PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON 1 Su desarrollo es un polinomio completo de (n + 1) trminos. 2 Los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales. 3 El exponente de x en cada trmino es igual al nmero de trminos que le siguen y el de a al que le preceden. 4 El coeficiente del primer trmino es 1 y el coeficiente del segundo trmino es igual al exponente del primer trmino. 5 El coeficiente de cada trmino es igual al anterior multiplicando por el exponente del x anterior y dividido por el del a anterior y aumentando en 1. 6 Si los trminos del binomio tienen signos contrarios, los trminos del desarrollo sern alternativamente positivos y negativos, siendo negativos los que contengan potencias impares del trmino negativo del binomio. Basta sustituir en el dearrollo a por -a. 7 Si los dos trminos del binomio son negativos, todos los trminos del desarrollo sern positivos o negativos, segn que el exponente sea par o impar. En efecto: (-x - a)n = [(-1) (x + a)]n = (-1)n (x + a)n 8 La suma de los coeficientes del desarrollo es igual a 2 elevado a la potencia del binomio. nnnn 2n = 1 + C1 + C2 + C3 + + Cn 9 La suma de los coeficientes de los trminos de lugar impar es igual a la suma de los de lugar par. 10 Con respecto a las letras x y a, el desarrollo es un polinomio homogneo de grado n.

TRMINO CENTRAL Se presenta 2 casos: 1) Cuando el exponente es par, de la forma (x + a)2n, existe un slo trmino central, su lugar se calcula as: 2n + 1 = n + 1 2 Notar que, en este caso 2n es la potencia del binomio. 2) Cuando el exponente es impar, de la forma: (x + a)2n+1, existen 2 trminos centrales, y sus lugares se determinan as: (2n + 1) + 1 1er. Trmino Central = = n + 1 2 (2n + 1) + 3 2do. Trmino Central = n + 2 2 Notar que la potencia del binomio es (2n + 1) PROCEDIMIENTO: Ntese que: n = 12 1er. trmino: 27x5 2do. trmino: 1 3x 12 1 9 t10 = t9+1 = C9 (27x5)12-9 () 3x 12 . 11 . 10 t10 = (33x5)3(3-9x-9) 1.2.3 t10 = 220x6 4 Para extraer la raz de un nmero con aproximacin por la serie binmica de Newton, se utiliza la siguiente relacin: (1 + x)1/m = 1 + 1 x m donde: 0 < x < 1 _____ Ejemplo: Hallar 5 921,6 Se puede escribir:

___ 5 102,4 5 1 024 - 102,4 = 1 024 (1 - ) 1 024 ___ 1 =1511 5 1024 (1 - ) = 4(1 - . ) 10 5 10 = 4 (1 - 0,02) = 4(0,98) = 3,92 _____ 921,6 = 3,92 5 Para determinar el trmino general en el desarrollo se utiliza: n(n - 1)(n - 2) (n - k - 1) tk+1 = xn-k ak k Donde: n = exponente negativo y/o fraccionario k = lugar del trmino anterior al pedido Ejemplo: Hallar el trmino 2 del desarrollo de (1 - x)-3 (-3) t1+1 = x3-1 (1)1 14 t2 = -3x2 DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO PROPIEDADES: 1 El nmero de trminos es infinito, y al desarrollo se le conoce con el nombre de Serie Binmica de Newton. 2 Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un nmero n fraccionario y/o negativo, el valor de x debe ser uno y adems x > a. Los valores de a deben estar en el rango 0 < a < 1. 3 Los trminos del desarrollo con respecto a sus signos, no guardan ninguna relacin.