Notas de Aula de Clculo IAplicaes de DerivadasA partir de agora veremos com usar as derivadas para determinar os valores mximos e mnimos de uma funo, para prever e analisar a forma de um grfico e tambm para tirar concluses sobre o comportamento das funes usadas nas resoluo de equaes diferenciais. Alm disso, veremos como uma reta tangente capta a forma de uma curva prximo ao ponto de tangncia e como isso pode ser usado para se determinar numericamente as razes das funes.1. Extremos de FunesVamos analisar o seguinte problema:Uma perfurao a 12 km da costa ser conectada a uma refinaria costeira, 20 km abaixo da linha de perfurao. Os dutos subaquticos custam R$ 50.000,00 por quilmetro e os terrestres R$ 30.000,00 por quilmetro. Qual a combinao dos dois tipos de dutos que vai fornecer a conexo menos dispendiosa?ResoluoVamos analisar as alternativas possveis a primeira com o menor nmero de dutos aquticos

Custo em Reais = 12. (50.000) + 20.(30.000) = 1.200.000Apenas dutos subaquticos

Custo em Reais = (50.000) = 1.166. 190

Uma soluo intermediria

Custo em Reais = (50.000) + 10(30.000) 1.081Nenhum dos extremos (a menor quantidade de dutos subaquticos ou apenas dutos subaquticos) mostrou-se a melhor soluo. O melhor algo intermedirio.A distncia de 10 km foi uma escolha arbitrria. Outra escolha teria sido melhor? Em caso afirmativo, como podemos determina-la? O que seria melhor fazer?2. Extremos Absolutos (Globais)

Seja uma funo de domnio D. Ento uma funo f(c) a) Mximo Absoluto de f em D se e somente se f(x) f(c) para qualquer que seja x em D;b) Mnimo Absoluto de f em D se e somente se f(x) f(c) para qualquer que seja x em D.Exemplo 2Encontre os valores mximos e mnimos da funo f(x) = cos x e da funo f(x) = sem x no intervalo .

Nesse intervalo a funo cos x assume o valor mximo 1 uma vez e o valor mnimo 0 duas vezes. J a funo sem x assume o valor mximo 1 e o valor mnimo -1.Exemplo 3Encontre os extremos absolutos das funes para os casos a seguir:

Teorema 1: Teorema do valor extremo para funes contnuasSe f contnua para todos os pontos do intervalor fechado I, ento f assume tanto um valor mximo M como um valor mnimo m em I, ou seja, h nmeros x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e m f(x) M para qualquer outro valor de x em I.

3. Extremos LocaisSeja c um ponto interior do domnio da funo f. Ento f(c) ser:a) Uma valor mximo local em c se e somente se f(x) f(c) para qualquer x em intervalo aberto que contenha c.b) Um valor mnimo local em c se e somente se f(x) f(c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

Teorema 2: Extremos locaisSe uma funo f possui valores mximos ou mnimos locais em um ponto c interior de seu domnio e se f (c) existe, entof' (c) = 0Definio: Ponto CrticoUm ponto de uma funo f onde f = 0 ou f no existe um ponto crtico de f. Assim em resumo podemos dizer que valores extremos ocorrem s nos pontos crticos e nas extremidades de um intervalo fechado.Exemplo 4Determine os valores mximo e mnimo da funo f(x) = 10x(2 ln x) no intervalo .SoluoA primeira derivada F(x) = 10(2-ln x) 10x(1/x) = 10(1 ln x)O nico ponto crtico no domnio, o ponto x = e, onde ln x = 1.Os valores de f nesse nico ponto crtico e nas extremidades sof(e) = 10ef(1) = 10(2 ln 1) = 20f(e2) = 10e2(2 2 ln e) = 0A partir dessa lista podemos ver que o mximo absoluto ocorre em x = e, e o mnimo absoluto em x = e2.Exemplo 5Determine os valores extremos def(x) =

SoluoA funo est definida para 4 x2 0 portanto o seu domnio o intervalo aberto (-2, 2). O domnio no tem extremidades, logo todos os extremos da funo devem ocorrer em pontos crticos. Reescrevemos a frmula de f para determinar f.f(x) = = (4 x2)-1/2Assim,f' (x) = - -3/2 (-2x) = O nico ponto crtico do domnio (-2, 2) x = 0. Portanto, o valorf(0) = =

Regra de LHpital; Formas indeterminadasAgora vamos discutir um mtodo geral de usar derivadas para obter limites. Esse mtodo ir nos capacitar a estabelecer com certeza, limites que at aqui fomos capazes apenas de conjecturar, usando evidncias numricas ou grficas. O mtodo que discutiremos nessa seo uma ferramenta muita poderosa, usada internamente por diversos programas de computador para calcular vrios tipos de limites.1. Formas indeterminadas do tipo 0/0 Lembre que um limites no formato,

Em f(x) tende a 0 e g(x) tende a zero denominado forma indeterminada do tipo 0/0.Alguns exemplos vistos anteriormente so: = 2; = 1; = 0O primeiro limite foi obtido algebricamente, e os dois outros limites foram obtidos usando mtodos geomtricos. Contudo, h muitas formas indeterminadas nas quais nem os mtodos algbricos nem os geomtricos produzem o limite, de modo que precisamos desenvolver um mtodos mais geral.1.1. Regra de LHpital para a indeterminao 0/0Suponha que f e g sejam funes diferenciveis em um intervalo aberto que contenha x = a, e que =0 e = 0Se existe ou se esse limite + ou - , ento

Alm disso, essa afirmao tambm vale no caso de um limite quando x ,x , x

ExemploEm cada parte confirme que o limite uma forma indeterminada do tipo 0/0, e calcule-o usando a regra de LHpital.Soluoa) Aplicando a regra de LHpital temos, = = = 2b)

c)

d)

e)

J que o novo limite uma forma indeterminada do tipo 0/0, aplicamos novamente a regra de LHpital:

f)

1.2. Forma indeterminadas do tipo Suponha que f e g sejam funes diferenciveis num intervalo aberto que contenha x = a, exceto possivelmente, em x = a, e que

Se existe , ou se esse limite , ento

Alm disso, essa afirmao tambm vale no caso de um limite quando x , x , x ExemploEm cada parte confirme que o ilimite uma forma indeterminada do tipo e aplique a regra de LHpital

Soluoa) O numerador e o denominador tm limite +, logo temos uma forma indeterminada do tipo . Aplicando a regra de LHpital, obtemos:

b) O numerador tem limite - e denominador tem limite +. Logo temos uma forma indeterminada do tipo . Aplicando a regra de LHpital, obtemos:

Esse outro limite outra vez uma forma indeterminada do tipo . Alm disso, qualquer aplicao adicional da regra de LHpital resultar em potncias de 1/x no numerador e expresses envolvendo cossec x e cotg x no denominador; assim, aplicaes repetidas da regra simplesmente produzem novas formas indeterminadas. Portanto, devemos tentar outra coisa. O ltimo pode se escrito como:

Assim,

1.3. Analisando o crescimento das funes exponenciaisGeralmente podemos usar a regra de LHpital para mostrar que ex cresce mais rapidamente que xn, ou seja, do que qualquer potncia inteira de x, assim:

1.4. Formas indeterminadas do tipo 0.At agora discutimos formas indeterminadas do tipo 0/0 e . Contudo essas no so as nicas possibilidades; em geral o limite de uma expresso que tem uma das formas

chamado de forma indeterminada se os limites de f(x) e g(x) individualmente exercem influncias conflitantes no limite de toda a expresso. Por exemplo, o limite

uma forma indeterminada do tipo 0., pois o limite do primeiro fator zero e o do segundo - , sendo que ambos exercem influencias conflitantes sobre o produto. Por outro lado, o limite

No uma forma indeterminada, pois o primeiro fator tem o limite + e o segundo, - , sendo que essas influencias trabalham para produzir um limite - para o produto.ExemploCalcule

Soluoa) Podemos reescrever o limite como

A primeira sendo uma forma indeterminada do tipo e a segunda, uma forma indeterminada do tipo 0/0. Contudo, a primeira forma ser a escolha preferida, pois a derivada de 1/x do que a derivada de 1/ln x. A partir dessa escolha, obtemos:

b) O problema da forma indeterminada do tipo 0.. Vamos convert-lo para uma forma indeterminada do tipo 0/0.

1.5. Formas indeterminadas do tipo 00 00Um problema de limites que leva a uma expresso do tipo

chamada de forma indeterminada do tipo 00 00. Tais limites so indeterminados, pois os dois termos exercem influencias conflitantes na expresso: Um empurra na direo positiva e o outro na direo negativa. Entretanto, os problemas de limite que levam a uma das expresses

No so indeterminados, uma vez que os dois termos trabalham na mesma direo.As formas indeterminados do tipo 00 00 podem, as vezes, ser calculadas combinando-se os termos e manipulando-se o resultado para produzir uma forma indeterminada do tipo 0/0 e 00/00.ExemploCalcule

SoluoAmbos os termos tm limite +oo; logo o problema uma forma indeterminada do tipo oo oo. Combinando os dois termos obtemos

Que uma forma indeterminada do tipo 0/0. Aplicando a Regra de LHpital duas vezes, obtemos

1.6. Formas indeterminadas do tipo 00, oo0, 1ooOs limites da forma Do origem a formas indeterminadas do tipo 00, oo0, 1oo, por exemplo o limite

Cujo valor sabemos ser e, uma forma indeterminada do tipo 1oo. indeterminada por que as expresses 1 + x e 1/x exercem duas influencias conflitantes: a primeira tende a 1, o que leva a expresso em direo a 1, e a segunda tende a +oo, o que leva a expresso em direo a +oo.As formas indeterminadas do tipo 0o, oo0 e 1oo, podem as vezes ser calculadas introduzido uma varivel dependente

E ento calculando o limite de ln y como

O limite de ln y ser uma forma indeterminada do tipo 0.oo, que pode ser calculada pelos mtodos que j desenvolvemos.ExemploMostre que

SoluoComeamos introduzindo uma varivel independente

E tomando o logaritmo natural em ambos os lados,

Assim,

O que uma forma indeterminada do tipo 0/0;logo, pela regra de LHpital: