UNIVERSIDAD NACIONAL“PEDRO RUIZ GALLO”

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICASY MATEMÁTICAS

PRACTICA

CURSO : ANALISIS MATEMATICO III

DOCENTE : SIFUENTES JUSTINIANO NELSON

TEMA : INTEGRALES DE SUPERFICIES

ALUMNO : MAYANGA OROZCO GEYNER

CODIGO : 132438-D

Lambayeque, diciembre 2015

Integrales de superficies

1.Introducción: los pasos preliminares de esta integral son similares a combinaciones de los pasos que llevaron a la integral de línea, con respecto a la longitud de arco, y los pasos que condujeron a la integral

doble. Sea w=f (x , y , z) una función definida en una región del espacio tridimensional que contiene una superficie S , la cual es la grafica de una función z=g(x , y).sea R la proyección de la superficie sobre el plano xy ya sea de tipo I o de tipo II.

*Divida la superficie S en n parches Skcon áreas ΔSk que corresponda a una particiónP de R en n rectángulos Rk con áreas Δ Ak.

*Sea ¿ p∨¿ la norma de la partición o de la longitud de la diagonal mas larga de Rk

*Elija un punto muestra ¿) sobre cada parche de Sk como se ilustra en la figura.

*forme la suma

∑k=1

n

f (xk ´ , yk ´ , zk ´ )Δ SK

2. Definición: Sea f una función de tres variables x , y , z definida en una región del espacio que contiene a una superficie S .Entonces la integral de superficie def sobre Ses.

∫∫S

❑

f ( x , y , z )dS=lim|⃗p|0

∑k=1

n

f (xk ´ , yk ´ , zk ´ ) ΔSK …..(1)

* Método de evaluación: Recuerde que si z=g(x , y) es la ecuación de una superficie S, entonces la diferencial del área de superficie es

ds=√1+¿¿

De tal modo que si f , g , gx , g y sin continuas en una región del espacio tridimensional que contiene a S, podemos evaluar en (1) por medio de una integral doble:

∫∫S

❑

f ( x , y , z )dS=¿∫∫R

❑

f (x , y , g ( x , y ) )√1+¿¿¿¿¿

Advierta que cuando f ( x , y , z )=1, en (1) se reduce la formula para el área de la superficie en (2) de esta forma:

∫∫S

❑

dS= lim¿ p∨⃗�0

∑k=1

n

Δ SK=A (S )

*Proyección de S en otros planos: Si y=g (x , z) es la ecuación de una superficie S que se proyecta sobre la región R del plano xy , entonces la integral definida de superficie de f sobre S esta dada por:

∫∫S

❑

f ( x , y , z )dS=¿∫∫R

❑

f (x ,g ( x , z ) , z )√1+¿¿¿¿¿

De manera similar si x=g( y , z) es la ecuación de una superficie S que se proyecta sobre el plano yz , entonces el análogo de (3) es:

∫∫S

❑

f ( x , y , z )dS=¿∫∫R

❑

f (x ,g ( y , z ) , z )√1+¿¿¿¿¿

*Masa de una superficie: suponga que p(x , y , z) representa la densidad de una superficie S en el punto ( x , y , z ), o la masa por unidad de área de superficie .Entonces la masa m de la superficie es:

m=∫∫S

❑

p ( x , y , z)dS……(5)

Ejemplo:

Determine la masa de la superficie del paraboloide z=1+x2+ y2 en el primer octante para 1≤z ≤5 si la densidad en el punto P sobre la superficie es directamente proporcional a la distancia desde el plano xy.

Solución: La superficie en cuestión y su proyección sobre el plano xy se muestra en la figura:

Ahora bien, puesto que p ( x , y , z )=kz ,g ( x , y )=1+x2+ y2 , gx=2 x , gy=2 y, las formulas (5) y (2) producen

m=∫∫S

❑

kzdS=k∫∫R

❑

(1+x2+ y2)√1+4 x2+4 y2dA

Cambiando a coordenadas polares, obtenemos

m=k∫0

π /2

∫0

2

(1+r2)√1+4 r2rdrdθ

m=k∫0

π2

∫0

2

[r (1+4 r2 )¿¿ 12+¿¿r3(1+4 r2)1 /2]drdθ ¿¿¿

m=k∫0

π2

¿ 112

(1+4 r2 )32+ 112

r2(1+4 r 2)3 /2− 1120

(1+4 r 2)3 /2 ¿02dθ

m=12kπ ¿

m=30.16k

*Superficies paramétricas: Si S se define paramétricamente mediante la función vectorial

r (u , v )=x (u , v )i+ y (u , v ) j+z (u , v )k ,

Donde (u , v ) es el dominio D del parámetro del plano uv y f (x . y . z ) es continua sobre S, tenemos el siguiente resultado.

