70
Nombres primers: nombres misteriosos,

Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Page 2: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

És primer qualsevol nombre natural major d'1, que

només es pot dividir per 1 i per ell mateix

Page 3: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Euclides:

1. Si un nombre primer p divideix un producte m.n, almenys divideix un dels dos factors m o n.

2. Un nombre natural, o bé és un nombre primer, o bé es pot expressar de manera única com a producte de diversos nombres primers, no necessàriament diferents (Teorema fonamental de l'Aritmètica).

3. Hi ha infinits nombres primers.

Page 4: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Per què l'1 no es considera primer?

- Per definició.

- Per complir la 2ª proposició d'Euclides

- Per no haver d'anar repetint sempre "per a qualsevol nombre primer n excepte l'1" en l'enunciat de diverses propietats.

Al capdavall s'exclou l'1 de la llista de nombres primers per pura comoditat.

Page 5: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Una taula de nombres primers es pot fer pel mètode del Garbell d'Eratòstenes:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Page 6: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Demostració de la infinitud de la successió de nombres primers (Euclides):

Suposem que pn és el nombre primer més gran que existeix. Ara multipliquem tots els nombres primers fins a pn i sumem-hi 1.

P = p1 x p2 x p3 … pn + 1

Si P és primer, ja hem trobat un nombre primer més gran que pn.

Si P és compost, haurà de ser divisible per un nombre primer més gran que pn, ja que dividint-lo per qualsevol nombre primer fins a pn la divisió sempre donaria 1 de resta.

Per tant, la hipòtesi inicial és falsa, i sempre podrem trobar un nombre primer més gran que qualsevol altre.

Page 7: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Qualsevol nombre primer és "veí" d'un múltiple de 6. En efecte:

n = 6q + r, essent r = 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

per a r = 0, 2, o 4, n resulta ser un nombre parell.

per a r = 3, n resulta ser un múltiple de 3.

per a r = 1, n resulta ser un múltiple de 6 + 1.

per a r = 5, n resulta ser un múltiple de 6 + 5, o sigui un múltiple de 6 - 1.

Page 8: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Descomposició d'un nombre en factors primers:

Aquesta descomposició és única (deixant de banda l'ordre dels factors, atesa la propietat commutativa de la multiplicació).

Es fa una ratlla vertical a la dreta del nombre i es va dividint successivament pels nombres primers per ordre creixent, mentre es pugui.

Vegem p. ex. la descomposició de 161.700:

Page 9: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

161.700 280.850 240.425 313.475 52.695 5

539 777 711 11 D'on 161.700 = 22 x 3 x 52 x 72 x 111

Page 10: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers entre si: Són aquells que no tenen cap divisor comú, tret de l'1 (no cal que siguin primers individualment, sinó que poden ser compostos).

P. ex.: 99 = 33 x 11 i 490 = 2 x 5 x 72 són nombres compostos, però són primers entre si perquè no tenen cap divisor comú.

Una fracció ja no es pot simplificar més quan el numerador i el denominador arriben a ser nombres primers entre si.

P. ex.: 1.188/5.880 = 594/2.940 = 297/1.470 = 99/490 i ja no es pot simplificar més.

Page 11: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Distribució dels nombres primers dintre el conjunt dels nombres naturals = Quants nombres primers hi ha fins a un nombre qualsevol x ( x inclòs)?

D'aquest valor en direm la funció (x). Com que la successió de nombres primers és infinita, (x) tendeix a quan x tendeix a .

Aquesta funció és esglaonada, irregular i de pendent decreixent, la qual cosa vol dir que els nombres primers van essent cada cop més escassos.

Vegem les gràfiques corresponents per a x = 100, x = 1.000 i x = 1.000.000.

Page 12: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos
Page 13: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos
Page 14: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Però si mirem d'igualar l'escala vertical de les figures amb l'horitzontal, la cosa ja es veu bastant diferent

Ara farem el mateix però amb la quantitat de nombres primers fins a 1.000.000.

Page 15: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos
Page 16: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

La gràfica real de la quantitat de nombres primers fins a 1.000.000 seria més o menys aquesta. No es veu gaire bé, però la seva alçada ha de ser el 7,85 % de la seva

llargada. Com que la corba és molt aixafada, no es nota que al principi té més pendent i que aquest pendent va

disminuint progressivament, però realment és així.

