Nukleo ez-erregularreko eragile maximalen, integral ... · mentsioaren arteko erlazio bat topatzea. Horretarako, gure arrazonamendua [19] artikuluko ideiatan, eragileen arteko diferentzien

Nukleo ez-erregularreko eragile maximalen, integral singularren eta funtzio koadratikoen bornaketak

Jakintza-arloa: Matematika

Egilea: EDURNE SEIJO HERNANDORENA Urtea: 2002 Zuzendaria: JAVIER DUOANDIKOETXEA ZUAZO Unibertsitatea: UPV-EHU ISBN: 978-84-8428-247-8

Hitzaurrea Lan honen abiapuntua, J. L. Rubio de Franciak 1986. urteko “Maximal functions and Fourier transforms” (Duke Mathematical Journal) artikuluan kokatuko nuke. Bertan ageri diren eragile maximalak eta horiei buruzko LP espazioetako bornaketa propietateetarako erabilitako frogapen argudioak funtsezkoak izan ditut lan hau burutu ahal izateko. Erreferentzia hori izanda, momentu hartan eskuartean genuen Y. K. Cho-ren “Multiparameter maximal operators and square functions on product spaces” (Indiana Univ. Math.) 1994 urteko artikuluan parametro anitzeko eragile maximalei buruz lortutako emaitzak hobetzeko asmoz ekin nion lanari. Gure frogapenaren gakoa Fourier-en transformatuaren aldean eragilearen deskonposaketa diadikoan datza. Ideia bera hau, Analisi Harmonikoko teoria klasikoko nukleo ez- erregularreko integral singularretan eta funtzio koadratikoetan bornaketa emaitza positiboak lortzeko ere baliagarria izango da. Deskonposaketa honi esker, lantzen ditugun eragileak konboluzio eragileen batura gisa adierazi ahal izango ditugu, honela, batugai bakoitza (konboluzio eragilea) aztertuz eragile nagusirako emaitzak erdietsiz. Kasu guztietan, konboluzio eragileen nukleoaren Fourier-en transformatuan tamaina baldintza batzuk ezarriz, eragilerako L2-ko bornaketa estimazioak erdietsiko ditugu. Gainerako LP espazioetan emaitzak lortzeko, pisudun espazioen eta Littlewood-Paley-ren teoriaz hala nola interpolazio eta extrapolazio emaitzez ere baliatuko gara. Argudio mota honek, aurretik ezagunak ziren zenbait emaitzen frogapenak sinplifikatzea ahalbidetzen du, kasu batzuetan emaitzak hobetzea ere lortuko dugularik. Honela, garatutako argudioak, landu ditugun eragileen antzeko izaera dutenenentzat ere baliagarriak izan daitezkeela pentsa genezake eta zentzu honetan, nire uste apalean behintzat, hau izan liteke Analisi Harmonikoaren esparru honetan lan honen ekarpen aipagarriena.

Edurne Seijo Hernandorena, 2009ko urrian

Nukleo ez-erregularreko eragilemaximalen, integral singularren

eta funtzio koadratikoenb ornaket ak

Javier Duoandikoetxea Zuazo doktorearenzuzendaritzapean

Edurne Seijo Hernandorena doktoregaiakaurkezten duen

tesia

Matematika SailaEuskal Herriko Unibertsitatea (U.P.V .-E .H.U .)

Nukleo ez-erregularreko eragilemaximalen, integral singularren

eta funtzio koadratikoenbornaketak

Edurne Seijo Hernandorena

Euskal Herriko Unibertsitateko Mate-matika Sailean Zientzietan doktore gra-dua lortzeko, Analisian katedradunaden Javier Duoandikoetxea Zuazo dok-tore jaunaren zuzendaritzapean egin-dako lana .

Leioan, 2001.eko abenduan

Eskerrak zuri, Javi, irakatsitako guztiagatik eta eskeini didazun laguntza-gatik . Gracias a ti, Marta, por tu amistad y apoyo incondicional . Mila eskerlagun eta lankide zareten Txomin, Osane, Judith eta Susanari eta oro har Ma-tematika Saileko lagunei . Azkenik, eskertu nahi dizuet zuei, Susana eta Judith,egunotan eskeini didazuen laguntza .

Aurkibidea

3 Eragile maximal esferikoetarako berretura pisudun bornake-tak

49

Sarrera orokorra 111

1 Aitzin-urratsak 11 .1 Notazioa 11 .2 Eragile maximalen eta Littlewood-Paleyren teoriari buruz . . . . 21 .3 Pisuen teoriari buruz 41 .4 Multzo baten dimentsioa 8

2 Parametro anitzeko eragile maximalak 112.1 Sarrera 112.2 Parametro bakarreko eragile maximalak . Aurretiko emaitzak 132.3 Parametro anitzeko eragile maximalak 15

2.3.1 2 .6 teoremaren frogapena 192 .3.2 2 .7 teoremaren frogapena 34

3.1 Sarrera 493.2 Aurreko emaitzak 513.3 Baldintza beharrezkoak 523.4 Baldintza nahikoak 563.5 E erregularra denerako lortutako emaitzen hobekuntza 68

4 Integral singularrak funtzio erradialen gainean 71

i

Bibliografia

125

4 .1 Sarrera 71

4.2 T11 eragilea LP(W) espazioko funtzio erradialen gainean73

4 .3 Beste funtzioetarako hedapena 80

4.4 Nukleoa eraldatua duten eragile integral singularren bornaketak 83

4.5 Biderkadura espazioetarako hedapena88

4.6 Pisudun bornaketak 91

4.6 .1 M11 eragilerako pisuak 92

4.6 .2 T1 eragilerako berretura pisuak98

5 Zenbait funtzio koadratikotarako pisudun bornaketak 103

5.1 Sarrera 103

5.2 L2 espazioko bornaketak 105

5 .3 LP espazioko bornaketa extrapolazioaren bidez108

5 .4 Aplikazioak 111

5 .5 Adibide singularrago bat 116

5.6 Zenbait hedapen 118

5 .6 .1 Biderkadura espazioak 118

5 .6 .2 Dilatazio ez-isotropikoak 120

5 .6 .3 Beste funtzio koadratiko batzuk120

5 .7 Eranskina: Extrapolazio teoremaren frogapena121

Sarrera orokorra

Aurkezten dugun lan hau bost kapitulutan banatu dugu .Lehenengoan beharrezkoa izango dugun notazioaz gain eragileen eta pisuen

teoriari buruzko zenbait emaitza ere gogoratuko dugu . Bigarren eta hiruga-rren kapituluetan konboluzio eragile baten dilatazioen gorenaz emandako era-gile maximalen bornaketa propietateak aztertuko ditugu eta azkeneko bi ka-pituluetan, aldiz, nukleo ez-erregularreko integral singularrek funtzio erradi-alen gainean eragiten dutenean betetzen diren bornaketa propietateak azter-tuko ditugu batetik eta, bestetik, zenbait funtzio koadratikotarako pisudundesberdintzak lortuko ditugu .

Zehazki esanda, bigarren kapituluan, konboluzio eragile baten dilatazioengorenen LP(Rn) espazioetako bornaketa aztertuko dugu, Rn espazioa Rn =Rnl x Rn2 x . . . x Rn' eran deskonposatzen denerako eta konboluzio eragilearendilatazioak E = E 1 xE 2 x . . . x Er c (0, oo)r multzoan hartutako (tl, t2, . . . , t r ),

r parametroen bidez ematen direnerako, E3 multzoak hautazkoak izanik . Er-agilearen bornaketa lan honetako aitzin-urratsei eskeinitako atalean definitukodugun "E~ multzoen dimentsio" baten araberakoa izango da . Hortaz, hurrengoitxurako parametro anitzeko eragile maximalak aztergai izango ditugu :

Tz f =

sup

ITt l , . . .,trf 1(titr)EE1 X . . . XEr

non (t 1 , . . . , t r ) E El x . . . x Er r-kote bakoitzerako

(Ttl, . . . . trf)^ (S) = m(tl~l ) t2S2, . . . , trSr)f (S)

baita,

. . . , Sr), ~j E Rni, izanik .2 kapituluan aztertuko dugun problemaren planteamendua J . Duoandikoe-

txeak eta A. Vargasek [18] artikuluan lortutako emaitzak parametro anitzenkasura hedatzean sortzen da ; artikulu horretako emaitzak, berez, J . L. Ru-bio de Franciak [32] lanean lortutakoen hedapena dira parametroen multzoahautazko E multzo bat denean hain zuzen ere .

Artikulu horretan bezala, 2 kapituluan aztertuko ditugun parametro ani-tzeko eragile maximaletan, edo m euskarri trinkoko Borelen neurri finitu baten

111

Fourieren transformatua da zeinak hurrengo jausialdia ageri duenr

Im(51' . . . . ~r)j < Cjj (1+ j~jj) °'' aj >2~,

izanik j = 1, . . .,r ;j=1

edo m c- Ck(RT) funtzioa da, k = k1 + k2 + . . . + kr eta kj = [nj /2] + 2 izanik;j E {1, . . . . r} bakoitzerako existitzen dira aj > dj/2

r1D~11 D 2 . . . D~rm(~1i e2, . . . , r )I < C

(1 + ~~jl)-a~

(2)j=1

baita, lajI < kj izanik. Kasu bietan, dj , Ei multzoaren dimentsioa da, lehenaipatu dugun zentzuan eta aitzin-urratsetan zehaztuko duguna .

(1) erako baldintza betetzen duen biderkatzailea duten parametro anitzekoeragile maximaletarako, 2.6 teoreman hurrengoa frogatuko dugu :

p > max 1 + dj

j=1,2, . . .,r

2aj

bada, orduan TÉ, L71 (Rn) espazioan bornatuta dago . j bakoitzerako Ei =(0, oc) denerako Y. K. Chok ([8]) emaitza bera frogatzen du .m biderkatzaileak (2) betetzen duenerako, 2.7 teoreman hurrengoa fro-

gatuko dugu :

max

2nj

< p < min

2(nj - dj)jE{1,2, . ..,r} nj + 2aj - dj

j E{1,2, . . .,r}

nj - 2aj

bada, TÉ eragilea LP(Rn) espazioan bornatuta egongo da .[18] artikuluko frogapenetarako metodoan erabiltzen diren bi ideia nagu-

siak ere parametro baten egoerari dagozkion emaitzak parametro anitzen ka-sura hedatzeko baliagarriak izango dira, lan honetako 2 kapituluko emaitzenfrogapenetan ageri den legez .

Honela TÉ eragilearen deskonposaketa egoki bat egin ondoren, eragile di-latatuen arteko diferentzien normek eragile bakarra kontsideratzerakoan dugunnormaren aurrean ageri duten abantaila erabiliko dugu eta, honela, indukziozkoargudio baten bidez emaitza erdietsiko dugu .

3 kapituluan planteatuko dugun problemaren emaitzak ere arrazonamenduhorretan oinarrituz frogatuko ditugu . Bertan parametro bakarreko eragileakkontsideratuko ditugu ; hain zuzen ere, Rn-ko unitate esferaren dilatazioengaineko funtzioen batezbestekoen gorenak diren eragileak aztertuko ditugu,erradioak hautazko E C (0, oo) parametro multzo batean hartzen direlarik .

iv

(1)

Orain ere emaitzak E multzoaren "dimentsioaren" araberakoak izango dira .Bereziki, Sn-' esferaren dilatazio posible guztiak kontsideratzen baditugu, ale-gia E = (0, oo) bada, dugun eragilea hurrengo funtzio maximal esferikoa da :

M f (x) = sup f f (x - ty)da(y) ,t>O sn-1

non du, S'n- ' esferaren Lebesgueren neurri normalizatua den .

J . Duoandikoetxeak eta L . Vegak ([19]) zenbait berretura pisu lortzen du-te, hots, w(x) = l x l « itxurako pisuak, zeintzuetarako M maximal esferikoaLP (Ix la) espazioan bornatuta baitago. Honela, 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) - 1denean M, LP( I xlo) espazioan bornatua dela frogatzen dute .

[19] artikuluko planteamendua aintzat hartuz, 3 kapituluko probleman

MEf (x) = suptEE 1s'-1 f (x - ty)du(y)

erako eragile maximaletarako berretura pisuak lortzeari ekingo diogu . Gurehelburua hurrengoa izango da : M E eragilearen LP(Ix le) espazioko bornaketabermatuko duen p indizearen, a berretzailearen eta E multzoaren d di-mentsioaren arteko erlazio bat topatzea. Horretarako, gure arrazonamendua[19] artikuluko ideiatan, eragileen arteko diferentzien normen estimazioetaneta indukziozko argudio batean oinarrituko dugu .

d = 0, 1/2 edo 1 den kasuetan izan ezik, gure argudioan darabilgunmetodoaz ezinezkoa izan zaigu ME eragilearen LP( I x l «) espazioko bornaketabermatuko duten a berretzaileen existentziarako tarte hoberena finkatzea .Egiaztatuko dugunez, 1 + d/(n - 1) < p < 1 + 1/(n - 1) bakoitzerako abalioen tarte bat dago non eragilearen bornaketa d dimentsioko E multzoorotarako emango den, eta a-ren beste balio batzutarako aldiz, bornaketa ezda soilik d-ren arabera ematen den egoera bat izango baizik eta E multzokopuntuen banaketak ere zerikusia izango du . Gainera E multzoak "erregularta-sun" baldintza bat betetzen duenean a berretzailerako tarte handiena lortukodugu, behe-muturra izan ezik agian .

Lan honetako 2 eta 3 kapituluetan dugun konboluziozko eragilearen nukle-oaren Fourieren transformatuak duen jausialdiari esker, emaitzak erdiestekofuntsezkoak izango diren L2 (Rn) espazioko estimazio egokiak lortuko ditugu .

4 kapituluan ohiko eragile integral singularrak aztertuko ditugu, hau da,

TT f (x) = V.P .s2W)

* f (x) = lim f ~(Y)f(x - y)dyly In

e-° lyl>E lyl

moduko eragileak non S2, Rn espazioko 1 erradioko esferan definituta dagoenfuntzioa den eta gainera, aurreko balio nagusia ongi definituta egon dadinfsn-1 S2(u)da(u) = 0 betetzen duen .

v

Baldin eta 9 erregularra bada, Tp eragilea p > 1 orotarako LP(R) es-pazioan bornatuta dago . Gainera, Il bakoitia ez bada, SZ E L1 (Sn-1) baldintzaez da nahikoa L2 (Rn) espazioko T1 eragilearen bornaketa ziurtatzeko ere . Kon-boluziozko T f = K * f eragile baterako L2-ko bornaketa izatea k bornatuaizatearen baliokidea dela jakina da .

Funtzio erradialen azpiespaziora murriztuz gero, [36] artikuluan P. Sjogren-ek eta F. Soriak frogatu zutenez S2 E L1 (Sn-1) baldintza nahikoa da Tp eragileaLP-n, 1 0 Rn lxI<R

eta honek funtzio erradialen gainean eragiten duenean desberdintza (1, 1)-ahulabetetzen duela frogatu zuten ere . (Mg eragilearen LP-ko, p > 1, bornaketaberehalakoa da .)

J. Duoandikoetxeak eta J . L. Rubio de Franciak [17] artikuluan T2 eragi-learen bornaketa frogatzeko honen deskonposaketa diadiko bat eta Littlewood-Paleyren desberdintzak erabili zituzten honela biraketa metodoa ekidituz . Arra-zonamenduan K0(x) = Sl(x')/Ixln X{1<_IxI<2} denean eta SZ E Lq(Sn-1 ) dener-ako, q > 1 izanik, a > 0 baterako

I Ko(~) 1 <_ CI11-a

( 3 )

izatea funtsezkoa da. Azken estimazio hau ez da egia q = 1 bada .

Funtzio erradialetara murriztuz gero, Plancherelen teoremaz eta funtzio er-radial baten Fourieren transformatua ere erradiala dela kontuan izanik hurren-goa erdiesten dugu : Tf = K * f eragilea L2ad(Rn) espazioan bornatuta dagobaldin eta soilik baldin

vi

sup fn-1

12dc (u) <_ C

(4)Ik(pu)P>0 s

bada .

9 E L1 (Sn-1 ) badaKo transformatuak p aldagaian jausialdi baldintza egokibat beteko du eta, hortaz, [17]-ko metodoa egoera honetara egokituko duguP. Sj ógrenen eta F . Soriaren emaitzak lortzearren . Honela 1 LP(Rn) dela egiaztatuko dugu . Berez, f erradiala eta Pedozein harmoniko solido esferiko denerako f P erako funtzioen gainean erebornaketa egia dela frogatuko dugu . Bestalde, (0, oo)-n definituta dagoen etaR > 0 guztietarako eta C konstante baterako

oR Ih(t) l2dt < CR

baldintza integrala betetzen duen h funtzio bat nukleoan sartuz gero lortzenden eragilearen bornaketa propietateak ere aztertuko ditugu .

Biderkadura espazioetako funtzio erradialen (4 kapituluko 5 . ataleanemango dugun definizioaren zentzuan) gainean eragitean T12 eragilerako bor-paketa emaitzak ere egia izango dira, horretarako, espazio bakar baten kasuanemandako baldintzak eta frogapenak berridatzi baino ez dugularik .

Kapituluaren amaieran MQ eta To eragileek funtzio erradialen gaineaneragiterakoan betetzen dituzten zenbait pisudun desberdintza emango dugu .Gehienbat pisu erradialak kontsideratuko ditugu, bereziki, w(x) = IxIc, era-koak . S2 E L'(Sn-1 ) denerako eta LPad( jx ja) espazioko funtzioen gainean,-n < a < p - 1 denean bai M1 bai To ere bornatuta daudela frogatukodugu eta, gainera, SZ funtzio batzutarako p - 1 berretzailetik gora bornaketaizatea ezinezkoa dela egiaztatuko dugu .

4 kapituluko frogapenetan, MQ eta T11 eragileekin erlazionaturik daudenzenbait funtzio koadratikoren agerpenak Littlewood-Paleyren teoria erabiltze-ra garamatza. Analisi harmonikoan funtzio koadratikoek duten garrantzia delaeta, lan honetako 5 kapituluan hurrengo moduan definitutako funtzio koadra-tikoetarako

g(f) (x) = Joi I Nt * f (x) ~ 2dt 2

(5)

LP espazioetako zenbait pisudun desberdintza frogatuko dugu .

Littlewood-Paleyren funtzio koadratikoak (era jarraikian), (5)-en kasuberezi bat dira, hain zuzen ere t > 0 bakoitzerako Nt nukleoak Rn espaziokoSchwartzen klaseko N funtzio finko baten dilatazioak direnean, N(0) = 0izanik . Bestetik, funtzio koadratikoen klase horrek, E . M . Steinek Rn espazioraeman zuen Marcinkiewiczen integralaren hedapena ere bere barruan hartzendu, kasu honetan Nt nukleoak N(x) = 52(x')jx j '-n X{ lx I :5 1}(x) adierazpenarendilatazioak izanik .

4 kapituluko frogapenetan erabilitako argudioen antzera, lehenengo g(f)funtziorako pisuak lortuko ditugu L2-n. Horretarako eta t > 0 bakoitze-rako Nt * f konboluzioaren deskonposaketa bat egingo dugu eta jN (~) j <Cmin{Itel- c', It~l,'} erako baldintza bat betetzea eskatuko dugu ; honi es-ker deskonposaketako eragileen L2-ko bornaketa egoki bat lortuko baitugu .Ondoren, eragilearen deskonposaketak pisudun LP espazioetan Littlewood-Paleyren teoria erabiltzera bultzatuko gaitu, hortaz, L2 (w) espazioan I Nt * f

konboluzioetarako t parametroan uniformea den w E A2 pisua hartuko dugu . wpisu honetatik abiatuz, L2 espazioan g(f)-rako ez-muturreko pisu klase bat(1 baino handiagoa den kantitate batez berretura egiterakoan klaseko pisubat ematen duten pisuak) lortuko dugu . Gainontzeko LP espazioetan pisuak

vil

lortzeko, ohiko teoremetan oinarritutako extrapolazio teorema bat erabilikodugu, bere frogapena 5 kapituluaren eranskinean agertuko delarik .

Orokorrean, extrapolazio teorema horri esker ez-muturreko pisu klase zaba-lago batekin lan egiteko aukera izango dugu eta honela [12] artikuluan zenbaitfuntzio koadratikotarako emandako pisudun bornaketak hobetuko ditugu .

5 kapituluko emaitza nagusiaren aplikazioei eskeinitako atalean, aztertzenditugun funtzio koadratikoek t parametroan uniformea den puntuz puntukohurrengo erako desberdintza betetzen dute

sup 1Nt * f (x) 1 :5 CM f (x) i . il .,t>o

non M eragile positibo, azpilineal eta D-n bornatua den. Kasu horietan guzti-etan, extrapolatuko ditugun pisuak M + M eragileari dagozkion ez-muturrekopisuak izango dira, M Hardy-Littlewooden eragile maximala izanik . Honela,adibidez, Y . Dingek, D. Fanek eta Y . Panek ([12]) aztertutako Marcinkie-wiczen funtzio ez erregularrerako, M = M1 da eta S2 E L"(Sn-1 ) denerako,q > 1 izanik, lortuko dugun pisu klasea Mo + M eragileari dagokion pisu ez-muturrekoen klasea izango da . Honela, [12] artikuluko Marcinkiewiczen funtzioez erregularrerako emandako pisu klasea baino klase zabalagoa lortuko dugu .

5 . atalean aztertzen dugun (5) erako funtzio koadratikoa emaitza orokorre-ko aplikazioen atalean aztertutako funtzioak baino singularragoa da . Funtziokoadratiko horren kasuan I Nt I * f konboluzioak puntualki eta t parametroan uni-formeki bornatzen dituen M eragilea maximal esferikoa da zeinen LP espaziokobornaketa p > n/(n - 1) denerako bakarrik dagoen ziurtatuta . Gainera, eragilehonetarako pisuak ez daude erabat finkatuta, hortaz, funtzio koadratikorakopisuek beste adibideetan baino murrizketa gehiago agertuko dituzte .

5 kapituluko azken atalean emaitza nagusiak biderkadura espazioen kasuranola heda daitezkeen aipatuko dugu, hedapen hori definizioak eta baldintzakespazio horietan berridatziz emango delarik . Azkenik azalera-integral funtzioaketa nukleo ez erregularreko gÀ* funtzioek n dimentsioetara duten hedapenerakozenbait pisu lortuko dugu .

Kapitulua 1

Aitzin-urratsak

Lan honetan aurkezten ditugun emaitzen aurretik erabiliko dugun notazioaeta analisi harmonikoko eta pisuen teoriako zenbait kontzeptu eta teoremagogoraraziko dugu ondoren .

1 .1 Notazioa

T

R-ko edozein I tarterako, IT = I x . . . x I, eta a E Rn eta r > 0 bakoitze-rako, B(a, r), a zentruko eta r erradioko bola euklidearra da .

Baldin eta A, Rn espazioko edozein multzo neurgarri bada, IA I adierazpenazmultzoaren Lebesgueren neurria emango dugu, alegia,

JAI = fA dx .

Lokalki integragarria den w ez-negatiborako eta edozein A multzo neurga-rritarako,

w(A) = f w(x)dx .A

f, R'-ko edozein funtzio bada eta t parametro positiboa bada, ft (x) =t-n f (t-1x) funtzioa f-ren dilatazioa izango da . Bestalde, R'2 espazioan ffuntzioak xj osagaiarekiko duen a mailako deribatua D~i f eran adierazikodugu .

Baldin eta p > 1 bada, LP(w) hurrengo funtzio espazioa da

LP(w) = {f . fRn I f (x)IPw(x)dx < +oo}

1

1 Aitzin-urratsak

bertan norma I H f H I LP(w) = (fRn 1 f (x) IPw(x)dx) 1/P izanik .

Edozein w pisutarako LP(w) espazioko funtzio erradialen azpiespazioaLPad(w) da .

Azkenik, P - Q notazioak P eta Q zenbakizko adierazpenen artekobaliokidetasuna adieraziko du, alegia, C1 eta C2 konstante positiboak existitzendira zeintzuetarako

baita .

1.2 Eragile maximalen eta Littlewood-Paley-ren teoriari buruz

Atal honetan aipatzen ditugun definizio eta emaitzak [38], [41], [22] eta [14]liburuetan ikus daitezke, adibidez .

Definizioa : Izan bedi R' espazioan lokalki integragarria den f funtzioa .f-ren Hardy-Littlewooden funtzio maximala hurrengo moduan definitzen da:

Mf(x) =sup1 ¡

If(x-y)Idy .

(1 .1)r>O IB(O, r)I JB(o,r)

M eragilea L°° espazioan bornatuta dagoela nabaria da eta jakina den legez,LP espazioetan hurrengo bornaketa emaitza dugu .

Proposizioa 1 .1 . Baldin eta 1 All <~ I If Il l ( desberdintza (1,1) - ahula) .

Bestalde, cp, (0, oo)-ko funtzio gisa, positiboa, erradiala eta beherakorrabada, orduan

sup IVt * f(x)I < IIpII i Mf(x)t

Aldeak koordenatu ardatzekiko paraleloak dituzten paralelepipedoen (lau-kizuzenen) gainean gorena hartuz gero, lortzen dugun funtzio maximala Hardy-Littlewoodena baino handiagoa da eta hurrengo eran definitzen da :

1 .2 Eragile maximalen eta Littlewood-Paleyren teoriari buruz

Definizioa : Lokalki integragarria den f-ren funtzio maximal fuertea

Msf (x) = Ŕn~ ~R~fR

If (x - y) I dy,

(1 .2)

da non 1Z, [-al , al] x [-a2 , a2] x . . . x [-an, a,,] itxurako laukizuzenen familiaden .

Proposizioa 1 .2 . Ms funtzioa LP(Rn) espazioan, 1 ,f (x - t)

dt.

(1.3)1~ 7r

Hf-ren Fourieren transformatua (H f) ^ (~) = -i sgn ~ f (~) da. Hilbertentransformatuaren LP espazioetako bornaketa propietateei dagokienez ondoren-go emaitza dugu :

Proposizioa 1 .3 . H : L (Rn) -* LP(Rn), 1 < p < oo denean (M. Riesz) etaH, (1,1)-ahula da (Kolmogorov) .

