Notas Óptica

OPTICA: CIENCIA QUE TRATA CON EL ORIGEN, MOVIMIENTO Y DETECCIN DE LA LUZ.

LUZ: RADIACIN ELECTROMAGNETICA, cubriendo un espectro de 1mm (lejano infrarrojo) a 100 nm (ultravioleta), pasando por el espectro visible. ! Solo en lo referente a lseres comerciales !

APLICACIONES DE LA OPTICA: MEDICINA, COMERCIO, AUDIO, VIDEO, COMPUTO, ETC...

OPTICA Y NATURALEZA: ARCOIRIS, AZUL DEL CIELO, COLOR DEL ATARDECER, COLORES EN BURBUJAS DE JABON, ACEITE, ETC...

Que es la ptica ?

LUZ Y OPTICA

ptica de rayos (Luz: onda con una pequea longitud de onda)

ptica ondulatoria (Luz: onda transversal)

ptica de fotones (luz: onda transversal con energa discreta)

Es la luz una onda o partcula? Issac Newton: (Siglo 17)

1.- publico Optica describiendo a la luz como particulas Christian Huygens: (Siglo 17)

2.- publico Tratamiento de la luz, describiendo a la luz como ondas en eter

Thomas Young: (Siglo 18) 3.- Desarrollo el experimento de doble rendija para mostrar efectos de interferencia probando la naturaleza ondulatoria de la luz

Augustin Jean Fresnel: (1821) 4.-A partir del principio de Huygens, describe el experimento de Young, sintetizando las dos teorias.

Breve historia del estudio de la luz

Breve historia del estudio de la luz. Cont...

Augustin Jean Fresnel: (1821) 5.- Establece las propiedades de polarizacin y de ondas transversales. Deriva las llamadas ecuaciones de Fresnel para explicar la transmisin y reflexin de la luz en una interface.

Josef Fraunhofer: (1823) 6.- Publica su trabajo sobre difraccin de la luz

James Clerk Maxwell: (1865) 7.- A travs de las ecs. de Maxwell, describe a la luz en terminos de electricidad y magnetismo y predice la velocidad de la luz.

Albert Abraham Michelson y Edward Morley: (1887) 8.- Probaron la no existencia del eter.

Albert Einstein: (1905) 9.- publico la teora espacial de la relatividad y probo la no existencia del eter.

En el siglo 20, se retoma la controversia onda/particula con el concepto del foton

Max Plank: (1900) 10.-Introduce concepto de que la luz transporta energa en fotones discretos (E=hn), logrando explicar los conceptos de radiacin trmica.

Albert Einstein: (1905) 11.- Explica el efecto fotoelctrico basado en fotones con E=hn

Plank, Einstein, de Broglie, Schroedinger, Heisenberg, Born, Dirac y Pauli: Desarrollaron la Mecnica Cuntica, la cual establece la dualidad onda particula y la interaccin entre luz y materia.


Resultado Bsico:

La luz se comporta como una onda que transporta una cantidad de energa

cuantizada.


ptica Geomtrica (luz como un rayo)

Propiedades de los rayos de luz Rayo de luz.- El camino a lo largo del cual la enera de luz es

transmitida de un punto a otro en un sistema ptico (un lser es un buen ejemplo)

Velocidad de la luz.- De acuerdo con la teora de la

relatividad, la luz viaja ms rpido que cualquier otra cosa en el universo. Esta es una constante universal de la naturaleza dada por:

C=299,792.458 m/s 1 metro se define como la distancia que recorre la luz en el

vacio en 1/299,742.458 s

ptica Geomtrica (luz como un rayo)

La luz viaja ms lenta a travs de la materia (gases, lquidos y slidos) que a travs del vaco

Por qu ? ... La luz interactua con tomos y moleculas de la materia y para cuantificar esta diferencia de velocidad , se define el ndice de refraccin (n), el cual es una constante de cada material.

n=c/v c = vel. de la luz en el vacio,

v= vel. de la luz en el material. Vacio n=1 v=c

Agua n=1.33 v=0.42c Silicio n=3.5 v=0.29c

ptica Geomtrica (Reflexin y Refraccin)

Principio de la mnima distancia: Cuando la luz viaja entre dos puntos, esta toma el camino ms corto.

En un espejo, la mnima distancia para el reflejo de luz es a travs del punto d, el cual es el punto medio entre a y b.

ptica Geomtrica (Reflexin y Refraccin)

Qother= qi , qother= qr Qr = qi

LEY DE REFLEXION: Cuando un rayo de luz es reflejado por una interface, el ngulo de reflexin es igual a el ngulo de incidencia.

ptica Geomtrica (Reflexin y Refraccin) Espejos parcialmente reflejantes

Pelcula metalica delgada depositada en un substrato transparente (vidrio)

Interface dielctrica entre dos materiales de diferente ndice de refraccin

Principio de Fermat y Ley de Snell

Principio de Fermat: De todas las trayectorias geomtricamente posibles para que la luz viaje entre dos puntos, solo son permitidas fsicamente aquellas que tienen un valor mnimo para el camino ptico.

Ley de Snell: Cuando un Rayo es transmitido a travs de una interface entre dos medios con diferente ndice de refraccin, el producto del ndice de refraccin y el seno del ngulo es igual en ambas caras de la interface: nisenqi=ntsenqt

Reflexin interna total (TIR) y ngulo critico

ngulo crtico: Es el ngulo de incidencia para el cual el ngulo de transmisin es igual a p/2

tii

tc nnn

nsen >

= para , 1

Para ngulos de incidencia que exceden el ngulo crtico, la luz no puede ser transmitida, por lo que toda esta es reflejada.

Prismas y dispersin

Refraccin a travs de un prisma

El ngulo de desviacin d (desviacin ngular total del rayo de luz incidente causada por el prisma) tiene un valor mnimo dmin a un cierto ngulo q que depende unicamente del ndice del prisma n y del ngulo A

+

=

2

2),(

min

min Asen

AsenAn

ndice de refraccin de un prisma

Suponiendo que A es muy pequeo, )1(min nA

Dispersin observada en un prisma

Los diferentes colores son asociados con diferentes longitudes de onda, o equivalentemente, con fotones que presentan diferentes niveles de energa.

Dispersin del material: El ndice de refraccin de un material vara con la longitud de onda de la luz (y por lo tanto, con la energa de los fotones)

Formacin de imgenes por lentes delgadas

Una Lente, se define como una combinacion de 2 superficies refractantes, en donde al menos una es curva.

Si el espesor axial de una lente es pequeo comparado con el radio de curvatura de sus superficies, esta puede ser considerada como una lente delgada. Si el espesor de una lente no es despreciable comparado con el radio de curvatura de sus superficies, esta debe ser tratada como una lente gruesa.

Lentes delgadas convergentes y divergentes

Considere un haz de rayos paralelos incidiendo a una lante. Si la lente provoca que los rayos refractados converjan, se dice que es una lente convergente (ms gruesa en su centro), en caso contrario se dice que es una lente divergente (ms delgada en su centro). Estableciendo adems, que una lente convergente se conoce como positiva y que una lente divergente es negativa.

Lentes delgadas convergentes y divergentes

El foco de una lente se define como el punto de convergencia de los rayos luminosos cuando stos llegan a la lente en un haz de rayos paralelos entre s y al eje de la lente.

La distancia focal de una lente delgada es la distancia de la lente al foco, siendo positiva para una lente convergente y negativa para una lente divergente.

Lentes delgadas convergentes y divergentes La potencia P de una lente se define como el recproco de la distancia focal f.

fP 1= Si la distancia focal se mide en metros, la potencia queda expresada en dioptras

Dffnumero =

El numero f, tambin referido como abertura relativa, se define simplemente como la razon de la longitud focal f de la lente a su dimetro D.

Localizacin de imgenes por trazo de rayos

Diagrama de rayos para la formacin de imgenes a travs de dos lentes

Diagrama de rayos para la formacin de imgenes en lentes positivas y negativas

Frmula para lentes delgadas

fqp111 =+

Donde p es la distancia del objeto al centro de la lente

q es la distancia de la imgen al centro de la lente

f es la longitud focal

=

21

111rrn

nnf

g

n ndice de refraccin del medio externo

ng ndice de refraccin del material de la lente

r1 radio de curvatura de la cara frontal de la lente

r2 radio de curvatura de la cara posterior de la lente

Convencin de signos para lentes delgadas

m = hiho= qp

m es el factor de amplificacin

hi es el tamao transversal de la imgen

ho es el tamao transversal de el objeto

P , q son las distancias del objeto e imagen respectivamente

La luz viaja inicialmente de izquierda a derecha hacia la lente La distancia p es positiva para objetos reales localizados a la izquierda de la lente y negativa para objetos virtuales localizados a la derecha de la lente

La distancia q es positiva para imgenes reales formadas a la derecha de la lente y negativa para imgenes virtuales formadas a la izquierda de la lente

La longitud focal f es positiva para una lente convergente y negativa para una lente divergente

El radio de curvatura r es positivo para una superficie convexa y negativo para una superficie cncava

Las distancias transversales (ho y hi) son positivas sobre el eje ptico y negativas debajo de este.

Ejemplos Una lente delgada doble-convexa usada como un amplificador simple, tiene una superficie frontal con un radio de curvatura de 20 cm y una superficie posterior con un radio de curvatura de 15 cm. El material de la lente es de n=1.52. a) Cual es su longitud focal en el aire, b) cual es su longitud focal en agua (n=1.33), c) importa cual cara de la lente esta frente a la luz?, d) como encuentra experimentalmente f con la luz del sol?

a) ng=1.52, n=1.00, r1=+20 cm y r2=-15 cm

1f =

ng nn

1r1

1r2

= 1.52 11

120

115

= 0.0607

f = +16.5cm

b) 1f =

1.52 1.331.33

120

115

= 0.0167, f = 60cm

c) NO, el factor de amplificacin seria el mismo. Pero si se invierte la lente, cambia el efecto sobre la luz que pasa a travs de esta.

Ejemplos Un sistema de dos lentes esta formado por una lente convergente seguido por una lente divergente, c/u de f=15 cm. El sistema se usa para formar una imagen de una ua de 1.5 cm de alto, situada a 25 cm de la primera lenta. Las dos lentes se encuentran separadas 60 cm. Localice la imagen final, encuentre su tamao, es una imagen real o virtual?, la imagen resultante es normal o invertida?

L1: 1P1+ 1q1

= 1f1 125 +

1q1

= 115 , q1 = +37.5cm

Imagen real y a 37.5 cm a la derecha de L1

L2: 1p2

+ 1q2= 1f2

, donde p2 = (60 37.5) = 22.5cm1

22.5 +1q2

= 115 , q2 = 9cm

Esto significa que la imagen es virtual a 9 cm a la izquierda de L2

m = m1m2 = q1p1

q2p2

= 37.525

922.5

= 0.6

La imagen final es invertida y con un factor de reduccin de 0.6

La luz como onda (ptica Fsica)

Ondas armnicas

=

xAsenx 2)( Tiempo fijo !

)2()( tAsent = Posicin fija


De manera general, cuando posicin y tiempo son variantes, podemos escribir la amplitud de la onda como:

=

= txAsentxAsentx

222),(

2k Numero de onda 2 Frecuencia angular

(x,t) = Asen(kx t) Expresin general para una onda armnica !! (x,t) = kx t Fase de la onda, ej. Si sen( + / 2) = cos( )(x,t) = Acos(kx t)

La luz como onda (ptica Fsica) Unidades y dimensiones asociadas con ondas armnicas

Velocidad de onda y su relacin con el ndice de refraccin

Cuando q=kx-wt, la onda viaja a la derecha (incrementando x, q cte)

Cuando q=kx+wt, la onda viaja a la izquierda (decrementando x, q cte)

tctexctetxtx

+===

2 22),(

Formalmente:

La luz como onda (ptica Fsica) Entonces, la velocidad de un punto fijo sobre la onda, tenemos:

=+== 0dtdxvelocidad c=299,792.458 m/s en el vaco, y esta debe ser igual a c/n en un material con

ndice de refraccin n

c = 0 0 =c

Donde l0 es la longitud de onda en el vacio. Si la luz esta viajando en un material de ndice n, se define la longitud de onda del material (l) como:

= 1nc= 0n , k0 =

20

y k = 2

= k0n

k0 es el nmero de onda en el vaco

k es el nmero de onda del material

La luz como onda (ptica Fsica) El vector de onda y direccin de propagacin

En lugar de un solo numero de onda k, podemos describir tanto las propiedades de una onda y su direccin de viaje usando un vector de onda k. El vector de onda esta definido de tal menera que la magnitud del vector de onda es igual al numero de onda:

k = k = 2

La direccin del vector de onda apunta en la direccin que viaja la onda

Una onda armnica que viaja en la direccin k puede ser escrita como:

(r,t) = Asen(k r t) Donde r = xx + yy + zz r es el vector posicin que apunta a la localizacin en el espacio con coordenadas cartesianas (x,y,z). Esto es, x, y y z son los vectores unitarios que apuntan en la direccin x, y y z respectivamente.

La luz como onda (ptica Fsica) Como ejemplo, suponga que el vector de onda k apunta a lo largo de la direccin x, tal que k=kxx y ky=kz=0. Por lo tanto, el producto punto k*r= kxx, entonces:

)(),( txkAsent x = r

Esta onda viaja a lo largo de la direccin x como se muestra en la siguiente figura, donde los rectangulos punteados representan planos de fase constante que se extienden de manera infinita en las direcciones y y z.

La luz como onda (ptica Fsica) Como otro ejemplo, suponga que el vector de onda k apunta a lo largo de una direccin en el plano x-y, tal que k=kxx+kyy, y puesto que k*r= kxx+kyy. Entonces, la amplitud de la es:

)(),( tykxkAsent yx += rLa onda viaja ahora a lo largo de la direccin en el plano x-y que forma un ngulo f con el eje x


En el mundo macroscpico, algunos ejemplos de ondas son:

Ondas en agua, producidas por viento o barcos en movimiento Ondas acusticas que resultan del movimiento rpido de objetos en un medio Ondas ssmicas, producidas por terremotos

En el mundo microscpico, algunos ejemplos de ondas son:

Todas las particulas que componen la materia (electrones, protones, neutrones, etc) se comportan como ondas !!!

Si se estumulan apropiadamente estas particulas, se pueden generar ondas electromagneticas, entre las cuales se incluyen (incrementando su longitud de onda respectiva), rayos gama, rayos x, ondas de luz, ondas de calor y ondas de radio.

Tipos de ondas Ondas Transversales: y(x,t) mide el desplazamiento de algo a lo largo de una direccin, la cual es perpendicular a la direccin de propagacin de la onda

Ondas Longitudinales: y(x,t) mide el desplazamiento de algo a lo largo de una direccin, la cual es paralela a la direccin de propagacin de la onda

La amplitud y de una onda es un CAMPO que representa el potencial para una fuerza elctrica y/o magnetica que podria existir si una particula cargada apropiada localizada en alguna posicin en el campo sensara la fueza. Este campo es llamado un CAMPO ELECTROMAGNETICO, de aqu el nombre de onda electromagntica

Intensidad de ondas de luz La capacidad de una onda para transportar energa (y su informacin correspondiente) es mejor descrita por una cantidad llamada intensidad de la onda de luz

=== 2

2

* metrosWatts

reaPotencia

reaTiempoEnergaI

Esta es la cantidad llamada intensidad instantanea, proporcionando la intensidad de la onda de luz en cualquier instante de tiempo. Sin embargo, recordemos que la frecuencia de la onda esta expresada como n=c/l0. Suponiendo c=3x108 m/s y una l=633 nm (luz roja), entonces n=5x1014 Hz. Esto significa que las crestas de la onda se registran en tiempos de una cada t=1/n=2x10-15 seg. !!!. Por esto, en la practica, se trabaja con detectores que registran el efecto promedio de muchos periodos de la onda de luz. Esto es, en el mundo real, nosotros medimos una intensidad promedio de la onda de luz, representada como =.

Interferencia Superposicin de ondas armnicas.- Cuando dos o ms ondas se encuentran presentes, la amplitud total de la onda es simplemente la suma de todas las amplitudes de las ondas individuales.

....),(),(),( 21 ++= txtxtx

Para entender la simplicidad de este principio de superposicin, se presenta un primer caso de la superposicin de ondas con la misma longitud de onda y que presentan tambin la misma fase relativa (caso de ondas en fase):

)cos()()()()(,

)cos()( y )cos()(

2121

2211

kxAAxxxEntonces

kxAxkxAx

+=+=

==

Grficamente, el resultado es:

De manera ms general, para el caso de dos ondas fuera de fase tenemos:

1(x) = A1 cos(kx +1) y 2 (x) = A2 cos(kx +2 )(x) = 1(x)+2 (x) = A1 cos(kx +1)+ A2 cos(kx +2 )

utilizando cos(1 +2 ) = cos1 cos2 sen1sen2, entonces:(x) = A1 cos(kx)cos1 A1sen(kx)sen1 + A2 cos(kx)cos2 A2sen(kx)sen2(x) = (A1 cos1 + A2 cos2 )cos(kx) (A1sen1 + A2sen2 )sen(kx)

Acos = A1 cos1 + A2 cos2 y Asen = A1sen1 + A2sen2 .... Ec.(1)Sustituyendo:

(x) = A(cos cos(kx) sensen(kx)) = Acos(kx + )

Ahora, se debe encontrar una expresin para A y f

Interferencia de ondas con la misma longitud de onda

Interferencia de ondas con la misma longitud de onda (continuacin)

Tomando el cuadrado y sumando la ec. 1:

===+=+ 22222222 )1(coscos AsenAsenAA 2

22112

2211 )()coscos( senAsenAAA +++=)(cos)cos(cos2)(cos 2

22

2222121211

21

221 senAsensenAAsenA +++++=

222121

21 )cos(2 AAAA ++=

De este desarrollo, encontramos el valor para la amplitud A:

)cos(2 212122

21 ++= AAAAA

Dividiendo las dos relaciones de la Ec. 1:

:entonces , coscos

tancos 221

2211

AAsenAsenA

AAsen

++==

++=

2211

2211

coscosarctan

AAsenAsenA

Si sumamos dos ondas cualesquiera que tengan la misma longitud de onda (y por lo tanto el mismo nmero de onda), la onda resultante tiene exactamente la misma longitud de onda, pero una nueva amplitud y una nueva fase constante.

Superposicin de ondas con diferente longitud de onda:

Suponga 2 ondas con la misma amplitud y la misma fase constante (en x=t=0), pero diferentes longitudes de onda ( y por lo tanto, diferentes numeros de onda k1 y k2 respectivamente)

))cos()(cos()()()( :entonces , )cos()( y )cos()( 21212211 xkxkAxxxxkAxxkAx +=+===

+

=

+

=+ xkkxkkAx

2cos

2cos2)( ,

2cos

2cos2coscos 2121212121

Lo cual muestra, que la superposicin de dos ondas con diferente longitud de onda no es una onda armnica simple !!!

Una forma de interpretar este resultado, es suponiendo que las dos ondas tienen aproximadamente la misma longitud de onda, tal que:

: caso este en ,, 211221

Interferencia de dos ondas con diferente longitud de onda (continuacin)

Definiendo el periodo de repeticin (beat period):

:siguiente loaproximar podemos tanto,lopor , , donde , 2 2111 >>

xxAx1

2cos2cos2)(

En esta expresin, el primer factor coseno se puede interpretar como una onda con variacin en amplitud lenta y el segundo factor coseno como una onda armnica de oscilacin rpida.

Interferencia de dos ondas planas de luz En esta seccin, se muestra como se genera un patrn de interferencia a partir de dos ondas planas de luz que se cruzan en el espacio. Suponga estas ondas definidas como:

)cos()cos(),,()cos()cos(),,(

22222

11111

tAtykxkAtyxtAtykxkAtyx

yx

yx

=+=

=+=

rkrk

2

1

Una vista de estas ondas en el plano x-y es como la siguiente:

Interferencia de dos ondas planas de luz

Si las dos ondas tienen la misma longitud de onda, entonces: 2

21 === kkk

)cos()cos(),,( 2121 tAtAtyx +=+= rkrk 21 Amplitud total Y

( ) ( ) ( ) ( )ttAAtAtAtyxI ++== rkrkrkrk 11 22122222212 coscos2coscos),,(La intensidad temporal promedio:

De esta ltima expresin, observamos que los primeros dos terminos son simplemente las intensidades temporales promedio de cada una de las ondas planas, es decir:

( ) ( ) 222

222

21

2122

1 2cos y

2cos IAtAIAtA ==== rkrk1

Adems, podemos simplificar el tercer termino utilizando:

( ) ( )212121 cos21cos

21coscos ++=

( ) ( ) ( )( ) ( )( )tAAAAttAA 2coscoscoscos2 2121221 ++= rkkrkkrkrk 21211

Interferencia de dos ondas planas de luz El primer termino de la ec. anterior, es una constante en el tiempo (no depende de t) y es igual al valor entre brackets. El segundo termino es simplemente una funcin armnica dependiente del tiempo y su promedio durante un periodo grande de tiempo es simplemente cero. Por lo tanto,

( ) ( ) ( )( )rkkrkrk 11 = 221221 coscoscos2 AAttAA

Por lo tanto, la expresin final para la intensidad promedio de dos ondas planas de luz es:

Reduciendo:

Note que el patrn de interferencia no depende de la posicin x. El patrn consiste de franjas de interferencia que son paralelas al eje x, pero varan espacialmente a lo largo de la direccin y.

