Upload
others
View
18
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
NÚMEROSREALES
1º BachilleratoCC. SS.
NaturalesEnteros
Racionales
Reales Irracionales
Números Reales
��
�
� IIII
Naturales � 1, 2, 3, ... Enteros � 2, 1, 0, 1, 2 ...− −
Racionales �3 7
, , 6 '333...5 3
Irracionales IIII , 3, 7 '12314...π
Números Reales
Representar 3/5
Números Racionales. Representación
Representar 3/5
Números Racionales. Representación
Representar 3/5
Números Racionales. Representación
Representar 3/5
Números Racionales. Representación
Representar 3/5
Números Racionales. Representación
Representar 17/5
3 4 516/5 17/5 18/5 19/5
Números Racionales. Representación
5Representa
5
2 25 2 1= +
Representar radicales
10Representa
2 210 3 1= +
10
Representar radicales
[ ]3 4,
[ ]3 1 3 2' , '
[ ]3 14 3 15' , '
[ ]3 141 3 142' , '3 4π
Representar números irracionales
πRepresenta
Expresión aproximada de un nº real
Aproxima 3 1 7320508= , ...
Representar números irracionales
πRepresenta
Intervalos Semirrectas y Entornos
Representar los valores que cumplen que en la Recta Real.3 4x− < ≤
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
( ] ] ]3 4 3 4− −, ó ,
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
5 6 7 8 9 10 1143210-1 12-2
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
Intervalos Semirrectas y Entornos
[ ]6 3= −A ,
( ]4 4= −B ,
[ )3= +∞D ,
( )0 5=C ,
( )2= − +∞E ,
( ]10= −∞F ,
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
Intervalos Semirrectas y Entornos
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
( ) ( )1 3 2 4 1 3→ − → − <E , , x
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7
[ ] [ ]1 4 5 3 1 4− → − → + ≤E , , x
Entornos
Intervalos Semirrectas y Entornos
Expresión aproximada de un nº real
Aproxima 7 2 6457513= , ...
Unidad Décima Centésima Milésima
Defecto 2 2,6 2,64 2,645
Exceso 3 2,7 2,65 2,646
Redondeo 3 2,6 2,65 2,646
aE Aproximación número= −
Unidad Décima Centésima Milésima
Aproximación 1 1,7 1,73 1,732
Error abs. 0,73205... 0,03205… 0,00205… 0,00005…
Error absoluto
Es la diferencia entre el número y su aproximación en valor
absoluto.
3 1 73205= , ...
Errores. Cálculo con aproximaciones
ar
EE
Número=
Unidad Décima Centésima Milésima
Aproximación 1 1,7 1,73 1,732
Error abs. 0,73205... 0,03205… 0,00205… 0,00005…
Error relativo 0,42264… 0,01850… 0,00118… 0,000029…
Error relativo
Es el cociente entre el error absoluto y el.
3 1 73205= , ...
Errores. Cálculo con aproximaciones Errores. Cálculo con aproximaciones
El número π =3,141592653… se ha expresado por las fracciones según
Arquímedes y según Adrián Metius. Compara estos valores con el valor
verdadero de π, y di cuál es el error absoluto y relativo.
22
7355
113
22Arquímedes 3,142857143...
7→ =
aE 3,141592920 3,141592653
0,000000266
= − =
=
r
0,001264489E 0,000402499
3,141592653= =
355Metius 3,141592920...
113→ =
r
0,000000266E 0,000000085
3,141592653= =
aE 3,142857143 3,141592653
0,001264489
= − =
=
Potencias Exponente Entero
Una potencia de exponente negativo equivale a una potenciacon el mismo exponente en positivo cuya base es el inverso dela base inicial o un cociente con la base en positivo en eldenominador.
Las potencias de exponente entero cumplen las mismaspropiedades que las potencias de exponente natural.