Definizioa : Rn-ko esfera unitateko u norabide bakoitzerako, Hardy-Little-wooden funtzio maximal norabidetua

da eta Rn-ko Hilberten transformatu norabidetua,

hMM,f (x) su

p 2h J_hIf(x - tu) I dt

H,,,f (x) = 1- lim ftI>E f (x - tu)dt-

(1.5)fr E-+0

da .

Dimentsio bateko Hardy-Littlewooden funtzioaren eta Hilberten transfor-matuaren bornaketa emaitzetatik eta Fubiniren teorema erabiliz, 1 < p < oodenean M,,, eta H,, eragileak LP(R') espazioetan bornatuta daudela ondorioz-tatuko dugu, bornaketa konstantea, gainera, u norabidearen independenteaizanik .

3

1 Aitzin-urratsak

Littlewood-Paleyren teoria

Teorema 1 .4 . Izan bedi S(Rn) espazioko 0 funtzioa, &) = 0 betetzen duenaeta j osorako (S,f) ^ (e) _ 0(2 -ie) f(e) adierazpenaz definitutako S, eragilea .Baldin eta >j I0(2- ie) 12 < C bada, orduan 1 < p < oo denerako,

¡¡(E ¡S; f I 2)1/2I Ip < CpII fIIp (Littlewood-Paleyren desberdintza)

dugu eta, dualitatez,

Sj f, I Ip

Cp I I (1:I .fj

I2)1/2IIp (L-P-ren desberdintza duala)

7

7

Era berean, baldin eta lY = 0 bada, modu jarraikian emandako Littlewood-Pa-leyren hurrengo desberdintza ere dugu :

II (f I t * f ( ) 12 )1/2IIp < CI I f IIp (L-P-ren desberdintza era jarraikian) .

1 .3 Pisuen teoriari buruz

Jarraian aipatzen ditugun emaitza gehienak [22] eta [41] liburuetan ageridira, adibidez .

Definizioa : Izan bedi p > 1 eta lokalki integragarria den w ez-negatiboa .w pisua Ap klasekoa dela diogu, C konstante baterako eta Q kubo orotarako,

p-1_

1 p

IQI fe) Q fQw

< c

bada . w E Al dela diogu baldin eta Mw(x) < Cw(x) i .n . bada. Pisu hauekhurrengo emaitzak bereizten ditu :

Teorema 1 .5 . Izan bedi M Hardy-Littlewooden funtzio maximala . Orduan,

w({x : Mf (x) > a}) < fRn If(x)I w(x)dx

baldin eta soilik baldin w E Al bada, eta, 1 < p < oo denerako,

fRfl IMf (x)Ipw(x)dx < CpfRn I f (x)Ipw(x)dx

baldin eta soilik baldin w E Ap bada .

4

eta

AP pisuen propietate nagusiak :

(i) w E AP baldin eta soilik baldin w l-P' E APA bada, 1 < p < oo ;

(ii) baldin eta w E AP eta p < q bada, orduan w E Aq;

(iii) baldin eta w E AP eta 0 < a < 1 bada, orduan wa E AP ;

(iv) baldin eta w1 , w 2 E AP eta 0 < a < 1 bada, orduan wlw2-a E AP ;

(v) baldin eta w E A2 bada, existitzen da c > 0 zeinetarako w l+ E E AP ;

(vi) AP = Uq PA9 ;

(vii) Ixla E A l baldin eta soilik baldin - n < a < 0 bada eta 1 < p < ocdenean Ixla E AP baldin eta soilik baldin - n < a < n(p - 1) bada .

Teorema 1 .6 (Faktorizazio teorema) . w E AP baldin eta soilik baldin exis-titzen badira w0 , w1 E Al pisuak zeintzuetarako w = w owi -P den .

A2 klaseko pisu oro Al klaseko pisuen bidez faktorizatzen dela P. Jonesek([25]) frogatu zuen .

Beraz, A l pisu klasea funtsezkoa izango da AP pisuen sorreran. Ondorengoemaitzak A l klaseko pisuak lortzeko bide bat eskeiniko digu .

Teorema 1 .7 . Izan bedi µ neurri finitua Mp(x) < oc i.n. izanik eta har deza-gun 0 < 5 < 1 . Orduan (Mp) ó E Al da, konstantea 6-ren menpekoa eta M-renindependentea izanik .

Bereziki, p > 1 baterako u E LP(R') bada eta 1 < s < p hartuzgero (Mus)'/', Al klaseko pisu bat izango da zeinak u < (Mus)h/s etaII(MuS)1ISIIP < CIIul lP desberdintzak betetzen dituen .

T eragile positiborako hurrengo pisu klaseak definitzen ditugu :

WP (T) = {w : T, LP(w) espazioan bornatuta dago}, 1 < p < oo ;


W, (T) = {w : Tw < Cw i.n . } .

T = M bada, orduan WP (M) = AP da, 1 0 eta

00

00T(E fj ) < ETfj .

j=0

j=0

Baldin eta T, LP(M) espazioan bornatuta badago eta u > 0 funtzioa L1(µ) es-paziokoa bada, v E LP(p) funtzioa hurrengo eran eraikiko dugu :

°° Tk uV = I:k=0 (2A)k

non k bakoitzerako, T k eragilea, T, k alditan eraginez lortutakoa den eta Aadierazpena T eragilearen LP(M) espazioko norma den . Orduan, v funtzioakhurrengoa betetzen du:

6

(i) u(x) < v(x) µ-i.n . ;

(2i) I I V II LP(p) < CI IuI I LP(p) ;

(iii) Tv (x) < Cv (x) p-i . n .

Bereziki, T Hardy-Littlewooden eragile maximala denean aurreko algorit-moak Al klaseko pisuak sortzen dizkigu .

Teorema 1 .9 (Extrapolazio teorema) . Finka dezagun po > 1 eta demagunT eragilea w E Ap° guztietarako Lr° (w) espazioan bornatuta dagoela . Orduan,T eragilea w E Ap pisu orotarako LP(w) espazioan bornatuta dago, 1 < p < w .

Extrapolazio teorema hau J. L . Rubio de Franciak [31] artikuluan frogatuzuen emaitza orokorraren kasu berezi bat da .

Littlewood-Paleyren teoriari dagokionez, pisudun Lp espazioetan D . S . Kur-tzek ([26]) zenbait bornaketa emaitza frogatu zuen . Gure arrazonamenduetanjarraian aipatzen ditugun hurrengoak erabiliko ditugu .

Teorema 1 .10 . Izan bitez xP eta Sj, 1 .4 teoreman bezala definituta. Orduan,w E Ap bada, 1 < p < oo, Littlewood-Paleyren pisudun hurrengo desberdintzak(diskretua eta jarraikia) dauzkagu :

II(E¡S

jfl2) 1/2

IILP(w) <- Cp,wll f IIL P(w)j

II(f00

l'Pt * f( . )I2dt ) 1/2 liLP(w) < Cp,wllfllLP(w) .


LP espazioetan Hardy-Littlewooden eragile maximalarentzat AP pisu

klaseak ditugun bezala, Ms funtzio maximal fuertearekin erlazionatuta Ap pisuklaseak izango ditugu .

Definizioa : Izan bedi R, Ra-ko koordenatu ardatzekiko alde paraleloakdituzten laukizuzenen familia . 1 < p < oc bakoitzerako, Ra-ko w pisua Apklasekoa dela esango dugu baldin eta soilik baldin R E R den edozein laukizu-zenetarako,

) (-1f

P 1

~R~ R w(x)dx

IRI

¡R w(x) 1-P'dx

< C

bada. Eta w E Ai baldin eta soilik baldin Msw(x) < Cw(x) i.n. bada .

Bereziki, hurrengo bornaketa emaitza dugu :

Teorema 1 .11 . 1 < p < oc denean, Ms eragilea LP(w) espazioan bornatutadago baldin eta soilik baldin w E A; bada .

Jarraian aipatzen dugun teorema, Steinek eta Weissek frogatutakoa, neurriezberdineko LP espazioen arteko interpolazio emaitza bat da . Interpolazio teo-rema hau lan honetako zenbait emaitza erdiesteko lagungarria izango da .

Teorema 1 .12 . Izan bitez 1 < pi, qj < oo, wi, u i pisu positiboak, i = 0, 1, etaT eragile azpilineala . Demagun Mi, i = 0, 1, konstante positibo batzutarako,

eta

diren .

1\ /qi

1\ /

(fRn ITf(x) I q`wi(x)dx l

< Mi(jR' I f (x) ~P°u i (x)dx 1

P,

betetzen dela. Orduan,

Rn I

T f (x) I gw(x)dx) l < Mó-eMe (fRn If(x) IPu(x)dx J1/P

non 0 < 0 < 1 bakoitzerako,

1 1-0

0_

+-p

Po

Pl

wl/q = w (1-e)/gowe/q1

1 1-0 eq

qo

ql

ul/P = u(1-9)/Po Ue/P1

7

1 Aitzin-urratsak

Interpolazio emaitza honen frogapena [43] artikuluan ikus daiteke . Berez,era honetako interpolazio emaitzak neurridun espazio orokorragoetara hedadaitezke (ikus [2], adibidez) .

Lokalki integragarria den w ez-negatiborako, kontsidera dezagun

wL°° = {f : w-1f E L°°}

funtzio espazioa eta bertan ((f ((WLœ = (Iw-1f I j,>, norma .

Baldin eta T eragile positibo eta lineala bada, T, wL°° espazioan bornatutadago baldin eta soilik baldin Tw < Cw i.n. bada .

Egiazta dezagun azken baieztapen hau . T eragilea wL°° espazioan borna-tuta badago, orduan, sup w-1Tf < Csup w-1f i .n . da, bereziki, w-1Tw < Cda. Bestalde, Tw < Cw bada, edozein f E wL°° funtziotarako Tf = T (w -1 fw)idatziz eta T eragile positibo eta lineala denez gero, T (w -1 fw) < 1 1 w- 1f 1 1 0Twizango dugu. Hortaz, w-1Tf < (( w-1f (( oow -1Tw < C( (w-1f ((, . Alegia, T er-agilea wL°° espazioan bornatuta dago .

Jarraian frogatzen dugun emaitza, Riesz-Thorinen interpolazio teoremarenondorio zuzena da .

Proposizioa 1 .13. Izan bedi T eragile positiboa eta lineala, w 1L°° espazioaneta po > 1 baterako, LP- (w,)-n bornatua. Orduan, po < p < oo bitarteko edozeinp-rako T eragilea LP(wowp° -P ) espazioan bornatuta dago .

Frogapena. Alde batetik, T, w1L°° espazioan bornatuta dagoenez ; f -3

wi 1Tw1 f eragilea L°°-n bornatuta dago . Bestetik, T : LP- (wo) -* LP° (wo) denezgero wi 1Tw1 eragilea LP- (wowP,°) espazioan bornatuta dago . Hau da,

wi 1Tw1 : LP° (wowí°) -* LP° (wowi°)

etawi 1Tw1 : L°° (wow'°) -> L°° (wowl°) .

Orduan, Riesz-Thorinen interpolazio teorema aplikatuz, po LP(wowP° -P ) .

1 .4 Multzo baten dimentsioa

Lan honetako 2 eta 3 kapituluetan erabiliko dugun "multzo baten dimentsioa"kontzeptua definituko dugu .

8

∎

1 .4 Multzo baten dimentsioa

Lehenik eta behin multzo baten Minkowskiren dimentsioaren definizioagogoratuko dugu .

Definizioa : Izan bedi E, R-ko multzo bornatua ; bere Minkowskiren di-mentsioa

d,,,, (E) = lim suplog Nó (E)

ó-+0

- log Szenbakia da non ô > 0 bakoitzerako NN (E), E multzoa estaltzeko behar den ôluzerako tarte kopuru minimoa den .

Bereziki, E Lebesgueren neurri positiboa duen multzoa bada, orduand,,,, (E) = 1 .

[46] artikuluan multzo baten Minkowskiren dimentsioaren definizio balioki-deak ageri dira .

Gure helburuetarako behar dugun "multzo baten dimentsioa"-ren kontzep-tua ondoren definitzen duguna da .

Definizioa : Izan bedi E, R-ko edozein multzo . "E multzoaren dimentsioa"hurrengo zenbakia da,

d(E) = d = lim suplog N(E, S)

ó-0

- log S

non 6 > 0 bakoitzerako

N(E, S) = sup Ni (2 -k (E n [2k 2k+1]))k

den, R-ko edozein A multzotarako 2-kA = {2 -kx : x E A} izanik .

E C [1, 2] denean N(E, S) = N5 (E) da, beraz d = dm, . Minkowskiren di-mentsioa Hausdorffen dimentsioa baino handiagoa edo berdina da beti . Zen-bait kasutan bi dimentsioek bat egiten dute, adibidez, E Cantoren multzoadenean. Dena den, zenbakarriak diren multzoen Hausdorffen dimentsioa nuluaden bitartean gerta daiteke Minkowskiren dimentsioa positiboa izatea ; honelakoegoera bat, adibidez, {1+1/na : n E N} multzo zenbakarriak eskeintzen digu,bere Minkowskiren dimentsioa 1/(a + 1) baita .

Lan honetako 2 eta 3 kapituluetan frogatzen ditugun bornaketa emaitzakdimentsio kontzeptu honen araberakoak dira .

9

1 Aitzin-urratsak

10

Kapitulua 2

Parametro anitzeko eragilemaximalak

2 .1 Sarrera

Analisi harmonikoan eragile maximalak garrantzizkoak dira, integral sin-gularrekin eta zenbait g-funtziorekin duten erlazioagatik nagusiki . Honela,adibidez,

Mf(x) = sup fSn-1 f (x - ty)da(y)

funtzio maximal esferikoa aipatuko genuke bereziki, non dQ Rn espazioko 1erradiodun Sn-1 esferan definitutako Lebesgueren neurri normalizatua den .

[39] artikuluan, E . M. Steinek, Fourieren transformatuaren propietatee-tan oinarriturik, puntuz puntuko konbergentziaren arazoak aztertu zituenbatezbesteko batzutarako. Bere metodoa batezbesteko horiei dagokien eragi-le maximala g funtzio batez goi-bornatzean datza, non g funtzio horren L2-koportaera ortogonalizazio argudioen bitartez errazki finka daitekeen .

1986 . urtean, J . L . Rubio de Franciak, [32] artikuluan, hurrengo eragilemaximaletarako

T*f = sup jTtf 1 ,t>o

LP(R') espazioko bornaketa aztertzen du, t > 0 bakoitzerako Tt , T era-gile finko baten dilatazioa izanik eta m E L' (R') biderkatzaile baterako,T f (~) = m(e) f (~) . Zehazki, bi biderkatzaile mota ezberdin kontsideratzen ditu,alde batetik, euskarri trinkodun Borelen neurri finitu baten Fourieren transfor-matuak direnak eta, bestetik, k baterako m E Ck+1 klasekoak diren biderkatzai-leak ; nolanahi ere, kasu bietan, biderkatzaileak eta haren deribatuek infinituan

1 1

2 Parametro anitzeko eragile maximalak

jausialdi egokia dute. Frogapenerako erabilitako metodoan, biderkatzailearenjausialdiaz baliatuz, L 2-ko estimazio egoki bat lortzen du eta (H', L') esti-mazio batzuekin batera emaitza erdiesten du .

Funtsean, ideia horri jarraituz, [6] artikuluan, Y. K. Chok, Rn' x Rn2 es-pazioan

T*f = sup ITt,sf 1

(2.1)ts >O

eran definitutako parametro anitzeko eragile maximaletarako [32] artikulukoemaitzak hedatzea planteatzen du, non t eta s positiboetarako eta m EL°°(Rnl x Rn2 ) biderkatzaile baterako Tt , sf (~, r~) = m(tC, srj) f(C, ffl baita. On-doren, [8] artikuluan, [32] artikuluan aztertutako bornaketa emaitzak, R n, xRn2 x . . . x Rn '' espazioetan definitutako parametro anitzeko eragile maximale-tara hedatzen ditu, m infinituan jausialdi egokia duen euskarri trinkoko Borelenneurri finitu baten Fourieren transformatua denerako . Eta, gainera, frogatutakoemaitza p indizean hoberena izatea lortzen du .

Parametro bakar baten kasura itzuliz, [18] artikuluan, J . Duoandikoetxeaketa A. Vargasek,

1 2

TEf =sup jTtfItEE

eragile maximaletarako LP(R) espazioetan bornaketa emaitza batzuk frogatuzituzten, non, oraingoan, t dilatazio parametroa (0, oo) tarteko hautazko Emultzo batean hartua den eta non eragilearen bornaketarako p indizeen tartea,E multzoaren

log ME 5),d = d(E) = lim sup

6-40

- log ó

dimentsioaren menpekoa den, N(E, 6) = suek Nó (2 -c (E n [2k , 2 k+ 1 ])) izanik(ikus lan honetako aitzin-urratsak) .

Kapitulu honetako 3 . atalean, parametro anitzeko eragile maximalen ka-surako, [18] artikuluko emaitzen hedapena lortuko dugu, non dilatazioetarakoparametroak hautazko E = El x E2 x . . . x E' multzo batean hartuko ditu-gun, j = 1, . . . , r bakoitzerako multzoaren P C (0, oc) osagaien dimentsioakezagunak izanik .

Kapitulu honetako emaitza nagusienen frogapenetan, behin baino gehia-gotan, jarraian aipatzen ditugun parametro bakarreko eragile maximalen bor-naketa propietateak erabiliko ditugu .

2.2 Parametro bakarreko eragile maximalak . Aurretiko emaitzak

2.2 Parametro bakarreko eragile maximalak .Aurretiko emaitzak

Atal hau, J . L . Rubio de Franciak [32] artikuluan frogatutako bornaketaemaitzak gogoraraziz hasiko dugu . Kapitulu honetako sarrerako notazio beraerabiliko dugu . Kontsidera dezagun hurrengo eragile maximala :

T*f =sup ITtf 1,t>o

non m c L' (R) biderkatzaile baterako Ttf (e) = m(t~) f (~) baita. [32] artiku-luan, hurrengo bi emaitzak frogatzen dira .

Teorema 2.1 . Demagun m(e) euskarri trinkodun Borelen neurri finitu batenFourieren transformatua dela, non

jm(~)j< Cj~j -a , a > 2

den. Orduan, edozein p > 1+1/(2a) indizetarako T* eragilea LP (R') espazioanbornatuta dago .

m biderkatzaileak infinituan duen jausialdiari esker eta ortogonalizazioargudioen (Plancherelen teorema) bidez, L 2-ko estimazio egoki batera heltzenda. Behin L2-ko estimazio hori duela, H' - Ll estimazio bat frogatzen du,L2 espaziokoarekin batera teoremako emaitza erdiesteko erabiliko duelarik .Bestalde, [32] artikuluan ere, T* eragilearen bornaketa propietateak azter-tzen dira, m biderkatzailea, k baterako, Ck+ 1 klaseko funtzioa denerako etabiderkatzaileak berak bere deribatuekin batera infinituan jausialdi berezi batduenerako. Aipatutako azken emaitza hau, hurrengoa da :

Teorema 2.2 . Izan bedi k = [n/2]+1 zenbaki osoa eta m, Ck+ 1 klaseko funtzioanon a > 1/2 baterako eta la¡ < k + 1 denerako,

Dam(~)I _ cl~l -aden . Orduan, T* eragilea LP(R') espazioan bornatuta dago baldin eta

_

2n

2n - 2q,,

n+2a-1<p<

n-2a =ra

bada .

1 3


Teorema bietan, a < 1/2 bada, erabilitako metodoak ez du emaitza positi-borik eskeintzen .

Kapitulu honen sarreran aipatzen genuenez, [18] artikuluan J . Duoandikoe-txeak eta A . Vargasek,

TV = sup1TtfItEE

erako eragile maximalen bornaketa propietateak aztertzen dituzte L1'(R' ) es-pazioan, non E C (0, oc), d dimentsio ezaguna duen edozein multzo den .Ohartu behar dugu, E = (0, oo) bada TÉ = T* dela, hortaz, problemaberri honek aurrekoa bere barruan hartzen du . Problema honen interes na-gusia, L" espazioetako era honetako eragile maximalen bornaketan E multzoa-ren "tamainuaren" eragina zein den aztertzea da . [32] artikuluaren antzera,[18] artikuluko egileek TT eragilerako bi bornaketa teorema frogatzen dituzte,zeintzuetan E multzoaren tamainuaren eragina nabarmena baita .

Izan bedi E c (0, oc), d dimentsioa duen edozein multzo. Orduan, [18]artikulutik hurrengo bi teoremak ditugu :

Teorema 2 .3 . Izan bedi m euskarri trinkodun Borelen neurri finitu batenFourieren transformatua non, a > 2 baterako

Im(j)I<

CI~I

den. Orduan, edozein p > I +d/(2a) indizetarako, TÉ eragilea L"(Rn) espazioanbornatuta dago .

Teorema 2 .4 . Demagun m E Ck+1 dela, k = [n/2] + 1 izanik. Baldin etaa > d/2 baterako eta j al < k + 1 denerako,

ID'm(~)1 <_ cl~l -a

bada, orduan, TE eragilea L"(R'~) espazioan borratuta dago,

bitarteko p indizeetarako .

Aipatu berri dugun emaitza bietan, a < d/2 bada, metodoak ez du emaitzapositiborik eskeintzen .

2n

<

2 n-dn + 2a - d p

n - 2a

14

2.3 Parametro anitzeko eragile maximalak


Atal honetan frogatuko ditugun emaitzak, LP espazioetan parametro ani-tzeko zenbait eragile maximalek duten bornaketa propietateei buruzkoak dira .Analisi harmonikoan parametro anitzeko eragile maximalek duten garrantzia,nagusiki, biderkadura espazioetako integral singularrekin duten erlazioan datza .

Horrez gain, parametro baten edo anitzen bitartez emandako zenbait eragilemaximal, ekuazio diferentzial batzuen soluzioekin estuki erlazionatuta daude .Honela, adibidez, R+ x R3 espazioan hurrengo uhin problema kontsideratuz

gero,

u(t, x) soluzioaku(t, x)

t

s = f2 f (x - ty)do,(y)betetzen du, hau da, x puntu bakoitzean, soluzioa x zentruko eta t erradiokoesferaren gaineko f datuaren batezbestekoaren bitartez emana dago . Beraz,

f datua IP(R3) espazioan aukeratzen badugu sarreran definitutako maximalesferikoa espazio horretan bornatuta egon dadin, t parametroak 0-rantz jotzenduenean, u(t, x) soluzioaren f (x) daturanzko puntuz puntuko konbergentziabermatu ahal izango dugu. n > 3 denean, E . M . Steinek frogatu zuen ([39]) p >n/(n - 1) denean, eta orduan bakarrik, dagoela bornatuta maximal esferikoa .Honela, f datua LP(R3) espazioan hartzen dugun bakoitzean, p > 3/2 izanik,t --* 0 denerako, ia puntu guztietan ut (t, x) -* f (x) izango da .

Bestalde, Rn espazioko 1 erradiodun Sn-1 esfera abiapuntu gisa hartuz gero,k parametroz dilatatzen badugu, k ardatzerdiko elipsoideen familia bat lortukodugu . Elipsoide horietan, parametro taldeari dagozkion dilatazioez aldaezinaden gainazal neurria kontsideratzen badugu, elipsoide horien batezbestekoen

gorena (parametroen gainean hartuta) parametro anitzeko eragile maximalada, eragile maximal elipsoidala izenaz ezagutzen dena, hain zuzen ere . [24]artikuluan, F . Johnek, eragile elipsoidal hori darabil ekuazio ultrahiperbolikoensoluzioen batezbesteko balioen teoremen ikerketan .

Bestetik, Y . K. Chok, [6] artikuluan, (2 .1) adierazpenean definitutako era-

gile maximalaren bornaketa propietateak aztertzen ditu .

Parametro baten kasuan bezala kasu honetan ere, Y . K. Chok bi era-tako biderkatzaileak ezberdintzen ditu ; alde batetik, euskarri trinkoa dutenBorelen neurri finitu baten Fourieren transformatuak direnak eta, bestetik,m E Ck(Rn1 xRn2) biderkatzaileak, non k = k1+k2 baita, k1 = [ni/2]+2, k2 =

15

utt-L u = 0

u(0, x) = 0 ; ut (0, x) = f (x) ,


[n2/2] + 2 izanik. Azken mota horretako biderkatzailetarako, [6] artikuluan hu-rrengo teorema frogatzen da :

Teorema 2 .5. Izan bedi m E Cc (Rnl X Rn2 ), non k = kl + k2 baita, ki =

[ni/2] + 2, i = 1, 2 izanik. Demagun a, b > 1/2 existitzen direla non la¡ <k1, 1,31 < k2 betetzen duten edozein indizetarako,

baita. Orduan, T* eragile maximala LP(Rnl x Rn2) espazioan bornatuta dago,

qa,b (n1 + 2)/2 eta b > (n2 + 2)/2 badira, aurreko adierazpeneanra,b = oo hartuko dugu eta a > (ni + 3)/2 eta b > (n2 + 3)/2 badira, qa,b = 1aukeratuko dugu .

m euskarri trinkodun Borelen neurri finitu baten Fourieren transformatuadenean eta (2 .2) erako jausialdia duenerako, Y . K. Chok, qa,b max(1 + 1/(2a), 1 + 1/(2b)) tartea, soilik m neurrienbiderkadura tentsorialen transformatua denerako frogatuko du .

Ondorengo artikulu batean, [8] artikuluan hain zuzen ere, berez espero denteorema frogatuko du . Emaitza, 2 .1 teoremak parametro anitzeko kasura duenberezko hedapena da . Kapitulu honetan, aurrerago aipatu eta frogatuko dugun2.6 teoremak Y. K . Chok [8] artikuluan frogatutako emaitza bere barruan har-tuko du .

Aurrerantzean, x E Rn, x = (x1, x2i . . . , xr) moduan idatziko dugu, xj eRnj, j = 1, 2, . . . . r izanik .

