las funciones de gasto que obtenemos son:
G0 = 5 x 14.6 + 4 x 11.1 = 117.4
Gt** = 6 x 14.8 + 5 x 10.9 = 143.3
Kt/0 = Gt** / G0 = 143.3/117.4 = 1.22. Para obtener en el periodo
t la misma utilidad que en el peíodo 0 hay que gastar 1.22
veces más. Si en el periodo 0 G fuera igual a 100, en t G
sería igual a 122, el índice del coste de la vida ha subido un
22% entre el periodo 0 y el periodo t.
Números índices
Tema V 244
Anexo V.2: Elaboración de un número índice
Al elaborar un número índice complejo hay que tener en cuenta:
1)Selección de variables
El índice es una síntesis del grupo o conjunto de variables a
que se va a referir (consumo, producción, etc.),por tanto hay
que elegir los artículos o conceptos más relevantes dentro del
grupo, los cuales deberán estar perfectamente especificados
con el fin de evitar ambigüedades.
2)Selección de los lugares y tiempos de observación
Una vez definidos los artículos que forman el grupo de
variables, hay que obtener los valores numéricos
correspondientes a precios y/o cantidades de los artículos
seleccionados. Estas observaciones deben ser recogidas siempre
en los mismos lugares, también deberá especificarse el momento
o intervalo de tiempo en el que se recoge el dato.
Tanto los lugares como los tiempos de observación deben ser
seleccionados en función de la importancia del concepto dentro
del grupo, frecuencia o significación.
3) Selección de la base
Dado que el tiempo es el término de referencia o comparación,
debe elegirse un tiempo o época normal. Por ejemplo, para un
índice de precios no debe elegirse una época especialmente
inflacionista (año 1992) y para uno de producción agrícola
ESTADISTÍCA I
Tema V 245
nunca se elegirá un año de cosecha excepcionalmente buena o
mala.
4) Selección de fórmulas de ponderación
Las distintas fórmulas tienen una estrecha vinculación con las
ponderaciones y éstas con la disponibilidad de datos y el
coste de elaboración del índice. El índice más costoso es el
de Fisher, seguido del de Paasche, y el más barato es el de
Laspeyres, puesto que sólo necesita las ponderaciones del año
base.
5) Representatividad del índice
Existen dos puntos de vista:
a) El número de variables seleccionadas implica mayor o menor
cobertura.
b) Considerando el índice como un promedio, será más
representativo el que sea menos disperso.
Anexo V.3.- Participación y repercusión.
Hemos visto que un índice complejo: It/0(Hi) está formado por k
magnitudes simples, cada una de las cuales tiene (según su
ponderación) participación en las variaciones que presenta el
índice general a lo largo del tiempo. Por otra parte, también
hemos de tener en cuenta la repercusión que las variaciones de
las magnitudes simples tienen en las variaciones del índice
general.
Números índices
Tema V 246
Es decir, si el índice general ha tenido una variación del 3%
entre el periodo 0 y el t, podemos averiguar la participación
de cada componente en dicha variación. También podemos conocer
cómo va a afectar al índice general (la repercusión) la
variación de uno de sus componentes. Por ejemplo, si el precio
de la energía aumenta un 5% del periodo 0 al t, podemos saber
qué repercusión tiene esta variación sobre el IPC.