Page 17: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Taula de la quantitat de nombres primers:x (x) (x)/x en %

10 4 40,00 %100 25 25,00 %

1.000 168 16,80 %10.000 1.229 12,29 %

100.000 9.592 9,59 %11000.000 78.498 7,85 %

101000.000 664.579 6,66 %1001000.000 51761.455 5,76 %

1.0001000.000 501847.534 5,08 %10.0001000.000 4551052.511 4,55 %

100.0001000.000 4.1181054.813 4,12 %12000.0001000.000 37.6071912.018 3,76 %

102000.0001000.000 346.0651536.839 3,46 %1002000.0001000.000 32204.9421750.802 3,20 %

1.0002000.0001000.000 292844.5701422.669 2,98 %10.0002000.0001000.000 2792238.3411033.925 2,79 %

100.0002000.0001000.000 2.6232557.1571654.233 2,62 %13000.0002000.0001000.000 24.7392954.2871740.860 2,47 %

103000.0002000.0001000.000 234.0572667.2761344.607 2,34 %1003000.0002000.0001000.000 23220.8192602.5601918.840 2,22 %

1.0003000.0002000.0001000.000 213127.2692486.0181731.928 2,11 %10.0003000.0002000.0001000.000 2013467.2862689.3151906.290 2,01 %

Page 18: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Hi ha alguna funció coneguda que permeti calcular o aproximar els valors de la funció (x)?

L'any 1896 es va demostrar que la funció x/ln(x) era assimptòtica amb la funció (x). Això no vol pas dir que la seva diferència tendeixi a 0 sinó que vol dir que el seu quocient tendeix a 1.

També es va descobrir que la funció x/ln(x-1) encara s'aproxima més a la funció (x).

A la diapositiva següent veurem una taula comparativa dels valors d'aquestes tres funcions i del grau d'aproximació de x/lnx i de x/ln(x-1) a (x).

Page 19: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

x (x) x/lnx aprox. x/ln(x-1) aprox.1.000 168 145 86,31 % 169 100,60 %

10.000 1.229 1.086 88,36 % 1.218 99,10 %100.000 9.592 8.686 89,93 % 9.512 99,17 %

11000.000 78.498 72.382 92,21 % 78.030 99,40 %101000.000 664.579 620.640 93,39 % 661.459 99,53 %

1001000.000 51761.455 51428.681 95,16 % 51740.304 99,63 %

Page 20: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Estimació aproximada de l'enèsim nombre primer, que anomenarem p(n), o pn:

Hi ha diverses fórmules aproximades i bastant complicades, p. ex. que p(n) és una funció assimptòtica amb n*(ln(n) + lnln(n) -1).

Per a n = 1.000.000 aquesta fórmula dóna aproximadament 15.400.000.

En realitat, el mil·lionèsim nombre primer és el 15.485.863 (error d'un 0,56 %).

Page 21: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Probabilitat que un nombre x elegit a l'atzar sigui primer:

De la mateixa definició de probabilitat = nº de casos favorables/nº de casos possibles, es dedueix que aquesta probabilitat s'aproxima assimptòticament a (x/lnx)/x = 1/lnx, funció que tendeix a 0 quan x tendeix a .

Ara bé, com que la densitat de nombres primers va disminuint, no podem triar arbitràriament un nombre i pensar-nos que l'hem elegit a l'atzar, sinó que caldria escriure'ls tots en unes paperetes ben iguals, barrejar-les perfectament i després extreure'n una, perquè tots tinguessin la mateixa probabilitat de ser elegits.

Page 22: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Probabilitat que dos nombres elegits a l'atzar siguin primers entre si:

Malgrat que la "densitat" de nombres primers va disminuint quan x augmenta, la probabilitat que dos nombres qualssevol elegits a l'atzar siguin primers entre si, no tendeix a 0 sinó que és un valor constant = 6/2 = 0,607927 …, o sigui del 60,7927 … %

Page 23: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Interval entre nombres primers consecutius:

Anomenem funció g(pn) el nombre de nombres compostos que hi ha entre el nombre primer pn i el nombre primer següent pn+1, de manera que pn+1 = pn + g(pn) + 1 (la lletra g ve de l'anglès "gap").