1 1n
n
na
a a
− = =
Ejemplo: 5
5
5
1 13
3 3−
= =
Potencia de un producto: ( a · b )n = an · bn
Potencia de un cociente: ( a : b )n = an : bn
Producto de potencias de la misma base: am · an = am + n
Cociente de potencias de la misma base: am : an = am – n
Potencia de una potencia: ( am)n = am · n
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
Expresa como una única potencia:
Potencias Exponente Entero
a) f)
e)
d)
c)
b)
Simplificar:
33 · 102
64= 33 · (2 · 5)2
(2 · 3)4=
33 · 22 · 52
24 · 34=
22 · 352
2–5 · 42
8–3=83 · 42
25= (2
3)3 · (22)2
25=
29 · 24
25=
213
25= 28
Potencias Exponente Entero
36–5 · 75–3 · 2546–5 · 152 · 60–5
=254 · 65 · 605152 · 365 · 753
=
58 · 25 · 35 · 210 · 35 · 5532 · 52 · 210 ·310 · 56 · 33
=
215 · 310 · 513=
210 · 315 · 58=
25 · 5535
Simplificar:
(52)4 · (2 · 3)5 · (22 · 3 · 5)5(3 · 5)2 · (22 · 32)5 · (52 · 3)3
==
Potencias Exponente EnteroUn número escrito en notación científica consta del producto de:
•Un número decimal comprendido entre 1 y 10.•Una potencia de base 10 y de exponente un número entero.
EjemploEjemploEjemploEjemplo. Los radios aproximados del Sol y del átomo dehidrógeno son de 694 000 000 y de 0,000 000 000 053metros, respectivamente. Expresa estas cantidades de formamás compacta.
Utilizando la notación científica el radio del Sol se escribe:6,94 · 108 metros
y el del átomo de hidrógeno se escribe:5,3 · 10−11 metros.
Notación Científica
a) 4,23 · 109 b) 4 · 10−8 c) 8,43 · 104 d) −5,72 · 10−4
d) 518 000 000 000 000 e) 0,000000003215 f ) −0,0000004
a) 625 000 000 b) 0,00027 c) 0,000003
Expresa con todas las cifras:
a) 6,25 · 108 b) 2,7 · 10−4 c) 3 · 10−6
d) 5,18 · 1014 e) 3,215 · 10−9 f ) −4 · 10−7
Escribe en notación científica:
a) 4 230 000 000 b) 0,00000004
c) 84 300 d) −0,000572
Notación Científica
( ) ( )7 8 15 15 162 37 10 5 21 10 2 37 5 21 10 12 3477 10 1 23477 10' ' ' ' ' '⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
( ) ( )17 8 9 9 82 37 10 : 5 21 10 2 37 : 5 21 10 0 45489 10 4 5489 10' ' ' ' ' '⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
( )7 8 7 7 7
7 8
2 37 10 5 21 10 2 37 10 52 1 10 2 37 52 1 10
54 47 10 5 447 10
' ' ' ' ' '
' '
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ =
= ⋅ = ⋅
Notación Científica
Radicales
Se llama raíz de orden n de un número real a a cualquier otro númeroreal b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado a.
Un radical es la raíz indicada de un número:
= ⇔ =nn a b b a
38 10 5, , ...
Propiedad fundamental de los radicales:
Si se multiplica o divide el índice de un radical y el exponente delradicando por un mismo número distinto de 0, se obtiene otro radicalequivalente al primero, siempre que se tome el mismo signo para lasraíces.
Dos radicales son equivalentes si representan al mismo número real.
64 122 3 62 2 2 2 1 4142= = = = =... , ...
Potencias de Exponente Fraccionario
Un radical se puede expresar como una potencia de base el radicando yde exponente una fracción:
=
m
n m na a
EjemploEjemploEjemploEjemplo: Investiga si son equivalentes los radicales 6 45 125 25, , .
1
25 5=
3 1366 6 2125 5 5 5= = =
2 1244 4 225 5 5 5= = =
Son equivalentes.Son equivalentes.Son equivalentes.Son equivalentes.
a ⋅ 3) 3 3
Expresa como potencia única:
b ⋅ 31
) 24
c3
8)
4
a ⋅ = ⋅ =1/2 1/3 5/63) 3 3 3 3 3
b ⋅ = ⋅ = ⋅ = =1/33 3
2 2/3 2/3
1 1 1 2) 2 2 2 2
4 2 2 2
c = = =
1/2 3/25/6
1/3 2/33
8 8 2) 2
4 24
Potencias de Exponente Fraccionario
ad
a
3 8
2)
Expresa como potencia única:
ea
32
1) f a
a⋅
1)
a ad a
a a= =
3 8 8/32/3
2 2)
e aa a
−= =
2/332 2/3
1 1)
af a a a
a a a⋅ = ⋅ = =
11/2
1/2 1/2
1 1)
Potencias de Exponente Fraccionario
Propiedades de las raíces
n n na b a b⋅ = ⋅
n
nn
a a
bb=: :n n na b a b=
Producto:
Cociente:
33 3 65 6 5 6 30⋅ = ⋅ =2 3 2 3 6⋅ = ⋅ =
= = 33 3 315 : 5 15 : 5 3= =6 : 3 6 : 3 2
( ) =m
n mn a a
⋅=n m n ma a
Potencia:
Raíz:
( ) = =3
32 2 8
⋅= =3 2 3 67 7 7
Propiedades de las raíces
2) Extrae el máximo de factores posibles del radical
Ejemplos:
⋅3 63 4 : 21) Calcula y simplifica:
⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
63 2 3 43 6 66 6
3 36
3 4 : 2 3 4 : 2 3 2 : 2
3 2 3 2 6
Propiedades de las raíces
3 5000
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅33 4 3 33 33 3 3 35000 2 5 2 5 5 2 5 5 10 5
=36 5 5
=15 512 42 2
a a=510 8 4
Simplifica los siguientes radicales
Propiedades de las raíces
a b a b= ⋅34 8 212
( )x y x y x y⋅ = ⋅ = ⋅22 2 2 248
x x x x x⋅ = ⋅ = =3 5 7 5 7 124 12 12 1
Simplifica los siguientes radicales
Propiedades de las raíces
x x x= = ⋅3 36 4 6 2 316 2 2 2
x x x x
y y y y
⋅= = ⋅
⋅
5 2 5 2
3 2 3
28 2 7 2 7
75 5 3 5 3
( ) = = = ⋅ =10
4 10 5 22 2 2 2 2 4 2
Extrae factores de los siguientes radicales:
Operaciones con Radicales
⋅ ⋅⋅ = ⋅ = = =
⋅
4 24 4 44 4 4
2
5 5 2 5 2 5 202 2
12 12 2 3 3 3
⋅⋅ = ⋅ = = =
2
2 2 2
1 1 12 2 312 12 3
2 2 2 2
⋅ = ⋅ = ⋅ =
3 3 2
3 33 33 3 2
2 9 2 9 2 3 2
3 4 3 4 3 2 3
Introduce dentro de la raíz y simplifica:
Operaciones con Radicales
Dos radicales se llaman semejantes si, una vez simplificados,se escriben como números con la misma parte radical.
Ejemplo: Opera y simplifica 8 2 18+ ⋅
( )
3 28 2 18 2 2 2 3
2 2 2 3 2 2 2 6 2
2 6 2 8 2
+ ⋅ = + ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= + ⋅ = ⋅
Radicales semejantes
+ − = + − =3 3 5 3 3 5
3 3 3 34 3 4 3
Suma:
= + − =
3 5 31 3
4 3 12
Operaciones con Radicales
= + ⋅ ⋅ − ⋅ = + − =4 2 4 3 2 2 7 3 2 4 2 24 2 21 2
Suma:
+ − = + ⋅ − ⋅ =3 2 3 22 8 4 72 7 18 2 2 4 3 2 7 2 3
( )= + − =4 24 21 2 7 2
Operaciones con Radicales
Operaciones con RadicalesRacionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrarotra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador.
Racionaliza los siguientes denominadores:
Racionalización
Racionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrarotra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador.
Racionaliza los siguientes denominadores:
RacionalizaciónRacionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrarotra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador.
Racionaliza los siguientes denominadores:
Racionalización
Si a es un número real positivo y distinto de 1, el logaritmologaritmologaritmologaritmo enbase a de un número N es el exponente al que hay que elevar labase para obtener dicho número.
log b
a N b a N= ⇔ =
32log 8 3 2 8= ⇔ =
Ejemplo:
Logaritmos
25log 25 2 5 25porque= =
410log 10 000 4 10 10 000porque= =
410log 0,0001 4 10 0,0001porque
−= − =
32 3
1 1 1log 3 2
8 2 8porque
−= − = =
25 2
1 1 1log 2 5
25 5 25porque
−= − = =
Logaritmos
Aplicando la definición de logaritmo, calcula x en cada caso:
( )1 3 31
2
1log 8 8 2 2 2 2 3
2
xx
xx x
− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = → = −
4 4 44 log 16 16 2 2x x x x= ⇔ = ⇔ = → =
23 2
1 1log 2 3
3 9x x x
−= − ⇔ = → = =
Logaritmos
Logaritmo de un productoLogaritmo de un productoLogaritmo de un productoLogaritmo de un producto: ( )log log loga a aP Q P Q⋅ = +
Logaritmo de un cocienteLogaritmo de un cocienteLogaritmo de un cocienteLogaritmo de un cociente: log log loga a a
PP Q
Q
= −
( )2 2 2log 3 5 log 3 log 5⋅ = +
2 2 2
3log log 3 log 5
5
= −
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de una potenciaLogaritmo de una potenciaLogaritmo de una potenciaLogaritmo de una potencia: log logn
a aP n P= ⋅
Cambio de baseCambio de baseCambio de baseCambio de base:log
loglog
ba
b
PP
a=
32 2log 5 3 log 5= ⋅
2
log5log 5
log 2=
Propiedades de los logaritmos
Calcula usando la calculadora:
3
log5 0,69897log 5 1,46497...
log3 0,4771212= = =
5
log 7log 7 1,20906...
log5= =
7
log13log 13 1,31812...
log 7= =
Propiedades de los logaritmos
Convierte la expresión algebraica tomando logaritmos. x y
Az
=
2
3
A x y z= + −log 2 log log 3 log
x yA
z=
2
3log log
A x y z= + −2 3log log log log
( )A x y z= −2 3log log log
Propiedades de los logaritmos
B x y z= + −log 2 log 7 log 5 log
B x y z= + −2 7 5log log log log
( )B x y z= −2 7 5log log log
x yB
z
=
2 7
5log log
x yB
z=
2 7
5
Elimina los logaritmos de
Propiedades de los logaritmos
Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y que log 3 ≈0,477, hallar:
3
3
log8 log 2 3 log 2 3 0,301log 8 1,893
log3 log3 log3 0,477
⋅ ⋅= = = = ≈
Propiedades de los logaritmos
Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y que log 3 ≈ 0,477, hallar:
= = =
1
212 12log 0,012 log log
1000 1000
( )= = − =1 12 1log log12 log1000
2 1000 2
( )( ) ( )= ⋅ − = + − ≈ −21 1
log 2 3 3 2 log 2 log3 3 0,96052 2
Propiedades de los logaritmos
Toma logaritmos en la expresión ( )xx
A x=
( ) ( )x
x xA x x x = = ⋅ =
log log log
x x x x x= ⋅ ⋅ = ⋅2log log
A x x= ⋅2log log
Propiedades de los logaritmos