Parametroen (t1, t2) . . . , tr) E (0, oo)r r-kote bakoitzerako Ttl,t2, . . . . tr f para-metro anitzeko eragilea definituko dugu, non m E L' (R) biderkatzaile bate-rako

betetzen baita .

16

1 D~ DRm(e, ri)I < (1 + j~l)-a(1 + 1r]D)-b

(T 1,t2, . . .,trf)^(~) = m(tl~l)t2~2, . . . , tr~r)f ( )~

(2.2)

_ 2(nl + 2)

2(n2 + 2)qa,b= m

(ni +2a+1'n2+2b+1

eta2(ni + 1)

2(n2 + 1)

diren.

ra,b = min(n, - 2a + 2' n2 - 2b + 2


Izan bedi E = E' x E2 x . . . x Er non Ej C (0, oo) , eta Ei bakoitzerakoizan bedi dj = d(Ej) bere dimentsioa. Kontsidera dezagun parametro anitzekohurrengo eragile maximala :

TE f* =

sup

Ttl,. . . .tr f .(ti,. . . . tr)EEl x . . .xEr

Baldin eta edozein j indizetarako Ei = (0, oc) bada, orduan, TZ = T*, hauda, Y. K . Chok [8] artikuluan aztertutako parametro anitzeko eragile maximalaizango dugu . Berez, TZ, [18] artikuluan aztertutako parametro bakarreko eragilemaximala parametro anitzen kasura hedatzen duen eragilea da .

J . L . Rubio de Franciak [32] artikuluan azaldutakoaren antzeko plantea-menduari eutsiz, kapitulu honetan m biderkatzailea euskarri trinkodun Borelenneurri finitu baten transformatua denerako eta funtzio erregular bat den kasu-rako dagozkien TZ eragileetarako LP espazioetako bornaketak lortuko ditugu .

Jarraian aipatzen ditugun bi emaitza frogatuko ditugu, eta, hortaz, [18]artikuluko emaitza nagusiak parametro anitzen kasura hedatuko ditugu .

Teorema 2 .6 . Izan bedi m euskarri trinkodun a adierazpenaz emandako Bore-len neurri finitu baten Fourieren transformatua ; demagun

rIm( 1, 2, . . . , Sr) I G C 1l (1 + I~j I) -ai

(2 .3)j=1

dela, aj > dj/2, j = 1, 2, . . . , r izanik. Orduan, TÉ eragilea LP (Rn) espazioanbornatuta dago, p indizearen hurrengo balioetarako :

p > max 1 +dj

j=1,2, . . .,r

2aj

Aipatu behar dugu, j = 1, . . . . r bakoitzerako Ei = (0, oc) bada, dj = 1dela eta, beraz, emaitza hau Y . K. Chok [8] artikuluan frogatutakoa baino ezdela.

Bestalde, m biderkatzailea funtzio erregularra bada, orduan, emaitza hu-rrengoa da :

Teorema 2 .7 . Baldin eta m E Cc(Rn) bada, non k = k1 + . . . + kr baita,kj = [nj/2] + 2 izanik, eta existitzen badira aj > dj/2, j E {1, . . . . r}, non

r1Dll'Dj2 . . .D~rm(11,12, . . .,er)I < C11 (1 +IejI)

j=1

1 7


den, iaj( < kj, j e {1, . . . . r} direlarik, orduan, TÉ : IP(Rn) -+ LP (Rn) da,

max {2ná

< p < min

2(ná - dj)

(2.5)jE{1,2, . . .,r} nj + 2aj - dj

jE{1,2, . . .,r}

nj - 2aj

denerako .

Frogapenetarako aitzin-urratsak eta notazioak

2 .6 eta 2.7 teoremen frogapenetan, emaitzak r = 2 den kasurako frogatukoditugu, r > 2 denean erabili beharreko metodoa antzekoa baita . Hau da, Rn =Rn' x Rn2 espazioan E = E 1 x E2 multzoaz arituko gara ; dl eta d2 biderkaduraespazioko multzo bakoitzari dagokion dimentsioak dira, hurrenez hurren, etat1 = t, t2 = s, a 1 = a eta a2 = b izendatuko ditugu .

Bestalde, R-ko Schwartzen klaseko cp funtzio positiboa kontsideratuko dugu,non

_ 1, ir¡ < á bada,~(r)

0, Ir l > 2 bada,

baita .

cp 1 E S(R" ) eta çp2 E S(Rn2 ) funtzioak hurrengo eran definituko ditugu :

W 1 (~) = W(I~I) , ~ E Rnl eta W2 (71) = W(l771) , r, E Rn2 .

k = 1, 2 bakoitzerako, izan bedi 00 ( •) = cpk( .) - cpk (2 . ) eta j zenbaki oso-rako, 4k( •) = Oó (2-j •) . Orduan, jatorrian izan ezik, k = 1, 2 bakoitzerako,EjEZ ~ = 1 da eta, gainera, funtzioen eraikuntzaz Wk = Ej<O •%j' beteko da .

f hurrengo eran deskonposatuko dugu :

f ( , 7) -

`Vi ( )Oi2 (i) f (~' 77)`Vi

Rn' eta Rn2 espazioetako edozein h eta g funtziotarako, hurrenez hurren,h ® g adierazpenak x E Rn' eta y E Rn2 bakoitzerako h ® g(x, y) = h(x)g(y)

berdintzaz definitutako R'-ko funtzioa emango digu .

k = 1, 2 bakoitzerako, izan bedi kasuan kasuko Rnk espazioko Ok funtzioanon (0k ) A = cpk baita, Fourieren transformatua kasu bakoitzari dagokion Rnkespaziokoa izanik .

i indize oso bakoitzerako, defini dezagun Q' eragilea hurrengo moduan :

(Q?f)A(e'77) = `ŕil )fl ~77)

18

j oso bakoitzerako Qj' eragileen definizioa antzekoa da .

Orduan,

TEf 0 (t,s)EE 1 xE 2

Rt1, gt,s = gt,s - gt, ,s


ITt,s (QZ (có *2 f))

(2 .6)

+ ~,

sup

ITt ,s (Qj (o0 * 1 f )) I + Lr

sup

I Tt,s (Qi (Qj .Î))j>0 (t,s)EE 1 xE2

i,j>0 (t,s)EE1 XE2

puntuz puntuko desberdintza dugu non *k adierazpenaz, k = 1, 2 bakoitzerako,Rn k espazioko konboluzioa adieraziko dugun .

Azpimarratu nahi dugu, bornaketa propietateei dagokienez, i indizeareneta t parametroaren eragina, alde batetik, eta j indizearena eta s parame-troarena, bestetik, erabat simetrikoak direla. Hortaz, normak aztertzerakoan,deskonposaketako Tt , s(Q (0 2 *2 f )) funtzioenak aztertzea nahikoa izango da, ho-rietatik, beharrezkoak diren indizeak eta parametroak elkarren artean trukatuzTt , 3 (Q~ (qó * 1 f)) funtzioetarako normak erdietsiko baititugu .

Azkenik, gt , s t eta s parametroen menpekoa den edozein funtzio bada, Rt ,R 2 , eta R 2 , Rt kendura eragileak hurrengo eran definituko ditugu :

eta Rs , gt,s = gt,s - gt,s , ;

R2 R ls' t, gt,s = gt,s - gt , ,s - (gts' - gt , ,s')

2 .3 .1 2 .6 teoremaren frogapena

- El c [1,21 eta E2 C [1, 2] kasua

Orokortasunik galdu gabe E 1 eta E 2 finituak direla suposa dezakegu .

m euskarri trinkodun Borelen neurri finitu baten Fourieren transformatuaizateagatik eta cp 1 eta y2 funtzioen eraiketaz, puntuz puntuko hurrengo des-berdintza dugu :

Tt,s ((O 1 ®Oó) * f) (x, y) < C Msf (x, y)

non MS, Rn' x Rn2 biderkadura espazioko funtzio maximal fuertea den eta Ckonstante absolutu bat. Azken desberdintza honetatik eta p > 1 denerako Mseragilearen LP(Rnl X Rn2 ) espazioko bornaketa dela eta,

II

SuP

ITt,s ((01(& 02 ) * f) 111p _ CIIfIiI(t,s)EE 1 xE2

1 9


estimazioa dugu .

Honela, (2 .6) desberdintzaren arabera, LP espazioko TE eragilearen bor-naketa bermatzeko, i > 0 bakoitzerako II Sup(t,s)EE 1 xE2 ITt,s (Qt (02 * 2 f)) II p

norma aztertuko dugu eta i > 0, j > 0 indize bikote bakoitzerako, aldiz, aztertubeharreko norma I I Sup (t,s)EE1xE2 ITt , s (Qi (Qj2f)) I Ip izango da .

Frogapenean erabiliko dugun metodoa, nagusiki, J . Duoandikoetxeak etaA . Vargasek [18] artikuluan aurkeztu zuten indukzio prozesuaren antzekoa denargudio batean oinarrituta dago. Argudio hori erabili ahal izateko, Tt , 3 eragileenarteko kenduren tamainuak kalkulatu beharko ditugu . Jarraian ageri den lemanbeharrezkoak ditugun estimazio horiek emango ditugu .

Lema 2 .8. 2.6 teoremaren hipotesietan, 1 <parametroak [1, 2] tartean badaude, orduan,

(a) baldin eta i > 0, j > 0 bada,

I Rs, Rt, (Tt, s (Q? (Q~ f ) )) I I p ~

Frogapena .

20

I ITt,s (QZ (Q, f)) I I p 0 bada,

II Rs,Rt (Tt,s(Qi (00 *2 f)))IIp<- C 2

-2P' min{22It - t'l,1}

Is - s'IIIfIIp

JITt,s(Qi(0o *2 f))Ilp

C 2-2 P' Ilfllp

p = 1 eta p = 2 kasuetan frogatuko ditugu estimazioak eta ondoren, kasuhorietako emaitzak interpolatuz, lemako emaitzak erdietsiko ditugu .

(a) kasuko kendurak soilik aztertuko ditugu, gainerako estimazioak arrazoi-bide bera erabiliz eta zailtasun berezirik gabe lortzen dira eta .

Lehenik eta behin, L 2-ko norma kalkulatuko dugu . (t, s) parametro bikotebakoitzerako, mt ,s (e, n) = m(t~, srl) bada, orduan, Plancherelen teoremaz,