Sea S una superficie parametrica suave definida por la ecuación vectorial

r (u ,v )=x (u , v ) i+ y (u , v ) j+z (u , v )k ,

Donde (u , v ) varía sobre la región R del parámetro en el plano (u , v ), y sea f (x . y . z ) continúa sobre S.Entonces.

∫∫S

❑

f (x , y , z)dS=∫∫R

❑

f (x (u , v ) , y (u , v ) , z (u , v ) )|drdu x drdv|dA…..(6)

Ejemplo:

Evalué la integral de superficie ∫∫S

❑

√1+x2+ y2dS donde S es la superficie

definida por la función vectorial r (u ,v )=ucosv i+ ysenv j+v k , donde 0≤u≤2 , 0≤u≤ 4π

Solución: la grafica de r (u , v) que se muestra en la figura: recibe el nombre de helicoide circular.

La frontera de un helicoide es una hélice circular.

Al sustituir x=ucosv y y=usenv en el integrando y simplificando, obtenemos:

√1+x2+ y2=√1+u2 cos v2+u2 senv2=√1+u2

Luego, |drdu x drdv|=

i j kcosv senv 0

−usenv ucosv 1=senv i−cosv j+uk

|drdu x drdv|=√sen2 v+cos2v+u2=√1+u2

La integral dada se convierte en:

∫∫S

❑

√1+x2+ y2dS=∫∫S

❑

(√1+u2)2dA

¿∫0

4 π

∫0

2

(1+u2¿¿)dudv¿¿

¿ 143 ∫

0

4π

dv

¿563

π

*integrales de campos vectoriales: Si

F ( x , y , z )=P ( x , y , z ) i+Q ( x , y , z ) j+R (x , y , z ) k

Es el campo de vectoriales de un fluido, entonces, como se indica en la figura:

El volumen del fluido que fluye a través de un elemento de aérea de superficie ΔS por unidad de tiempo se aproxima por medio de

(altura )−(area de la base )=(com pnF ) ΔS=(F .n)ΔS

Donde n es una norma unitaria a la superficie .El volumen total del fluido que pasa a traces de S por unidad de tiempo de recibe el nombre de flujo de F a través de S y esta dado por:

flujo=∬S

❑

(F .n¿)ds……(7)¿

Ejemplo:

Considere que F ( x , y , z )=z j+z k representa el flujo de un líquido. Determine el flujo de F a través de la superficie de S dada por la parte del plano z=6−3 x−2 y en el primer octante orientado hacia arriba.

Solución: El campo vectorial y la superficie se ilustran en la figura:

Definiendo el plano por h ( x , y , z )=3 x+2 y+z−6=0 , vemos que la norma unitaria con componente k positiva es

n=∇h

‖∇h‖= 3

√14i+ 2

√14j+ 1

√14k

Como F .n= 3 z√14 , tenemos

flujo=∬S

❑

(F .n¿)ds= 1√14∬S

❑

3 zds¿

Al emplear la proyección Rde la superficie sobre el plano xy que se muestra en la figura, la ultima integral puede escribirse

flujo=1

√14∬R❑

3 (6−3x−2 y )(√14 ds¿)¿

¿3∫0

2

∫0

3−3x/2

86−3 x−2 y¿dydx ¿

¿18

3. bibliografía:

*calculo 2 de varias variables.

Autores: Ron Larson-Bruce H. Edwards.

Edición: novena edición.

Editorial: McGraw Hill.

*cálculo de varias variables.

Autor: Dennis G. Zill.

Edición: cuarta edición.

Editorial: McGraw Hill.

*Análisis Matemático III

Autor: Eduardo Espinoza Ramos

Edición: primera edición.