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Notas y comentarios
Ley de mortalidad mexicana. Funciones de supervivencia
Alejandro Mina Valdés*
Las probabilidades de supervivencia S(x) permiten estimar funciones matemáticas que se resumen en modelos de comportamiento de las principales funciones biométricas que se expresan con base en la función de supervivencia y la tasa instantánea de mortalidad. En la práctica actuarial se utilizan combinaciones de estas leyes aceptando diferentes modelos para distintos tramos de edades.
Las leyes de mortalidad son expresiones analíticas de la función de supervivencia que pretenden estimar el comportamiento de la mortalidad en función de la edad; resulta fundamental elegir la función que mejor se adapte y represente adecuadamente la mortalidad, y esto se hace según los datos observados o estableciendo ciertas hipótesis correspondientes a las características propias de la función de supervivencia.
A lo largo de la historia ha sido constante la búsqueda de una ley de mortalidad válida para cualquier población humana; se ha tratado de encontrar la "ley universal de mortalidad", que probablemente no exista. Sin embargo es posible encontrar el ajuste a alguna ley teórica para determinadas poblaciones y ciertos tramos de edad.
La ley de Gompertz asume que cada individuo presenta una resistencia a las enfermedades (y a fallecer por causas naturales) decreciente en función de la edad, por lo que la fuerza de mortalidad aumenta con la edad y su incremento relativo es constante. Por tanto, se deduce que dicha fuerza de mortalidad crece exponencialmente.
u x = B C * x>0, B>0 , C > 1
Posteriormente Makeham enunció dos leyes de supervivencia. La primera ley considera la tasa instantánea de mortalidad: añade una constante arbitraria que representa la mortalidad accidental (azar) y es independiente de la edad, a la fuerza de mortalidad de Gompertz. Por tanto, la muerte de un individuo es consecuencia de dos causas
* Profesor investigador del Centro de Estudios Demográficos, Urbanos y Ambientales de E l Colegio de México. Correo electrónico: [email protected].
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coexistentes: el azar, y una resistencia (cada vez más débil) a la muerte conforme aumenta la edad, es decir, que además de considerar la mortalidad por causas naturales (igual que Gompertz) introduce la mortalidad accidental del individuo, independiente de la edad.
\lx=A + BCx x>0, B>0, C>1 , A > - B
Esta ley ofrece buenos ajustes en edades intermedias (adultas), pero presenta problemas en las edades extremas de la tabla, principalmente en más jóvenes, puesto que en las edades infantiles la mortalidad es decreciente. Es considerada la ley más conocida y más ampliamente utilizada para ajustar diversas tablas de supervivencia.
La primera ley de Makeham tiene problemas de ajuste para las edades más jóvenes, de ahí que se formulara la segunda ley, más elástica y fundamentada que la anterior, que añade a la fuerza de mortalidad otro sumando proporcional a la edad:
Para determinar los cinco parámetros K, a, b, d y w de la función Makeham se utilizará el método de los grupos no superpuestos, obteniendo los valores de los parámetros con las siguientes ecuaciones:1
i
[1 ] A 2 S a
A z S f
b = exp [2]
a = exp A 2 S 0 [3]
w - exp 2mó
A2So-d-dn
1-d (dm-l)2lnb [4]
í±m—L
o 4 m - l
5> ) 2
[5]
1 E l método es similar para el caso de cuatro parámetros, expuesto en Mina (2001).
NOTAS Y COMENTARIOS 433
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donde: v(x) = a w b Una vez obtenidos los valores de los parámetros k, a, b, d y w de la
función Gompertz-Makeham ampliada, es posible realizar variaciones en ellos con el objetivo de calcular una mejor aproximación a sus valores observados.