El valor mitjà d'aquest interval resulta ser ln(n). Ara bé els valors màxim i mínim d'aquest interval ja són una altra cosa.

El valor màxim d'aquest interval és , perquè és fàcil demostrar que per a qualsevol nombre n sempre és possible trobar dos nombres primers consecutius que estiguin separats n unitats.

Si mai s'aconsegueix demostrar que hi ha infinits parells de nombres primers veïns o bessons (senars consecutius) aleshores resultarà que el valor mínim d'aquest interval seria = 1, però això tampoc no està demostrat encara.

Page 24: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Lloc de primera aparició dels diferents intervals entre nombres primers consecutius:

P. ex. un interval de 3 compostos consecutius apareix per primera vegada després del 7, un interval de 17 compostos consecutius apareix després del 523 i un interval de 950 compostos consecutius apareix després del 2182209.4051436.543.

De la taula següent sembla que els intervals més grans van apareixent ordenadament després de nombres primers més grans, però no sé això arriba a ser una conjectura plausible o bé és una simple suposició meva perquè la taula no és prou completa.

Page 25: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Gap After Gap After Gap After Gap After

0 2 33 1.327 117 11349.533 247 1911912.783

1 3 35 9.551 131 11357.201 249 3871096.133

3 7 43 15.683 147 21010.733 281 4361273.009

5 23 51 19.609 153 41652.353 287 1.2941268.491

7 89 71 31.397 179 171051.707 291 1.4531168.141

13 113 85 155.921 209 201831.323 319 2.3001942.549

17 523 95 360.653 219 471326.693 335 3.8421610.773

19 887 111 370.261 221 1221164.747 353 4.3021407.359

21 1.129 113 492.113 233 1891695.659 381 10.7261904.659

Page 26: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Si ara definim una funció pn(g) com al primer nombre primer que té almenys g nombres compostos al darrera, hi ha una conjectura de Shanks, de 1964, que diu que pn(g) és una funció assimptòtica amb g.

He comprovat que aquesta funció dóna errors considerables per a valors no enormes d'n, o de g, però per a valors molt i molt grans suposo que s'hi deu anar aproximant.

Page 27: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ara farem un repàs a diverses sèries de nombres primers de característiques particulars.

Page 28: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers bessons o veïns: Son aquells parells de nombres primers que són senars consecutius.

P. ex.: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73, o bé 12000.0001000.061 i 12000.0001000.063.

La quantitat (de parells) que n'hi ha és aquesta:Fins a 1.000.000 8.169Fins a 1001000.000 440.312Fins a 10.0001000.000 271412.679

Page 29: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

La suma dels inversos dels nombres naturals tendeix a i la suma dels inversos dels nombres primers (malgrat que n'hi ha molts menys que de nombres naturals) també tendeix a .

Ara bé, curiosament, la suma dels inversos dels nombres primers bessons és finita i tendeix a l'anomenada constant de Brun (1919), que val 1,902160578…

O sigui que 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + 1/71 + 1/73 … = 1,902160578...

Page 30: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Els nombres primers bessons més grans que es coneix són 33.218.925 x 2169.690 1.

Es conjectura que hi ha infinits parells de nombres bessons, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Page 31: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres (primers i compostos) de Mersenne:

Són nombres de Mersenne tots els que són iguals a una potència de 2 disminuïda en una unitat, o sigui de la forma 2n - 1.

No tots els membres d'aquesta successió són primers, ni molt menys, de fet, fins ara només se'n coneix 39 que siguin primers (perquè costa molt d'esbrinar si un nombre molt gran és primer o no ho és).

P. ex. són primers M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19, M31, M61, M89, M107 etc.

Perquè un nombre de Mersenne Mn sigui primer, cal que el seu subíndex n (i exponent de 2) també sigui primer. Això és una condició necessària però no suficient, p. ex. M11 té subíndex primer, però val 2.047, que és un nombre compost = 23 x 89.