Interferencia de dos ondas planas de luz Considerando un valor fijo para el eje x y observando la variacin espacial de la intensidad a lo largo de la direccin y. Esto queda representado por un patrn que vara sinusoidalmente:

Las franjas son espaciadas una distancia de:

sen

y2

=

Para cuantificar el contraste de franjas, donde el contraste es la razn entre la intensidad de picos y valles. El contraste es usualmente medido por un parmetro llamado visibilidad de franjas, V, el cual vara entre 0 y 1 y se define como sigue:

minmax

minmax

IIII

V+

=

Experimento de Young de doble rendija Adems de su importancia histrica, este experimento es un sistema ideal para ilustrar, entender y analizar numerosas propiedades de la naturaleza de la luz, incluyendo interferencia, difraccin y coherencia

Arreglo experimental para el experimento de Young.

La primer abertura A asegura que las ondas de luz que llegan a las aberturas A1 y A2 tengan igual fase al ser derivadas de una fuente puntual. La forma como se encuentra correlacionada la fase entre dos puntos en una onda de luz es llamada COHERENCIA. El hecho de que la luz se disperse cuando esta pasa a travs de una abertura pequea es una consecuencia fundamental de la naturaleza ondulatoria de la luz llamada DIFRACCIN.

Experimento de Young de doble rendija Las aberturas secundarias A1 y A2 actuan como fuentes puntuales de 2 ondas divergentes esfricas, las cuales interfieren para producir franjas sobre la pantalla de observacin. Para encontrar el espaciamiento entre franjas, se puede hacer un procedimiento de seguimiento de fase como se muestra:

Cuando dos ondas interfieren, cada franja en el patrn de interferencia resultante corresponde a una diferencia de camino entre las dos ondas de un nmero entero de longitudes de onda.

( ) adestructivcia interferenpara 2/12/vaconstructicia interferenpara entero) (

21

21

+=+===

mmPAPAmmPAPA

Considerando:

s)(y y/stansena)(s

asen a

syyy

BrillanteFranjaasmy

mm

m

=

+1

Polarizacin Polarizacin de ondas de luz se refiere a la direccin transversal de vibracin de el vector de campo elctrico de las ondas electromagnticas. Por direccin transversal, se indica que la vibracin del campo elctrico es perpendicular a la direccin de propagacin de la onda

En esta figura se muestra una onda de luz que se propaga de manera lineal a lo largo del eje z. El campo elctrico vibra siempre a lo largo de una direccin que hace un ngulo q con el eje y en el plano transversal.

Simbologa empleada para indicar luz polarizada

Polarizacin El efecto de luz no polarizada, representada por multiples flechas incidentes a un polarizador cuyo eje de transmisin es vertical resulta en luz polarizada verticalmente. Esta luz incidente a un analizador cuyo eje de transmisin es horizontal con respecto a la direccin de la luz polarizada verticalmente, entonces la luz no se transmite.

Ley de Malus: Cuando luz no polarizada pasas a travs de un polarizador, la intensidad de la luz es reducida de acuerdo con la siguiente expresin.

20 cosII =

Interferencia de 2 ondas normalmente incidentes a una pelcula delgada

Ejemplos en la naturaleza: Colores en una burbuja de jabn, en una pelcula de aceite, perlas y en algunas mariposas.

Ejemplos tecnolgicos: Recubrimientos de pelculas dielctricas utilizadas para la fabricacin de espejos de alta reflexin y en recubrimientos antireflectivos en lentes

sfibannnt

nnnnr

ba

aab

ba

baab ,,con ,

2 , =+

=+=

Interferencia de 2 ondas normalmente incidentes a una pelcula delgada

Debido a la variacin del espesor T sobre la superficie de la pelcula o la burbuja, diferentes longitudes de onda interfieren constructivamente y entonces producir una gran reflexin en diferentes posiciones.

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