Desarrollaremos estos dos conceptos referidos al índice de
precios de Laspeyres:
Suponemos que todas las magnitudes cambian: (Äpti), entonces el
nuevo índice será:
Y la variación del índice general es:
En porcentaje esta variación viene dada por la expresión:
qp
qp = (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=it/0
∑
∑
qp
q )p+p( = (P)L + (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
it
k
1=it/0t/0
∑
∑ ∆∆
qp
qp = (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=it/0
∑
∑∆∆
ESTADISTÍCA I
Tema V 247
Si llamamos repercusión (Ri), en valor absoluto, a la variación
de la componente i en el índice general, tenemos que:
En porcentaje, la variación de la componente i es:
La participación, en porcentaje, de la componente i en el
índice general es:
100 x qp
qp = 100 x
qp
qp
qp
qp
= 100 x (P)L
(P)Li0
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
t/0
t/0
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∆
∆
∆
IRqp
qp = R gi
k
1=ii0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=ii = :que seCumpliÇndo ;
∆∑
∑
∑∆
100 x qp
qp = 100 x
qp
qp
qp
qp
= (P)L
Ri0
it
k
1=i
i0
it
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
t/0
i
∑
∑
∑
∑ ∆
∆
100 x qp
qp = 100 x
qp
qp
qp
qp
=
(P)L
R
(P)L
R
= Pi0
it
k
1=i
i0
it
i0
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
it
t/0
ik
1=i
t/0
i
i
∆
∆
∆
∆
∑
∑
∑
∑
∑
Números índices
Tema V 248
Anexo V.4:Estudio de algunos índices elaborados en España
Actualmente se elaboran una variada gama de índices en nuestro
país, de los cuales no vamos a hacer una enumeración
exhaustiva sino, simplemente haremos una descripción de
algunos de ellos y una somera explicación del índice de
precios.
1.-INDICE DE PRECIOS DE CONSUMO
El Indice de Precios de Consumo (IPC), antes llamado Indice
del Coste de la Vida, es un índice de precios, que en España
elabora el Instituto Nacional de Estadística (INE) utilizando
la fórmula de Laspeyres y referido a los bienes y servicios
que definen un cierto nivel de vida, esto implica determinar
en primer lugar a qué nivel de vida nos referimos y dado que
éste viene determinado por la renta, para elaborar el IPC hay
que definir los niveles de renta de la población que es objeto
del estudio, es decir, determinar el estrato de referencia que
normalmente cubrirá del 80 al 90% de la población total.
En segundo lugar es necesario determinar qué bienes y
servicios son los consumidos por el estrato de referencia,
este conjunto de bienes y servicios constituirá la cesta de la
compra interviniendo en ella los bienes y servicios de consumo
más frecuente y comunes.
ESTADISTÍCA I
Tema V 249
Para su elección se parte de la Encuesta de Presupuestos
Familiares la cual se elabora investigando, mediante muestreo,
una fracción representativa de la población a la que se
interroga sobre todos los gastos efectuados por la familia. La
investigación cubre un lapso de tiempo entre 6 y 12 meses con
objeto de evitar los periodos de gastos anormales.
Una vez establecida la cesta de la compra se valora a precios
del periodo actual y posteriormente se relaciona esta
valoración con la correspondiente al periodo base para obtener
así la evolución del índice.
En España se elaboró el primer índice del Coste de la Vida
tomando como año base 1939. Posteriormente se fue cambiando la
base (1958,1968 y 1976).
En 1977 se cambia la denominación del índice pasando a ser
Indice de Precios de Consumo (IPC). En la encuesta que sirvió
de base para el índice de 1976, realizada en 1973-74 el
estrato de referencia eran los hogares pluripersonales con una
renta anual comprendida entre 81000 y 720000 pts., estaban
representados el 71.5% de los hogares y el 81.5% del gasto.
Incluía 378 parcelas de consumo.
En 1980-81 se realiza otra encuesta con el mismo estrato de
referencia que en 1973-74, sin embargo en esta última la renta
Números índices
Tema V 250
familar está comprendida entre 322575 y 2000000 de pts.; la
cobertura es del 79% de los hogares, el 86.1% de las personas
y el 85.4% del gasto. Esta encuesta es la base del IPC que
está actualmente en vigor cuya base es 1983, en él los gastos
de consumo aparecen clasificados en 611 grupos de artículos
agregados en 428 parcelas de consumo y clasificados en 8
grupos de gasto:
¡Error! Marcador no definido. GRUPOS
Nº DE PARCELAS
Alimentos, bebidas y tabaco
171
Vestido y calzado 56
Vivienda 24
Menaje 56
Servicios médicos y sanitarios
18
Transporte y comunicaciones
26
Esparcimiento, enseñanza y cultura
40
Otros bienes y servicios
37
Dentro de cada parcela se seleccionan 1 o más artículos para
representar a todos los que la integran, siendo los precios de
estos artículos seleccionados, los artículos muestrales, los
que se utilizan para calcular el índice de cada parcela y con
los precios de las 428 parcelas de consumo se obtienen los
siguiente índices oficiales:
Los índices de los 8 grupos de gasto.
ESTADISTÍCA I
Tema V 251
El índice general para el total nacional. El índice general para el total nacional urbano. El índice general para el total nacional no urbano. El índice general para capitales. El índice general para comunidades autónomas.
Ponderaciones
En el cálculo del IPC los precios de los distintos artículos
están ponderados según la importancia que el consumo del
artículo correspondiente tiene en el estrato de referencia. El
INE obtiene una estructura de ponderaciones distinta para cada
uno de los conjuntos primarios y por agregación de éstos llega
a las estructuras de los diferentes niveles de cálculo del
índice. (Para los 8 grupos de gasto):
¡Error! Marcador no definido. GRUPOS
PONDERACION EN%
Alimentos, bebidas y tabaco 33.03
Vestido y calzado 8.74
Vivienda 18.57
Menaje 7.41
Servicios médicos y sanitarios 2.39
Transporte y comunicaciones 14.38
Esparcimiento,enseñanza y cultura 6.96
Otros bienes y servicios 8.52
Método de cálculo: Como hemos dicho, se utiliza el índice de
precios de Laspeyres:
(1) 100; x
qp
qp = (P)I
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=it/0
∑
∑
Números índices
Tema V 252
La cantidad para el artículo i (q0i) se ha obtenido en cada
conjunto primario aplicando la fórmula q0i = C0i/p0i, siendo C0i
la cantidad, en pesetas, gastada durante el año de la
encuesta, en el artículo i.
La fórmula (1) también puede expresarse:
Donde Iti es el índice simple del artículo i y wi su
ponderación:
Las ponderaciones permanecen fijas, generalmente, durante todo
el periodo de vigencia del índice.
La recogida de precios se realiza siempre en el mismo
establecimiento, a intervalos regulares de tiempo y sin tener
en cuenta precios especiales por ofertas.
2.-OTROS INDICES
A) Indice de Producción Industrial (IPI), recoge las
variaciones de la oferta industrial de las distintas ramas de
la actividad económica:
-Minerales no energéticos e industrias químicas.
-Otras industrias manufactureras.
-Industrias transformadoras de metales y mecánica de
100 x Iw = I it/0i
k
1=it/0 ∑
qp
qp = wy ;
p
p = I
i0
i0
k
1=i
i0
i0
iit
i0i
t/0
∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 253
precisión.
-Energía.
Este índice también se elabora teniendo en cuenta el destino
de la producción:
-Bienes industriales.
-Bienes intermedios.
-Bienes de consumo.
B) Indices de Empleo y Productividad, su objetivo es medir la
participación del trabajo en la producción pero existen graves
problemas con los datos disponibles y las unidades de medida
de la producción (bruta, neta) y los criterios de valoración
(al coste de los factores ó a precio de mercado). Normalmente
se utilizan:
C) Indices de salarios: miden las variaciones del salario del
total de trabajadores por unidad de tiempo. Para su cálculo se
utiliza, normalmente, una media aritmética ponderada.
D) Indices de comercio exterior: presentan un grave problema
en cuanto a la elección de las ponderaciones. Normalmente se
utilizan los índices de Laspeyres y Paasche de precios y
trabajoFactor
trabajo distintos Factores - Produ. = trabajoneta Produ.
factores otros + trabajoFactor
nProducci = factores los de total Produ.
Números índices
Tema V 254
cantidades, aunque también se elaboran otros que miden la
relación entre las exportaciones (X) y las importaciones (M),
como la "relación real de intercambio" (R), que se obtiene:
donde Pp es un índice de precios de Paasche.
E) Indices de cotización de valores en bolsa: miden las
fluctuaciones que se registran diariamente en las cotizaciones
de los valores en la bolsa, considerando el valor de la
cotización en el momento del cierre. El periodo base se cambia
el primer día de cada año.
(M)P
(X)P = Rp
p