Page 32: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

La llista dels primers nombres de Mersenne és aquesta:

n (exponent de 2) Mn Divisibilitat Subíndex

1 1 primer primer2 3 primer primer3 7 primer primer4 15 divisible per 3 i 5 compost5 31 primer primer6 63 divisible per 3 i 31 compost7 127 primer primer8 255 divisible per 3, 5 i 17 compost9 511 divisible per 7 i 73 compost

10 1.023 divisible per 3, 11 i 31 compost11 2.047 divisible per 23 i 89 primer12 4.095 divisible per 3, 5, 7 i 13 compost13 8.191 primer primer14 16.383 divisible per 3, 43 i 127 compost15 32.767 divisible per 7, 31 i 151 compost16 65.535 divisible per 3, 5, 7 i 257 compost17 131.071 primer primer18 262.143 divisible per 3, 7, 19 i 219 compost19 524.287 primer primer20 1.048.575 divisible per 3, 5, 11 i 29 compost21 2.097.151 compost compost22 4.194.303 compost compost23 8.388.607 compost primer24 16.777.215 compost compost

Page 33: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

:20 1.048.575 divisible per 3, 5, 11 i 29 compost21 2.097.151 compost compost22 4.194.303 compost compost23 8.388.607 compost primer24 16.777.215 compost compost25 33.554.431 compost compost26 67.108.863 compost compost27 134.217.727 compost compost28 268.435.455 compost compost29 536.870.911 compost primer30 1.073.741.823 compost compost31 2.147.483.647 primer primer32 4.294.967.295 compost compost33 8.589.934.591 compost compost34 17.179.869.183 compost compost35 34.359.738.367 compost compost36 68.719.476.735 compost compost37 137.438.953.471 compost primer38 274.877.906.943 compost compost39 549.755.813.887 compost compost40 1.099.511.627.775 compost compost

Page 34: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Els nombres primers de Mersenne gaudeixen de la propietat que multiplicats per la potència anterior de 2, donen lloc a nombres perfectes = que són iguals a la suma de tots els seus divisors (tret d'ells mateixos).

P. ex.: M7 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127.

Aleshores tenim: (27 - 1) x 27-1 = 127 x 26 = 127 x 64 = 8.128

Els divisors de 8.128 són 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1.016, 2.032 i 4.064, que sumats donen 8.128 (això no és cap propietat misteriosa sinó molt vulgaris i es demostra molt fàcilment).

Page 35: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Esbrinar si un nombre molt gran és primer o compost és una feina que consumeix moltes hores d'ordinador, però hi ha programes que permeten saber més fàcilment si un nombre de Mersenne és primer o compost, que no pas un nombre qualsevol. Per això els nombres primers més grans coneguts són justament nombres primers de Mersenne.

El NPM23 va ser descobert a la Universitat d'Illinois el 1963, i en van quedar tan satisfets que, mentre no es va descobrir el següent, van fer figurar aquest nombre en el matasegells de les cartes que enviaven.

Page 36: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Aquests nombres ara es busquen amb l'ajuda de molts aficionats que tenen els seus ordinadors en marxa fent córrer un programa anomenat GIPMS (Great Internet Mersenne Prime Search), de manera semblant al que es fa amb el programa SETI de cerca de senyals intel·ligents extraterrestres.

D'aquesta manera s'ha trobat els nombres del NPM35 en endavant. De totes maneres, el mes gran de tots (nº de Cameron) no se sap ben bé si és l'NPM39 o bé si entre aquest i el NPM38 n'hi ha algun altre que s'ha escapat a les indagacions. Si hi fos, aleshores aquest nombre no seria l'NPM39 sinó el 40, el 41, o el que fos.

Com que aquest nombre té més de 4 milions de dígits, sembla que aviat s'arribarà a trobar el primer nombre primer de més de 10 milions de dígits. Quan arribi ho haurem de celebrar.

Page 37: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Exponent n onº d'ordre Mn

Nº d'ordreNPM

Nº de dígitsd' Mn

Nº de dígits en el nº perfectecorresponent

Any dedescobriment

2 1 1 1 ---3 2 1 2 ---5 3 2 3 ---7 4 3 4 ---

13 5 4 8 145617 6 6 10 158819 7 6 12 158831 8 10 19 177261 9 19 37 188389 10 27 54 1911

107 11 33 65 1914127 12 39 77 1876521 13 157 314 1952607 14 183 366 1952

1.279 15 386 770 19522.203 16 664 1.327 19522.281 17 687 1.373 19523.217 18 969 1.937 19574.253 19 1.281 2.561 19614.423 20 1.332 2.663 1961

Llista de tots els nombres primers de Mersenne coneguts fins ara:

Page 38: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

9.689 21 2.917 5.834 19639.941 22 2.993 5.985 1963

11.213 23 3.376 6.751 196319.937 24 6.002 12.003 197121.701 25 6.533 13.066 197823.209 26 6.987 13.973 197944.497 27 13.395 26.790 197986.243 28 25.962 51.924 1982

110.503 29 33.265 66.530 1988132.049 30 39.751 79.502 1983216.091 31 65.050 130.100 1985756.839 32 227.832 455.663 1992859.433 33 258.716 517.430 1994

1.257.787 34 378.632 757.263 19961.398.269 35 420.921 841.842 19962.976.221 36 895.932 1.791.864 19973.021.377 37 909.526 1.819.050 19986.972.593 38 2.098.960 4.197.919 1999

13.466.197 39 ?? 4.053.946 8.107.892 2001

Page 39: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

De les taules també es veu que a mida que es va avençant, els nombres de la successió que són primers escassegen cada vegada més (cosa que també passa amb els nombres primers "normals), però no s'ha pogut demostrar si a partir d'un cert punt ja no n'hi ha cap més, o bé si malgrat això n'hi ha infinits (cosa que sí que està demostrada per als nombres primers "normals"). I tampoc no està demostrat que a partir d'un cert punt no ho siguin tots de primers.

Per tant les possibilitats que a la successió de nombres de Mersenne hi hagi infinits nombres primers i també que hi hagi infinits nombres compostos no passen de ser unes meres conjectures.

Page 40: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers factorials:

Anomenem nombres primers factorials els de la forma n! + 1 o bé n! - 1. P. ex., fins a n = 10.000, de la forma n! + 1 són primers els que corresponen al subíndex n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1.477 i 6.380 (de 21.570 dígits).

De la forma n! - 1 són primers els que corresponen al subíndex n = 3, 4, 5, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 469, 546, 974, 1.963, 3.507, 3.610 i 6.917 (de 23.560 dígits).

Page 41: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Els nombres primers factorials actualment coneguts, són respectivament:

34.790! + 1 (142.891 dígits) i

21.480! - 1 (83.727 dígits).

Es conjectura que hi ha infinits nombres primers factorials, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Page 42: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers primorials:

Són els que tenen la forma n# + 1 o bé n# - 1, essent # com un factorial restringit, o sigui no pas el producte de tots els enters de l'1 fins a l'n sinó només el producte dels nombres primers de l'1 (o del 2) fins a l'n.

Els nombres primers primorials més grans actualment coneguts, són respectivament:

392.113# + 1 i 15.877# - 1

Es conjectura que hi ha infinits nombres primers primorials, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Page 43: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers de Fibonacci:

Perquè un nombre de Fibonacci pugui ser primer, cal el seu subíndex també sigui primer (amb l'excepció d'F4 = 3). Això és una condició necessària però no suficient, p. ex. F19 té subíndex primer, però val 4.181, que és un nombre compost = 37 x 113.

Fins ara s'ha comprovat que són primers els nombres de Fibonacci amb subíndex 3, 4, 5, 7, 11, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2.971, 4.723, 5.387, 9.311, 9.677, 14.431, 25.561, 30.757, 35.999 i 81.839 (17.103 dígits).

Page 44: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Se sospita que també són primers els nombres de Fibonacci amb subíndex 37.511, 50.833, 104.911, 130.021, 148.091, 201.107, 397.370 i 433.781, però encara no està comprovat.

No sé si tots els altres nombres de Fibonacci que no estan en aquestes darreres dues llistes està compovat que són compostos o és que no està comprovat.

Es conjectura que hi ha infinits nombres primers de Fibonacci, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Page 45: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres de Lucas:

Són com els de Fibonacci però en lloc de començar la successió amb 1 i 1 es comença amb 1 i 3.

