I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

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FECHA: 19-06-2013

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Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: NOVENO

Periodo: TERCERO GUIA # 1

Docente: Duración: 10 horas

Área: Matemáticas Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR: Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas por medio de funciones y ecuaciones

cuadráticas

EJE(S) TEMÁTICO(S): 1. FUNCIÓN CUADRÁTICA *DEFINICIÓN - *ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

*CEROS, RAÍCES O SOLUCIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

2. ECUACIÓN CUADRÁTICA *DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA - *SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES

CUADRÁTICAS INCOMPLETAS.*SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS. --*ANÁLISIS DE

LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA, *PROPIEDADES DE LAS RAÍCES *NATURALEZA DE LAS

RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA--* PROBLEMAS DE APLICACIÓN

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía. Sigue las instrucciones del docente.

Atiende las explicaciones del docente Resuelve las actividades en el cuaderno.

Complementa el tema visto consultando y realizando Comparte con sus compañeros lo aprendido.

Otras actividades. Aclara tus dudas.

EXPLORACIÓN

Analice y resuelve, aplicando procedimiento o procesos correctos.

CONCEPTUALIZACIÓN

DEFINICIÓN: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 +bx+c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

1) Para organizar una fiesta Adriana ha comprado como pasabocas 1

caja de galletas de mantequilla que contiene 16 paquetes, cada uno de

las cuales con 3 galletitas; tres tarros grandes de refresco de naranja

de cada uno de los cuales se pueden servir 6 vasos de jugo; y una torta

de chocolate de la cual pueden salir 24 porciones. Si todas las

personas deben comer la misma cantidad de alimentos (sin que sobre),

el número máximo de personas en la reunión (incluida Adriana) es:

a). 6 b). 12 c). 24

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Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada

parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x2

f(x) = -x2

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor

que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. La letra "x" es la variable o incógnita, y las

letras a, b y c son los coeficientes. Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el

exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así, ax2 es el término cuadrático - bx es el término lineal - c es el término independiente

Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.

y= f(x) = ax²+bx+c con a 0.

En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales.

Ejemplos de funciones cuadráticas:

A(x) = 3x²+5x-8 P(x) = -2x²-7x+1 C(x) = x²-1 D(x) = -x²

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre

una curva llamada parábola.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la

representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien

definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la

generan.

Estas características o elementos son:

1)Orientación o concavidad (ramas o brazos)

2)Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

3)Punto de corte con el eje de ordenadas

4)Eje de simetría 5)Vértice

1)ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD

Una primera característica es la orientación o concavidad de

la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola

convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

Parábola del puente, una función cuadrática.

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Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

2)PUNTOS DE CORTE EN EL EJE DE LAS ABSCISAS (RAÍCES O SOLUCIONES) (EJE DE LAS X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que

adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos. f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la

expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos: ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no

podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son

precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene

Al resultado de la cuenta b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación, porque sirve para "discriminar" (decidir)

entre los tipos posibles de respuesta; esta operación presenta distintas posibilidades: Entonces, las raíces o soluciones

de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales

Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: y ,

dependiendo del valor del discriminante Δ definido como .

1) y= a x2+ b x + c función cuadrática.

2) a x2+ b x + c = 0 ecuación cuadrática

SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES

Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, estas cumplen las siguientes

propiedades :

1) x1 +x2 = - b/a 2) X1.X2 = c/a

Si b2 - 4ac > 0

EJEMPLO :

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Dos soluciones reales y diferentes si el

discriminante es positivo:

Que corte al eje X en dos puntos distintos por lo tanto

tenemos dos soluciones posibles.

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales

distintos.

Si b2 - 4ac = 0

Una solución real doble si el discriminante es cero:

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x),

el resultado de la raíz será con lo cual la ecuación tiene

una sola solución real.

Si b2 - 4ac < 0

Dos números complejos conjugados si el discriminante es

negativo:

Que no corte al eje X, la raíz no puede resolverse,

con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Entonces, si la ecuación esta completa (1º caso) ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la

ecuación es incompleta(2º caso) solo basta despejar la variable x de la ecuación:

1er

caso: ax2 + bx = 0 2

do caso: ax

2 + c = 0

3) PUNTO DE CORTE EN EL EJE DE LAS ORDENADAS (EJE DE LAS Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo

marca el valor de c (0, c).