I IR2 Rt (Tt,s (Qz (Q,f))) 1121

~~~ 1

~~' 212If

2 2I (mt,s - mt' ,s - mt,s' + mt',s') 4'i ® 4'jRn1 XRn2

dugu .

Alde batetik, V)i ® OJ2 funtzioaren euskarrian eta (2 .3) baldintzaz, [1, 2]

tarteko edozein (t, s) parametro bikotetarako Imt,3I _< C2 - ia-jb izango da, eta,

beraz, puntuz puntuko hurrengo estimazioa izango dugu :

1(mt,s - mt', s - mt , s ' + m t,, s ') Z(g

~ <C2-ia- jb .

(2.9)

Bestetik, m euskarri trinkodun neurri finitu baten Fourieren transformatuadenez gero, m E C° da eta, gainera, bere deribatu guztiek ere (2.3) erakobaldintza bat beteko dute . Orduan, kendurak integralen bitartez idatziz gero,hurrengo estimazioak lortuko ditugu :

(m t , s - m t', s - mt , s ' + mt',s') i ® V); ) (C, 77)t

d

(m(zC, sri) - m(zC, s'77)dz I ~Z (C)~, (ift

< ICI f t (vm(zC, S71) - Vm(zC, s'7l))dz I~bZ (~)02 ( 7l)1

1

2((mt,s - mt',S - mt,s' + mt',s') Ii ® ~i ) (C, 77)

s

f dw (m(tC, wr7)- m(t'C, wrl)dw I0¡(C)O; (91)1

s

< ~ril f (Vm(t~, wi7) - Vm(t'C, wu7))dw IOZ (C)Oj' (7l)IS

,,~~1

2((m t , s - mt' ,s - mt ,s' + mt',s') `~i ® 2~Jj ) (C, 7))

= ft d(f -m(zew17)

w,

dw dz Idi ( )~~ (7l)~

<

f 8 f t D 2 m(zC,w7))dzdw 1oi (C) O, (7l) ~,

eta bai j Vm(zC, w7 )I hala nola ID 2m(zC,wr7)I ere C(1+IzCI)-a(1+ Iwr7 l )-b

kantitateaz bornatuta daudenez gero, kasu honetan, gainera, z, w E [1, 2] izanik,aurreko estimazio horietatik guztietatik eta (2 .9) desberdintzatik hurrengo bor-naketa izango dugu :

II Rs , R¿, (Tt,s(Qi (Q2f)))112 < C2-(ia+jb) min{22 It - t'I, 1}

min {2'Is - s' 1,1}11 f Il2 .

(2.10)

Azter dezagun L l-eko norma . m = jo-, bada, t, s bikote bakoitzerakoTt , sf = Kt , s * f idatziko dugu, Kt, 8 ( •, •) = dot , s ( •, •) = t- ni s-n2 do(t-1 •, s-1 . )


2 1


izanik. Orduan, Tt , s (Q(Qj f )) = Kt , s * ((z~Z )'' (D (oj )V2 ) * f da, non k = 1, 2bakoitzerako Vk adierazpenaz, RThk espazioko Fourieren transformatua emangodugun.

Youngen desberdintzaren ondorioz

IIRs,Rt (Tt,s(Q?(Q;.f)))Mi <Il (Rs, Rtl~(K,3)~*(( i)V1

(D( ;)v2 )

lk f

11l

lortuko dugu . Aldagai aldaketa bat aplikatuz, edozein t, s parametrotarako

Kt,8*((4i)V1®(`Vj)V2)(x,y)=da*(( i) V1 ( t ) ® (Yj)V2 (s ))(t, )

berdintza dugu . Honela,

(Rs, Rt (Kt,s)) * ((02)V1 (& (`)j)v2)(x~y)I

= IfRnl xRn2 [(`~i )Vl (x - tx') - (Y'i )V

1(x - t'x') ]

[(` bj ) v2 (y - sy) - ( 3.) V2

(y - s'y')]du(x', y') I

Alde batetik, da euskarri trinkodun neurri finitua denez eta (~2 ) v ' eta ( j )v2funtzioak t, s E [1, 2] parametroetarako uniformeki bornatuta daudenez, au-rreko adierazpena, i, j, t eta s indize eta parametroekiko independentea den Ckonstante absolutu batez bornatuta dago .

Bestetik, eta L 2-ko estimazioen antzera, kendurak integralen bitartez idatzizgero, hurrengoa dugu :

I (R2 Rt (Kt,s» * ((,i )v' ® ( 4'2) V2 )(x ~ y)I

fRnl xRnz f t dz (`Yi )V1 (x - zx ' ) dz f s dw ( j v' (y - wy')dw da

<C2ZIt-t'I2 3 Is-s'I fR i xRn2

Ix'Iiy'I 1da(x',y ' ) I <C2Z+i 1t - t'IIs - s'l ,

eta, modu berean, beharrezkoak diren gainerako estimazioak frogatuko ditugu,

IIR2~Rtl(Tt,s(Qi(Q~f)))11, < Cmin{2ZIt-t'I,1}min{23 Is-s'I,1}IIfIl l (2.11)

erdietsiz .

(2.10) eta (2.11) interpolatuz, 1 < p < 2 denerako,

< C 2-2,a p

IIR , Rt t,s

~6~min{2i It - t I,1} min{2 j Is - s I, 1111f I IPS

(T(Qi(Q,f)))IIp -

estimazioa izango dugu. Antzeko argudio bati jarraituz, gainerako estimazioakfrogatuko ditugu .

∎

22

Oharra 2.9 .

(a) Eragileen arteko kendurak esanguratsuak izango dira, It - t' l < 2-z etas - s' l < 2-j betetzen den bitartean. 2-2(ia+jb)/p' gaia, f transformatua 'z ® e~futzioaz ebaki izanagatik ageri da . Honela, bi eragileren arteko kendura badugu,lortuko dugun estimazioa

(ia+)b)

1(Rt (Tt,s)) (Qi (Q; f)) 1 Ip < C 2-2 p


min{2'It-t'j,1}1 If I Ip

izango da eta, aldiz, kendura eragilea Rs, (Tt , 3 ) bada, aurreko minimoaren ordez,min{2ils - s' i ,1} izango dugu .

(b) Lemako (b) atalean, f transformatua e2 ® cp 2 funtzioaz ebakitzendugu. Orduan, Fourieren transformatuaren aldeko Rn2 espazioko 71 aldagai-rako 1711 - 2j < 1 da, j < 0 baita, horregatik kasu honetan agertuko den gaia2(-2ia)/p' izango da . Gainera, 2 i s - s' l < Is - s' l < 1 denez gero, hori izango daminimoaren balioa kasu honetan . Bi eragileren arteko kenduretarako, hurrengoadugu:

11(Rt(Tt,s)) (Qi (02 *2 f) I lp < C2(-2ia)/p' min{22 1t - t'I, 1 }11f 1Ip,

eta kendura eragilea R2,(Tt,,) denean, aurreko minimoaren ordez 1 s - s' l gaiaagertuko da.

Aipatu dugun simetria dela eta, j > 0 denerako, Tt , s (Q~ (0ó *1 f )) eragi-leen arteko kenduretarako lortuko diren estimazioak, (b) atalekoen simetrikoakizango dira, hau da, (b) ataleko estimazioetan, i, t eta a indize eta parametroakj, s eta b adierazpenez, hurrenez hurren, elkarren artean trukatuz lortzen direnestimazioak izango dira .

Aurrerantzean, 2.8 lemako estimazioak aipatzen ditugun bakoitzean, berez,ohar honetan aipatu ditugunak ere kontuan izango ditugu .

Jarraian 2 .6 teoremaren frogapena berrartuko dugu .

[181 artikuluan aurkeztutako metodoan oinarrituz, E 1 parametro multzo-rako Eh' azpimultzoen eraikuntzaz hasiko gara . E2 multzorako Ek azpimultzoeneraikuntza era berean egiten da.

Lehenik eta behin, [1, 2] \ E 1 multzoa osotzen duten tarteak kontsideratukoditugu . Baldin eta, tarte txikienaren luzera 2-N eta 2_N+1 bitartekoa bada,izenda dezagun E l = EÑ .

Ek' multzoak modu induktibo baten bitartez hurrengo eran definituko di-tugu. Behin E,' multzoa eraiki dugula, 2 eta 2-r+1 bitarteko luzera duten

23


[1, 2] \ E,'' multzoko tarteak kontsideratuko ditugu ; tamainu horretako bi edotarte gehiago bata bestearen ondoan kokatuta ageri diren bakoitzean, tartehorien muturrei, elkarren segidan eta ezkerretik hasita, zenbaki bana egokitzenzaie, ondoren, zenbaki bikoitia dutenak ezabatuz . Horietako tarteren bat motabereko beste batekin elkarren ondoan ez dagoenean, isolaturik ageri den tartehorren eskuin aldeko muturra ezabatuko dugu .

Honela, ezabatu ez ditugun parametroek E,'' multzoko azpimultzo bat oso-tuko dute, zeina E,r_, adieraziko dugun, bere eraikuntzaz [1, 2] \ E,''_ 1 multzoaosotzen duten tarteek 2-r+ 1 gutxieneko luzera izatearen berezitasuna baitu.Orduan, N(E1, 2-r) adierazpenak E 1 multzoa estaltzeko beharrezkoa den 2- 'luzerako tarte kopuru minimoa ematen badigu, N(E 1 , 2-r) = #(E,1,_,) izangoda. Gainera, #(E;. \ E,1._ 1 ) < #(E,1._ 1 ) denez gero, #(E,1') < 2#(E,1,_ 1 ) dugueta, beraz, q < r denerako #(E,1 \ E,1,_,) < 2r-1-Q#(E9) da .

Bestalde, t E E,1. \ E,1'_, bakoitzari T(t) E E,1_, parametro bat dagokio nonT(t), t-tik hurbilen dagoen E,1_, multzoko parametroa den eta, hortaz, 1t-r(t)1,2-r ordenakoa izango da .

Sartu dugun notazioa erabiliz, demagun zenbait N eta M osorako, E 1 = ENeta E2 = E2 dela .

i > 0, j > 0 eta 1 < p < 2 direnerako, hurrengo norma aztertuko dugu

sup

ITt,s(QZ(Q.2;f))~ ~~rII (t,s)EE 1 xE2

t E EN bakoitzerakoT,* f = sup Tt,sf

SEEM

eragilea kontsideratuko dugu . Orduan, baldin eta t E EN \ EN_, bada,

Tt (Ql(Qjf)) = (Tt (Qi(Qjf)) - TT(t) (Qi(Qjf))) +TT(t)(Qi(Qjf))

< sup R1 (t)(Tt,s (Qi (Q j f))) + sup TT (t),s (Q1 (Q j f) )

SEEM

sEEk

Eta beraz,

sup

ITt,s(Qi(Qjf))I = sup ITt (Qi(Qjf))I

(t,s)EE 1 xE2

tEEN„

<_

sup

sup IRT(t)(Tt,s(Q1(Qjf)))I + sup I

Tt (Qi(Qjf))ItEEN„\EN„_1 sEEM

tEEN-1

Azkeneko batugaiari deskonposaketa bera aplikatuko diogu eta prozesu hau tparametro multzoen gainean era induktibo batean errepikatuko dugu E, para-metro multzora jeitsi arte ; 2.9 oharrean aipatzen genuen legez, k < i denerako

24

Ek multzoan dauden t parametroetarako eragileen arteko kendurak egiteak ezbaitakar abantailarik . Honela,

Sup

ITt,s(Qi(Qjf))I IIp <- II

SUP SU ITt,s (Qi(Q,f)) I1

Ip

(t,s)EE 1 xE2

tEEz sEEM

N

+ E Il

k=i+1


sup

sup I RT(t) (Tt,s (Qi (Q; f))) l II p

tEEk\Ek_1 SEEM

Ondoren, t c Ek \ Ek_1 finko bakoitzerako, supSEEM I (RT(t)(Tt,s))(Qi(Q j~ f))eragileari antzeko deskonposaketa bat aplikatuko diogu, kontuan izanik, s EE1 bakoitzetik hurbilen dagoen E¿1 multzoko parametroa r(s) dela. Orduan,k c {i + 1, . . . , N} bakoitzerako,

II

sup

sup I RT(t)(Tt,s(Qi(Q~f)))l

Mp

tEEk\Ek_ 1 sEEk

< 11

sup

sup JRT(t) (Tt,s(Qi(Qjf)))l

Ilp

tEEk\Ek_ 1 sEEM

M+ E 11

sup

sup

JRT(s)RT(t)(Tt,s(QZ(Q;f)))HIIp •l=j+1 tEEk\Ek_ 1 sESi \Ei 1

2 .8 lemako estimazioak eta 2 .9 oharrean aipatutakoak aplikatuz gero, k E {i +1, . . . , N} bakoitzerako

(ia+jb)I I sup ( sup I RT(t) (Tt,s (QZ (Q, f))) I ) I lp

<_ C2-2 P 2i-ktEEk\Ek_ 1 sEEk

(#(Ek\Ek-1))P(

2' -1 (#(Ei \Ei 1))P+(#(E~))P) Ilfllp

1=j+1< CZ-2 iaP jb) Zi-k

(#(Ej )) P (# ( Ei \ Ek-1)) P IIfIIp

dugu. Beraz, i > 0, j > 0 bikote bakoitzerako,

1

)) lII

sup

ITt,S(QZ(Q;f))I Ilp ~ C2 2(tap~b)(#(EZ))P(#(E, PIIfIIp(t,s)EE 1 x E2

+Ilsup

supITt,s(QZ(Qjf))Illp

tEEi sEEk

izango da . Ondoren, t E EZ finko bakoitzerako, El multzoen gainean, lehenegin dugun antzera, era induktibo batez arrazoituko dugu, berriz ere 2.8 lemakoestimazioak kontuan hartuta . Honela,

1M

PI I sup iTt,s (Qi (Q, f ) ) I I Ip

I I

sup

RT(s) (Tt,s (Qi (Q~ f ) ) ) I I IPsEE2n1

1=j+1 .EEi\Eii

+II sup ITt,s(Qi(Qjf))I IIp <_ C2-2( ' aPjb) (#(E,))PIIfIIp

sEEM

25


lortuko dugu . Hortaz,

~~

sup

ITt,s(Qi(R;.f))IIIp <_ C2 2(taPjb)~(#(Ei))P(#(Ej2»-11f1lp

(2.12)(t,s)EE1 xE2

da . Edozein E positibotarako, #(EZ) < C12i(d1+E) eta #(Ej2) < C22j(d2+E) denez

gero, baldin eta max{1 + 2 ,1 + 26} 0 (t,s)EE1xE2

izango da .

Aurreko arrazonamenduan oinarrituz eta ideia berdintsuak erabiliz, i > 0bakoitzerako

2a

1~~

sup

IT t,S(QZ(02*2f))Illp < C2 2p (#(E?))PIlfH(t,s)EE1 xE2

frogatuko dugu, beraz, 1 + dl/2a O (t,s)EE1xE2

Aipatutako simetria kontuan hartuz gero, 1 + d2/2b 0 II (t,s)EE1xE2

(2.13)

izango dugu .

Edonola, max{1 + dl/2a, 1 + d2/2b} max{1+di/2a, 1+d2/2b}denerako TÉ eragilea LP (RI) espazioan bornatuta dagoela erdietsiko dugu .

26

- E' C (0, oc) eta E2 C (0, oc) kasua

Frogapenaren puntu honetan, frogatu berri dugun emaitza E1 eta E2 (0, 00)tarteko edozein bi parametro multzo diren kasura hedatuko dugu . Lehenik etabehin, hedapen horretarako lagungarri izango den ID funtzioa definituko dugu .

Izan bedi p, (0, oo) tarteko Schwartzen klaseko funtzio erradiala non

_ 1, 0 < r < 1/2 badap(r) - { 0, r > 1 denerako,

eta defini ditzagun p l eta P2, Rn' eta Rn2 espazioetako funtzioak, hurrenezhurren, non

baitira .

R"1 x Rn2 biderkadura espazioan T1(x, y) eta W 2 (x, y) funtzioak hurrengoeran definituko ditugu :

(,P1)^(~,r1) = m(0,r1)P1(~) (1 - P2(2))

(12)A ( >~l) = m(, 0)P2(77) 1 - Pl(2)

eta W funtzio lagungarria W (x, y) = le 1(x, y) + ` 1 2 (x, y) izango da .

Idatz dezagun


Pi(O = P(Iii), ~ E R", eta P2(77) = P(I 71I), y E R'22 ,

( 2.14)

Orduan,

m(~, n) = m(e, ?7 ) - W (~, ~7 ) + ~(~, 71) = m(~, 71) + W (~, i1) .

I ITV IIp < II

sup

ITt,sfI IIp+ II

sup

I`Ft,s * fI IIp(t,s)EE 1 XE2

(t,s)EE' xE2

da, non T, m biderkatzailea duen eragilea den eta t eta s positibotarakoT t s (x, y) = t-n1 s-n2W (t-1x, s- 'y) den .

Azter dezagun I I SUP(t,s)EE 1 xE2 IWt,s * f I I Ip norma lehenengoz .

sup

IWt,s*fIIIp < 11

sup

I(W1)ts*fIIIp+II

sup

I(W2)ts*fIIIp(t,s)EE 1 xE2

(t,s)EE 1 XE2

(t,s)EE 1 xE2

denez gero eta k = 1, 2 bakoitzerako, Wk funtzioen portaera antzekoa izanik,11 SUP(t,s)EE 1 xE2 1(W1)t,s * f 11Ip norma aztertzea nahikoa izango da .

s > 0 bakoitzerako izan bedi Ls , Rn2 espazioan

(Lsh)'(rl) = m(0, srl) (i_ P2(L)) h(rl)

betetzen duen eragilea; orduan,

sup

I(W1)t,s * f(x,y)I =

sup

I (((pi) V1 )t *1(L8f)( •, y)) (x, )1(t,s)(=-E1 xE2

(t,s)EE' xE 2

da, t positibo bakoitzerako ((p')Vl)t(x) = t- 'El((p l ) v1 )(t-lx) izanik .

2 7


(p l ) v1 E S denez gero, puntuz puntuko hurrengo desberdintza dugu :

sup ((pi) v1 )t * 1 ((Lsf)( .,y)) (x) < CM, ((Lsf)( .,y)) (x)tEEI

non Ml , RI' espazioko hurrengo eragilea den,

Mi h(x) = upr1 L(O,)

TIh(x - x')1 dx' .

(2.15)

M1 positiboa denez gero,

da .

28

sup

i ( Wi)t s * f (x, y) I < CMl sup (Ls * 2 f) ( ., y) (x)(t,s)EE 1 xE2

sEE2

dugu eta p > 1 denerako M1 eragilearen Lp(R'') espazioko bornaketa dela eta,

I I

sup

I ( xP1)t s * f l I lp < Cil I IMI (sup (Ls *2 f) (', y)) I I LP(dx) IILP(dy)(t,s)EE 1 xE2

sEE2

< Cli II sup (L, *2 f)(x) *)IILP(dy) IILP(dx)sEE 2

izango dugu .

Bestalde, lm(0,77)(1 - p2 (2))l < C(1 + Irol) -b da, orduan, [18] artikulukoemaitzen arabera, p > 1 + d2/2b denerako

I i sup (Ls *2 f) (xi ') I I LP(dy) < CI I f (x) ') I I LP(dy)sEE2

dugu, hortaz, p > 1 + d2/2b bada,

11

sup

I(IF,)tl *fl lip <- CHAP(t,s)EE' xE2

Era berean, p > 1 + dl /2a denerako,

II

sup

I(W2)t,s * flIlp < Cl lfllp .(t,s)EE' xE2

Edonola, p > max{1 + dl /2a, 1 + d2/2b} bada,

11

sup

l'Pt,s * f 11 Ip <- Ci if 1I p(t,s)EE' xE2

Jarraian, 11

sup

l Tt,sf 1 1 1p norma aztertuko dugu .(t,s)EE' xE 2

Idatz dezagun,


sup

I Tt,sf I = sup

sup sup JTt,sf

(2.16)(t,s)EE 1 XE 2

n,mEZ tEE" ,n sEE 2,m

non E',n = E 1 n [2-n, 2 -n+ 1 ) eta E2,m = E2 n [2-m , 2-m+1) diren .

(n, m) zenbaki osoen bikote bakoitzerako eta aurreko puntuko notazio beraerabiliz, hurrengo deskonposaketa kontsideratuko dugu :

Orduan,

Tt,sf = Tt,3(0n ® (p á * f) + E

E+

Tt,s(Qi+n(Qj+mf)) .i .j<O

i>O,j>0

Sup

ITt , sf

IP O,j>0

n,mEZ tEEl'n sEE 2,m

(t, s) E E 1 'n x E 2,m finkorako, eskala aldaketa bat aplikatuz gero ondokoberdintza lortuko dugu

Tt,s(01

® 02

nn1+mn2Tt s, (01 ® 02

nxn

m * f) (x , y) = 2

o

o * f ,,m) (2 > 2my) ,

non f,,,,m (x, y) = 2-nni-mn2 f(2 -nx, 2-my) den eta t' = 2nt eta s' = 2m,

parametroak [1, 2] tartekoak diren. Gainera, 01 ® 02 * fn ,m funtzioaren Fou-rieren transformatuaren euskarria dela eta, Tt,,,, = 0, beraz,

Tt s (01 ® 02 * f) (x y) = 2nn1+mn2T , (01 ® 02 * f ) ( 2nx 2my)n

m

t ,s o

o

n,m

da, t', s' E [1, 2] izanik.

Bestalde, t', s' guztietarako, Tt',, , (0o ® 00 * fn,m) (x, y) < CMs fn,,m,(x, y) da,honela,

sup

ITts (4'n ® 0m * f) (x, y) 1 < C2nn1+mn2 I MSfn,m(2n x, 2my)(t,s)EEl"n XE 2,m

< C i Msf(x,y) 1

dugu, non C konstantea n-ren eta m-ren independentea baita . Orduan, p > 1bada,

II sup

sup

ITt,s(

On ®

02* f)I IIP

CllfllPn,mEZ (t,s)EEl'n XE2,m

29


Ondoren, (i > 0, j > 0), (i > 0, j < 0) eta (i < 0, j > 0) indize bikotebakoitzerako, hurrenez hurren,

I I

sup

ITt,s(Q+n (Q;+mf)) I I Ip(t,s)EE",n X E2,m

normak aztertuko ditugu . Berriz ere, eskala aldaketa bat aplikatuz gero,

Tt,s (Qi+n (Qj+m.f)) (x, Y) = 2nn1+mn2Tt',s , (Qi (Qj fn,m)) (2nx, 2my)

(2.18)

berdintza dugu, t', s' E [1, 2] izanik .

Azter dezagun i > 0, j > 0 kasua .(2.18) berdintzatik eta QZ (Qj fn,m,) funtzioaren Fourieren transformatuaren

euskarria kontuan harturik,

I I

sup

l Tt,s (Qi+n (Q i+mf)) l 1p = 2nnl+mn2-(nn1+mn2)

P(t,s)EE' ,nxE 2,m

sup

ITt,s (Qi (Qj fn,m)) I I IpII(t,s)E2nE 1 'nx2mE2,m

beteko da, non 2nE 1,n = {2nr : r E E1'n} eta 2mE2'm = {2mr : r E E2,m} ,

[1, 2] tarteko parametro multzoak diren . Orduan, (2 .12) estimazioaz,

I I

sup

IT (Q 1 (Q~+mf)) I I Ip < C2_2 (iaPJb)(#(2n E i ,n)) Pt,s

i+n(t,s)EEl,n xE2,m1

(#(2mEj'm))P I If IIp ,

dugu, non E 1'n eta E2'm multzoen azpimultzoak diren EZ ' n eta Ej'm, hurre-nez hurren, aurreko kasuko E' eta E2 multzoetarako EZ eta E,2 azpimultzoaklortzen ziren modu berean eraikitzen baitira. Orduan, 1 O,j>0 bada,

ren Fourieren transformatuaren euskarrian

(~2)t, s, denez gero, T2f =(do, - W2 ) * f bada, orduan

2

nnl+mn2_ (nnl+mn2)SUP

I Tt,s(Qil+n (Qj+mf))I IIp - 2

P

(t,s)EE1,n x E2,m

II

sup

IT2t,s(Qi(Qjfn,m))I IIp

30

II

sup

ITt,s(Qi+n(Qj+mf))Ilip

< C2-2(iaPib) (N(2n E1 'n,2 -'))P(t,s)EE" ,n xE2,m

(N(2mE2'm , 2-i )) P jlf Ilp . (2 .19)

Ondoren i > 0, j < 0 kasua aztertuko dugu .Oraingoan, behin eskala aldaketa aplikatu dugula eta Q? (Qj fn ,m ) funtzioa-

(t,s)E2nEl,n x2mE2,m


Baldin eta m2, T2 eragileari dagokion biderkatzailea bada, i > 0, j < 0

denerako, O2®bj2-ren euskarrian p l (~/2) = 0 eta p2 (77) = 1 izateagatik, orduan,

M2

77)1 = Im(,7)-m( ,0)I < cl77l(1+I I)

da. Era honetako biderkatzailea dugula eta aurreko kasuan arrazoitu dugunantzera, i > 0,j < 0 denerako

H

Sup

ITt,s(Qi+n(Qj+mf»I lip < C22(3P'a ~(N(2n El,n ,

2-i)) P IIfIIp(t,s)EEI , n xE 2,m

estimazioa erdietsiko dugu .

Modu berean, i < 0, j > 0 denean

(2 .20)

II

sup

ITt,.1(Q1+n(Qj+mf))I IIp < C22(tp'b (N( 2mE2'm, 2-3 )) P II f IIp

(t,s)EE 1,n xE 2,m

izango dugu. Azkeneko bornaketa hauek aintzat hartuz, jarraian, Lr espaziokoTT f = Sup(t s)EE 1 xE2 Tt,sf eragilearen norma aztertuko dugu . Kontsidera deza-gun hurrengo deskonposaketa :

T; f o,j>0

N,M InI<N ImI<M (t,s)EE 1 nxE2,m

(2 .21)

Deskonposaketako lehenengo atala Msf funtzioaz puntualki bornatuta dagoeta, beraz, p > 1 denerako Lp espazioan bornatuta dago .

N, M E N finkorako, izan bedi

TN,Mf = sup sup E +

Sup

ITt,s (Qi+n (Qj+mf)) I

InI<- NImI<-M i .j<0

i>o,j>0

(t,s)EE 1,nxE2,m

p > 1 denean, (n, m) zenbaki osoen bikote bakoitzerako, izan bitez

Cp (i, n) = 2 -2 p' (N(2nE1°n, 2-i))P eta Cp(j, m) = 2 2P(N(2mE2 'm , 2-')) P

eta kontsidera ditzagun Cp (i) = supo Cp (i, n) eta Cp (j) = Supm Cp ( j, m) .

3 1


Finka ditzagun N eta M arruntak. Baldin eta p > max{1+d 1 /2a,1+d 2/2b}bada, T1,,M eragilea LP (R') espazioan bornatuta dago eta demagun LP-ko berenorma A(N, M) dela. Gure helburua, N eta M-rekiko independentea den Ckonstante baterako A(N, M) < C dela frogatzea izango da .

i > O,j > 0 eta i > 0,j < 0 indize bikotetarako, hurrenez hurren, hardezagun ondoko eragile bektoriala :

{9n,m}n,m -4

sup

ITt,s(Qi+n(Qj+m9n,m))I(t,s)EE1,n X E2,m

non I nl _> N edo I m l > M denean gn,,,l = 0 baita. 1 < p < 2 bitarteko p-renbalioetarako, hurrengo bornaketak aztertuko ditugu :

(2.22) eragile bektorialerako LP(1°°) bornaketa

Puntuz puntuko Q+n(Q~+mgn,m) < CMs9n,m desberdintza dugu eta Tt,seragile positibo bat denez gero, Tt , s(Q+n (Q~+mgn,m)) < CTt,s(Msgn,m) betekoda. Orduan,

32

II

sup

ITt,s(Q+n(Q

2i +m9n,m))I IILP(t00)

(2.23)(t,s)EE 1,nxE2,m

_< C A(N, M)II sup sup Msgn,mII p < C A(N, M)Ilgn,mIILP(1-)-lnI<N lml<M

1 < p < 2 denerako (2 .22) eragile bektorialerako LP(PP) bornaketa

II

sup

ITt,s(Q 1i+n(Q

2j+m9n,m))I II LP(IP)

(t,s)EE1,n X E2,m1P

I I

sup

ITt,s (Qi+n (Qj+m9n,m)) I I IPlnI<N jmj <M (t,s)EE 1,nxE2,m

C CP(i) Cp(i) II9n,mIILP(IP) (i > 0, j > 0)

C 2p Cp(z) II9n,mII LP(lP)

(i > 0, j < 0)

dugu. Bornaketa hauetariko bakoitza (2.23) estimazioarekin interpolatuz gero,LP (l2 ) espazioko hurrengo bornaketak izango ditugu :

II

sup

ITts (Q1i+n(Q

2j+m9n,m)) 11 ILP(l2)

(t,s)EE1,n xE2,m

C (A(N, M))1 2 (Cp(i)Cp(j)) 2 I I9n,mIILP(l2 )

C (A(N, M))1-2 2

'P~ Cp(i) 2 I I9n,ml ILP(l2 )

n,m

(i >0,j>O)

(i > O, j < 0) .

(2 .22)

(2 .24)

Eta i < 0, j > 0 denerako, berriz,

II

sup

ITt,8(Q 1+n(Q+m9n,m))I IILP(l2 )(t,s)EE 1,n xE 2 ,m

< C (A (N, M)) 1 p2P Cp(j) 2 II9n,ml ILP(1 2 ) .

Lagungarri izango den Rnl espazioko ~' funtzio erradial berri bat sartukodugu, zeinetarako

berdintzak definituta. Orduan,

~Pó(~) _ { 0, II2< 1/4 , I~~2> 4endenean,

betetzen baita. Rn2-ko ~1ó funtzio lagungarria era berean definituko dugu . k =1, 2 denerako eta 1 E Z bakoitzerako, izan bitez ¿( •) _ Ií (2-l •) . Orduan,k = 1, 2 indizeetarako >Jk = Xpk'Y¿ berdintza beteko da. Har dezagun Rn' x Rn2espazioko Q+nQ2j+m eragilea,

(Qi+n(Qj+mf )) n ( ~l) - i+n j+m f(~, i)

sup sup (

sup

ITt,s (Q+n (Qj+mf)) I) I I P

InI<N Im j <M (t,s)EEI,n X E2,n`

ITt,s(oa+n(Qj+m(`wz+n(Qj+mf)) ))I) IIP

InI <N ImI<M (t,s)EE1 .n X E2,m

< I I

SUp

ITt,s(Qz+n(Q

(t,s)EE",nxE2,m

;+m(Q +n(Qj+mf)) M h P(12)

= I I sup sup (

sup

(2.24) estimazioetatik eta Littlewood-Paleyren desberdintza aplikatuz, hurren-goa dugu :


II sup sup (

sup

I Tt,s (Q2 n (Qj+m f)) I) I InInI<N ImI<M (t,s)EE 1,nxE2,m

< C (A(N, M))1 2 (Cp(i)Cp(j)) 2 I If I Ip,

C (A(N,M))1-22 P4

PCP(i)2 IIfIIp,

i>0,j >0,i > 0,j <0 .

Hori guztia dela eta, 1 o,j>o

+~:2P ~Cp(j) 2 +~Cp(i) 2 ~ 2 )i<O

j>0

i>O

j<0

estimazioa izango dugu .

(2 .25)

33


p > 1 + d,/2a bada, EZ>o (Cp (i))p/ 2 < oo da, eta p > 1 + d2/2b denerako,Ej>o (Cp (j))p / 2 < o) dugu. Orduan, baldin eta max{1+d,/2a, 1+d2/2b} < p <2 bada, N eta M-rekiko independentea den Cp konstante baterako A(N, M) _<Cp izango da .

Beraz, max{1 + d,/2a, 1 + d2 /2b } max{1 + di /2a, 1 + d2/2b } denerako tZ eragilea LP(RT) espazioan bornatutadagoela erdietsiko dugu .

2 .3.2 2.7 teoremaren frogapena

- El C [1, 2] eta E2 C [1, 2] kasua

Lehen bezala E1 eta E2 finituak direla suposatuko dugu . Orain m c C' (Rn)da non k = kl + k2 baita eta j = 1, 2 bakoitzerako kj = [nj/2]+2 izanik; gainera,a > dl/2, b > d2/2 batzutarako eta lal < k1 , 1,31 < k2 denerako

betetzen da .

I D'Dám(~, ri)1 < C( 1 + IeI)-a(1 + 1771)-b (2 .26)

2.3 .1 ataleko notazio bera erabiliko dugu . Han bezala, lehenengo, lema batemango dugu non zenbait kendura eragileren gorenetarako bornaketak azter-tuko baitira . Berez, hurrengoa frogatuko dugu :

Lema 2 .10. Demagun 2.7 teoremako hipotesiak dauzkagula eta 1 0, j > 0 eta t, s E [1, 2] denean, k e {i + 1, . . . . N} etal E {j + 1, . . . . M} badira,

34

11

sup

sup

l RT(s) RT(t) (Tt,s (Qz (Q, .f))) I I Ip <- C2í(1-a)+j(1-b)

tEEk\Ek_1 mEEI\Ei 1

2 `1R' 2'n2' (2-p-1) It - T (t )I (#(Ek \ Ek 1))2

Is - T(s)I (#(El \ El 1)) 2 IIf Ilp 1

1

2

-a)+j(1-b) Un' 2'n2)(?-1)II sup sup ITts(Q~ (Qj .f))Illp < C2' (1

2

ptEEi sEEj2

(#(EE)) 2 (#(Ej)) 2 11f1Ip

(b) i > 0, k E {i + 1, . . . , N} eta l E {1, . . . , M} denerako,

II

sup

sup

IRT2()RTl (t)(Tt,S (Q 21 (4'2O *2 f)))III < C22(1-a)+t2 ( p--1)

tEEk \Ek _1 sESI \Ei 1

S

It - T(t) I (#(Ek \ Ek-1)) Z IS - T(s)I (# (Ei2

2El-1)) 2 IIf IIP

Ij sup supITt,s(Qi(0

o *2 f))IIIp <C2-2a+'2 (p-1) (#(Ea)) 1/Z IIfIIPtEE sEEiI

(c) k E {1, . . . , N} eta l E {1, . . . . M} denerako,

sup

sup

I RT(s) R,1r(t) (Tt,s«01

®02)

* f))) I I IP < C I t - T (t)ItEEk\Ek_ 1 sEE?\Ei i

(# (EE \ Ek 1)) 2Is -T(s)I (#(Ei \ E¿ 1))2IIfIIP < C2- 2 -

2IIfIIP ,

Frogapena .

II sup sup ITt,s((0 1 ® 0 2 ) * f)IIIP < CHI II ..tEEi sEEi

2.8 lemaren frogapenean bezala, p = 1 eta p = 2 indizeei dagozkien esti-mazioak frogatuko ditugu eta ondoren, estimazio horiek interpolatuz lemarenfrogapena lortuko dugu . p = 2-rako estimazioak 2 .8 leman emandakoen antzeralortuko ditugu, kasu honetan, normen barruan gorenak ditugula kontuan har-turik noski .

L1 -eko estimazioak 2 .8 lemakoarekin konparatuz gero ezberdintasun batzukageri ditu .

(a) ataleko kenduren gorenen normak aztertuko ditugu, gainerako esti-mazioak ideia berari jarraituz errazki lortuko baititugu .

i > 0, j > 0 denerako, izenda dezagun Tt, s (QIl (Q?Il

)) = Kt's * f ,

izanik .

Youngen desberdintzaz,


(Kts) n ( , Î) = 7n(t , srl) i (S)4 'j (,0

)

II

sup

sup

I RT(s)Rl (t) (Tt,s (QZ (Q; f))) I I I ltEEk\Ek_ 1 sEEi \Ei1

< II

sup

sup

I(RT(s)R7(t)(Kt,'s)) I IIl IIfIIItEEk\Ek_1 sEEi\E21-1

35


dugu .r1 > [2] + 1 eta r2 > [2] + 1 edozein zenbaki osotarako,

I I

sup

sup

I (RT (s) RT (t) (Kt,'s ) ) I 11,tEEk\Ek_1 sEE? \Ei 1

r1 eta r2 zenbakien hautaketaz, aurreko integrala konbergentea da. Bestalde,

II

sup

sup

I( 1 + I12) 2

(1 + I ' 12)2R

r(S)RT (t) (Kt,')

1112tEEk\Elk_ 1 SEE ? \Ee

1_ 1

Fourieren transformatuaren propietateetatik hurrengoa dugu :

((1+ I '

12)2 (1 + I • 12) 2 RT(s)RT(t)(Kt,s)) n (,i)

(2 .27)

D" DQ f S

d (ft

m(z~ wr7) dz)dw

1 ( ) j (7l)

lai<r i IQISr2 (f (S) dw

(t) dz

'

x

Aurreko batugaiak deribatuz,

izango da, non

11 <

1 ~ ~~~ JS

f

tID1 DQm(ze, wi) Idzdw I z() ~ (~l)

O<Ial<r 1 +1 o<IQI<r2+1

T(S) T(t)

etaS

t12

~~: ~:

JT(S)

ddw (

df dz m(ze, w~) dz) dw I D" ~2 (~) D,V)j (r~)Iai<r1 IíI<-r2

(t)

baitira. Deribatuek betetzen duten (2.26) bornaketa propietatea kontuan har-turik,

IIII < Crl >r2I~I 1-QIiI 1-b It-F(t)IIS-F(S)I i(~)4j(~)I

36

< (fRn l xRn2(1 + Ixl 2 ) -T1 ( 1 + I yJ 2 ) -r2 dx dy)

sup

sup

I(1 + ( 12)2 (1 + I . 1 2 ) 2 RT(S)RT(t)(Kis)(', ') 1112 .

II tEEk\Ek_ 1 sEEi\E1 1

tEEk\Ek_ 1 SEE? \E? 1

21

I~(( 1 + ' 12) 2 (1 + ' 12)2RT(S)R,1.(t)(Kt;')) n

11

2

((1+1 .12)2(1+1 .12)2RT(s)RT(t)(Kt,s)) n (~, 77) < Il + 12

1121 < Crl,r2I I 1- aI,,I 1-b It - T(t)IIS-T(s)IID~~i( )I ID~ j (~)I

(2.28)

desberdintzak ditugu .Hortaz,

Orduan,

11 (1+ I '

12) 2 (1 + I '12) 2

RT(s) R' (Kt's)112

< Cr1,r222i(1 a)+2j(1-b)

t - r(t)l218- T(S) I 2fRnl xRn ~I0i (~)O2(Î)I2 + ID~ i ( )IID13~2( 77)I2 )d~dri

< C22i(1-a)+2j(1-b)It - r(t)l218 -T(S)I 2 22n1+jn2

estimazioa dugu .

(2.29) eta kasu honi dagokion L2-ko estimazioak interpolatuz, emaitza er-dietsiko dugu .

∎

Oharra 2.11 .

(a) Aurreko estimazioetan kendurak hartuko ditugu 2 i 1t-T(t)I < 1 eta/edo2j I s - T(s) I < 1 diren bitartean . Honela, baldin eta i > 0 eta t e Ekl bada,2i I

t - T(t)I = 2i-k denez gero, kendurak k > i denean, soilik, aztertuko ditugu .

Eta j > 0 eta s E El bada, 1 > j hartuko dugu. Adibidez, s E Ej2 denerakoRT(s)Tt,3 (Qi (Q~ f)) kenduraren normak Tt , s (QZ (Q~ f)) funtzioaren normarekinkonparatuz ez du inolako abantailarik aurkeztuko .

Eman dugun frogapena aztertuz gero, i > 0, j > 0 kasuko L 1 espaziokoestimazioei dagokien atalean, bereziki, 2(inl+jn 2) /2 gaia f transformatua ~b2 ® 0j2funtzioaz ebakitzeagatik ageri da .

Bestalde, 1 < p < 2 denean, hurrengo bornaketa ere egiazta daiteke :


sup

sup

RT (s)RT(t) (Tt,s) (QZ (Q2 f)) I II1

(2.29)tEEk\Ek_ 1 sEE,\Ei 1

< C2'(1 -a)+j(1-b)2-k2- 12 ( tn1

ájn2

) (#(Ek Ek-1)) 2 (#(Ei \ E1 ,)) 2 IIf I

I1

(Qi (Q,f)) I I IP11

sup

sup IRT(t)Tt,stEEk\Ek_ 1 SEE~?

< C2'( 1-a)2-jb2tnl P ;n

2 (p-1) It - T(t) I (#(El \ E~-1)) 2 (#(E; )) 2 I If I IP

hala nola, t e EZ eta s e E¿ \ E¿1 hartuz gero lortzen den azken estimaziohorren simetrikoa dena ere .

(b) f transformatua i ® cp 2 funtzioaz ebakiz gero, alegia, (b) kasuan egonezgero, orduan, 1771 < 1 eta, beraz, oraingoan, L'-eko norma kalkulatzerakoan

37


lortuko dugun gaia 2ín 1 /2 izango da. Kasu honetan,

II

sup

sup I RT(t) Tt,s(QZ(0ó * 2 f))

(t)lp çC2z(1-a)+i2 ( P -1)

It-T(t)ItEEk \Ek_1 SEE?

-(#(Ek \ Ek-1)) 2IIfjIp

II sup

sup

IRT (s)Tt,s(Qi (0ó *2 f)) I IIp_ C2-ZQ+22(p-1)

Is- T(s)

tEEi sEE?\E2,

-(#(E? \ E1 1)) 2 I If I Ip

estimazioak izango ditugu .(c) Azkenik, f transformatua c0 1 ® cp2 funtzioaz ebakitzerakoan, IBI < 1 eta

1771 < 1 izango da eta kasu bakoitzeko kenduretatik, I t - -r (t) I eta/edo I s - T(s)

gaiak soilik aterako ditugu .Hurrengo estimazioak ere egiazta daitezke :

II

sup

sup IRT(t)Tts((01 ® 0 2 ) * f))IIIp < CIt-T(t)ItEEk\Ek_ 1 sEE1

. (#(Ek \Ek-1))2IIfIIp < 2 2IIfAIP

2 .10 lemako estimazioak eta aurreko oharrean aipatutakoak kontuan har-turik, E', E2 C [1, 2] den kasurako 2.7 teorema frogatuko dugu . 2 .6 teoremarenfrogapenerako erabilitako arrazonamendu berari jarraituz, edozein c positibo-tarako hurrengo estimazioak errazki egiazta daitezke :

38

II sup

sup

IRT(S)TL,s((00 ® 0ó) * f))Illp <_ CIS -T(s)ItEEi sEEi\Ei 1

'(#(Ei \ EI1))211fIIp < 2 2IIf IIp

i>O,j>0 bada,1 2 < C(c)21n',n2 (y - 1)2i( d12 E -a)+j(~-b)

IIfIIpsup

ITt,s (Qi (Qj f)) I I I p _ ( )

(t,s)EE' xE2

i > 0 denerako,

II

sup

ITt,s(Qz (çó *2 f))I lip

C(E)212 (p-1) 2i(~ -

Q)IIfIl

(t,s)EE 1 xE2

j > 0 denean, aldiz,

II

sup

ITt,s(`Yo *1(Q;f))I lip

C(f)2'~ (p-1)2j 2 -b)Ilfllp

(t,s)EE' xE2

eta, azkenik,

II

sup

ITt,s((

O0 ® 0ó) * f) I IIP < CHfIIP

(t,s)EEl x E 2

(2 .6) deskonposaketatik eta aurreko estimazioak erabiliz, TÉ eragilearenLP (Rnl x Rn2 ) espazioko bornaketa izango dugu, baldin eta

max{2n1

2n2

} 2 denean LP-ko bornaketak frogatzeko, 2 .10 lemako estimazioetatik lordaitezkeen gorenen barruko kendura eragiletarako bornaketak kontuan hartukoditugu . Ondoren, kendura eragile horien estimazioen dualak hartuko ditugu,eta azken hauen bitartez, berriro ere arrazonamendu bera erabiliz, p > 2, E' C[1, 2], E 2 C [1, 2] eta E > 0 edozein denerako,

ITE fI IP < ( C + C(E)

2'2(1-P)+i(dp -a) + C(E)

2' (1-P)+j( d-P -6)

i>O

j>0

+ C(E)

2 2(1-p)+i(dP -a)2"'2 (1-P)+j(d~PE-b)) IIf P

i,j>0

erdietsiko dugu . Hortaz, baldin eta

2 <

2(ni - d,) 2 (n2- d2)p < min{(n, - 2a) ' (n2 - 2b) }

bada, TT eragilea LP(Rnl x Rn2 ) espazioan bornatuta dago .

- Ei C (0, oc) eta E2 C (0, oo) kasua


m e Ck (Rnl x Rn 2 ) denez gero eta [6] artikuluan Y. K . Chok egiten duenantzera, m biderkatzaileari dagozkion Tayloren hurrengo polinomio "leunak"kontsideratuko ditugu :

Pk1( ,rl) _

~~D£m(0,71)I~I' gl(~)pl(~)(1 - p2(2))I I_ 1

Pk2( , 7 1) =

1Dam(~,0)I,qI R g2(77)P2(77)(1-p1(2))IQI<k2 ~I

Pk1,k2( ,i) = ~

E

77 1DêD,m(0,0)I~IaInI R q,(~)g2(1)pl(e)p2(77),Ial -kl,101<-k2a*~~

39


non p l eta P2 funtzioak (2.14) adierazpenean emandakoak diren eta R nl eta Rn 2

espazioetako q1 eta q2 funtzioak, aldiz, ql (6) = q(ICI) eta q2 ( ,q) = q(I qI) erandefinituta daude, non q funtzioa C,,°((0, oo)) klasekoa den eta r < 1 denerako,q(r) = 1 betetzen duen .

Defini dezagun P(e, 71) = Pk l (~, ?7) +Pk2 (C, r7) +Pk1,k2 (C4 eta idatz dezagun

m(C, 77) = m(C 77) - P(C, 77) + P(C, i1) = m(C, 77) + P(~, q)

Baldin eta T, m, biderkatzaileari dagokion eragilea bada, orduan,

IITE f II p < II

sup

ITt,s f I Ilp + II

sup

I (Pt , s ) V * f I IIp .

(2.30)(t,s)EE' xE 2

(t,s)EEl xE2

40

Alde batetik,

sup

I((Pk1)t,s) V * f l =

sup

I

(Ti )s *2 ((Ra)t *1 f)(t,s)EE' xE 2

(t,s)EE 1 xE2 IBI <kl

idatziz gero, non ((Rf)t)A(e) = It~I a g l (t~)pl (t~) eta

((Ti )s) A (r1) = D'm(0, srl)( 1 - p2(2 ))

(2.31)

diren, orduan,

(Ri )t * 1 ((T1 )s *2 f ( ., y)) (x) < CM1((Ti )s *2 .f ( •, y)) (x)

Mi f funtzioa (2.15) adierazpenean emandakoa delarik eta C konstantea t-renindependentea izanik .Ml eragile positiboa p > 1 denean L (R'') espazioan bornatuta dagoenez

gero,

II

sup

((Pkl)t s) V * f IIp < E, Call I I Sup (Tl )s *2 f (x)*)IILP(Rn2) IILP(R nl)(t,s)EE1xE2

IBI <kl

SEE2

dugu. (2 .31)-ren jausialdia dela eta, 2.4 teoremaren arabera,

I I sup (Tic' ) s *2 f(X5 ') I ILP(Rn2) < C I I f (xi ') I ILP(Rn2 )sEE2

izango da baldin eta 2n2/(n 2 + 2b - d2) < p < 2(n2 - d2 )/(n2 - 2b) bada. Hor-taz, p-ren balio horietarako,

sup

((Pkl)t,s)V * f IIp < C I If I Ip .II (t,s)EE 1 xE2

Era berean, 2n,/(n, + 2a - d 1 ) 1 denean, berriz,

II

sup

((Pkl,k2) t , s ) v *flip <- C I if i Ip .(t,s)EE 1 xE2

Edonola,


max2n,

2n2

{2(nl_dl) 2 (n2- d2)ni + 2a - d l ' n2 + 2b - d2 } 0, j > 0 badira, Oi ® Oj' funtzioaren euskarrian m = mda, hortaz, Tt ,S = Tt , s . i > 0, j < 0 denean m = m - Pk2 = rn 2 da eta m2biderkatzaileari dagokion f eragilea T2 adierazpenaz emango dugu .i < 0, j > 0 direnerako, aldiz, m = m - Pk, = m l da eta T = T 1 eran emangodugu eta, azkenik, i < 0, j < 0 denerako, T 1 ' 2 eragilea M - Pkl,k2 = m1,2biderkatzaileari dagokiona izango da .

(i, j) indize bikote bakoitzerako, hurrengo eragile bektoriala kontsideratukodugu:

II

sup

I (Pt,s) V * f HIP <- CI If lip(t,s)EE 1 xE2

Jarraian, 1 < p < 2 denerako sup(t,s)EE1 xE2 ITt , s f I eragilearen L' (Rn) es-pazioetako bornaketa aztertuko dugu . (2.16) adierazpenean bezala idatz deza-gun,

sup

ITt , s f1= sup sup sup I Tt,s f I(t,s)EE 1 xE2

n,mEZ tEEl ,n SEE2,m

II sup sup sup ITt,sf I lip < E II sup sup sup ITt , s (Qi+n(Q;+mf )) I Il pn,mEZ tEE" ,n SEE2,m

iJEZ n,mEZ tEEl ,n sEE2,,'

{gn,mln,m

{Slip SUP SUP I!;,n,m tEE1,n SEE2,m

4 1


eta, kasuan kasu, 1 0, j > 0 kasua aztertuz .

2 .12 oharraren arabera, kasu honetan, T = T da. Lehenik eta behin,L2 (1 2 ) -+ L2 estimazioak aztertuko ditugu eta ondoren, po E (1, 2) finko bate-rako LP- (1 2 ) -~ LP- estimazioak .

Kendura eragileen gorenen normak kalkulatuko ditugu . Kasu guztietan, es-kala aldaketa baten bitartez parametro berriak [1, 2] tartekoak izatea lortukodugu eta, beraz, 2.10 leman lortutako estimazioak erabili ahal izango ditugu .Honela, k E {i + 1, . . . , N} eta 1 E {j + 1, . . . , M} bakoitzerako,

II sup

sup

sup

IRT(s)RT(t)(Tt,s(Cwi+n(Qj+m9n,m)))I IIL2n,m

l,n

l ,n

2,m

2,mtEEk \Ek-1 SEE,\EI _ 1

1< C2i(1-a)+j(1-b) It - T(t) I sup #(2n (E-' k 'n \ Ek-n1)))

2

1

IS - T(s) I sup #(2m(El ,m\ El 71)))

2I I9n,mI IL2 (l 2 )

m

beteko da .Bi eragileren arteko kendura badugu, RT(t)(Tt,s(Q+n(Q j2+mgn,m))) erakoa,

adibidez, orduan,

42

II sup

sup

sup IRT(t)(Tt,s(Qi+n(Qj+rn9n,m)))I IIL2n,m tEE 1,n\El,nl sEE~'mk

k-

< C2'(1-a)-jo lt- T(t)I( sup#(2n (Els ,n \Ek, l)))n

1

sup #(2m(Ej'm))) 2 II9n,mIIL 2 (l 2 )m

izango dugu . RT(s) (Tt,s (Q+n (Qj+mgn,m))) kendura eragilerako, t E Ei'n denean,beharrezkoa den estimazioa modu berean lortuko dugu eta, azkenik,

II Sup Sup Sup ITt,s(Qi+n(Qj+m9n,m))I IIL2 < C2-ia-jb

n 'm tEEl n SEE~ ,m

( sup #(2n(Eí'n)) )2( sup #(2m(Ej'm)) )

2II9n,mI L2(12)

n

m

beteko da .

Jarraian, po E (1, 2) finkorako kenduren gorenetarako LP- (12) -4 LP- bor-naketak aztertuko ditugu .

Izan bedi u, R1 x Rn2 espazioko funtzio positiboa . Orduan, t E Ek'n \ E~'n1eta s E E¿ 'm \ E¿ 'T badira

Rnl xRn2

fIRT(s)RT(t)(Tt,s(Qi+n(Qj+m9n,m)))12u G Irl,r2

II2_nn1_2mnz (1 + I2n • I2) 2 (1 + 12m • I2)2I RT(s)RT(t)(Tt,s((0 +n ®`Yj+2

2m)v))IiI

da non r1 eta r2 zenbaki osoek r1 > [!!L] + 1 eta r2 > [212-] + 1 betetzen duteneta

f

24,r2 = Rnl XRn2 9n m(x~ y)

den .

Orduan,

izango da .


nnl+mn22 2

(1 + 12n (X - .)I2) 2 (1 + 12m (y - .)12)121

f

2Irl,r2 Ç Crl,r2 fR1 nXRn2 9n'm(x, y)Msu(x, y)dxdy .

Bestalde, eskala aldaketa bat eginez gero eta Plancherelen teorema etaFourieren transformatuaren propietateak aplikatu ondoren,

1l2 nn1 2mny (1 + 12n . 12) 2 (1+12 m . 12) 2 IR T(s)R1(t)(Tt,s(( +n ® e,+m)V))1112

C22i(l-a)+2j(1-b)2in1+jn2lt' - r(t')I2Is' - r(s')I2

lortuko dugu, non, egindako eskala aldaketari esker, t' = 2nt E [1, 2] eta s' _2ms E [l, 2] baitira .

Beraz,

fR1 n XRn2 IRr(s)RT(t)(Tt,s(Qi+n(Qj+mgn,m)))I2 2t

CZ-2i(a- 2 -1)-2k2-2j(b-2--1)-2l

Ign,m12 MsuRnl xRn2

izango dugu. Estimazio hori dela eta, t E El'n \ El'n1 eta s E E2,mbakoitzerako, dualitatez,

fRfl XRn2 IR r(s) RT(t) (Tt,s (Qi+n (Q~+n, gn,m) ) ) 12 (msu)-1

C2-2i(a- 2 -1)-2k2-2j(b-2-1)-21

Ign mI2 u-1Rnl XRn2

\ E2,ml-1

43


Argudio bera, gainontzeko kendura eragileetarako ere errepikatuko dugu .Pisudun estimazio hauek guztiak kontuan harturik, LP- (1 2 ) -+ LP- estimazioaklortuko ditugu .

Honela, k c {i + 1, . . . , N} eta 1 E {j + 1, . . . , M} denerako,

II sup

sup

sup

RT(s)RT(t) (Tt,s (Q+n (Qj+mgn,m))) II P° < I I (Msu) r 11"

izango dugu, , non r = 2/po den eta azkeneko desberdintzarako aurretik frogatudugun L2 (1 2 ) -+ L 2 estimazioa erabili baitugu .

Hauta dezagun u =(En m (gn,m

12) r gisa eta MS eragilea Lŕ espazioanbornatuta dagoenez gero,

dela erdietsiko dugu .

Bi eragileren arteko kenduren gorenetarako bornaketak modu berean lor-tuko ditugu .

Kasu bakoitzean, LP- (l 2 ) -~ LP° estimazioak L2 (1 2 ) -~ L 2 estimazioekin in-terpolatuko ditugu eta hortik lortuko ditugun kenduretarako bornaketak kon-tuan hartuz, berriz ere, indukzio prozesuaz, 1 0, j > 0 denerako,

44

n'm tEEl ' n E l ' n SCE2,M\E 2,mk \ k-1

!

1-1

Sup

sup

sup

IRT(8)RT(t)(Tt,8(Qi+n(Qj+mgn,m)))In,m tEEk'n\Ek'-n1 sEE¡'m \E~'m

< 2(-i(a- 2-1)-k)p°2(-j(b-n-2Z-1)-I)po M u ŕ , sup

nE1'n E1'n

rII( S ) IIT

#(2

k

k-1n ))-

1

1r

sup #(2m El 'm \EI-1)) r

fR 1 xR 2 (~ I gn,m12)u-1'

R" n n,m

II Sup

sup

sup

RT(s) RT(t)(Tt,8(Qi+n (Q 2+mgn,m)))IIPon,m tEEk'n\Ek'n1 SEE 1'm\E1-1

< 2-i(a- 2 -1)-k2-j(b-2-1)-I (sup #(2nEk'n \ E% ,~1)) 2n1

(sup #(2mEl2

2,m\ EI ,m))

2II gn,ml I LP°(I2 )m

I I Sup Sup SUP ITt,s (Q+n (Qj+mgn,m) I IIp < C2n,m tEE' ,n sEE2.m

frogatuko dugu .

(sup #(2nEi'n))2Csup #( 2mEj 'm )) 2 I I gn,mlI LP(I 2 )n

m

r

L2((Msu) -1)

Z( z (p-1)-a)+j(2(p-1)-b)

(2 .32)

2 .12 oharrean aipatzen den legez, i > 0, j < 0 denean f = T2 da, hortaz,aztertu beharreko eragilea

sup sup sup IT2s(Qi+n(Qj+mf))in,mEZ tEE 1 "n sEE2,m

izango da. Oraingoan biderkatzailea m2 da eta hurrengo jausialdia izango du :

D"D'3m2(~, 77 )I < C(1 + IaI) Q I%Ik2+1

T eragilerako erabili dugun arrazonamendu bera errepikatuko dugu, kontuanizanik T2 eragilearen biderkatzailearen eta honen deribatu guztien jausialdia(2 .33) estimazioaz emana dagoela. Kenduretarako estimazioak, E1 C [1, 2],

E2 C [1, 2] eta 1 < p < 2 denerako frogatuko ditugu eta, ondoren, L2 (l 2 ) -4 L2

estimazioak po E (1, 2) denerako ditugun LP- (12 ) -~ LP- estimazioekin interpo-latuko ditugu. Honela, aurreko guztiaren ondorioz, 1 0 eta 1 < p < 2 bada,

II sup sup sup I Tls(Qi+n 2

< C22c2(ñ-1)+k1+1)(Qj+m9n,m) I IIp

n,m tEE 1,n sEE 2,m1/2

2j(2 (p-1)-b) (sup #(2mE2~ 'm))

I I9n,mI I LP(l2)

(2.35)m


dugu.Eta, i < 0, j < 0 eta 1 < p < 2 denerako, berriz,

Su

Su

T1,2 1

2

< C2i( z (p -1)+k1+1)SUII P

P

P I t,s (Qi+n(Qj+m9n,m)I IIpn,m tEE" sEE 2,m

2j(22 (P-1)+k2+1)I I9n,mI ILP(12) .

(2.36)

(2 .33)

Kasu bakoitzean, n, m osoetarako, aukera dezagun gn,,,t = Qi+n(Q~j +mf)((2 .25) adierazpenean definitutako eragilea) . Aurreko estimazioetatik eta{" +n ®' +m} Littlewood-Paleyren familia bat denez gero,

2n1

2n2

1max

2n,

n2+2b-d2J<p<2

45


denean sup(t,s)EE 1 XE2 ITt,s f I eragilea LP(Rn1 x Rn2 ) espazioan bornatuta da-goela lortuko dugu . Eta, beraz, p-ren balio horietarako TÉ : LP(Rn) -+ LP(R')izango da .

2 .7 teoremaren frogapena amaitzeko, p > 2 denean, TÉ eragilearen LP es-pazioko bornaketa aztertzea besterik ez zaigu falta .

Oraingoan, hurrengo deskonposaketa hartuko dugu abiapuntutzat :

IITEfIIP <_11 sup sup sup IT

t,s((01(0

02 ) * f)I IIPn,mEZ tEE 1,n sEE2,m

+

+

II sup sup supi.j<0 i>o,j>0

n,mEZ tEE 1,n SEE2,m Tt,s (Qi+n (Q7+m f)) I11P. (2 .37)

Alde batetik, r 1 eta r2 osoak, [ ' ] + 1 < r 1 < k 1 eta [ 2 ] + 1 < r2 < k2 izandaitezen aukeratuz gero eta Tt,sf = Kt,s * f idazten badugu, orduan,

1

ITt,3((O~ ®0) *f)(x,y)I <_ C(MsIfI 2 (x, y)) 2

.II2_nnl 2mn2 (1 +I2n . I 2 ) 2 (1 +I2m . I 2 ) 2 Kt , s * (01 0 02i ) II 2 .

Aurreko L2 norman eskala aldaketa egingo dugu eta Plancherelen teoremaeta Fourieren transformatuaren propietateak aplikatuko ditugu, honela, t', s' E[1, 2] guztietarako,

46

II2

nn 1 2mn2(1 +

12n. I 2 ) 2

LL

L2(1+ 12M

. I2) 2 Kts * (0 1 ®02

)II21

2

2

dedp

,

(/i~i,ii/nl<

berdintza ondorioztatuz .Azkeneko integral hau soilik r l eta r2 zenbakien menpekoa den konstante

batez bornatuta dago eta p > 2 denean, Ms eragilea L2 (Rnl X Rn2 ) espazioanbornatuta dagoenez gero,

D~ D11(m(t'C, S177)(Po()(Po(

7l))

Ial=ri 1131=r2

II sup sup sup IT ,3((0n ® 0~) *g

lip < ClifIIP ,n,mEZ tEE' ,n sEE 2,m

bornaketa emango da .p > 2 denerako, azter ditzagun (2 .37) deskonposaketako LP-ko gainerako

normak.

Has gaitezen i > 0, j > 0 kasutik. Idatz dezagun

Qi+n"Qj+mf) - Qi+nlQj+mY i+n4j+mf)))

Eskala aldaketa aplikatuko dugu eta p > 2 denerako, [1, 2] tartean dau-den parametro multzoetarako, 2.10 lemako gorenetan ageri diren kendurenestimazioen dualetatik LP espazioetan lortzen genituen bornaketa emaitzakkontsideratuko ditugu . Honela,

II sup sup ITts(Qi+n(Qj+mf))I IIp <_ C2z(2(1-P)-a)2 j( 2(1-P)-b)

tEE1,n sEE 2,m

sup (N(2nE 1 'n , 2 -z ))P sup (N(2mE 2 'm, 2-j )) P II (Qi+n(Qj+mf )) I ILP (IP)n

m

estimazioa lortuko dugu .

p > 2 denez gero,


I I (Qi+n(Qj+mf)) I I LP(IP) Ç I I (Qi+n(Qj+mf )) I ILP(12)

CI I f I IP

da, non azkeneko desberdintzan Littlewood-Paleyren desberdintza aplikatubaitugu .

Bestalde, edozein c positibotarako,1

i(d1+E)

1

j(d2+E)sup (N(2nE 1 'n , 2 -i )) P < C2 P

eta sup (N(2mE2 'm , 2-j )) P < C2 P

n

m

'

2(n1-dl) 2(n2-d2)Beraz, 2 O,j>O n,m(z-Z tEE1,n sEE 2,m

beteko da .i > 0, j < 0 denerako, 1 < p < 2 kasuko U' bornaketaren azterketan egin

dugun legez, Tt , s eragilearekin lan egin beharrean T2 s eragilearekin arituko gara,kontuan izanik sup(t,s)EE 1 xE2 I((Pk2)t,s)V * f I eragilea,

2n1

2(n, - d1)(n1 + 2a - di)

 0, j > 0 kasurako erabili-takoaren antzekoa da. Oraingoan,

I I Sup

SUP

I Ti, s (Qi+n (Qj+mf)) I I I P

n,mEZ (t,s)EE 1 •n xE2,m

47


norma aztertzeko, E', E2 C [1, 2] eta p indizea 2 baino handiago denera-ko, LP espazioko sup(t,s)EE 1 xE2 ITt23 (Qz (Q ; f )) I eragilearen normaren estimaziobat emango dugu . Horretarako eta m2 biderkatzailearen jausialdiaz baliatuz,T2 eragilerako 2.10 lemaren antzeko emaitza bat frogatuko dugu . Ondoren,azkeneko emaitza horretatik, gorenetan ageri diren kendura eragileetarako on-dorioztatuko ditugun estimazioen dualak hartuko ditugu eta aurreko kasue-tan erabilitako arrazonamendu berari jarraituz, edozein f positibotarako etaE' C [1, 2], E 2 C [1, 2] eta p > 2 denerako,

II

sup

ITts(Qi (Qjf))I lip <C2i(2(1-P)+P+E-a)2j(1+2k2 p+2 (1- p))II fIIP

(t,s)EE 1 xE 2

estimazioa frogatzea lortuko dugu .Azken estimazio hau kontuan izanik eta i > 0, j > 0 kasuan bezala

arrazoituz gero, 2 O,j<O n,m (t,s)EE 1,n xE2,m

izango da .

Modu berean, i < 0, j > 0 denerako eta 2 O n,m (t,s)EE 1,nxE2,m

Hortaz, (2 .37) deskonposaketaz, baldin eta

2 < p < min 2(nl - d,) 2(n2 - d2 )ni - 2a ' n2 - 2b

bada TÉ eragilea LP(R) espazioan bornatuta egongo da .

Eta honela, 2.7 teoremaren frogapena amaituko dugu .

Kapitulua 3

Eragile maximal esferikoetarakoberretura pisudun bornaketak

3.1 Sarrera

Kapitulu honetan, t erradioko esferen gaineko batezbestekoen gorenenbitartez emandako parametro bakarreko eragile maximaletarako pisudun zen-bait bornaketa frogatuko dugu L" espazioetan, non, [18] artikuluan bezala, tparametroa hautazko E multzo batean hartuko dugun . t > 0 bakoitzerako,kontsidera ditzagun hurrengo batezbestekoak,

Stf (x) = fn-1 f (x - ty)da(y)

non da, Sn-1 esferaren gaineko Lebesgueren neurri normalizatua baita . Definidezagun hurrengo eragile maximala :

MEf = suPIstfItEE

non E C_ (0, oo) hautazko parametro multzoa den . E = (0, oc) denean, MEaurreko kapituluan aipatu dugun maximal esferikoa da .

Gure helburua, ME eragilerako L" espazioetan berretura pisuen bidezemandako bornaketak frogatzea izango da. Hau da,

fRnIMEf(x)I'Ixiadx < C

fRn If(x)IPIxIadx

(3.1)

erako estimazioak lortu nahiko ditugu, non C konstantea, p eta a balioen men-pekoa den soilik .

49

3 Eragile maximal esferikoetarako berretura pisudun bornaketak

Maximal esferikoaren Lr espazioetako bornaketari dagokionez, E . M. Stein-ek [39] artikuluan frogatu zuen n > 3 denerako maximal esferikoa L1 (Rn)espazioan bornatuta dagoela baldin eta soilik baldin p > n/(n - 1) bada . n = 2kasua problema irekia izan zen, 1986 . urtean, [3] artikuluan, J . Bourgainekemaitza bera frogatu arte .

Bestalde, [32] artikuluan, J . L . Rubio de Franciak frogatu zuen teore-man (aurreko kapituluko 2 .1 teoreman) atal honetan aztertuko dugun esferengaineko batezbestekoen gorenen bitartez emandako eragileak baino eragile max-imalen klase zabalago baten bornaketa propietateak aztertzen dira . Berez, teo-rema horrekin, M eragilearen Lr espazioko bornaketarako baldintza nahikoa(p > n/(n - 1)) lortzen da n > 3 denerako, baina n = 2 denerako ez diguinongo emaitzarik eskeintzen .

E C (0, oc) multzo orokor baterako M E eragilearen Lr espazioetako bor-naketa propietateei dagokienez, [34] artikuluan, A . Seegerek, S . Waingerek etaJ . Wrightek p > 1 + d/(n - 1) bada ME eragilea LP(Rn) espazioan bornatutadagoela frogatu zuten eta p < 1 + d/(n - 1) denean, aldiz, bornaketarik ezdagoela ondorioztatu zuten, non, lan honetako aitzin-urratsen atalean aipatzengenuen legez, d dimentsioa hurrengo eran definituta baitago :

d = d(E) = lim sup log N(E, 8)ó-po

-logS '

N(E, 6) = suek Nó(2-k (E f1 [2 k , 2k+1])) izanik. Azpimarratu nahi dugu, E C_[1, 2] denean, d, E multzoaren Minkowskiren dimentsioa baino ez dela . p = 1 +d/(n-1) indize kritikoan ME eragilearen LP(Rn)-ko bornaketa ez dago soilik ddimentsioaren menpe . Aipatu dugun azkeneko artikulu horretan ere, 1 1 + d/ (n - 1)denerako ME eragilearen LP(R) espazioko bornaketa frogatzeko beste metodobat aurkezten dute, non eragile maximaleko batezbestekotan ageri den neur-riaren Fourieren transformatuaren jausialdia erabiltzen duten ; kasu honetan,esferaren gaineko neurriaz ari garenez gero,

50

_ n-1)

Idu(~)I < Cj~I

2 (3 .2)

beteko duela (ikus [41, 348 . orr.]) kontuan izango dugu . Kapitulu honetan dara-bilgun metodoa, [18] artikuluan aurkeztutako ideian dago oinarrituta .

Bestalde, [19] artikuluan, J . Duoandikoetxeak eta L . Vegak, Lr espazioetan,maximal esferikorako zenbait berretura pisu lortuko dituzte . Kapitulu honetako2 . atala, [19] artikuluko zenbait emaitza gogora ekartzera eskeiniko dugu .

ME eragilearen kasuan, hautazko E parametro multzo batez lan egitera-koan dugun oztopo nagusia aldez aurretik bere puntuen banaketa ez ezagutzeada . Kapitulu honetako 3 . eta 4. ataletan, ME eragilea d dimentsioaren araberaLP( Ix l") espazioan bornatuta egon dadin, baldintza beharrezko batzuk etanahikoak diren beste batzuk frogatuko ditugu . d = 1/2 denerako, a berretzaile-rako izate-tarterik hoberena lortuko dugu, baina d 54 1/2 denean, aldiz, aztertuditugun kontradibideak ez dira nahikoak emaitzarik finena ziurtatzeko. Horrezgain, a > 0 denean, IP (IxI") espazioan bornaketa dagoela ziurtatzen duten aberretzaileen balioen tartea, soilik d dimentsioaren menpekoa dela egiaztatukodugu, eta a < 0 denean, aldiz, a berretzailearen izate-tartea, "dimentsio" beraduten multzoetarako ere aldakorra izan daiteke .

Kapitulu honetako 5 . atalean, parametro multzoko puntuen banaketak no-labaiteko "erregulartasuna" duenean, LP( Ix l") espazioan ME eragilearen bor-naketa ziurtatzen duten a berretzailetarako existentzia tartea lor daitekeenhoberena izango dela frogatuko dugu, behe-muturrean izan ezik agian .

Hortaz, a-rako tarte hoberena, d = 0, 1/2 edo 1 dimentsioa duen edozein Emultzotarako lortuko dugu, hala nola, E erregularra denerako ere .

3.2 Aurreko emaitzak

Jarraian, baliagarriak izango zaizkigun [19] artikuluko zenbait emaitzagogoraraziko ditugu .

Artikulu horretan frogatzen den legez, t > 0 bakoitzerako, St (j x j") < C j x j"

da baldin eta soilik baldin 1 - n < a < 0 bada, eta, bertan St eragilerakohurrengo berretura pisuak lortzen dituzte :

Proposizioa 3 .1. 1 < p < oc denean, St eragilea I P (IxI") espazioan bornatutadago baldin eta soilik baldin 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) bada .

Beraz, azken emaitza honen arabera, baldin eta ME eragilea Iŕ ( Ix l") es-pazioan bornatuta badago, halabeharrez, 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) izangoda.

E = {2k : k c Z} multzo lakunarra dugunean (d(E) = 0 betetzendu), ME = M d eragile maximal diadikoa dugu eta jakina denez gero, p > 1guztietarako LP(R) espazioan bornatuta dago. Eragile maximal diadikoarenpisudun bornaketei dagokienez, [19] artikuluan, hurrengo teorema frogatzen da :

Teorema 3 .2 . Md eragilea LP ( Ix l ") espazioan bornatuta dago baldin eta soilikbaldin 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) bada .

3.2 Aurreko emaitzak

5 1


Berez, E edozein multzo lakunar denean ere ME eragilerako emaitza horibera erdietsi genezake .

[19] artikuluan LP(Ix l a) espazioko M eragile maximal esferikoaren bor-naketa ere aztertzen dute . Emaitza, ondoren aipatzen dugun teoremakoa da :

Teorema 3.3 . M eragilea LP('xI') espazioan bornatuta dago baldin eta p >nn1 eta 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) - 1 bada.

Gainera, a berretzaileen tarte hori, agian tarteko behe-muturrean izan ezik,lor daitekeen hoberena da . Horrez gain, p < n/(n - 1) denerako M eragilerakopisudun bornaketak lortzea ezinezkoa dela frogatzen dute, beraz, p-rako tarteahoberena da .

[19] artikuluan frogapenerako erabilitako metodoak, ME eragilearen azter-ketarako erabiliko dugunaz duen ezberdintasun nagusia hurrengoa da : hau-tazko E multzoaz ari garenez, aipatutako artikuluan erabilitako Soboleven des-berdintzak gure kasurako erabiltezinak izango dira . Soboleven desberdintzen al-ternatiba gisa, gure metodoa St eragileen arteko zenbait kenduren estimazioenkalkuluan oinarrituko da . Honela, erabiliko dugun metodoak, berez, lan hone-tako 2 kapituluan erabilitakoaz ez du ezberdintasun nabarmenik agertuko .

3.3 Baldintza beharrezkoakTeorema 3.4 . Kontsidera dezagun

f I Ef(x)IPIxladx < C , lf(x)IPIxI~dx

(3.3)

desberdintza .

(i) d dimentsioa duen E multzo baterako (3.3) egia bada, orduan, p > 1 +d/(n - 1) izango da eta a berretzaileak hurrengo baldintzak bete beharkoditu:

5 2

•

max(a, 0) < (p - 1) (n - 1) - d; a >1-n .

(ii) d dimentsioko multzo orotarako (3.3) desberdintza betetzen bada eta 1 +d/(n - 1) -1 + d(1 - p/2)/(1 - d) ;

3.3 Baldintza beharrezkoak

•

d < 1/2 denerako, a > 2d + (1 - n)p ;

•

d > 1/2 bada eta n = 2 denean, a > -1 + (1 - p/2)/(l - d) ;

•

d > 1/2 eta n > 3 denerako, a > 1 + (1 - n)p .

Frogapena.

(i) Demagun E multzoa [1, 2] tartean dagoela, d izanik multzoaren Min-kowskiren dimentsioa, eta suposa dezagun ME eragileak (3.3) betetzen duela .

Har dezagun f = X{lyl<ó} funtzioa non 5 E (0, 1) behar bezain txikia den .Kasu honetan, MEf funtzioaren euskarria, UtEEAt,a bildura multzoa da non,t E E bakoitzerako, At,5 = {y : t - ô < ¡y¡ < t + S} eraztuna den. Orduan,UtEEAt,o/2 multzoan, .MEf (x) funtzioaren balioa ôn-1 ordenakoa da . Hortaz,

ô (n -1)PsN(E, ô) < C fR IMEf (x)1P Ix1'dx < Côa+n .n

Eta desberdintza hau 6 txikirako egia denez, derrigorrean, a < (n -1) (p-1) - dizan beharko da .

f = X{Iy-aI<ó} hartuz gero, a zentrua jatorritik urrun egonik, orduan, baibola horretan baiME-ren euskarrian ere pisuaren tamainua, funtsean, berdinada; hau dela eta, ô(n-')P6N(E, ô) < Côn izango dugu, hots, p > 1 + d/(n - 1)halabeharrez .

Bestalde, S E (0, 1) nahi den bezain txikia eta t o E E C [1, 2] aukeratuta,f = Xcó funtzioa kontsideratuko dugu, Có = {y : to -ô < 1y1 < t o +ô} eraztunaizanik . B(O, 6) = fi y1 < ô} bolan dagoen x bakoitzerako, St ,, f (x) funtzioarenbalioa, funtsean, 1 da eta, beraz, (3.3) egia izanez gero, 1 - n < a izan beharkodu .

Orduan, lortu ditugun baldintza beharrezko hauetatik eta [19] artiku-luko emaitzetik, ME eragilea LP( jxja) espazioan bornatuta badago, p >1 + 1/(n - 1) denerako, 1 - n < a < (n - 1)(p - 1) - d izan beharko duelaondorioztatuko dugu. Tarte hori, agian 1 - n baliorako izan ezik, lor daitekeenhoberena da .

Aurrerantzean, p c (1+d/(n - 1),1+1/(n - 1)] bitarteko indizeak hartukoditugu aintzat .

(ii) ô > 0 bakoitzerako, izan bedi E(ô) = {x E R : distantzia(x, E) <b} multzoa . d finko bakoitzerako, d dimentsioko E multzoak existitzen dira,zeintzuetarako E(ô) multzoan ôl-d luzerako I tarte bat topa baitaiteke . Hardezagun I = [1,1 + ôl-d ] (egoera hau, adibidez, {1 + 1/na : n c N} multzoanageri da, kasu honetan d = 1/(1+a) izanik) . Atal honetan zehar era horretako

53


multzoak kontsideratuko ditugu eta ME eragileak (3.3) betetzen duela eresuposatuko dugu .

Har dezagun f, {y : 1 - 8 < I I < 1 + 6} eraztunaren funtzio karakteris-tikoa. Baldin eta n = 2 bada eta ME eragilearen euskarriko 28 < lyl < 81-deskualdean ari bagara, MEf, (8/lyl) 1 / 2 ordenakoa da . Honela, eta (3.3) bete-tzen bada, (ii)-ko lehenengo baldintza beharrezkoa lortuko dugu .

Izan bedi f , ( 1, 0, . . . , 0) puntuan zentratutako 8 x 81 /2 x . . . X 8 1/ 2 aldetakoparalelepipedoaren funtzio karakteristikoa . Orduan Ka = {(xl , x) : Ix i l _<

81-d/2, I xl < 61 /2/2} multzoan, MEf funtzioa 8 n21 balioaren ordenakoa da .Hortaz,

8(n21'P fKóI xl adx < C52 .

(3 .4)

Beraz, d balioaren menpekoa den Ia , d = fK,, I xI adx integrala besterik ezdugu aztertu behar . d dimentsioa 1/2 edo 1/2 baino handiagoa edo txikiagoaden arabera, Ka multzoaren itxura aldatuz doala kontuan hartu behar dugu,beraz, kasu horietariko bakoitzean Ia,d integralaren kalkulurako arrazonamenduezberdin bat erabili beharko dugu .

Baldin eta d = 1/2 bada, Ka multzoa, jatorrian zentrua eta 81/2 luzerakoaldeak dituen Rn espazioko kubo bat izango da. Orduan, Ia,d = CS(a+n)/2 daeta (3.4) desberdintzatik, d = 1/2 bada eta p E (1 + d/(n - 1),1 + 1/(n - 1)]denerako, ME eragilea I P (IxI') espazioan bornatuta badago, 1 + (1 - n)p < nizan beharko du .

d < 1/2 denean, jatorrian zentratutako Ka laukizuzenaren 81-d luzerakoaldea gainerako n - 1 aldeen luzera baino txikiagoa da . Deskonposa dezagunKa = Kb U Kó , non

Ka

81-d 81-d n

2 ' 2

diren .Alde batetik, fK2 I xl adx = C8(a+n)(1-d) Bestetik, 1 - n < a denez gero,

beteko da .

54

1

81-d

61-d

81-d 82Ka = (x1 , x) : - 2 < xl <2

Ixl E

2 , 21 }

ó1-d

f 1 I xl adx = C f ,51-dól_d

Ixla dx dxl ^' ~rsl-dsa 2-1

Kó

2 -2 <1"1 <-l

Honela,

fK5 Ixjadx ~ C(5(1-d)(a+n) + 5(1-d)bn 2 1) .

Eta, beraz, d < 1/2 denerako, azken desberdintza horretatik eta (3.4) des-berdintzaz, a > 2d + (1 - n)p baldintza beharrezkoa erdietsiko dugu .

Hortaz, baldin eta d < 1/2 bada, halabeharrez a > 2d+ (1 - n)p izango da .

Demagun d > 1/2 dela. Kasu honetan, Kó multzoko 51-d luzerako aldea,gainontzeko n -1 aldeak baino handiagoa da . Har dezagun Kó = KJ U Kó U Kádeskonposaketa, non, orain

51-d

251

51 S 1n-1

2

,.1 2 á -51 n

1

2

2

Kó =

i

12

2 x

2' 2

'Kó

-

2' 2

'

3

b2 51-dKK = 2 , 2 x

baitira. Orduan,

Eta, kasu honetan,

Kó

3.3 Baldintza beharrezkoak

1

1 n-1

L

d2 622' 2

fxó1x1a dx = 2

.i~ 31x1 adx + fx

1x1a dx .

ó

ó

ó1-d

f Ixladx = CS(4 2 n + Jó112

IXI

l a f_ ó1/2 dx dxl2

I~I < 2

> C(8(a+n)/2 + 5(a+l)(1-d)5(n-1)/2)

d > 1/2 denerako eta n = 2 bada, a > 1 - n = -1 denez gero, aurrekodesberdintzako bigarren batugaiaz eta (3 .4) desberdintzaz, a > -1 + (1 -p/2)/(l - d) baldintza erdietsiko dugu . Eta n > 3 denean, aldiz, lortu dugunazkeneko desberdintzaren lehenengo batugaia erabiliko dugu, halabeharrez a >1 + (1 - n)p bete behar duela ondorioztatuz .

Beraz, laburbilduz, baldin eta edozein E multzotarako ME eragilea, p C-[I + d/(n - 1), 1 + 1/(n - 1)) denerako, Lr(I xl a) espazioan bornatuta badago,a > 1 - n izango da eta hurrengoa bete beharko du :

5 5


Bornaketarako baldintza beharrezko horietatik, zuzenean, hurrengo ondo-rioa atera dezakegu . Har dezagun M eragile maximal esferikoa. Edozein wpisutarako, p > n/ (n - 1) eta s > 1 direnean,

fRn iMf(x)Ipw(x)dx < C ffn 1 .Î(x)l p (Mws (x)) lls dx

erako desberdintza bat betetzen ote den oraindik ebatzi gabe dagoen problemada. Frogatu berri dugun 3 .4 teoremaz, ME eragilerako eta 1 + d/(n - 1) < p <1 + 1/(n - 1) denerako aipatutako aieru horren parekoa egia ez dela ondorioztadezakegu, egia balitz, 1 + d/(n - 1) < p < n/(n - 1) indizeetarako eta w(x) =1x10,1 - n < a < 0, pisuetarako, bereziki, ME : L"(Ixl 0) -f Lr(Ixl") izangogenuke, ezinezkoa dena frogatu dugunez .

3.4 Baldintza nahikoak

Atal honetan, ME eragilea LP( Ix ") espazioan bornatuta egon dadin aberretzailearen gaineko baldintza nahikoak emango ditugu .

Teorema 3 .5 (Baldintza nahikoak) . Izan bedi .ME, kapitulu honen sarre-ran definitutako eragile mazimala eta d, E multzoaren dimentsioa . Orduan,

(i) p > 1 + 1/(n - 1) denean eta 1 - n < a < (n - 1)(p - 1) - d bada, MEeragilea LP (I x 1 a) espazioan bornatuta dago ;

(ii) d = 0 eta p > 1 denerako, 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) bada, ME eragileaL"(Ix la) espazioan bornatuta dago ;

(iii) d E (0,1) eta p E (1 + d/(n - 1), 1 + 1/(n - 1)] denean, ME eragileaL"( Ix l 0 ) espazioan bornatuta dago baldin eta

ao =1-n+ 1 d d(n-(n-1)p)<a< (n-1)(p-1)-d

bada.

56

-1 + d(1 - p/2)/(l - d) d < 1/2 eta n = 2 denerako,

2d + (1 - n)p

d < 1/2 denerako,

-1 + (1 - p/2)/(1 - d)

d > 1/2 eta n = 2 denerako,

1 + (1 - n)p

d > 1/2 eta n > 3 denerako .∎

Frogapena.

00


Has gaitezen a > 0 kasua aztertuz .

Baldin eta Wi(.ME) _ {w : MEW < Cw i .n.} bada, orduan, ME eragi-lea positiboa denez gero, w E W1 (ME) izatea eta MEW E wL°° dela esateabaliokideak dira .

Bereziki, 1-n < a < 0 denean, MEIxI" E IxI"L°° . Gainera, p> l+d/(n-1)denean, ME eragilea LP(R) espazioan bornatuta dagoela kontuan izanik, lanhonetan aitzin-urratsei eskeinitako ataleko 1.13 proposizioaz p > 1 + d/(n - 1)eta 0 < a < (n - 1)(p - 1) - d denerako ME eragilea LP(IxJ") espazioanbornatuta dagoela erdietsiko dugu .

Azter dezagun, beraz, a < 0 kasua .

[19] artikuluan, maximal esferikoa p > 1 + 1/(n - 1) eta 1 - n < a <(n-1)(p-1) -1 denerako LP(IxI")-n bornatuta dagoela frogatzen da. Hortaz,p > 1 + 1/ (n - 1) denean, edozein E multzotarako ME eragilea LP (Ix I ")-nbornatuta egongo da 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) - d denerako, a-rako tartehau, agian, a = 1 - n balioan izan ezik, lor daitekeen hoberena izanik .

Beraz, jarraian, d E [0,1), a < 0 eta 1 + d/(n - 1) < p < 1 + 1/(n - 1) de-nerako, ME eragilea LP(IxI") espazioetan bornatuta egon dadin a negatiboengaineko baldintza nahikoak lortuko ditugu .

E C [1, 2] kasua

Lehenik eta behin, E C [1, 2] denerako aipatutako baldintza nahikoak egiaz-tatuko ditugu .

Idatz dezagun

J IMEf(x)IPIxI"dx - f

IMEf(x)IPIxI"dxhI<1/2

+ C E 2m" f

IMEf (x) IPdx .M=O

2m-l< lxl<2m

m > 3 denean, 2m-1 < IxI < 2m bada, t E E C [1, 2] bakoitzerako, St f (x) =St(fX{2m-2<1.I<2m+1})(x) . Hortaz, kasu honetan eta p > 1 +d/(n- 1) denerakoME eragilea LP(RT1) espazioan bornatuta dagoenez gero,

IMEf(x )I Pdx =f2m_l<IxI<2mItu ISt (fX{2m-2 1 + d/ (n - 1) bada,

fx~>4IMEf(x)iPlxl'dx < C fRn If(x)I P lxl adx .

Bestalde, {1/2 < IxI < 4} eraztunean, t E E C [1, 2] bakoitzerako, St f (x) _St(fX{1 .I<6}) (x)

-

Orduan, a < 0 eta p > 1 + d/ (n - 1) bada,

Hortaz,

IMEf(x)IPlxl'dx < C fRn If(x)IPlxladxfx i<1/2estimazioa frogatzea besterik ez dugu .

Ixi < 1/2 denean, edozein t-rako Stf (x) = St(fX{1/2<l . <3})(x) denez gero,erabiliko dugun arrazonamenduan zehar f-ren euskarria {1/2 < IyI < 3} eraz-tunean dagoela suposatuko dugu .

Har dezagun euskarri trinkodun C° klaseko 0 funtzioa, fRn ç(x)dx = 1izanik. Suposa dezagun, halaber, N > (n - 1)/2 baterako eta 0 < i,QI < Nbetetzen duten 03 guztietarako fR n xQ¢(x)dx = 0 dela . k E Z bakoitzerako,kontsidera ditzagun çk(x) = 2kno(2 kx) dilatazioak. Orduan, {Ok}kEz identi-tatearen hurbilketa bat da eta, beraz, k E Z bakoitzerako SUPtEE I St(Ok * f) Ieragilearen normarako k-ren independentea den estimazio bat lortuz gero, Fa-touren lemaz, ME eragilerako emaitza erdietsiko dugu .

Azter dezagun bada k E Z bakoitzerako sup tEE ISt (ç k * f) I eragilea .

Inongo orokortasunik galdu gabe, 0 funtzioaren euskarria {ixi < 1} bolanhar daiteke .

j osoetarako, defini ditzagun Oj (x) = Oj(x) - Oj_ 1 (x) . Honela, k e Zbakoitzerako, 4 (x) = O(x) + 1:kj=1 ~bj (x) berdintza dugu .

E C [1, 2] denez, St (0) funtzioek amankomuna den euskarri trinkoa dute etall~ll~ kantitateak uniformeki bornatzen ditu, hortaz, sup tEE ISt(c * f)(x)l <CMf(x), M Hardy-Littlewooden eragile maximala izanik . Orduan,

f 2<i xi<4I MEf(x)lPlxladx< C fRn If (x)lPlxladx .

ksup l St (4'k * f) (x) I _<

Cmf (x) + E sup i St (L; * f) (x) I .

tEE

j=1 tEE

j = 1, 2, . . . . k bakoitzerako izenda dezagun Stf = St ( ~); * f) = K' * f -t c E bakoitzerako, St ('j ) funtzioaren euskarria {t - 2- j+2 < I x I < t + 2-j+2 }

eraztunean dago eta, gainera, iSt (z/'j ) (x) i < Ct2j .

58

Aurrekoa kontuan harturik, teoremaren frogapenerako funtsezkoa den on-dorengo lema dugu :

Lema 3 .6 . Izan bitez t, t' E [1, 2], j > 0 eta 6 > 2 -j . Orduan:

(i) p > 1 eta 1 - n < a < 0 badira,

I(St f - St f)(x)IPI xI"dx < Cb"+n-1 min{2jlt - t'I,1}IIfHILI ,, I <ó

P(IXI")'

(ii) 1 < p < 2 bada,

fxi <ó

(Stf - St f) (x) IPdx < CPS(n-1)(2-P) 2-,j(n-1)(P-1)


(3 .6)

(min{2 3 It - t'I,1})PI I f I h .

(3.7)

Frogapena.

(i) p = 1 kasurako egiaztatuko dugu estimazioa eta ondoren L°°-ko esti-mazioarekin interpolatuz, (i)-ko emaitza ondorioztatuko dugu .

Lehenengo, eragile bakar bat dugun kasuan lortzen den estimazioa aztertukodugu. Hurrengoa daukagu,

Beraz,

~

Stf (x)IIxI"dx < f1I f(x)I (I Kt I * (I ' I"XB(o,ó)( •) ))(x)dx .

JIxI<ó

6> 2-i eta a> 1 - n denean,

L(~,ó) I Kt (x - y) I I y I"dy < C8"+n-1

J~xI<ó IStf(x)IIxI"dx < Cs"+n- 1 fRn If (x)IIxl"dx .

Aurreko estimazio hori kontuan harturik, bi eragileren arteko diferentziadugunean, alegia, St - St eragilea dugunean, diferentzia hori integral batenbidez idatziz gero, lan honetako 2 kapituluko diferentzia eragileekin egitengenuen legez,

f~l<ó I(Stf -S?f)(x)IIxI"dx < Có"+n-l min{23 It -t'I,1}fRn If(x)IIxI"dx

59


estimazioa lortuko dugu, zeinak, L'-koarekin interpolatu ondoren, p > 1bakoitzerako (i)-ko estimazioa erdiestea ahalbidetzen baitu .

(ii) Bigarren atal honetako emaitza, p = 1 eta p = 2 indizeetarako esti-mazioak frogatuz eta hauek interpolatuz lortuko dugu .

p = 1 denean, (i) ataleko estimazioan a = 0 eginez lortuko dugu .

p = 2 denean, Plancherelen teorema aplikatuz gero, hurrengo berdintzadugu :

fRn

I(Stf-Si

f)(x)1 2 dx = fRn Ida(t ) - d~(t' )1 2 I j( )12 1f( )I 2 d

Alde batetik, I dor (e) I < C min{1, IBI-(n-1)/2} eta, gainera, da euskarritrinkodun neurri finitu bat denez, bere Fourieren transformatuak ezezik, de-ribatuek ere antzeko estimazioa beteko dute . Orduan, diferentziarako hurrengoestimazioa izango dugu :

60

I jo, (te - da(t'~) I < CIt - t'II~I min{1, IjI-(n-1)/2}

Bestalde, gutxienez (n - 1)/2 ordenarainoko O-ren momentuak nuluak di-renez, 'b-ren eraikuntzaz eta ~ txikirako I'(e)I < CICI(n-1)/2 ere dugu. Hortaz,j bakoitzerako, II;(C)I < CI2-jCI(n-1)/ 2 izango da .

Aurreko estimazio horiek guztiak aintzat hartuz gero,

fRn I (St f - St f) (x) I 2dx < C2-3 (n-1) (min{2 3 It - t'I, 1 })2 fRn I f(x) I 2 dx

desberdintza egiaztatzen dugu .

∎

3.5 teoremaren frogapena berrartuko dugu ondoren . E multzoa finitua delasuposa dezakegu, edozein E, multzo finituen limite gisa uler baitaiteke, etaberaz, limite argudio batek emaitza orokorra emango liguke .

k E Z bakoitzerako,

~

IME(Ok * f)(x)IPIxI'dxP

< C (~fx1<1/2IMf(x)hlxl'dx)

p

lx~<1/2

p

+

f

IME(4'9 * f)(x)IPlxI"dx . = 1 ix1<1/2

dugu . Alde batetik, 1 - n < a < 0 bada, edozein p > 1 indizetarako,

J~x~<1/2IMf(x)IPIxI 'dx < C fRn If(x)IPIxI"dx .

j E { I,-, k} finko bakoitzerako, kontsidera dezagun hurrengo deskon-posaketa :

f.1<1/2

IIME(Oj * f)(x)I p JxI'dx < f

xI<2-i+1IME (Vj * f)(x)Iplxladx

Ij-1

+C E 2 -ma f

I sup I St f (x) I Ipdx .m=1

2-m-1 <IxI<2 -m tEE

m E {1, . . . . j - 1 } finkorako,

2m

f

I sup I St f (x) I Ipdx < C> f

I sup I St ft (x) I Ipdx2-m-1 <IxI<2-m tEE

1=0 IxI<2-m tEEI

dugu, non 1 E {O, . . . , 2m} bakoitzerako, I1 ,m = [ 1 + (l - 1)2-m,1 + l2-m),E' = E l It,m baitira eta ft = f XA,,m den, A, , ,n = {y : IyI E Ii,m} izanik .

Demagun I E {0, . . . , 2m} bakoitzerako, It,m \ Em multzoko tarteen artetikluzera txikienekoa 2-N(1) ordenakoa dela. Orduan, Em = EmN(t) gisa adierazikodugu; honela, hemendik abiatuz, 2 kapituluan erabilitako indukziozko argu-dioaren ideia bera erabiliz, eta 3.6 lemako (ii) ataleko estimazioak aplikatuz,hurrengo estimazioak ondorioztatuko ditugu :

I sup ISt ft (x) I I pdx <C2-j(n-1)(p-1)-m(n-1)(2-p)f

xl<2- m tEEmN(t)

.(2j(p-1) E 2r(1-p)N(Er, 2 -i) + N(Er`, 2-')) f Ift(x)Ip dxr=j Rn

E multzoari buruz, soilik, bere Minkowskiren dimentsioa ezagutzen dugu,beraz, N(Er, 2-j) zenbakiaz, gehienez, E > 0 bakoitzerako N(Er, 2 - i) <C min{2j-m, 2j( d+E) } dela ziurta dezakegu .

m E {1, . . . . j - 1} bakoitzerako

min{23 -m, 2j(d+E) } _ f 2j(d+E), m < j(1 - (d + E)) bada,


2 j-m ,

m > j(1 - (d + E)) bada,

betetzen denez gero, m E {1, . . . . j(1 - (d + E))} bakoitzerako,

-j(n-1)(p-1)-m(n-1)(2-p)+j(d+E)

psup ISt fl (x) I lpdx < C2

I Ifi I I pfxj<2-m tEEn

dugu eta m E {j(1 - (d+E)), •, j - 1} denerako, aldiz,

sup I St ft (x) I Ipdx < C2-~(n-1)(P-1)-yn(n-1)(2-p)+j-m I I ft I I pJ

xI<2- m tEEm

p

6 1


Beraz, j E {1, . . . . k} bada,

izango da, non

baitira. Orduan,

62

j-1 f2-m -1<jxI<2-m

I tsup

EE ISt f(x)IIpIxI a dx

< C2-j(n-1)(p-1)(2j(d+E) B1 + 2j B2)1If IILP(IxI °)

m=1

(1-d-E)B1 = E 2-m(a+(n-1)(2-p))

m=1eta

j-1B2 =

: :

2-m(a+(n-l)(2-p)+1)

m=j (1-d-E)

C

a > (1 - n) (2 - p) bada,B1 < Cj

a = (1 - n)(2 - p) bada,C2-j(1-d-E)(a+(n-1)(2-p)) a < (1 - n)(2 - p) bada,

izango da eta p > 1 + d/(n - 1) denean a > (1 - n)(2 - p) - 1 denez gero,

B2 < C2-j(1-d-E)(a+(n-1)(2-p)+1) .

Aurreko estimazioak p = 1 + (d + E)/(n - 1) indizerako eta a = (1 - n)(2 - p) = 1 - n + d + E denerako idatziz gero, j E {1, . . . . k} bakoitzerako,

j-11` 2-ma f

I sup l`S'f(x)IIpIxIadx < cj f If(x)I p IxI a dxm=1

2-m-1 < jxl<2-m tEE

R"

desberdintza egiaztatu ahal izango dugu .

Honela, j E {1, . . . , k} bakoitzerako eta edozein c positibotarako, p = 1 +(d + E)/(n - 1) eta a = 1 - n + d + E bada,

fxI<1/2 IME(bj * f)(x)IpIxIadx

<

f

IME(V)j * f)(x)IpIxIadx+Cj IlIf (x)IpIxIadx .

IxI<2- .7+1

n

Azkenik, aurreko desberdintzako lehenengo integralari, indukziozko argudiobera eta 3.6 lemako (i) ataleko estimazioak aplikatuz gero,

JIxI<2-~+1 IME(bj * f)(x)IPIx(adx < Cj 2-7(d+e) fRn If(x)IPIxIadx

lortuko dugu .Beraz, j E {1, . . . , k} bakoitzerako eta p = 1 + (d + E)/(n - 1) eta a

1 - n + d + E badira,

Jlx~<1/2IME(Vj* f)(x)lPlxladx < C1 fRn If (x)Iplxl adx .

fRn IME(4~1,j * f)(x)IPdx < C2-j(n-1)(P-1)2j(d+E)fRn

fixi<1/2 IME(Oj*f)(x)IPlxl'dx< CjQ2

fRn If(x)lP lxl ' dx

-1 JI~~<1/2IME(4)j * f)(x)IPIxl"dx < CfRnIf (x)I P lxladx

JIx~<1/2IME(Ok * f)(x)IPlxladx < CfRn lf(x)lPlxl'dx


Eta L°°-ko estimazioarekin interpolatuz, 1 + d/(n - 1) < p < 1 + 1/(n - 1)denerako, alde batetik,

11.1<1/2 IME(Oj *f)(x)lPlxll-n+d+Edx< Cjl+ñ±i f.n lf(x)IPIxIl-n+d+Edx (3.8)

izango dugu .

Bestalde, [18] artikuluan bezala arrazoituz, 1+d/(n-1) < p < 1+1/(n-1)bada, pisurik gabeko hurrengo estimazioa lortuko dugu :

I f(x)IPdx .

(3.9)

Orduan, (3 .8) eta (3 .9) estimazioen artean neurri ezberdineko LP espazioenarteko interpolazioa aplikatuz gero, 1 + d/(n - 1) 1 - n + d bada, existitzen dira 0 eta a balio positiboak (p etaa-ren menpekoak), zeinetarako

baita. Azken estimazio hau, p > 1 + 1/(n - 1) denean eta a > 1 - n denerako,dugun

Jlx~<1/2IME(Oj * f)(x )IP lx ladx < CfRn lf(x)JPlxladx

estimazioarekin interpolatuz gero, 1 + d/(n - 1) < p < 1 + 1/(n - 1) bitartekop bakoitzerako eta ao = 1 - n + d(n - (n - 1)p)/(1 - d) < a < 0 denean,

izango dugu, C konstantea k-ren independentea izanik . Hortaz, k bakoitzerako,1+d/(n-1) < p _< 1+1/(n-1) eta ni, = 1-n+d(n-(n-1)p)/(1-d) < a< 0bada,

63


da, C k-ren independentea delarik . Eta honela, E C [1, 2] kasuaren frogapenaamaitzen dugu .

*E C (0, oo) kasua

a negatiborako frogatu ditugun baldintza nahikoak E C (0, oo) denean .MEeragilerako ere betetzen direla egiaztatzeko, jarraian enuntziatu eta frogatukodugun lema orokorra kontuan hartuko dugu .

Lema 3 .7 . Izan bedi M f = sue k Mk f eragile maximala non k e Z bakoitzera-ko Mk-ren "nukleoaren" euskarria {x : 2k < I xi < 2k+1} eraztunean baitago .

Demagun p baterako

dela, eta k E Z bakoitzerako eta a negatibo baterako

fRnIMkf(x)IPIxl'dx < CfRn If(x)IPIxI'dx

dela, C konstantea k-rekiko independentea izanik . Orduan,

Frogapena .

Frogapen honetan, edozein g funtziotarako, alde batetik,

fIg(x)IPIxIadx E2'' fX-2i Ig(x)1

Rn

PdxjEZ

I

baliokidetasuna eta, bestetik, a negatiboa denerako,

fRn lg (x)IPIxI 'dxN E 2'a ~

.I<2,lg(x)IPdx

(3 .10)jEZ

-

ere beteko dela kontuan izango dugu. Orduan,

1 IMf(x)IPIxI'dx = ~ f~_1<i .i<~ l

Mf(x)IPIxI 'dxjEZ

(3.11)

< C (~ f

IMfi(x)IPIxI"dx+~ f

IMf2(x)IPIxI'dx)jEZ 1xH2i

jEZ lf

64

fRn I

M f (x) IPdx < C l If (x) IPdx

fRn

IMf(x)IPlxl'dx < Cfn lf(x)IPIxJ'dx .


non j E Z bakoitzerako fl (x) = f(x)X{IxI«+1} eta f2 (x) = f (x)X{ISI>2i+1}diren .

Has gaitezen azkeneko desberdintza horretako lehenengo batukariaaztertzen .

j> fxl~2 IMfi(x)lPlxladxti

j~23a L

I-21IMfi(x)lPdx

< C E 23 f~ I<~ +1 jf (x)IPdx - C fRn l f(x)IPl x l adxjEZ

non azkeneko baliokidetasuna (3 .10)-gatik egia den .

Jarraian (3 .11) desberdintzako bigarren batukaria aztertzeari ekingo diogu .lxl N 2j bada, orduan, Mk eragileen nukleoen euskarria dela eta, berez, Mf2 =

SUPkEZ Mkf2 = SUPk>j Mkf2 dugu. Hortaz,

~ f~l~ lMf2(x)lPlxl 'dx <

k~

f~ IN~ 1Mkf2~

(x)iPlxl' dx .

j E Z finkorako, har dezagun f2 (x) _ D>j+l fXA, deskonposaketa, non 1bakoitzerako Al = {x : 2 1 < lxl < 2 1+ 1 } eraztuna baita . lxl /V 2j denean,Al eraztun kopuru finitu batean izan ezik Mk (f)(A,) (x) = 0 da. Izan bedi Ak

eraztun horien bildura. Orduan, k E Z finko bakoitzerako

fx i Mkf2(x)jPlxladx-2j

-2jlMk(fX~k )(x)1Plxl'dx .

1H2J

1

Beraz, Mk eragileak LP(lxla) espazioan k-rekiko independentea den C kons-tanteaz bornatuta daudenez gero, hurrengoa beteko da :

~: f

IMf2(x)IPlxladx < > > f

iMk(fXAk )(x)1PlxladxjEZ Ix I"v

kEZ j<k lxH2'

<

f iMk(fXAk )1Plxladx < C f lf(x)1Plxladx .kEZ Rn

Rn

Honela, (3.11) erabiliz lema frogatuta dago .

∎

E C (0, oo) denean, idatz dezagun ME eragilea hurrengo eran :

ME f = suPME k fkEZ

non k E Z bakoitzerako Ek = E n[2k, 2k+ 1) baita. Izenda dezagun .MEk f

Mk f.

65


ME eragilea LP(Rn) espazioan bornatuta dago p > 1 + d/(n - 1) bada.Bestalde, 1 - n < a < 0 denean eta Mk eragileetan eskala aldaketa bat apli-katuz gero, E C [1, 2] denerako lortu ditugun a negatiboen gaineko baldintzanahikoek ere fRn IMkf(x)I P Ix la dx < C fRn I f(x) IP I xla dx

desberdintza bermatuko dute, C konstantea k-ren independentea izanik .Hortaz, 3.7 lemaren arabera, a horietarako eta E C (0, oo) denerako M E

LP (x la) --~ LP (Ix la) izango da, eta honela 3 .5 teoremaren frogapena amaituko

dugu.

∎Oharra 3.8 (Ondorioak) .

d dimentsioa duen edozein E multzotarako M E eragilearen LP (I xl a)espazioko bornaketarako frogatutako baldintza beharrezkoetatik zein nahiko-etatik, hurrengo ondorioak lor daitezke :

• p > 1 +nl l

denean, ME eragilea LP(I xl a) espazioan bornatuta dagobaldin eta 1 - n < a < (n - 1)(p - 1) - d bada, tarte hau, hoberena izanika = 1 - n balioan izan ezik, agian .

• d = 0 eta p > 1 denean, ME LP(I xl a) espazioan bornatuta dago 1 - n <a < (n - 1) (p - 1) denerako, non, berriro ere, tarte hau, agian 1- n muturreansalbu, hoberena den ; berez, E lakunarra bada, [19] artikuluan frogatzen denezgero, LP( I x I a) espazioko bornaketa dugu baldin eta soilik baldin 1 - n < a <(n - 1) (p - 1) bada.

• d e (0, 1) denerako eta p E (1 + d/(n - 1),1 + 1/(n - 1)] bada, bornake-tarako baldintza nahiko gisa lortu dugun a-rako behe-borne bat den a = ao (p)zuzena, d = 1/2 denean, (3 .5) adierazpeneko baldintza beharrezkoa da. Hor-taz, d = 1/2 denean eta p e (1 + 1/(2(n - 1)),1 + 1/(n - 1)] bada, a-rako1 + (1 - n)p < a < (n - 1) (p - 1) - 1/2 tartea lortuko dugu, agian, behe-muturrean izan ezik, lor daitekeen hoberena izanik . Bestalde, (3.5) adierazpe-nean d < 1/2 eta d > 1/2 kasuak aztertuz gero, emandako kontradibideek ezdigute ziurtatzen lortutako a = ao zuzena lor daitekeen hoberena denik. Beraz,kasu hauetan, ezin izan dugu a-rako lor daitekeen tarterik hoberena finkatu .

Hurrengo irudietan 1 - n < a < 0 bitarteko berretzaileetarako d e (0, 1)balioen arabera lortu ditugun egoera ezberdinak ageri dira . Irudi guztietan,itzaladun eskualdeak ME eragilea LP(I x!a )-n bornatuta dagoen eskualdea adie-raziko du ; an zuzena, kasuan kasu lortutako baldintza beharrezkoaren mugalerroa da eta kasu guztietan ao zuzenak erabili dugun metodoaz lortutako bal-dintza nahikorako muga emango digun ao = 1 - n + 11d dd (n - (n - 1)p) zuzenada .

66

Irudia 3.1 : n > 3, a < 0, 0 < d < 1/2, an = 2d + (1 - n)p .

Irudia 3.2 : n > 3, a < 0, 1/2 < d < 1, an = 1 + (1 - n)p .

Irudia 3.3 : a < 0, d = 1/2, ao = an = 1 + (1 .- n)p .


67


3.5 E erregularra denerako lortutako emaitzenhobekuntza

3.5 teoremaren frogapenean, aldez aurretik E multzoaren puntuen banaketaezezaguna zitzaigunez, I tarte bornatu eta 6 positibo bakoitzerako, N(E nI, 8) zenbakiaren estimazio bat eman behar genuen, zeina, multzoaren araberaegokiagoa izan zitekeen . Hau dela eta, puntuen banaketa erregularra duten Emultzoetarako, lortu ditugun estimazioak hobetu daitezkeela pentsa genezake .Jarraian frogatuko dugun teoreman, E multzoaren dimentsioa ezagutzeaz gain,multzoaren puntuen banaketan erregulartasun baldintza bat ere inposatukodugu, honela, aurreko estimazioak hobetu ezezik a-rako tarte hoberena ere,agian behe-muturrean salbu, lortuko dugu .

Teorema 3.9 . Demagun d dimentsioko E parametro multzoak hurrengo erre-gulartasun baldintza betetzen duela :

\l dN(E n I, 6) < C

( ii)

(3.12)

non I, R-ko edozein tarte bornatu den eta 0 < 6 < III izanik .

Orduan, p > 1 + d/(n - 1) bakoitzerako, ME eragilea IP(lxla) espazioanbornatuta dago baldin eta 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) - d bada. Gainera, tartehori, agian a = 1 - n muturrean izan ezik, lor daitekeen hoberena da .

Frogapena.

Berez, p E (1 + n1 , 1 + n 1 1 ] eta 1 - n < a < 0 kasua aztertzea nahikoa da .

3 .5 teoremaren frogapenaren argudio berari eutsiz, eta lehenengoz E C [1, 2]denerako, (3.12) baldintzatik, j E {1, . . . , k} bakoitzerako, m E {1, . . . . j - 1}bada,

N(E', 2 -r ) < C(2r-m) d

estimazioa beteko da . Orduan, j E {1, . . . , k} bakoitzerako, hurrengoa dugu :

Bestalde,

68

j-1Y:

1f2f2-m-1<IxI<2-m EpIStf(x)IlIxl'dx

j-1< C2-j(n-1)(r-1)2jd 1: 2-m(a+(n-1)(2-p)+d)IIf IILp(ixi 01 )'

m=1

flx l<2-j+1 l tEpl`Stf(x)IIplxladx< C fRn lf(x)Iplxl a dx

da.

Multzo erregular bat

3.5 E erregularra denerako lortutako emaitzen hobekuntza

Bereziki, c positiborako, p = 1 + (d + E) / (n - 1) eta a = 1- n + E aukeratuzgero, Q eta o, positibo batzutarako,

I sup I Sif (x) Hn1 Ixl1-n+Edx < Cj'32-'' f If(x)1 1 +n

±i IxI 1-n+Edxf xj<112 tEE

Rn

estimazioa dugu .Aurreko ataleko arrazonamendu bera erabiliz, p > 1 + d/(n - 1) denerako

eta 1 - n < a < (n - 1)(p - 1) - d bada, ME eragilea LP (Ixla) espazioanbornatuta dagoela erdietsiko dugu .

∎

Demagun E multzoa, [1, 2] tarteko Cantoren multzo ternarioa dela etademagun E = C adierazpenaz emango dugula . Gogora dezagun, Cantorenmultzoaren eraikuntzaren k-garren pausuan 3-k luzerako 2k tarte ditugula eta,beraz, N(C, 3-k ) = 2k dela. Hemendik d(C) = d = log 2/log 3 dugu.

Izan bedi 3-k-1 < III _< 3-k betetzen duen I tartea . C n i multzoa handienizango da, I tartea Cantoren multzoko eraiketako k-garren pausuko tarteetakobat denean .

Baldin eta 6 > 3-k-1 bada, N(C n i, S) < 3 da eta 8 - 3` bada, m > kizanik, orduan

IN(C n I, 6) < 2m-k < C (III d

da .Azken desberdintza hori, berez, (3 .12) baldintzan aipatutako erregularta-

sun baldintza da; hortaz, 3 .9 teoremaren arabera, E = C denean eta p >1 +log2/(log3 (n - 1)) bada, ME eragilea 1 (Ixl (' ) espazioan bornatuta dagobaldin eta 1 - n < a < (n - 1) (p - 1) - log 2/log 3 bada.

69


70

Kapitulua 4

Integral singularrak funtzioerradialen gainean

4.1 Sarrera

Kapitulu honetan hurrengo eran definitutako eragile integral singularrakaztertuko ditugu :

Thf (x) = v.p . Q(Y,) * f(x) = lim

Q(y') f (x - y)dy ,ly

ln

E-+

0 ,y,>E lyln

non y E Rn -{0} bakoitzerako y' = y/ly j den eta S2 1 erradiodun Rn espaziokoesferan definituta dagoen funtzio konplexua den, fsn- , Q(u)da(u) = 0 izanik .

T0 eragileaz gain, hurrengo funtzio maximala ere kontsideratuko dugu :

Mof (x) = supln f

1 Q(y,) i if (x - y) ldyR>0 R IyI<R

Ti? eragile integral singularraren LP(Rn) espazioko bornaketari dagokionez, Çerregularra den kasuan, 1 1 izanik,[4] artikuluan Calderónek eta Zygmundek emandako biraketa metodoaz, T0LP(Rn) espazioan, 1 < p < oo, bornatuta dagoela erdietsi daiteke ; baiez-tapen honen frogapenaren zehaztasunak [14] liburuan, adibidez, ageri dira .[17] artikuluan, berriz, J . Duoandikoetxeak eta J . L . Rubio de Franciak, bi-raketa metodoa sahiestuz, emaitza beraren beste frogapen bat ematen dute .S2 E L' (Sn-1 ) denean, egoera bestelakoa da . 2 E L' (Sn-') eta bakoitia bada,

71

4 Integral singularrak funtzio erradialen gainean

Calderónen eta Zygmunden biraketa metodoaz, 1 < p < oo denerako, T1 era-gilea LP (RT) espazioan, bornatuta dagoela lortzen da . 9 bikoitia bada, [4] ar-tikuluan fs, 1 1 SZ(0) 1 log(2 + 1 Sl(0)I)d0 < oo baldintza, Tn eragilearen LP (R')espazioko bornaketa bermatzeko nahikoa dela frogatu zuten .

W. C. Connettek ([10]), alde batetik, eta Riccik eta Weissek ([30]), bestetik,1 E H'(Sn-1 ) denean Tç eragilearen LP(R) espazioko bornaketa, 1 < p < 00denerako, lortu zuten .

Tp eragile integral singularra, berez, K nukleo singular batekiko konbolu-zioz emandako fRn K(x - y) f (y)dy itxurako eragilea da. Era honetako eragi-leetarako, Lr espazioetako bornaketa propietateak aztertzeko, [17] artikuluanerabilitako metodoan eragilea beste eragile batzuren batura gisa idazten da,deskonposaketa horretako eragile bakoitzerako L2 espazioan konstante batuga-rria duen bornaketa bat lortuz . L2-ko estimazio hori dugula, H l - L 1 modukoestimazio bat edo p° 2 finko baterako LP°-ko bornaketa bat edo L 2-ko pisudunestimazio bat lortzen da ondoren, ohiko interpolazio eta dualitate teknikenbitartez LP espazioetako bornaketak erdietsiz .

Plancherelen teoremaz, K nukleodun konboluziozko eragilea L2 espazioanbornatuta egon dadin, baldintza beharrezkoa eta nahikoa k funtzioa L°° es-paziokoa izatea da . Baina konboluziozko eragileak funtzio erradialen gaineansoilik eragiten badu, Plancherelen teorema aplikatzerakoan lortzen den inte-grala koordenatu polarretan idatziz gero, f E L,2, ad (Rn) funtzioetarako eragileaL2 (Rn)-n bornatuta egon dadin, beharrezkoa eta nahikoa izango daf

n _ 1jK(Pu)

12do, (u) < C

erako baldintza integrala betetzea, p > 0 edozein izanik eta C p-ren indepen-dentea den edozein konstante izanik .

Azkeneko propietate honek, hain zuzen ere, bultzatu gaitu lan honetakokapitulu honetan zehar Sl E Ll (Sn-1) denean eta Tp eragile integral singula-rrak LP espazioko funtzio erradialen gainean eragiten duenean betetzen dituenbornaketa propietateak aztertzera . Berez, problema hau, jada P . Sjógrenek etaF. Soriak [36] artikuluan aztertu zuten; bertan SZ E L'(Sn-1 ) denerako etaRn espazioko funtzio erradialak soilik kontsideratzen direnerako, T11 eragileaLP(Rn), 1 < p < oo, espazioan bornatuta zegoela frogatu zuten . Kapituluhonetako 2. atalean, [36] artikuluan aurkeztutako frogapenerako bide ezberdinbat erabiliz, T11 eragilerako bornaketa emaitza bera frogatuko dugu . Areago,erabiliko dugun metodoak, lortuko dugun emaitza f = fP erako funtzioetaraere hedatzea ahalbidetuko du, fo Rn espazioko edozein funtzio erradial eta Pharmoniko esferiko solido bat izanik .

4 . atalean, T11 eragileko nukleoa aldatuko dugu (0, oo)-n definitutako h

72

4.2 Tn eragilea LP(R') espazioko funtzio erradialen gainean .