Fins ara s'ha comprovat que són primers els nombres de Lucas amb subíndex 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 17, 19, 31, etc. en total 41 nombres, fins a 51.169 (10.694 dígits).

Se sospita que també són primers 6 nombres de Lucas encara més grans, fins al que té subíndex 202.667.

També es conjectura que hi ha infinits nombres primers de Lucas, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Page 46: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers consecutius en progressió aritmètica:

Per poder parlar de progressió aritmètica, almenys cal tenir un grup de 3 nombres primers consecutius distanciats en un mateix interval.

Teorema de Dirichlet: Si a i b són nombres primers entre si, a la progressió aritmètica a+b, a+2b, a+3b ... etc. hi ha infinits nombres primers.

Ara bé, aquest teorema no diu que els nombres primers que hi hagi a la progressió siguin consecutius.

Page 47: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Tampoc no diu que per a qualsevol nombre enter n, hi hagi n nombres primers en qualsevol d'aquestes progressions.

Es conjectura que sí que hi són, però això no d'ha demostrat ni tan sols per a n = 3. Ara bé, per a n = 3, s'ha demostrat que sí que hi són si s'elimina la condició que siguin consecutius.

Bé, vegem quina és la progressió aritmètica actualment coneguda, de nombres primers més grans, que només és de 3 termes. Comença amb el nombre

3.247.803 x 2229.377 - 82.953.297 x 2180.000 - 1

i té per raó o diferència

3.247.803 x 2229.376 - 82.953.297 x 2180.000

Page 48: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Progressions aritmètiques llargues:

Una senzilla progressió de 5 termes és la formada pels nombres 5, 11, 17, 23 i 19, de raó 6.

El 1967 es va descobrir dues progressions de 5 i 6 termes respectivament, i totes dues de raó 30, que comencen per:

10.000.024.493 i 121.174.811

Després ja es va trobar progressions de 7, 8, 9 i 10 termes (nombres primers consecutius). Aquesta darrera és la més llarga coneguda, comença per un nombre de 93 dígits i té per raó un nombre no gaire alt, el 210. Vegem aquest nombre tan interessant a la diapositiva següent.

Page 49: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

10015996.97214247.63713247.63712786.65511587.96910840.3299509.3248689.1907041.8036603.4175

758.9044341.7033348.8822159.0671229.719

Sumant a aquest nombre 9 vegades 210, s'obtenen 10 nombres primers consecutius posats en progressió aritmètica. És la progressió aritmètica més llarga formada per nombres primers consecutius que es coneix.

Page 50: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Nombres primers de Sophie Germain:

Són aquells nombres primers p, tals que el nombre 2p+1 també és primer, p. ex. 2, 3, 5, 11, 23, 41, 53, 83, 89, 113, 131 ... etc.

El seu interès ve que a l'any 1825, Sophie Germain va demostrar que per a aquests nombres primers es complia el Teorema de Fermat, que diu que l'equació zn = xn + yn no té solucions enteres per a valors d'n > 2 (cas del Teorema de Pitàgores). Aquest teorema ha estat un dels problemes matemàtics més apassionants dels darrers segles, va ser enunciat per Pierre de Fermat abans de 1665 i no s'ha arribat a demostrar fins a 1995 pel matemàtic anglès Andrew Wiles.

Page 51: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

La quantitat de nombres primers de Sophie Germain que hi ha és aquesta:

Fins a 1.000 37Fins a 100.000 1.171

Fins a 10.000.000 56.032Fins a 100.000.000 423.140

Fins a 1.000.000.000 3.308.859Fins a 10.000.000.000 26.569.515

El nombre primer de Sophie Germain més gran que es coneix és:

2.5401041.185 x 2114.729 - 1.

Es conjectura que hi ha infinits nombres primers de Sophie Germain, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Page 52: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Quina és la llista de nombres primers més llarga?

La veritat és que aquesta llista no existeix.

Vegem a continuació i com a mostra, unes llistes de nombres primers qualssevol entre 10 i 100 dígits.