EJEMPLO

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

EJEMPLO:

La ecuación no tiene soluciones reales.

EJEMPLO:

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El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en -3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de

abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno. Si la función no corta al eje x,

la fórmula , no tiene solución (en los reales). .

4)EJE DE SIMETRÍA O SIMETRÍA

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente

la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Su ecuación está dada por:

Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

5)VÉRTICE

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos

xv vale:

Representar la función f(x) = x² − 4x – 3

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EXTREMOS

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si parábola tiene

concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene

concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: , la coordenada x del vértice será

simplemente: . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto. Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente

manera:

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del

eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o

mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante).

TRASLACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de la función cuadrática: Gráfico de de

y = x2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es: y = x

2 – 1 : El gráfico

de la parábola

se traslada una unidad

hacia abajo

EJEMPLO: Observa las parábolas: Dada la parábola y = - x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos

indicados.

a. y = - x2 + 2x + 3 1. Los puntos de corte con el eje X son de la forma

(x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula

obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3

= 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene

haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por

tanto, será (0,3).

Gráfico de y = x2 + 1 : El gráfico de esta

función se traslada una unidad hacia

arriba

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EJEMPLO

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. Vértice.

Xv =

x v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY (0, 3)

CLASIFICACIÓN La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente

1. Completa. Es la forma canónica: , donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

2. A)Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes: ,donde los valores de a y de c

son distintos de cero.

B)Una ecuación cuadrática incompleta: ,con a distinto de cero.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial

x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

Estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula

cuadrática.

FACTORIZACIÓN:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que

no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Realizar la factorización simple de la ecuación

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x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + 4 ) (x - 2 ) = 0

x = 0 – 4 x = 0 + 2

x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a

coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

RAÍZ CUADRADA: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :

COMPLETANDO EL CUADRADO:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los

primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1)

es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos

primeros términos son

x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para

obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

EJEMPLO: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que

ser igual a 1.

Para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

2)x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3

Resolver por el método de factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) x2 – 6x + 5 = 0

Solución: Es un trinomio de la forma x2 + b x +c. Factorizando:

(x – 5) (x – 1) = 0, entonces, x – 5 = 0 ó x – 1 = 0, de donde, x = 5 ó x = 1

x k .

x bxb2

2

2

.

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Respuesta: {1, 5}

b) 4x2 – 3x = 0

Solución: Se saca factor común x: x (4x – 3) = 0 y se aplica la propiedad del producto nulo:

x = 0 ó 4x – 3 = 0, o sea, x = 0 ó 4x = 3, de donde, x = 0 ó x = ¾

Respuesta: {0, ¾}

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0

Solución: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)

2 , pero nos faltaría el término

igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen x y sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para

formar el cuadrado de binomio:

x2 – 6x + 8 = 0 /-8

x2 – 6x = -8 /+9

x2 - 6x + 9 = -8 + 9

(x – 3) 2 = 1

De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lo tanto X1 = 4 ó X2 = 2

FÓRMULA CUADRÁTICA:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática, Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

La expresión: , conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones.

EJEMPLO:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1) Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del número

aumentado en 5.

SOLUCIÓN:

Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x

2 + 5

Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática: 3x2 – 4x – 4 = 0

Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4

Luego, las soluciones de la ecuación son X1 = y X2 = 2. Pero el número que estamos buscando debe ser entero, por lo

tanto, la solución es x = 2.

EJEMPLO 2:

Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura?

Solución: Sea x la base del triángulo ,y, x + 2 su altura, entonces su área es:

xb b ac

a 2 4

2.

b ac2 4

x = -2 ± 6

2

x1 = -2 + 6 x2 = -2 – 6

2 2

x1 = 4 x2 = -8 , por lo tanto:

2 2

x1 = 2 x2 = - 4

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=24 cm2

A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado. X2 +2x -4

Ahora resolvemos esta ecuación por factorización. (x + 8) (x - 6)=0

Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución que nos sirve es x2 = 6 y

comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces la respuesta es x + 2= 8cm

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Se dice que una ecuación de segundo grado es INCOMPLETA cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son

iguales a cero.

Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos:

A. ax2= 0; si b= 0 y c = 0. B. ax

2+ bx = 0; si c = 0. C. ax

2 + c = 0; si b = 0.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

1) ax2 = 0

La solución es x = 0.

La otra solución la obtenemos al resolver la ecuación de primer grado resultante de igualar a cero el 2º factor.

EJEMPLO

,

,

ax2 + c = 0

Despejamos: ax 2+c = 0.Despejando x

2, se tiene:

ESTUDIO DE LA FAMILIA DE PARÁBOLAS: y = a x2 , Para todas ellas: b = c = 0

El Vértice estará siempre en el origen, dado que Xv = = -0/ 2a = 0 y YV =f(X) = a Xv2 = a . 0 = 0 , V (0,0)

EN RESUMEN:

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

2) ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x:

Igualamos a cero el 1

er factor.

Una solución siempre es x = 0.

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Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.

Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo

corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

Signo de a Concavidad El extremo es un .... La abscisa del extremo es:

+ + mínimo -b/2a

— — máximo -b/2a

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

1)Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas

usando la fórmula cuadrática:

1) x2 + 8x + 6 = 0 2) 9x

2 + 6x + 1 = 0

3) 5x2 - 4x + 1 = 0

2)Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones

1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)

2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)

3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)

4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)

3) Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

a) x2 - 4x = 0 b) x

2 - 4x = 12

4)Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de

completar el cuadrado:

a) x2 + 6x + 7 = 0 b) x

2 – 10x + 5 = 0

c) 2x2 - 3x - 4 = 0

5) Resolver

a) x2 = 3x -1 b) 2(x

2 - 2x) = 5

c) x(x-1) = 3 d) 5 + 1/x - 1/x2 = 0

6)Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar todos sus

elementos significativos sin hacer tabla de valores, sino aplicando

las expresiones vistas. Graficar.

a) b)

c) d)

e) f)

Raíces o Ceros. - Coordenadas del Vértice.

Ecuación del eje de simetría. - Ordenada al origen

a) y =−x2+ 6 x – 8 b) y = x

2+ 4 x

c) y =−x2+ 1 d) y = x

2−4 x – 5

7)Dadas las siguientes funciones cuadráticas,

expresarlas en las restantes formas; general, forma

canóniga y forma factorizada. Graficar.

a) y =−x2+ 6 x – 8y = b) y = x2+ 4 xy =

c) y =−x2+ 1y = d) y = − 2(x – 4)2+ 8y =

8)Resolver las siguientes ecuaciones:

a)3x2= 0 b) 5/2 x

2 = 0

9 Resuelve

a) (x + 2)(x − 3) = 0 b) (3x + 1)(x + 5) = 0

c) x(x + 9) = 0 d) (2x + 8)(3x − 9) =

10. Escribe una ecuación de segundo

grado cuyas raíces sean:

a) x=3 y x=-5 b) x=2 y x=4

c) x=-1 y x=-9 d) x=0 y x=-5

11)Resolver las ecuaciones de segundo grado

1) 2)

3) 4)

5) 6

12)Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas.

1) 2) 12x2 − 3x = 0

13)Analice y soluciones los siguientes problemas

a)La suma de los cuadrados de dos números naturales

es 313. ¿Cuáles son los números?

b)Un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de

ancho y su área es de 7000 m2 , halla sus dimensiones.

c) Reparte el número 20 en dos partes de forma que la

suma de sus cuadrados sea 202.

d)Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar

la longitud del lado y el àrea del cuadrado.

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SOCIALIZACIÓN

Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas.

COMPROMISO

1) Observa la parábola: y = x2 - 4x + 4

Determina la coordenadas de los puntos indicados.

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES Yaira Lizeth Rincon Aura Alexandra Uribe

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

19 06 2014 19 06 2014

2.- y = x2 - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Puntos de corte con el eje X: