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Notas en Experimentos Computacionales y Teoría de Equilibrio General Aplicada

Enero de 1998

Raphael BergoeingILADES-Georgetown University

Conceptos Claves: Calibración, Senda de Crecimiento Balanceado, Modelo de CrecimientoNeoclásico.

2

Contenido

I. Introducción 3

II. ¿Qué es calibrar? 5

II.1 Formular una pregunta 5II.2 Seleccionar una teoría ya testeada 6II.3 Elegir formas funcionales y resolver el modelo 6II.4 Parametrizar y seleccionar los procesos estocásticos para las

simulaciones 6II.4.1 Modelos de equilibrio general determinísticos computables 7II.4.2 Modelos de equilibrio general estocásticos 7II.4.3 Enfoque econométrico tradicional 8

II.5 Correr los experimentos 8

III. Algunos ejemplos de calibración 12

III.1 Ejemplo 1: El modelo de crecimiento neoclásico y productividad entre países 12III.1.1 El modelo de Solow tradicional con tasa de ahorro exógena 13III.1.2 Tecnologías idiosincráticas a cada país 14

III.2 Ejemplo 2: El modelo de crecimiento neoclásico y los hechos estilizados de Kaldor 16III.2.1 Los hechos estilizados de Kaldor 16III.2.2 El modelo de crecimiento neoclásico a la Ramsey 16III.2.3 Calibrando la economía de Estados Unidos 19

IV. Comentarios finales 23

Apéndice 25

Referencias 27

3

"Prefiero enfrentar los peligros del exceso retórico antesque el vacío de la pulcritud, las ambigüedades antes queel helado rigor de un saber redondo. Este es un ensayo.Su destino no se juega ni en la coherencia absoluta ni enla demostración formal de cada hipótesis".

Moulián (1997), pág. 5

“Mi sesgo debería ser reconocido. Considero que la teoría económica es una disciplina científica. Creo que nuestro conocimiento está más seguro si nuestras ideas son desarrolladas en términos de modelos formales. Creo que el progreso ocurre como consecuencia del uso de modelos que tienen supuestos que son claros y conclusiones que son verificables, ya sea mediante contrastación empírica o congruencia con otras construcciones teóricas”.

Weintraub (1979), pág. vii.

I. Introducción

A principios de este siglo se comienza a criticar a la teoría neoclásica por ser nocuantitativa. En 1930, con el fin de promover el desarrollo de la teoría económica cuantitativa,Ragnar Frisch, Irving Fischer y Joseph Schumpeter, entre otros, organizan la SociedadEconométrica. Originalmente, por lo tanto, la econometría se define -forma amplia- como"teoría cuantitativa neoclásica basada en hechos", es decir, como la derivación de implicanciascuantitativas de teoría económica (Frisch 1933a). La definición moderna -forma restringida-,sin embargo, típicamente considera la medición de relaciones económicas.

Un par de años después de iniciada la Sociedad Econométrica, Frisch publica su primerartículo en la revista Econometrica (Frisch 1933b). En éste, analiza el nivel de actividadeconómica como resultado del efecto propagación del capital utilizado en el sectorconstrucción. Para ello, estudia la duración y amplitud del ciclo económico en un modelo"calibrado", usando información microeconómica para obtener el valor de los parámetros.

Entre 1940 y 1960 se realizan una serie de estudios del ciclo económico. En general,estos trabajos se basaban en el uso de sistemas de ecuaciones simultáneas, es decir, en unsistema de ecuaciones dinámicas invariantes que son medidas usando herramientas estadísticas.Durante muchos años, esta metodología primó en la literatura macroeconómica empírica y, con

1Shoven y Whalley (1973) fueron los primeros en utilizar experimentos computacionales eneconomía.

2Ideas similares son expresadas en Kydland y Prescott (1996).

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su uso, generó un excesivo optimismo en torno a sus posibilidades. Al respecto, Brunner (1989,pág. 197) cita a Solow :

“Pienso que la mayoría considera que la teoría macroeconómica de corto plazo está bajo control. Loselementos básicos de la teoría dominante no han cambiado en años. Lo único que resta es el trabajotrivial de llenar las cajas vacías -los parámetros a estimar- y eso no tomará más de 50 años deesfuerzo conjunto, como máximo”.

Durante las últimas tres décadas, sin embargo, este enfoque ha sido consistentementecriticado. Entre otras razones, esto se debió a su incapacidad predictiva y al uso de ecuacionesde comportamiento que son invariantes a cambios en política, y por lo tanto, inconsistentes conel postulado de maximización en contextos dinámicos (crítica a los parámetros estructurales,Lucas 1976). Además, entre 1950 y 1970 se habían producido importantes avances en Teoríade Equilibrio General. Entre otros, se desarrollaron el "lenguaje" Arrow-Debreu, los métodosrecursivos, la teoría del capital y la teoría de decisiones estadística. Paralelamente, se avanzóen la recolección de datos y en el desarrollo de técnicas computacionales. Como resultado deestos avances, y debido a las críticas empírica y metodológica anteriormente mencionadas,surgen los Modelos de Equilibrio General Aplicados y el uso de ExperimentosComputacionales.1

Para describir las etapas que componen esta metodología, citamos a Kydland y Prescott (1990):

“En un experimento computacional, el investigador comienza planteando una pregunta bien definida.Luego, el investigador utiliza teoría y medición para construir un modelo que es una representacióncomputacional de una economía nacional. Un modelo en esta estructura está especificado en términosde los parámetros que caracterizan preferencias, tecnologías, la estructura de información y losarreglos institucionales. Son éstos los parámetros que deben ser medidos, y no algún set deecuaciones. Una economía modelo, por lo tanto, está compuesta por familias, firmas y a menudo, ungobierno. Los individuos en la economía modelo toman decisiones que corresponden a las de suscontrapartes en el mundo real. Las familias, por ejemplo, toman decisiones en relación a consumo yahorro, y deciden cuanto trabajar en el mercado. Posteriormente, el investigador calibra la economíamodelo de manera tal que reproduzca el mundo en términos de un set de dimensiones cuidadosamenteespecificadas. Finalmente, se utiliza el computador para correr los experimentos que responden lapregunta”.2

Este trabajo busca describir de manera simple esta metodología, enfatizando la técnicade parametrización y aplicando su uso a algunos ejemplos específicos. Para ello, en la próximasección discutimos el método de parametrización conocido como calibración, enfatizando el

3 El término calibración se está usando en un sentido amplio. En general, sin embargo, seutiliza para describir al método de parametrización usado en Teoría de Equilibrio General Aplicada.Específicamente en modelos determinísticos computables - a la Shoven y Whalley - y en modelosestocásticos - a la Kydland y Prescott. Ver secciones II.4.1 y II.4.2 para una breve descripción deestos modelos.

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tipo de economía y concepto de equilibrio usualmente utilizado en esta literatura. En la tercerasección presentamos dos ejemplos de calibración en el contexto del modelo de crecimientoneoclásico. En el primer ejemplo, se discute la capacidad de este modelo para explicar lasdiferencias en productividad observadas entre países; el segundo ejemplo se centra en los hechosestilizados de Kaldor. Por último, la cuarta sección contiene los comentarios finales de estetrabajo.

II. ¿Qué es calibrar?

Canova (1994) define calibración como una técnica econométrica en la que losparámetros del modelo son estimados usando un criterio “económico” en vez de “estadístico”.En este sentido, la literatura habla de un procedimiento no ortodoxo para seleccionar losparámetros de un modelo. Prescott (1986), por su parte, dice que es una forma de conducirexperimentos cuantitativos usando modelos que se sabe son falsos, es decir, aproximacionessimplificadas del proceso verdadero de generación de datos.

En términos simples, calibrar es elegir valores para los parámetros del modelobasándose en observaciones microeconómicas, y luego comparar las predicciones del modeloen relación a ciertas observaciones empíricas. Por ejemplo, se comparan las varianzas ycovarianzas de las series de consumo, inversión, empleo y producto con respecto a aquellasobservadas en los datos.

En resumen, la literatura define calibración3 - y la metodología usualmemente utilizadapara estudiar problemas económicos - como un procedimiento que involucra cinco etapas:

II.1 Formular una pregunta

La pregunta es esencial para iniciar el proceso de investigación. Es ella la quecondiciona el tipo de modelo que se usará. En este contexto, la pregunta debe incorporarelementos cuantificables. Ejemplos de preguntas "válidas" son: (1) ¿cuáles son los efectospotenciales en bienestar, salarios y términos de intercambio del MERCOSUR en Chile,Argentina, Brasil, Paraguay y Uruguay? o, (2) ¿cuál es la naturaleza cuantitativa de lasfluctuaciones inducidas por shocks tecnológicos?

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II.2 Seleccionar un tipo de teoría ya testeada.

Lucas (1980) define teoría y se refiere a su testeo, como sigue:

“Una teoría es un set de instrucciones explícitas para construir............ un sistema de imitaciónmecánico para enfrentar ciertas preguntas, y no un conjunto de planteamientos sobre elcomportamiento de una economía real. Consecuentemente, el testeo estadístico de hipótesis, que estádiseñado para testear planteamientos en relación a sistemas reales, no es una herramienta apropiadapara testear teoría económica”.

Las teorías, por lo tanto, pueden ser adecuadas para algunos hechos y no para otros.Por ejemplo, la teoría de crecimiento neoclásico - en su forma más pura- es incapaz de explicardiferencias en productividad entre países (ver Ejemplo 1). Sin embargo, esta misma teoría escapaz de explicar la mayoría de los hechos estilizados de Kaldor (ver Ejemplo 2).

II.3 Elegir formas funcionales y resolver el modelo

El modelo es elegido -construido- en base a la pregunta hecha y no en función de si esreal o capaz de reproducir todos los datos. Es decir, cuan bien capture la realidad no es uncriterio para su selección. Lo que es importante no es si el modelo es realista o no pero si escapaz de proveer una repuesta cuantitativa a una pregunta específica que el investigadorplantee. Un buen modelo, en este sentido, no será más “real” que uno malo sino que proveerámejores imitaciones.

El modelo no es una hipótesis nula para testear sino que una aproximación de algunaspocas dimensiones de los datos. No interesa verificar si el modelo es falso, pero identificar quéaspectos de los datos un modelo falso puede replicar y si diferentes modelos ofrecen diferentesrespuestas porque son falsos en diferentes dimensiones.

Una vez que el investigador ha decidido una modelación particular, debe resolverla paraencontrar las asignaciones y precios de equilibrio. De esta manera, se especifica un conjunto deecuaciones que generalmente son necesarias y suficientes para la existencia de una solución alproblema. En algunas ocasiones, estas ecuaciones permiten identificar formas cerradas para lasasignaciones y precios. En otras, sin embargo, sólo es posible obtener soluciones numéricas.

II.4 Parametrizar y seleccionar los procesos estocásticos para las simulaciones.

Economías modelo son herramientas de medición. En general, una pregunta tiene unarepuesta conocida, y el modelo debería dar una respuesta aproximadamente correcta a estapregunta. Para ello, los datos son usados para calibrar la economía modelo de tal forma que

4Este paper da inicio a la Teoría de Ciclos Reales, al estudiar el efecto cíclico de shockstecnológicos en modelos sin dinero.

5Ver Cooley (1995) para una recopilación de algunos avances teóricos y aplicaciones recientesen esta materia.

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reproduzca el mundo tanto como le sea posible, dado un limitado pero claramente especificadonúmero de dimensiones.

Calibrar no es un intento de establecer el tamaño de algo. No es estimar. Cuando seestima se busca una situación en la que la razón señal-ruido sea alta. Luego, se crea un modeloprobabilístico (se espera que la hipótesis nula represente los datos). Cuando se calibra, sinembargo, algunas veces se hace que el modelo sea inconsistente con los datos en algunasdimensiones con el objeto que sea consistente en otras.

Kydland y Prescott (1996), por ejemplo, plantean la siguiente analogía con la física. Untermómetro Celsius es calibrado para registrar 0E cuando es sumergido en agua con hielo y100E cuando es sumergido en agua hirviendo. Además, nos basamos en que el mercurio seexpande linealmente -aproximadamente- en ese rango de temperatura. Luego se evalúan losexperimentos: 100E es caliente, 30E es tibio, etc. Un calibrador en economía hace lo mismo, esdecir, selecciona observaciones que usa para dar respuesta a preguntas específicas.

Existen tres enfoques, en la literatura, para obtener los parámetros:

II.4.1 Modelos de equilibrio general determinísticos computables (ver Shoven y Whalley1984)

Se resuelve el modelo linearizando el sistema de ecuaciones determinando las variablesendógenas alrededor de un equilibrio hipotético en el que precios y cantidades son tales que noexisten excesos de demanda o excesos de oferta. Se busca un set “benchmarck data” y se calibrael modelo de forma tal que reproduzca esos datos (se buscan desviaciones del modelo conrespecto a un equilibrio hipotético. Si los parámetros no están determinados , se utilizan losdisponibles en la literatura).

II.4.2 Modelos de equilibrio general estocásticos (ver Kydland y Prescott 19824)

Se calibra el modelo usando como equilibrio el estado estacionario -o la senda decrecimiento balanceado para el caso de economías con crecimiento - en términos per capita oen unidades efectivas de trabajo. Los parámetros son elegidos de tal forma que el modelo enestado estacionario genere valores para las variables endógenas que reproduzcan exactamentelos promedios de los datos reales para el set “benchmarck data”. Esta metodología es, en laactualidad, comúnmente utilizada en modelos macroeconómicos aplicados de equilibriogeneral5.

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II.4.3 Enfoque econométrico tradicional

Todos los parámetros son elegidos de forma tal que el Error Mínimo Cuadrado (MSE)de la innovación ut sea minimizado, arbitrariamente asumiendo que el error y el diseño delmodelo son ortogonales, o minimizando la distancia entre momentos de los datos reales y elmodelo, o maximizando la función de verosimilitud de los datos dado el diseño del modelo. Esdecir, se hacen supuestos con respecto a las propiedades de las series de tiempo de ut sin que,necesariamente, tengan justificación teórico-económica.

En resumen y comparando ambas metodologías de parametrización, es decir,econometría tradicional -definición moderna- y calibración a la Kydland y Prescott, tenemosque:

a) En el enfoque econométrico tradicional,

C los parámetros son elegidos para minimizar algún criterio estadístico,C estos criterios no tienen contenido económico,C se imponen restricciones al primer y segundo momento de ut.

b) En el enfoque de calibración a la Kydland y Prescott,

C el análisis está basado en criterios "económicos", concentrándose en el movimiento delas series estudiadas después de asociar los parámetros con evidencia empírica en elestado estacionario (o senda de crecimiento balanceada),

C el modelo se calibra, por ejemplo, eligiendo parámetros para reproducir observacionesde largo plazo, asumiendo sólo que E(u)=0. (es decir, usando la misma restricción queimponen los econometristas cuando utilizan el Método de Momentos Generalizado,GMM). Para los parámetros que no están en las condiciones de estado estacionario delmodelo, sin embargo, no es posible hacer la comparación. Pese a ello, si todos losparámetros son calibrados a intervalos con distribuciones que son empíricamentedeterminadas, la calibración es cercana, en términos de procedimientos, a los métodosde inferencia bayesiana tales como Análisis de Consenso o Meta-Análisis (Canova1994).

II.5 Correr los experimentos

Una vez decididas las formas funcionales de la funciones de producción y preferencias,habiendo asignado los valores a los parámetros y, en el caso de modelos estocásticos, usandola distribución de probabilidades para los shocks, se pueden llevar a cabo los experimentos

6 Ver Hansen y Prescott 1995 para una descripción de estos métodos numéricos.

9

jT

t'1

(Yt & Jt)2 % 1600 j

T&1

t'2

[(Jt%1 & Jt) & (Jt & Jt&1)]2 (1)

computacionales. Con ellos, se comparan las realizaciones de equilibrio de la economía modelocon el comportamiento de la economía real. Los experimentos que corre el investigadorpueden ser de diversa índole. Por ejemplo, y en relación al comportamiento cíclico de laeconomía, Kydland y Prescott (1982) estudian el efecto de shocks tecnológicos y Cooley yHansen (1989) se preocupan del efecto de shocks monetarios.

En general, por lo tanto, la calibración consiste en ajustar los parámetros del modelo demanera tal que el estado estacionario (o senda de crecimiento balanceado) de la partedeterminística sea consistente con algunas observaciones de largo plazo para alguna economíaen particular. La métrica utilizada para evaluar la "calidad" de la calibración incluye dos etapas:primero, se simula el modelo calibrado, el que típicamente es resuelto de manera numérica -debido a la imposibilidad de encontrar soluciones analíticas-, es decir, mediante el uso demétodos numéricos, entre los que se destacan el de aproximación lineal cuadrática (LQ) y el deelementos finitos (FEM)6; luego, se comparan las implicancias cuantitativas del modelo enrelación a diversos momentos para las series relevantes (por ejemplo, se estudia la desviaciónestándar -variabilidad-, correlación -persistencia- y autocorrelación -asociación- para consumo,inversión, producto y empleo) con respecto a las observadas en los datos. Las series analizadasson filtradas para separar la tendencia del componente cíclico.

Definiendo el ciclo económico como la fluctuación recurrente del producto en torno auna tendencia, estas fluctuaciones son por definición desviaciones en relación a un patrón quevaría lentamente. Debido a que este patrón incrementa monotónicamente a través del tiempo,se le llama tendencia. Esta tendencia, sin embargo, no es una medida o una estimación de lamedia incondicional de algún proceso estocástico. Se define, en cambio, por el procedimientocomputacional usado para ajustar la curva suavizada a través de los datos. Los hechosestilizados no son sensibles al procedimiento utilizado si la curva es suave.

En la literatura de ciclos reales, el método para ajustar la curva consiste en tomarlogaritmos de las variables y seleccionar la secuencia de la tendencia {Jt} para t=1,....,T, demanera tal de minimizar la suma de las desviaciones cuadradas con respecto a series dadas {Yt}para t=1,...,T, sujeto a que la suma de las segundas diferencias cuadradas no sea demasiadogrande. Esta metodología para separar el componente cíclico de la serie se conoce como elfiltro de Hodrick y Prescott (Hodrick y Prescott 1980). Este filtro, por lo tanto, está dado por

El multiplicador langrangeano que se elige para series trimestrales es 1600. Este valorpermite obtener un grado adecuado de suavidad en la tendencia ajustada. Si el multiplicador

7Para garantizar la existencia de un equilibrio -suficiencia para la existencia de una solución-junto a las condiciones de primer orden surgidas del problema del consumidor hay que imponer unacondición de transversalidad que asigne valor cero al capital en el último período.

10

j4

t ' 0

$t u (ct) (2)

fuera 0, la serie sería igual a la tendencia y la suavidad no recibiría ningún peso. Si elmultiplicador tendiera a infinito, sin embargo, la tendencia tendería a una línea recta, y por lotanto, todo el peso estaría puesto en la suavidad. Si se usan datos mensuales o anuales en vezde trimestrales, el multiplicador debería asumir un valor de 14.400 o 100 respectivamente.

Nótese, por último, que la calibración es la operación inversa a la búsqueda de la sendade crecimiento balanceado para una economía. Hemos dicho que los parámetros son obtenidosde manera tal que el modelo en un equilibrio estacionario determinístico reproduzca ciertasobservaciones de largo plazo para una economía determinada. Una senda de crecimientobalanceado es un equilibrio competitivo con la propiedad que para todo t, las asignaciones yprecios se mantienen constantes o crecen a una tasa constante. Por ejemplo, en el contexto delmodelo simple de crecimiento neoclásico determinístico, es decir, en una economía con un bienque puede ser consumido o transformado en capital, un individuo y una firma representativosque toman precios como dados, una tecnología con rendimientos constantes a escala, cambiotecnológico exógeno y dos factores de producción, capital y trabajo, este último ofrecidoinelásticamente, un equilibrio competitivo se define como sigue:

Definición 1: Un Equilibrio Competitivo para esta economía es una secuencia de asignaciones{ct , kt ,xt , yt} para t=0, .....,4 ; con las variables expresadas en unidades per capita, y unasecuencia de precios dados {rt , wt } para t=0, ....,4, tales que :

i) la familia representativa maximiza utilidad sujeta a su restricción presupuestaria, es decir,maximiza7

sujeto a

8 En las versiones estocásticas el producto está dado por yt = ezt F (kt ,lt) con zt representando

un shock tecnológico que afecta a la productividad total de los factores y que sigue un proceso

11

ct % xt ' wt % rt kt œ tkt % 1 ' (1 & *) kt % xt œ t

ko > 0(3)

yt & wt & rt kt (4)

yt ' f (kt) (5)

ct % xt ' yt (6)

ii) la firma representativa maximiza beneficios sujeta a sus restricción tecnológica, es decir,maximiza

sujeto a

iii) los mercados se equilibran - la demanda se iguala a la oferta en todos los mercados-, esdecir,

Nótese que el precio del único bien producido ha sido normalizado en 1 utilizando lahomogeneidad de grado cero en precios que típicamente caracteriza a estas economías.Además, asumimos que la población se mantiene constante a través del tiempo.

En lo que sigue seleecionaremos formas funcionales específicas para resolver el modelo.La función de utilidad será del tipo logarítmica y la función de producción del tipo Cobb-Douglas con crecimiento exógeno afectando a la productividad del trabajo a la tasa g, es decir,

u(ct ) = log ct , y

f(kt ) = At(1-") kt

",8 con At = (1+g) t A0.

autorregresivo zt = Dzt-1 + gt en donde gt es un ruido blanco con varianza F2. En esta versión delmodelo, la parametrización consiste en ajustar los parámetros de manera tal que la senda decrecimiento balanceado de la parte determinística (zt = 0, para todo t ) sea consistente con algunasobservaciones de largo plazo para la economía estudiada. Es este caso, por lo tanto, los parámetrosque deberían ser calibrados son: ", g, $, *, F y D.

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Dadas las formas funcionales asignadas a las preferencias y tecnología, podemos definir una unasenda de crecimiento balanceado como sigue:

Definición 2: Una Senda de Crecimiento Balanceado es un equilibrio competitivo con lapropiedad que, para todo t,

ct = c Ao (1+g )t

kt = k Ao (1+g )t

xt = x Ao (1+g )t

yt = y Ao (1+g )t

wt = w Ao (1+g )t

rt = r

para un Ao dado y algunos números c, k, x, y, w, r y g .

Al calibrar para una senda de crecimiento balanceado - es decir, dadas ciertasobservaciones para la senda de crecimiento balanceado de una economía-, sin embargo, elproblema consiste, tal como ya lo hemos mencionado, en encontrar valores para los parámetros- en este caso *, $, " y g - de manera que el comportamiento de crecimiento balanceado delmodelo reproduzca las observaciones de crecimiento para la economía.

III. Algunos ejemplos de calibración

En lo que sigue presentaremos dos ejemplos que pretenden ilustrar la metodologíamencionada anteriormente. Ambos ejemplos están insertos en el contexto de las economías decrecimiento neoclásicas de Solow (1956) y Swan (1956).

Estos modelos asumen, como ya fue mencionado, la existencia de una función deproducción agregada con retornos constantes a escala, trabajo y capital como insumos y unúnico bien, el que una vez producido, puede ser asignado para consumo o para inversión.

III.1 Ejemplo 1: El modelo de crecimiento neoclásico y productividad entre países

9 Estos datos han sido ajustados por paridad en el poder de compra. Ver Summers y Heston(1991) para una descripción de la metodología utilizada.

13

Yj ' 2 N 1&"j K "

j (7)

yj ' 2 k "j (8)

rj ' " 2 k "&1j & * (9)

El primer ejemplo tiene relación con la capacidad predictiva del modelo de crecimientoneoclásico con respecto a las diferencias en productividad entre países (ingresos per capita) yestá basado en cálculos similares efectuados en Lucas (1990).

III.1.1 El modelo de Solow tradicional con tasa de ahorro exógena

Asumiendo que la tecnología es idéntica entre países y que existe sólo un bien, ladiferencia en ingresos per capita entre países están totalmente explicadas por diferencias en larazón capital per capita. En lo que sigue analizamos las implicancias de este hecho con respectoa las diferencias en tasas de interés.

La tecnología en el país j está dada por:

donde Yj es el producto geográfico bruto, 2 es un parámetro tecnológico, Nj es fuerza laboraly Kj es el stock de capital.

En unidades de producción por trabajador, tenemos

El retorno neto al capital (tasa de interés real) está dado por

donde δ es la tasa de depreciación.

Usando datos de Summers, Heston, Aten y Nuxoll (1995)9 - en dólares de 1991, parael año 1990 - y con valores para los parámetros obtenidos de la literatura de ciclos reales parala economía americana, es decir, con " = 0,3, * = 0,06 y rus = 0,05, tenemos que

10 Lucas (1990) realiza cálculos similares para India y Estados Unidos encontrando que laproductividad marginal del capital en India debe ser cerca de 58 veces mayor que en Estados Unidos.

14

kus

kch

' (yus

ych

)1"' (

4440914281

)1

0,3' 43,89 (10)

rch ' (rus % *) (kus

kch

)(1 & ")

& * ' 0,11 x 43,890,7& 0,06 ' 1,49 (11)

yj ' 2j k 0,3j

rj ' 0,3 2j k & 0,7j & 0,06

(12)

Es decir, para explicar la diferencia en productividad que reflejan los datos, necesitamosuna razón capital por trabajador mayor en Estados Unidos que en Chile en un factor de 44.Pero, ¿qué significa ésto en términos de las tasas de interés para ambos países?

Sabemos que,

Por lo tanto, la tasa de interés real debe ser, en Chile, 30 veces la tasa de EstadosUnidos. Este resultado parece ser inconsistente con la evidencia empírica10.

III.1.2 Tecnologías idiosincráticas a cada país

Supongamos ahora que las tecnologías son distintas entre países (es decir que los 2están indexados por el país al que pertenecen). Usando información con respecto aproductividad (ingreso por trabajador) y tasas de interés real, podemos calibrar los parámetrostecnológicos (productividad total de factores).

El Fondo Monetario Internacional (FMI) reporta una tasa de interés real (costo realpromedio de fondos) para Estados Unidos y Chile para 1990 de 4,8 por ciento y 8 por cientorespectivamente.

Por lo tanto, tenemos un sistema de cuatro ecuaciones -dos para cada país- dado por:

Es decir, para Estados Unidos (j = us),

15

44409 ' 2j k 0,3j

0,048 ' 0,3 2j k & 0,7j & 0,06

(13)

14281 ' 2jk0,3j

0,08 ' 0,3 2j k & 0,7j & 0,06

(14)

kus

kch

' 4,01 (15)

k´ ch

kch

' (0,08 % *

0,048 % *)

11 & "

' 1,44. (16)

de donde obtenemos 2us = 1318,6 y kus = 123358.

Nótese que esta definición de capital es más amplia que la de Summers y Heston ya queincluye, entre otros, tierra, recursos naturales y capital público (caminos, escuelas, etc.).

Para Chile (j = ch), tenemos,

y cuyo resultado está dado por 2ch = 644,2 y kch = 30602

Por lo tanto, la razón capital por trabajador entre Estados Unidos y Chile, está dada por

Esta razón es considerablemente menor a la encontrada en la sección III.1.1 (43,89)pero es bastante cercana a la razón que entregan los datos de Summers y Heston. En esos datosesta razón es 3,63.

Podemos estimar, finalmente, cuánto de la diferencia en producto por trabajador entreEstados Unidos y Chile se debe a diferencias en niveles de capital por trabajador y cuánto sedebe a diferencias en productividad total al factor.

Si rch cae a 4,8 por ciento al año como consecuencia de movimientos de capital, la razóncapital trabajo en Chile incrementaría 1,44 veces, como se muestra a continuación.

11Kehoe (1994) presenta cálculos similares para Estados unidos y México.

16

Esto llevaría la producción por trabajador en Chile a US$ 15961, lo que cierra ladiferencia con Estados Unidos en aproximadamente un 6 por ciento. El 94 por ciento restante,por lo tanto, se debe a diferencias en productividad total al factor11.

Por último, es importante destacar que la imposibilidad del modelo de crecimientoneoclásico de explicar las diferencias en productividad observadas entre países puede subsanarsesi se introduce un impuesto a la inversión, en este caso, al capital. Restuccia y Urrutia (1996)encuentran que para una distribución de impuestos "aceptables", las diferencias en productividadpueden ser reducidas consistentemente con las observaciones empíricas.

III.2 Ejemplo 2: El modelo de crecimiento neoclásico y los hechos estilizados de Kaldor

Este segundo ejemplo permitirá constatar que el modelo de crecimiento neoclásico esuna buena abstracción para reproducir los hechos estilizados de crecimiento (Kaldor 1961).Calibraremos, además, el modelo para la economía de Estados Unidos.

III.2.1 Los hechos estilizados de Kaldor

Kaldor reporta seis hechos estilizados para la economía de Estados Unidos:

1. Yt/Nt exhibe crecimiento continuo,

2. Kt/Nt exhibe crecimiento continuo,

3. rt - * es aproximadamente constante,

4. Kt/Yt es aproximadamente constante,

5. rtKt/Yt y wtNt/Yt son aproximadamente constantes, y

6. existen diferencias sustanciales en la tasa de crecimiento de la productividad entre países.

En lo que sigue, contrastaremos el modelo de crecimiento neoclásico, en su versióndeterminística, con estos hechos estilizados. Luego, utilizaremos este mismo modelo parailustrar la metodología usada en la literatura de ciclos reales para obtener el valor de losparámetros y simular el equilibrio.

III.2.2 El modelo de crecimiento neoclásico a la Ramsey

12En esta versión incluiremos crecimiento de la población (tasa 0-1) y cambio tecnológicoexógeno (tasa( -1) afectando a la productividad del trabajo.

17

j4

t ' 0

$t Nt log (Ct

Nt

) (17)

Ct % Kt%1 & (1 & *) Kt ' ((1&")t 2 K "t N 1&"

t

Ko > 0

Nt ' 0t No

(18)

N t ' (t Nt ' ((0)t No

c t 'Ct

N t

' ( & t (Ct

Nt

) ' ( & t ct

k t 'Kt

N t

' ( & t (Kt

Nt

) ' ( & t kt

Nt log (Ct

Nt

) ' 0t No log (t c t ' 0t No logc t % t 0t Nolog (

(19)

Debido a la inexistencia de distorsiones (externalidades o impuestos, entre otras)podemos resolver el problema del planificador social para encontrar las asignaciones deequilibrio utilizando el segundo teorema del bienestar. Los precios pueden ser obtenidos delproblema de la firma que usualmente resolvemos en un equilibrio competitivo.

El problema del planificador social consiste en maximizar12

sujeto a

y una condición de transversalidad para el capital.

Redefiniendo las variables en términos de unidades efectivas de trabajo, tenemos que

El problema del planificador social, por lo tanto, puede ser rescrito como lamaximización de

13 Ver Stokey, Lucas y Prescott (1989), capítulo 4, teorema 4.15.

18

j4

t ' 0

($0)t log(c t) (20)

c t % (0kt%1 & (1 & *) k t ' 2 k"

t

ko > 0(21)

($0)t( 1c t

) & 8 t ' 0

& (08 t % 8t%1[" 2 k t" & 1

% (1 & *)] ' 0

c t % (0kt%1 & (1 & *)k t ' 2k t"

(22)

sujeto a

Las condiciones de primer orden están dadas por

Estas condiciones de primer orden (ecuación de Euler y restricción presupuestaria) juntoa la condición de transversalidad (que el valor del capital sea asintóticamente cero) sonnecesarias y suficientes para la existencia de un equilibrio en esta economía.13

Como ya fue dicho, queremos analizar la consistencia entre las implicancias de estemodelo y los hechos estilizados de Kaldor. Para ello, resolvemos el modelo para su senda decrecimiento balanceado. En ésta, sabemos que para todo t, En el contextoc t ' c, k t ' k.de este modelo, por lo tanto, los hechos estilizados de Kaldor están dados por:

1. Yt/Nt = ((1-") t 2 (Kt/Nt)" = creciendo a la tasa ( -1 , (t 2 k

"

2. Kt/Nt = creciendo a la tasa ( - 1, (t k"

3. rt - * = " ((1-") t 2 (Kt/Nt)"-1 - * = manteniéndose constante, " 2 k

" & 1& *

19

log(Yt

Nt

))&log(Yt

Nt

) ' log(t )2k"&log(t2k

"' (t ) & t) log(

Nt ' 0t No

(23)

4. Kt/Yt = manteniéndose constante, k

1 & "

2

5. rtKt/Yt = " y wt Nt/Yt = 1 - " manteniéndose constantes, y

6. la tasa de crecimiento de Yt/Nt está determinada únicamente por (.

III.2.3 Calibrando la economía de Estados Unidos.

Anteriormente -en la sección II.5- describimos la metodología tradicional para calibrarque han utilizado los trabajos desarrollados en la literatura de ciclos reales y el tipo de modelotípicamente considerado. En este caso utilizaremos un modelo más sencillo, sin embargo, almodelar la economía determinísticamente, de acuerdo a lo descrito en la sección III.2.2. Esdecir, no consideramos el shock tecnológico aleatorio tradicional.

En lo que sigue, por lo tanto, asignaremos valores a los parámetros de nuestro modelode manera tal de replicar los valores promedios para ciertas series relevantes para la economíade Estados Unidos durante las últimas cuatro décadas. Este ejercicio permitirá obtenerparámetros similares a los que tradicionalmente se utilizan en la literatura (ver Prescott 1986).

Los parámetros a calibrar son: $, 0, (, *, 2, y ".

Utilizaremos observaciones para Estados Unidos entre los años 1960 y 1995 (es decir,el año 1960 corresponde a t = 0 en el modelo). Estos datos han sido obtenidos del EconomicReport of the President (1996). El apéndice contiene las series con los datos utilizados para lacalibración y el significado de cada variable (ver Cuadro 5).

Definiendo producción agregada Yt como producto geográfico bruto, y con empleo Nt

obtenido de la serie de empleo contenida en la fuerza laboral civil, y debido a que

podemos obtener los parámetros ( y 0 que aparecen en el Cuadro 1 a continuación.

20

Yt

N t

'Yt

(t Nt

' 2k", (24)

CUADRO 1

Año Yt (bill.US$ 1987)

Nt(miles)

Yt/Nt(US$ 1987)

( 0

1960 1970,8 65778 29961 --------------- ---------------

1965 2470,5 71088 34752 1,030114 1,015648

1970 2873,9 78678 36527 1,010011 1,018069

1975 3221,7 85846 37528 1,005424 1,017910

1980 3776,3 99303 38028 1,002646 1,020808

1985 4279,8 107150 39942 1,009870 1,019709

1990 4897,3 117914 41532 1,007841 1,019646

1995 5528,2 124900 44261 1,012805 1,018490

Promedio --------------- -------------- --------------- 1,011245 1,018611

Fuente: Department of Commerce, Bureau of Economic Analysis, Estados Unidos.

Para obtener ", utilizamos información en relación al ingreso nacional y compensacióna empleados ajustada por ingreso a propietarios (asignamos un medio de este último a lacompensación a empleados). Además, y debido a que,

podemos utilizar la información del Cuadro 1 y el valor de " para generar la serie deproducción por unidad efectiva de trabajo.

Por lo tanto, definiendo yt como ingreso nacional y wt Nt como compensación aempleados más un medio del ingreso de propietarios, presentamos en el Cuadro 2 laparticipación del capital en el producto y el valor del producto en unidades efectivas de trabajo.

21

CUADRO 2

Año yt (bill. US$)

wt Nt(bill. US$)

"t 2k(US$, 1987)

1960 426,2 321,9 0,244603 29961

1965 587,8 431,5 0,265822 32863

1970 836,6 657,1 0,214559 32663

1975 1295,5 1009,5 0,220726 31733

1980 2216,1 1737,8 0,215807 30407

1985 3351,5 2554,4 0,237834 30201

1990 4611,9 3533,3 0,233873 29696

1995 5912,3 4538,6 0,232338 29926

Promedio ----------------- ------------------ 0,233195 31070

Fuente: Department of Commerce, Bureau of Economic Analysis, Estados Unidos.

Por último, el Cuadro 3 muestra las series para la inversión doméstica privada neta y laacumulación de capital, en niveles y como porcentaje del producto geográfico bruto.

CUADRO 3

Año Kt+1 - Kt

(bill.US$ 1987)(Kt+1 - Kt)/Yt

*Kt

(bill. US$1987)*Kt /Yt

1960 117,1 0,059417 173,7 0,087934

1965 208,1 0,084234 205,0 0,082979

1970 171,1 0,059536 258,0 0,089773

1975 114,8 0,035633 322,8 0,100196

1980 193,7 0,051294 400,7 0,106109

1985 274,4 0,064115 471,5 0,110169

1990 192,0 0,039205 554,8 0,113287

1995 426,0 0,077059 658,4 0,119098

Promedio ------------------ 0,058725 ----------------- 0,103087

Fuente: Department of Commerce, Bureau of Economic Analysis, Estados Unidos.

22

(Kt%1 & Kt)

Yt

'(( 0 & 1) k

2 k"

' 0,058725

Y k '0,058725 x 31070

1,030065 & 1' 60688

(25)

2 '31070

606880,233' 2382,032

Kt

Yt

'k

1 & "

2' 1,95326

*Kt

Yt

' 0,103087 Y * ' 0,0527

(26)

rt Kt

Yt

' " ' 0,233 Y rt ' r ' 0,1194

Y r & * ' 0,0666 '($

& 1 Y $ '1,0112451,0666

' 0,9481(27)

Además, sabemos que

y por lo tanto, podemos obtener,

Finalmente,

Es decir, hemos obtenido los parámetros del modelo de manera tal de replicar lasobservaciones de la economía de Estados Unidos para los últimos 35 años. Los parámetrosencontrados aparecen en el Cuadro 4, a continuación.

14Estos shocks pueden estar representados por cambios en algun parámetro libre, es decir, enalguno de aquellos parámetros que no están totalmente atados a la estructura funcional y que, por lotanto, ofrecen un relativo grado de libertad para probar distintas especificaciones.

23

CUADRO 4

Parámetros Valores

" 0,233

$ 0,948

* 0,053

0 1,019

( 1,011

2 2382

Finalmente, los parámetros calibrados pueden ser utilizados para cuantificar el efectoque, en la senda de crecimiento balanceado, generan diversos shocks14. Por ejemplo, se puedesimular el efecto en el ciclo económico de un cambio exógeno en la tasa de crecimiento de lapoblación o, introduciendo impuestos, se puede evaluar el uso de políticas tributariasalternativas.

IV. Comentarios Finales

La macroeconomía, entendida como el estudio de los determinantes y consecuenciasdel ciclo económico, ha experimentado dramáticos cambios durante las últimas décadas. Estoscambios no sólo han significado avances en la estructura y contenido de los modelos sino quetambién en la metodología de análisis cuantitativo. El desarrollo de la Teoría de EquilibrioGeneral Aplicada y el uso de Experimentos Computacionales son, en la actualidad, comunes enla literatura. Cinco etapas componen esta metodología: (1) la formulación de una pregunta; (2)la selección de una teoría ya testeada; (3) la modelación y solución del equilibrio; (4) laparametrización; y (5) la simulación de los experimentos.

En este trabajo hemos presentado ejemplos en los que la parametrización correspondea lo que conocemos como calibración. Este procedimiento ha surgido como complemento - y

24

para muchos como sustituto - a las técnicas estadísticas de medición de parámetros,tradicionales entre 1950 y 1970. Su uso se asocia con una serie de ventajas - en relación a otrosmétodos econométricos tradicionales de estimación. Entre ellas, dos aparecen comoespecialmente relevantes: (1) el valor de los parámetros se obtiene basándose en evidenciamicroeconómica. Por ello, existe una gran cantidad de información que puede ser utilizada; y(2) los parámetros elegidos no corresponden a los que entregan el mejor ajuste de los datos enun sentido estadístico. En modelos calibrados se eligen los parámetros de tal manera que unapregunta del tipo "cuánto del hecho X puede ser explicado por Y" se responda de acuerdo aalguna métrica específica - no a una buena métrica. De hecho, al calibrar, algunas veces se haceque el modelo sea inconsistente con las observaciones en una dimensión de manera tal que seaconsistente en otra. En las estimaciones econométricas, la importancia económica de un rechazoestadístico - o de la falta de rechazo - de un modelo es difícil de interpretar. Un modelo puedeajustar los datos bien en todas las dimensiones, excepto en una y ser rechazadoestadísticamente. Por último, un modelo puede no ser rechazado simplemente porque los datosson consistentes con una amplia gama de posibilidades.

Finalmente, no podemos terminar sin mencionar algunas de las críticas que se han hechoal uso de calibración para obtener los parámetros de un modelo. En primer lugar, y debido alestado actual del conocimiento económico, no es claro que replicar ciertos momentos(covarianza, desviación estándar, etc.) de los datos sea un rasgo deseable de los modelos. Losmodelos utilizados son típicamente abstracciones bastante "gruesas" de la realidad y por lotanto, parece difícil determinar si estos modelos calibrados ofrecen información útil o no alreproducir ciertas observaciones. Además, los modelos, al ser calibrados, no siempre asociantodos los parámetros con información microeconómica. Para ciertos formas funcionales, porejemplo, ésto no es posible y se utiliza la información disponible en la literatura. Esta flexibilidadno permite conocer con certeza la relevancia del modelo como reproductor de evidencia. Porúltimo, la falta de experimentos que contrasten estos modelos con otros impide saber siespecificaciones diferentes - alternativas - pueden hacer lo mismo (Romer 1996).

Las ventajas y problemas antes mencionados parecen plantear a la calibración yestimación econométrica como métodos antagónicos. Su uso complementario, sin embargo, noes inusual en la literatura. Estas técnicas seguramente seguirán desarrollandose con rapidez ysu uso conjunto facilitará el avance en macroeconomía empírica.

25

Apéndice

En este apéndice presentamos las series con los datos para las variables utilizadas en lacalibración - obtenidos del Economic Report of the President (1996), publicación anual delgobierno de los Estados Unidos- para el período 1960-1995. Las notas al pie del Cuadro 5especifican las unidades y significado de cada variable.

CUADRO 5

Año Yt Nt yt

wtNt Kt+1 - Kt *Kt

1960 1970,8 65778 426,2 321,9 117,1 173,7

1961 2023,8 65746 441,2 332,1 110,8 178,6

1962 2128,1 66702 475,3 354,9 137,6 183,6

1963 2215,6 67762 502,6 373,6 153,7 189,6

1964 2340,6 69305 540,2 400,5 175,4 196,4

1965 2470,5 71088 587,8 431,5 208,1 205,0

1966 2616,2 72895 644,4 476,8 223,0 214,9

1967 2685,2 74372 680,7 510,0 193,4 225,2

1968 2796,9 75920 742,4 561,3 204,7 235,3

1969 2873,0 77902 800,9 616,8 214,6 246,7

1970 2873,9 78678 836,6 657,1 171,7 258,0

1971 2955,9 79367 904,0 702,0 206,6 269,1

1972 3107,1 82153 999,2 774,4 247,2 285,0

1973 3268,6 85064 1125,3 869,75 295,3 296,4

1974 3248,1 86794 1206,7 948,0 232,6 310,3

1975 3221,7 85846 1295,5 1009,5 114,8 322,8

1976 3380,6 88752 1447,5 1125,2 186,1 334,6

1977 3533,3 92071 1616,3 1253,3 252,1 348,4

1978 3703,1 96048 1839,2 1419.6 300,0 364,5

26

Año Yt Nt yt

wtNt Kt+1 - Kt *Kt

1979 3796,8 98824 2053,3 1591,9 285,2 384,5

1980 3776,3 99303 2216,1 1737,8 193,7 400,7

1981 3843,1 100397 2470,2 1916,9 213,2 417,8

1982 3706,3 99526 2569,2 2012,5 111,0 429,5

1983 3906,3 100834 2761,4 2135,0 152,1 447,4

1984 4148,5 105005 3132,7 2375,9 302,0 455,5

1985 4279,8 107150 3351,3 2580,7 274,4 471,5

1986 4404,5 109597 3516,5 2559,6 248,4 486,7

1987 4539,9 112440 3778,1 2718,8 247,1 502,2

1988 4718,6 114968 4018,6 321,9 254,9 518,5

1989 4838,0 117342 4362,1 332,1 238,5 545,5

1990 4897,3 117914 4611,9 3332,1 192,0 554,8

1991 4867,6 116877 4719,7 3534,2 113,8 570,1

1992 4979,3 117598 4950,8 3662,6 129,5 595,8

1993 5134,5 119306 5194,4 3854,9 220,4 599,5

1994 5342,3 123060 5495,1 4034,8 326,9 628,6

1995 5528,2 124900 5912,3 4538,65 426 658,4

Fuente: Department of Commerce, Bureau of Economic Analysis, Estados Unidos.Notas: Las unidades y representación de cada variable son como sigue: Yt : Producto Geográfico Bruto, en billones de dólares de 1987.Nt: Empleados de la Fuerza Laboral Civil, en miles.yt : Ingreso Nacional, en billones de dólares de cada año.wtNt: Compensación a Empleados más un medio del Ingreso de Propietarios, en billones dedólares de cada año.Kt+1 - Kt : Inversión Doméstica Privada Neta, en billones de dólares de 1987.*Kt: Consumo de Capital Fijo, en billones de dólares de 1987.

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