Page 53: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 10 digit primes5915587277150045027132670000135754853343409308289995768907673628273133286048631354634580533367900313

Page 54: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 20 digit primes48112959837082048697546732574616306794572949751391065249039740206835204840513073127647878463584414717175544031534253687345095080578985454453275424766199009008736640589702046234373336413321723440003717

Page 55: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 30 digit primes671998030559713968361666935769282174488599599500573849980909521419622856657689423872613771362736035870515331128527330659115756986668303657898962467957590872612825179551336102196593564819669946735512444543556507513821217024129243948411056803416064700201658306196320137931280829369862134719390036617067

Page 56: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 40 digit primes2425967623052370772757633156976982469681145173047051377849223662959899216603506760753805293454588601445773987047616146493615415881585117908550243505309785526231599283023552414275838685063377325868111943841651828672405848059309709515750136975991810554633396517767024967580894321153684794468203744468116277067279828891384941461629194585301689533572822016211240575570373270183181665098052481109678989411

Page 57: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 50 digit primes22953686867719691230002707821868552601124472329079307625422503012706920514605395861669272917327549612992740239799128648962783773417918638518829638222746484729803540183101830167875623788794533441216779956478064792755281357337812662039047944195630644076449532773188769353973855869106683910338856730044958645563317564309847334478714939069495243200674793487050913552388827788429092300567121408134601578991545241701177578785195104730956315938884094630980753542885039615245271174355315623704334284773568199

Page 58: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 60 digit primes622288097498926496141095869268883999563096063592498055290461610692533270508750441931226384209856405876657993997547171387668486051696691190102895306426999370394054817506916629001851313539589974026666385010319707341761012894704055733952484113470287785858076441566723507866751092927015824834881906763507361720912810755408215708460645842859722715865206816237944587378348910233465647859184421334615532543749747185321634086219669483106578092405936560831017556154622901950048903016651289351300033958683656629281197430236951045077917074227778834807511704374946917490638851104912462284144240813125071454126151

Page 59: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 70 digit primes4669523849932130508876392554713407521319117239637943224980015676156491490627542776780235835770373093808736217614264269909382793310788825370924091307818949865719567777216499688015114659154511963762691773050668677595009151080016652449223792726748985452052945413160073645842090827711382253563203350946426615981180519785487206704299071600580837219466493358859039651805866690735493606448005834581382380120336475396497350172875850725702766829291491370712136286009948642125131436113342815786444567423708097986860774275080860084663831802286359314777473955642794329493737731808162193846067841895388995531104994422957825767022222803849175519547848065153773335707495885453566120069130270246768806790708393909999

Page 60: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 80 digit primes18532395500947174450709383384936679868383424444311405679463280782405796233163977396886448368328825261738315775361178158184544378104372102216445533819958130149594482248151160106609871348145316174897984976471955403909639568804504805331017848754875133386847519273109693154204970395475080920935355580245252923343305939004903409792184044490718543855097437724650433840637856134605687052891731818469001815035618106987348694873585212049341752748522656515031782506510607492656730663012596119469495355310348270990592580191998639221450743640952620236903851789700309402857342632330648354211252647766081634405379257059979623465969778034620338410596287231475998436180202124541047592810166939534879181170570911737412942705186135501115167120333368520272532940669112228025474970578938046280618394371551488988323794243

Page 61: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 90 digit primes282755483533707287054752184321121345766861480697448703443857012153264407439766013042402571370332600450952648802345609908335058273399487356359263038584017827194636172568988257769601463199005416013829210323411514132845972525641604435693287586851332821637442813833942427923374413471625854958269706803072259202131399386829497836277471117216044734280924224462969371664869143773196608462001772779382650311673568542237852546715913135688434614731717844868261309133826845331278722882330592890120369379620942948199356542318795450228858357445635314757976522637021306403150551933319006137720124048624544172072735055780411834104862667155922841635752334942676003169313626814655695963315290125751655287486460091602385142405742365191277625161793954624746211679299331621567931369768944205635791355694727774487677706013842058779204005728266090048777253207241416669051476369216501266754813821619984472224780876488344279

Page 62: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Ten random 100 digit primes2074722246773485207821695222107608587480996474721117292752992589912196684750549658310084416732550077236749577021714299526482794866680923306640949769987011200314935238037512485523006848710937322625198318141595668199703079826817168221070160389201705043914574625634851981269167351672602156195234297140315371393606024775251256550436773565977406724269152942136415762782810562554131599074907426010737503501651351673460003571830032721125092823717828175849441735756008682841686392927045143712602194985074638156282904590578772918091824503812389276973148221339234211693780629221400814987344241331120328548122932908511952812557872434704820397229928450530253990158990550731991011846571635621025786879881561814989219399299321860431088446186461800194513179092528253176867916905438924152789522216947672369160589851752026427209861890870348378323378284729698009109265013619678720594860457131454501167124886850046914237212610147295474909544523785043492409969382148186765460082500085393519556525921455588705423020751421

Page 63: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Vegem seguidament algunes conjectures sobre nombres primers encara no resoltes avui dia:

Ja n'hem comentades unes quantes, i n'hi afegirem encara unes quantes més de molt interessants per acabar el tema.

Page 64: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Conjectura de Goldbach: Potser aquesta és la més famosa de totes.

Diu que tot nombre parell > 2 és suma de 2 nombres primers, p. ex.: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 16 = 3 + 13, etc.

S'ha comprovat que la conjectura es compleix almenys fins a 4 x 1014, però encara no se sap si és certa o no ho és.

S'ha demostrat que la conjectura de Goldbach és equivalent a una altra: Que qualsevol enter > 17 és suma de 3 nombres primers diferents.

També s'ha demostrat que qualsevol nombre parell és la suma de 6 nombres primers com a màxim.

Page 65: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Conjectura de Goldbach dels nombres senars:

Qualsevol nombre senar > 5 és suma de 3 nombres primers (no necessàriament diferents), p. ex. 7 = 5 + 1 + 1, 17 = 11 + 5 + 1 … etc.

S'ha demostrat que aquesta conjectura és certa per a n > 1043.000.

Això vol dir que si es comprova manualment o informàticament que també es compleix per a tots i cada un dels valors de n inferiors, ja quedaria demostrada en la seva totalitat.

Page 66: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Hi ha infinits nombres primers de Mersenne?

No se sap.

Hi ha infinits nombres compostos de Mersenne?

Tampoc no se sap.

Hi ha nombres perfectes senars?

Tots els nombres perfectes actualment coneguts deriven dels nombres de Mersenne i són parells, però això no vol dir que teòricament no n'hi pugui haver de senars. De moment no se n'ha trobat cap i tampoc no se sap si n'hi ha algun o si no n'hi ha cap.

Page 67: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Conjectura de Polignac: Per a qualsevol nombre parell 2n, hi ha infinits parells de nombres primers consecutius que difereixen en 2n? (p. ex. en 6, o en 26, o en 23.552, etc.). Per a n = 1 equival a la conjectura de la infinitud dels nombres primers bessons.

Conjectura d'n2 + 1: Hi ha infinits nombres primers que siguin un quadrat perfecte + 1? (p. ex. 5, 17, 37, 197, 257, etc.?

Conjectura dels quadrats perfectes consecutius: No se sap si sempre hi ha almenys un nombre primer entre n2 i (n+1)2 (p. ex. entre 992 i 1002 n'hi ha 20).

Page 68: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Una altra conjectura sobre progressions aritmètiques:

Hi ha infinits grups de nombres primers consecutius en progressió aritmètica?

No se sap ni sí ni so, però està demostrat que sí que hi ha infinits tercets de nombres primers en progressió aritmètica si s'elimina la condició que siguin consecutius

I ara, la cirereta del pastís:

Page 69: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

El 73.939.133 és un nombre primer meravellós.

Si li aneu suprimint la darrera xifra, tots els nombres resultants també són primers.

7.393.913 també és primer

739.391 també és primer

73.939 també és primer

7.393 també és primer

739 també és primer

73 també és primer

7 també és primer

El 73.939.133 és el nombre més gran conegut que té aquesta propietat. En voleu buscar més?

Page 70: Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

Per acabar (de debò):

Deia un famós matemàtic del CalTech, que si sou capaços de resoldre qualsevol d'aquestes

conjectures, el vostre nom viurà per tota l'eternitat en l'espai de la fama matemàtica.