Dado que yx = kaxwx2bdX para toda x = 0, 1, 2, 4m-l
Se obtiene el logaritmo natural de la función y x :
[6]
( Y r 2 HX
Lnyx = L n karwx bu
V
= Lnk + Lna + d x L n b + x21nw
Hay que calcular la derivada de la expresión [11]: - r ^ - L n y x = Tr-ÍLnk + xLna + d x L n b + x2 lnw) dyx
y x du\ I [7]
Al calcular la derivada se puede considerar que :
— L n y x = — d y x [8]
mientras que la derivada del miembro derecho se puede expresar como:
- ^ - L n y x = ~~ Lnk + ^ - xLna + ^ - d x L n b + d x L n b + — x2 L n w óyx ók da db da dw
—dk + — da + — db + Lnb ^ - d x + x 2 ^ - d w k a b da da
[9]
El último término de la expresión [18] se puede presentar de acuerdo con el razonamiento siguiente: de acuerdo a las propiedades de los logaritmos se puede expresar:
L n d x = xLnd
Al obtener la derivada de la expresión anterior se observa que:
4 3 4 E S T U D I O S DEMOGRÁFICOS Y URBANOS
— L n d x = — xLnd
— d d x = - d d dx d
Por lo tanto la derivada de dx respecto a d es:
d(d x ) = x d x ^ [10]
Dado lo anterior, la expresión [18] se puede escribir como:
— d y x = - d k + - da + — db + x d x L n b — + x — 11 yx k a b d w L A A J
En consecuencia, la derivada de dy x es:
dyx = ^ d k + ^ d a + ^ d b + xd x y x Lnb— + x2y— [12] k a b J 3 J w
Para calcular los valores de los parámetros a partir de la expresión [12] se procede a linealizar dicha expresión; para ello se denota como:
X l = d Y x X 2 = y x X 3 = X ( X2 ) X 4 = X 2 d X X 5 = X 3 d X X 6 = X 2
dk da db T . dd dw c 2 = ~ r c 3 = — c 4 = - r c 5 = L n b — c 6 = —
k a b d w
Una vez hecho lo anterior, se sustituyen en [12] estas variables, por lo que puede expresarse en forma de regresión múltiple lineal como se presenta a continuación:
X l = C 2 X 2 + C 3 X 3 + C 4 X 4 + C 5 X 5 + C 6 X 6
Empleando las ecuaciones normales, que se expresan matricialmente como:
NOTAS Y COMENTARIOS 4 3 5
A =
y, X2X2 *2*3 #2*4 2 5
y, *2*3 3 3 ^3^4 3 5 *
^ *2X4 X *3*4 *4X4 *4X5 ^
^ X2X5 5 X3X5 X *4*5 *5*5 ^
X X2X6 X *3*6 X **** X *5*6 X
x 2 x 6
2X6
x4x5
5X6
6
c2 XX^2 XX1^3
V = 4 G =
5
Ce
Se calculan los coeficientes de la matriz V con la inversa de la matriz A y multiplicándola por la matriz G, así: V = A - 1 G.
De esta manera se calculan los valores de las c y por consiguiente las primeras correcciones a los parámetros k, a, b d y w de la función Gompertz-Makeham ampliada. Estas correcciones permiten obtener nuevas aproximaciones para los parámetros. Por lo tanto los nuevos valores para éstos son:
k 2 = k ( l+c 2 ) , aj = a( l+c 3 ) , b 2 = b ( l+c 4 ) , dj = d ( l + c 5 / L n b )
y w1 =w( l+c 6 )
A partir de estos valores se obtienen nuevos valores teóricos y por lo tanto nuevas diferencias dy x. Lo anterior lleva un proceso iterativo que permitirá ir obteniendo aproximaciones cada vez más satisfactorias. Es decir, el proceso deberá repetirse hasta que la magnitud de las correcciones alcance un valor reducido tal que no logren cambiar sensiblemente los valores teóricos obtenidos usando los valores de los parámetros hasta esa iteración.
En general se observa que si k , a, b¡ dj w i son valores de la iteración ( i ) , los valores de esos parámetros a la iteración (i+1) serán:
k i + 1 = k ( l + c 2 i + 1 ) , a i + 1 = a- í l -k^, ) , b i + 1 =
b i í l + c ^ ) , d i + 1 = d ( l + c 5 i + 1 / L n b ) , w ¡ + 1 = w.(l+c f f l + 1).
436 ESTUDIOS DEMOGRÁFICOS Y URBANOS
Las funciones Gompertz-Makeham estimadas para México
Los valores obtenidos de los parámetros K, a, w, b, d por sexo y para los años 2003 a 2010 se presentan en el cuadro 1.
Las tablas abreviadas de mortalidad que se obtuvieron con las funciones de supervivencia para la República Mexicana, tanto para hombres como para mujeres, del año 2003 al 2010 se presentan en el anexo.
Finalmente, en la gráfica 1 aparece el tipo de función Makeham ampliado que se obtuvo para el caso mexicano señalando el procedimiento.
Para los valores de la serie lx de tabla de vida, presentados en el cuadro 1, se estimó la función de Makeham ampliada:
= 899360 * 0.9967* * 0.9364 L 6 0 1 1 * 1.0031"2
Con el propósito de obtener la concavidad de las tendencias de los valores de las edades 0, 1, 2, 3 y 4 años, se desplazó el origen al valor -10.4, el cual se asocia a 1 año de edad; así, -10.4 se asocia a la edad 2 años, por lo que cada dos decimales representan un año de edad. Tomado un radix de 1 000 000 personas.
Así: i = -10.4, -10.2,-10.0, -9.9,...., 6.4, 7.4,8.4 asociados a los valores de la edad real x = 1, 2, 3, 4,...., 85, 90, 95.
Conclusiones
Con base en las tablas abreviadas de mortalidad que se obtuvieron para la República Mexicana empleando la función de Gompertz-Makeham ampliada, se tiene que en el año 2003 la esperanza de vida al nacimiento de los hombres fue de 73.34 años y para las mujeres de 77.25 años, es decir, una diferencia de cuatro años a favor de las mujeres mexicanas.
La ganancia en la esperanza de vida al nacimiento para el año 2010 respecto al 2003, es de 2.67 años para los hombres y de 1.61 para las mujeres, con una esperanza de vida de 75.01 años para ellos y 78.86 para las mujeres.
Dada la importancia de la población en edad avanzada en México, destaca en la estimación del impacto de la mortalidad el hecho de que la esperanza de vida a los 65 años sea para el año 2003 de 15.65 años
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438 E S T U D I O S DEMOGRÁFICOS Y URBANOS
GRÁFICA 1 México: función de supervivencia l(x) Makeham ampliada
V
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
• Ix observada - Ix estimada
para los hombres y de 17.74 años para las mujeres y aumente 0.56 años para los hombres y 0.56 años para las mujeres en el año 2010, cuando la esperanza de vida a los 65 años será de 16.21 años para los hombres y de 18.38 años para las mujeres.
La ley de mortalidad de México, resumida por la función de supervivencia Gompertz-Makeham ampliada, describe con precisión el impacto de la mortalidad por edad y sexo, pues se estiman las ganancias en las esperanzas de vida de acuerdo con las tendencias históricas registradas, es decir, serán mayores las esperanzas de vida de las mujeres sobre los hombres en los próximos años y se reducirá la brecha por sexo, de ahí que sea cada vez menor el diferencial en las ganancias de vida.
El estudio del proceso de envejecimiento de la estructura por edad y género de la población mexicana requiere el conocimiento de las leyes de mortalidad imperantes y de sus modificaciones en el tiempo (futuro inmediato), esto con el fin de proyectar adecuadamente la estructura de la población, lo que se logra con la función de supervivencia Gompertz-Makeham que da la pauta en la elaboración de tablas de mortalidad por sexo. En los próximos años deberán validarse con la estimación que directamente se haga de ellas, vía estadísticas vitales y censos de población, y con ello habrá que ajustar la ley de mortalidad mexicana para los años futuros.
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