funtzio bat sartuz . R. Feffermanek [21] artikuluan era honetako eragileakaztertu zituen, SZ funtzioa Lipschitziarra denerako eta h funtzioa bornatua de-nerako . Beranduago, J . Namazik ([29]) LP espazioan bornaketak lortu zituen,h bornatua eta S2 E L9 (Sn-1 ), q > 1, denerako. Q-k tamainu propietate horibetetzen duenerako, J . Duoandikoetxeak eta J . L . Rubio de Franciak, [17] ar-tikuluan, eragilearen bornaketa ziurtatzeko nahikoa izango den baldintza inte-gral bat ematen dute h funtzioaren gainean .

Gure kasuan, hots, S2 E L'(Sn-i) denean eta LP espazioko funtzio erradia-lak kontsideratzen ditugunean, dugun eragile integral singularraren zenbait LPbornaketa ziurtatzeko, [17] artikuluan h funtzioaren gainean emandako antzekobaldintza integral bat ere nahikoa izango dela frogatuko dugu .

Azkenik, kapitulu hau 2. atalean lortutako emaitzak biderkadura espazioe-tara hedatuz amaituko dugu .

4 .2 TT eragilea LP(Rn) espazioko funtzio erra-dialen gainean .

Has gaitezen M0 funtzio maximalerako hurrengo bornaketa emaitzaren fro-gapenaz .

Proposizioa 4.1 . Baldin eta S2 E L'(Sn-1) bada, orduan, (4.1) adierazpe-naz definitutako funtzio maximala, 1 < p < oc denerako, LP(Rn) espazioanbornatuta dago .

Frogapena.Frogapena, funtsean, Calderónen eta Zygmunden biraketa metodoan oina-

rrituta dago, puntuz puntuko hurrengo desberdintza baitugu :

Mn f (x) < fn_ 1 'Q(u)' IMI f(x)Ida(u) ,

u E Sn-1 bakoitzerako, Mu Hardy-Littlewooden eragile maximal norabidetuaizanik .

Beraz, Sl E L'(Sn-1) denez, p > 1 bakoitzerako, Minkowskiren des-berdintzaz eta u E Sn-1 norabidearen independentea den C konstante ba-tentzat JIMuf Il p < CI I f I IP desberdintza betetzen denez gero, M0 : LP(Rn) -+LP (R') dela erdietsiko dugu .

Jarraian, atal honetako emaitza nagusia enuntziatu eta frogatuko dugu .

73


Teorema 4 .2. Kontsidera dezagun 1 erradiodun Rn espazioko esferan (n > 1)definitutako 1Z funtzioa non fs„_' Q(u)doa(u) = 0 den. Izan bedi hurrengo erandefinitutako integral singularra,

74

TQ f (x) = lim

WAf (x - y)dy .

E-+041>' Mn

Orduan, S2 E L'(Sn-1 ) bada, 1 < p < oo denerako, Tg : Lpad (Rn) -* LP(Rn) .

Frogapena.

Har dezagun K(x) = S2(x')/IxI nX{1<lxl<2} eta j E Z bakoitzerako

Kj(x) = 2-jnK(2-jx) = SZ(x1 )/IxInX{2i<1x1<2~+ 1 1

dilatazioak .

Finka dezagun i E S(Rn) funtzio erradiala, non Eusk x~ c { : 1/2 <~ ~ < 2} baita eta >kEZ

ii(2k~)12 = 1 den edozein ~ :~- 0 aldagaietarako .Orduan, K(x) = E',>,,(K * iI')(x) da, k bakoitzerako Wk(x) = 2-knw(2-kx)

izanik .

Kontsidera dezagun T1 eragilearen hurrengo deskonposaketa :

+00 +00

TS2f (x) = L, E (Kj* k+j * f)(x) =

Tkf(x)k=-oo j=-oo

kEZ

k c Z bakoitzerako, Tkf = El~°_()0 (Kj * Xp2+j * f) funtzioa aztertuko dugu .

Lehenik eta behin, a > 0 baterako eta L2 espazioan erradialak diren ffuntziotarako

fRn I Tkf (x)I 2 dx < C2-cklkl

fRn jf (x)12dx

erako estimazioa lortuko dugu . Ondoren, lokalki integragarria den u funtziopositiborako eta edozein f funtziotarako,

fRn Tkf (x) ~2u(x)dx < CfRn

I f (x) I2Au(x)dx ,

(4.2)

pisua ageri duen estimazio mota lortuko dugu, non C konstante absolutu batden eta A, LP(R) espazioan bornatuta dagoen eragilea den, p > 1 orotarako .

L2 (Rn) espazioko estimazioak

Izan bedi f E L2ad (Rn) . Orduan, f erradiala dela kontuan izanik, Plan-cherelen teoremaz eta lortuko dugun integrala koordenatu polarretan idatziz

gero,

4.2 Tç~ eragilea LP (R') espazioko funtzio erradialen gainean .

f11;kf (x) I2dx

Rn fRn I

+00k+j * K, * f(x)12k

dx3=-oo

+00

2- -3+1< C

.

-A-7-1 I f(P) I2Pn-1 (fsn_1IK

j (PV) I2da(v)) dp

(4.3)

izango dugu .Jarraian ageri den leman, (4.3) adierazpeneko barrualdean dagoen inte-

gralerako estimazio batzuk emango ditugu .

Lema 4 .3 . Izan bedi Rn (n > 1) espazioko 1 erradiodun esferan definitutako 9

funtzioa non fsn_1 Q(u)du(u) = 0 baita. Baldin eta S2 E L 1 (Sn-1) bada, orduan,

existitzen da a > 0 non

den .

Frogapena .

Alde batetik,

2

drÊ(PV)

= J

X{1<IxIG2}e 2~ripv •~dx = f f

~ (u)e-2zrirp(u •v ) da(u)-Rn I xI n

1 Sn -1

r

da. Beraz,

fsn-1Ik

(Pv) I2da(v) < C(min{P-1 , P})2a

(4 .4)

I K(Pv)I < fSn- 1 I"l(u)I

IK(Pv)I <

2 -2 1ripr(u •v ) Te

1

r

Bestalde, fsn-1 Q(u)du(u) = 0 dela kontuan harturik,

fsn-1 I~(u)I f 2Ie-27rirp(u •v) - li dda(u)

p > 1 denerako, zatikako integrazioa aplikatuz gero,

2 e-27ripr(u •v) rf

r

1

< C pl u - VI

do,(u) .

75


izango dugu eta berehalakoa den ff e-27 ripr(u'v)dr/r < C estimazioa ere kon-tuan harturik, c E (0, 1) eta p > 1 direnerako

izango dugu .

p E (0, 1) bada,

beraz,

beteko da .

p > 1 bada, (4 .7) estimaziotik eta Cauchy-Schwarzen desberdintza erabiliz,c E (0, 1) edozein denerako,

fgnl -IK(pv)I2du (v) < Cp-2E11g

111f

n_1 fsn-1I9(u)I Iu . vI2E du (u) da (v)

lortuko dugu . Baina 9 E Ll (Sn-1 ) denez gero, aurreko integralean Fubinirenteorema aplikatuz eta c < 1/2 bada, u E Sn-1 norabidearen independentea denC konstante baterako

da(v)< C

fsn_I ¡ U . v 12e -

da. Orduan, p > 1 eta e E (0, 1/2) bada,

76

l e-21rirp(u-v) - 11 =

2 e-21ripr(u . v) r1

r

1<Cpel u

. VIe

Azkeneko desberdintza honetatik eta (4.5) estimaziotik, p > 1 denean,

IK(pv)I <Pfsn 1 IQ(u)I

lu1vle da(u)

fr d-e-27rizp(u •v ) dz

o dz

2

f I e -2Trirp(u •v ) -1I

dr

r< Cplu • vi .

Honela, azkeneko estimazio hau (4.6) desberdintzan ordezkatuz gero,edozein p e (0, 1) baliotarako,

I K(pv) I < Cp fsn_1I52(u) I lu . vI dc(u)

(4 .8)

I K(pv) I 2 do, (v) < CI SI Iip2e .

fsn-1

<CPIu . vir,

4.2 TT eragilea LP (RI) espazioko funtzio erradialen gainean .

Bestalde, p E (0, 1) denerako, (4.8) estimaziotik hurrengoa dugu :

fsn_ 1 JK(Pv)12da(v) < CII~IIip2 .

Hau da, a E (0, 1) baterako,

Jsn_1 I K(Pv) I2 da(v) < C(min{P-l ,p})2a .

∎

Beraz, (4 .4) estimazioaren arabera, j E Z bakoitzerako

fsn-1

I kj(Pv)I

2 da(v) < C(min{(2j p) -1 , 22P})2a

da eta (4.3) adierazpenean, 2j p, 2-k ordenakoa denez gero a > 0 baterako etak E Z bakoitzerako, L2 (RI) espazioko edozein f funtzio erradialetarako

fRn ITkf (x) I2 dx < C2-aiklfRn I f (x) I2dx

(4 .9)

dela erdiesten dugu .

Pisudun estimazio bat

Tk eragilerako aurreko L2-ko estimazioa lortu ondoren, gure helburua hu-rrengoa da: eragileak funtzio erradialen gainean eragiten duenerako gainerakoL' espazioetan k E Z indizean batugarria den bornaketa konstantea duen esti-mazio bat erdietsi .

Horretarako, 4 .2 teoremaren frogapenaren hasieran adierazi dugun legez,hurrengo erako pisudun estimazio bat frogatuko dugu :

f ITkf (x) I2u(x) dx < CfI f(x) I 2Au(x)dxfRn

Rn

non C konstantea k-ren independentea, u(x) > 0 lokalki integragarria eta Aeragile bat diren . Gainera, A eragilea, p > 1 denean, LP(Rn) espazioetan bor-natuta egotea beharko dugu .

Har dezagun R' espazioan lokalki integragarria den edozein u funtziopositibo . Baldin eta s1 > 1 bada,

fRn ITkfI2u < fRn I ~k+j * ( k+j * Kj * f)

12(Musi) 31

j=-oo

77


da, M Hardy-Littlewooden funtzio maximala izanik .

(Mus t) l / s1 Muckenhoupten Al klaseko pisu bat denez gero, Littlewood-Pa-leyren desberdintza dualaz (ikus [22], adibidez) eta edozein g funtziotarakopuntuz puntuko

IKj * g(x)I 2 < (IKj1 * 1g12)(x)

desberdintza betetzen dela kontuan harturik, hurrengoa dugu

fRn ITkf(x)1 2u(x)dx < C ~, fRn (I KJ I * ITk+j * f

12)(x) (Musi) al (x)dx

00C E fn I Wk+j * f I 2 (x)(IKjI * (Mus1)sl (x))dxR

,

non Kj (x) = Kj (-x) baita . Gainera,

IKj I * (Mus') l/sl (x) < M~à (Must) l/sl (x)

da, S2(x) = Q( -x) izanik . Honela,

fRn ITkf (x)I2u(x)dx < C

fRn I k+, * f I2(x)M~(Mu s l (x)) ei dx

eta edozein s2 > 1 baliotarako, (M(M~(Mus1 ) 1 1 s1 ) s2 ) 1 / s2 Muckenhoupten Alklasean dagoenez gero, Littlewood-Paleyren desberdintza aplikatuz,

fRn ITkf (x)1 2u(x)dx < C fRn I f (x)12 (M(M~(Mus 1 )81 )s 2 )2 (x) dx

desberdintza egiaztatuko dugu.

Horrez gain, (M(M~, (Mus1 ) 1/ s1 ) s2 (x)) 1 / s2 < (M(M~à (Mus1 ))82/ s1 ) 1 / 52 (x) da,beraz, aukera dezagun s 1 = s2 = s > 1 eta orduan, k c Z bakoitzerako,

78

fRn I Tkf (x)12u(x)dx < C fRn If (x)I2Au(x) dx

(4.10)

estimazioa erdietsiko dugu, C konstantea k-ren independentea eta Au =(M(Mf, (Mus)))11s izanik .

LP (Rn) espazioko bornaketak

(4.10) desberdintza edozein u pisutarako eta Rn espazioko f funtziotarakoegia dela kontuan izanik, p > 2 denean, Tk eragilerako LP(Rn) espazioko bor-naketa frogatuko dugu .

4.2 T1 eragilea LP (R) espazioko funtzio erradialen gainean .

Finka dezagun po > 2. Orduan, existitzen da u e L' 2 Y (W), 11uI1(~ ) , = 1izanik zeinetarako

fRflITk Î (x) IP°dx =

(fRflITkf (x) I2u(x) dx~

den .

(4.10) estimazioa eta Hblderen desberdintza aplikatuz gero,

Po

fRfl ITk f (x) jP°dx < C

(fRn l .f(x)1 2Au(x)dx)

2

p° _2

< C (fRn 1f(x)IP°dx)(fRn

j Au(x)~~~i~ dx)2

egiaztatuko dugu .

S2 E L'(S'-1 ) izanik, 4.1 proposizioaren arabera, p > 1 bada, Mí~ eragileaLP(R') espazioan bornatuta dago. Hau dela eta, p/s > 1 denean eta Au =

(M(M~5 (Mus)))1 /s denez gero, A eragilea LP (Rn) espazioan bornatuta egongoda. Aukera dezagun s, 1 < s < (v-)' bitartean, honela,

(fRn1Au(x)1 ( 2 ) dx) 2 ` °'' < C I JuI 1

(~~, = C .

Hots, po > 2 bada f c LP- (RV ) izanik,

1R.*' BTkf (x)1P°dx < C fRn I f(x) IPO dx .

Bereziki, f erradialetarako, azkeneko desberdintza hau (4.9) estimazioaz inter-polatuz gero, p > 2 eta f E Lpad (Rn) denerako, k osoaren independentea dena positiboa existitzen dela erdietsiko dugu, zeinetarako

fRnITk Î (x) IPdx < C2-° l kl

fRn I f(x) IPdx

(4.11)

betetzen baita .

Ondorioz, p > 2 bada, Tn : Lpad (Rn) -* LP(R'E) .

Finka dezagun 1 < po < 2 . Har dezagun (4.10) desberdintzaren duala,alegia,

fRn

~Tkf(x) 1 2 (A*u) -1 (x)dx < CfRn If (x)I2u-1(x)dx

(4.12)

79


non ,A*u = (M(Mn (Mus))) 1/s den. Orduan,

f ITkf(x)IP °dx= f ITkf(x)IP°(A*u(x)) 2 (A*u(x))P'dx

(4 .13)Rn

Rn

< c(fRn ITkf

(x)I 2 (A * u(x)) -1 dx) fRn(A*u(x))P-- ( p° ) ' dx) ( P

80

Azter ditzagun (4.13)-ko integralak banan-banan .

(4.12) kontuan izanik eta u(x) = I f (x) I2-P° aukeratuz gero,

Rn ITkf (x)I2(A*u(x))-1dx)PQ

< C (fRn I f (x)I2u-1(x)dx)P2

C CJRn I f (x) IP°dx~ 2

Bestalde, 1 < s < (po/2)(2/po)' = po/(2 - po) bada, u lehengo pisu beraizanik,

fRn(A*u(x))PQ

( p° ) ' dx < CfRn If(x)IPOdx

izango dugu .

Azken desberdintza hauek (4.13)-n ordezkatuz gero, f E DP- (Rn) denerako,1 < po < 2 izanik,

fRn ITk f(x)IP°dx < C fRn If(x )IPOdx

lortuko dugu . Aurreko desberdintza, f E LPad (R') funtzioetarako, bereziki,egia da eta berau (4.9) estimazioarekin interpolatuz gero, k-ren independenteaden o, positibo baterako

fRn ITkf (x) IPOdx <C2-Qlk1

fRn I f (x) IPO dx

estimazioa izango dugu .Hau da, 1 < p < 2 bada, Tn : L'rad (Rn) --- LP(Rn) . Eta beraz, honela, 4.2

teoremaren frogapena amaitu dugu .

∎

4.3 Beste funtzioetarako hedapena

Atal honetan, aurreko ataleko 4.2 teoremaren hipotesi berdinak kontsidera-tuko ditugu funtzio erradialen gaineko Tn eragilearen bornaketa propietateak

4.3 Beste funtzioetarako hedapena

f = f0P erako funtziotara hedatzeko, fo erradiala izanik eta P funtzioa R nespazioko edozein harmoniko esferiko solidoa izanik .

Ezer baino lehen, gogora ditzagun harmoniko (solido) esferikoen zenbaitdefinizio eta propietate .

Definizioa : m mailadun Rn espazioko edozein polinomio homogeno etaharmoniko, m mailadun harmoniko esferiko solidoa izenaz ezagutu ohi da etaera honetako polinomioen klasea S,,,-ren bidez adieraziko dugu .

m mailadun harmoniko esferikoa, maila bera duen harmoniko esferiko solidobaten 1 erradiodun esferaren gaineko murrizketa baino ez da . m mailadun har-moniko esferikoen klasea ?Km-ren bidez adieraziko dugu .

Espazio biak dimentsio finitukoak dira . Espazio hauen propietate nagusiakjarraian aipatuko ditugu :

• Baldin eta P E Sm, harmoniko esferiko solidoaren 1 erradiodun esferarengaineko murrizketa Y E 71, bada, hau da, u E Sn-1 bakoitzerako P(u) = Y(u)bada, orduan, R-ko x :~ 0 orotarako P(x) = Ix1mY(x/ix 1 ) da .

•

Edozein f E L2 (Sn-1) funtzio, f = Em_0Y(m) eran idatz daiteke non mbakoitzerako Y(m) E 'Km den eta seriea L2 norman konbergentea den .

• Baldin eta f E L2 (Rn) f = foPm, erakoa bada, fo erradiala eta Pm, E Smizanik, orduan, f (~) = Fo (I cI)Pm (e) da non Fo R+-n definituta dagoen funtzioaden .

•

Baldin eta Y(m) E 'Km eta Y(') E 'K badira, m :~ 1 izanik, orduanfan_ 1 Y(m) (u)Y( 1 ) (u) da (u) = 0 .

•

x' E Sn-1 bakoitzerako existitzen da Z ( , ) E ' Km bakar bat, m mailaduneta x' poloa duen zonal harmonikoa izenaz ezagutzen dena, non Y(-) (x') _fsn_1 Y(m) ZZ )da baita edozein Y(m) E ŕlm, harmoniko esferikotarako .

• Sn-1 -ko edozein x' eta u bektoretarako Z (. (u) = Zu(m ) (x') betetzen da

eta wn_1 adierazpenaz Sn-1-ren neurria adierazten badugu, orduan, 1 Z(;m ) (u) <am,/wn_1 da non a,,, = dimfm baita .

Kontzeptu eta propietate hauen azterketa sakon baterako ikus [44] .

Teorema 4 .4 . Baldin eta S2 E L l (Sn-1), fo erradiala eta Pm, E Sm, badira,orduan, 1 < p < oo denerako,

fR ITst ( .foPm.) (x) lrdx < Cr f (foPm) (x) ¡ rdx .n

-

Rn

81


Frogapena.

Frogapenerako erabiliko dugun metodoa 4 .2 teoreman erabilitakoarenantzekoa izango da .

Tk eragilearen L2-ko estimaziorako, berriz ere, Plancherelen teorema apli-katuz hasiko gara. Kasu honetan,

fRn ITk (f°Pm)(x)I 2 dx = Rn I~k+;( )I2 IKj ( )I2 IIf°Pm(~)I 2de .

Aurrez aipatu dugun legez, R+-n definitutako Fo funtzio baterako fo P,,,,(e) _Fo (I ~ I) P,.,,, (e) izango da. Gainera, edozein ~ ; 0 aldagaietarako, P, (e) =I~I mY(m)(~') da, non Y(m) funtzioak, Sn -1-ko edozein u-rako Pm (u) = Y(m)(u)betetzen duen . Hau kontuan izanik eta integrala koordenatu polarretan idatzizgero,

12

2 k j+1fRn I Tk (foPm) 12

C -k-~-1 IFo (P) I2p2m+n-1 sn 1IK

j (pv)12 1 Y(m) (V)

I 2dadp

desberdintza dugu .

Kasu honetan, edozein Y(m) E fm , m c N, harmoniko esferikotarako etap > 0 denerako,

fsn-1 Ik(Pv) I2IY(m) (v) I 2da(v) < Cm, min{p-2a, p2}fsn 1 I

y(m) (v) I 2da(v)

(4 .14)

desberdintza a positibo baterako beteko dela frogatuko dugu .

Idatz dezagun I Y(m) (v) I2 = Y(m) (v)Y(m) (v) .

Zonaleen propietateak direla eta, Y(') (v) = fsn-1 Y(m) (u) Z,r (u) da (u) etaY(m) (v) = fsn-1 Y(m) (ú)Zm(ú)du(ú) da. Hortaz,

fsn_1 Ik(PV) I2 IY(m ) (v) I 2 dU(v)

- fsn-1 X sn-1 Y(m)(u)Y(m)(u) (1 n 1 IK(pv)1 2 Zu (v)Zú (v)du) da(u)da(u)

Sn -1-ko edozein t' eta x' bektoretarako IZtm(x')I < a,,,,/wn_1 da eta aurretikfrogatutako (4 .4) estimazioa erabiliz gero (4 .14) erako desberdintza lortukodugu.

Honela, k E Z bakoitzerako eta k-ren independentea den u positiborako,

fRn I Tk (foPm) (x) I 2dx < C2-~Ikl fRn I (foPm) (x) I 2dx

(4.15)

82

4.4 Nukleoa eraldatua duten eragile integral singularren bornaketak

beteko da . (4.15) estimazioa kontuan harturik eta (4.10) adierazpeneko pisudunestimazioa edozein funtziotarako egia denez gero, aurreko ataleko frogapenekopausuei jarraituz, 4.4 teoremaren frogapena erdietsiko dugu .

TQ,hf (x) = v.p . h(IyI)Q(y') * f (x) = limf

h(IyI)l(y')f (x - y)dy ,

I yin

E-° lyl>E

I yI n

Mn,hf (x) = SUP1n

J

I h(Iy I) I I ~(y') I I f(x -y) I dy

R>0 R ~yl<R

pR

Jo

∎

4.4 Nukleoa eraldatua duten eragile integralsingularren bornaketak

Atal honetan zehar nukleoa eraldatua duten hurrengo erako eragile inte-graletan arreta ipiniko dugu :

non h, (0, oo)-n definitutako funtzioa den eta S2, fs ,, _ 1 Q(u)da(u) = 0 betetzenduen Sn-1 esferako funtzioa den .

Oraingoan, Tç,h eragilearekin batera kontuan hartuko dugun eragile maxi-mala hurrengoa izango da

Sarreran aipatzen genuen moduan, [17] artikuluan, J . Duoandikoetxeak etaJ. L . Rubio de Franciak, R. Feffermanen ([21]) eta J . Namaziren ([29]) emaitzaks2 E L9 (Sn-1 ), q > 1, denerako eta edozein R positibotarako eta C konstanteabsolutu baterako,

I h(t) I 2 dt < CR

(4.16)

baldintza integrala betetzen duten (0, oo)-ko h funtzioetara ere hedatzen dituz-te . Baldintza hauetan, aipatutako [17] artikuluan, bai Tn,h eragilea bai MQ,h

eragilea ere, edozein p > 1 indizetarako LP(R) espazioan bornatuta daudelafrogatzen da .

Kapitulu honetako planteamendu orokorrean oinarrituz, oraingoan, Tn,heragilearen bornaketa propietateak aztertu nahi ditugu, S2 E L1 (Sn-1) denerakoeta eragileak L1 (Rn) espazioko funtzio erradialen gainean eragiten duenerako .

Has gaitezen hurrengo proposizioa frogatuz .

83


Proposizioa 4 .5 . Izan bedi h (0, oc) -n definitutako funtzioa zeinak s > 1 bate-rako eta R positibo orotarako hurrengo erako baldintza integrala betetzen baitu :

Baldin eta SZ E L1 (Sn-1 ) bada, orduan, Mç,h : LP(R''1) - LP(RTh), p > s'den edozein indizetarako .

Frogapena.

Puntuz puntuko hurrengo desberdintza dugu,

dugu non u c Sn-1 bakoitzerako M,, Hardy-Littlewooden eragile maximal no-rabidetua den .

Puntuz puntuko desberdintza hori kontuan izanik, Minkowskiren des-berdintza aplikatuz gero,

IIMQ,hf (x)IIp <_ C fsn-1 "~(u)IIIMu('f 1 s~)S IIrdu(u)

dugu. Beraz, p > s' aukeratuz gero 4 .5 proposizioaren frogapena lortuko dugu .∎

Oharra 4 .6 .

Frogapenerako erabili dugun metodoak, maximala bornatuta dagoen LP es-pazioen p indizeen multzoaren gaineko murrizketa bat dakar . Dena den, emaitzahori lortu daitekeen hoberena denik ezin izan dugu frogatu . Jarraian ikusikodugun legez, murrizketa horrek Tn,h eragilearen bornaketan eragina izango du .

Teorema 4 .7 . Izan bedi SZ 1 erradiodun esferan definituta, fsn_, Q(u)do (u) =0 eta SZ E L1 (Sn-1) izanik. Izan bedi (4.17) baldintza betetzen duen (0, oo)-koh funtzioa. Orduan, edozein (2s)' < p < 2s indizetarako, Tn,h : LPad (R") -+LP(Rn) .

84

IRj h(t)ISdt < CR .

RMsz,hf

(1) 1n-1

1S2(u)

(sup

foj h(r) If (x - ru) Ŕ do, (u) .

Orduan, H~lderen desberdintzaz,

MM,hf (x) -< C fsn-1 jQ(u) (Mulf I S (x))9 dor(u)

(4.17)

4 .4 Nukleoa eraldatua duten eragile integral singularren bornaketak

Frogapena.

4 .2 teoremaren frogapeneko ideia bera erabiliko dugu . Beraz, has gaitezenTs,h eragilerako deskonposaketa bat definitzen .

Izan bedi K(x) = Sl(x')/IxI nX{1<Ix1<2} eta j c Z bakoitzerako, Kj(x) =2-37K(2- 3 x) bere dilatazioak .

Kontsidera dezagun 4 .2 teoremaren frogapenean finkatutako { 41k}kEz uni-tatearen partiketa . Idatz dezagun Tn,h eragilea jarraian ageri den bezala,

izango da .

Froga dezagun hurrengo lema .

Lema 4 .8 . 4.7 teoremaren hipotesien baldintzapean, a eta b balio positiboakexistitzen dira non edozein j E Z indizetarako,

TT,hf = i Tk,hfkEZ

non k E Z bakoitzerako Tk,h f = >jEZ ` 2+j * hKj * f baita .

Beraz, k E Z finkorako, Tk ,h eragilea aztertuko dugu .

L2 (Rn) espazioko estimazioak

Oraingoan, f E Lrad (Rn) guztietarako (4.3) estimazioaren parekoa den des-berdintza,

(4.18)

f2-k -i+1

\

fRn ltk,hf ~2

Y:

k-~_ 1 I f (P) I 2 Pn-1 (fs IhKj (pu) ~ 2 da(u) l dpjEZ

(4.19)

fn 1

I hKj (Pu) I 2 dQ(u) < C min{ (2jp)_a , (2~P)b} .

(4.20)

Frogapena.

Erabiliko dugun arrazonamendua, funtsean, [17] artikuluan erabilitakoa da .

Oraingoan, hurrengo desberdintza dugu :

f n _ 1 I

2

hI{j(Pu) 12 do, (u) <_ Jsn_1 f2~,11 I h(r) IIIr,p(u) I

dr

da(u)s

non II,p (u) = fsn-1 S2(v)e-2airv •pu do,(v) den .

85


Hdlderen desberdintza aplikatuz gero,

dr 2

1

2j+1

2

2i+1

, dr sI h(r) I IIr,P(u) I-

<-f

I h(r) Isdr

f .i IIr,P(u) ISr

2~ 2~-1

~- r

Azken desberdintza honetatik eta (4.17) baldintzatik,2s

fsn_1 I hK, (Pu) I2da(u) < Cs fsn 1 fel l II.,p(u) I s, dr ' da(u)

(4.21)

estimazioa lortuko dugu .

Aurreko desberdintzako parentesi barruko integrala aztertzerakoan etaD. K. Watsonek [47] artikuluan erabilitako arrazonamenduan oinarrituz, 1 <s < 2 eta s > 2 kasuak ezberdinduko ditugu .

Baldin eta 1 < s < 2 bada eta IIr,P(U)ls' = IIr,p (u)Is'-2 IIr,p (u)I2 idazten

badugu, IIr,p(u) I < 11Q111 < C denez gero, IIr,p(u) is' _< CIIr,p(u) 12 izango da .Alegia, edozein 1 < s < 2 indizetarako

non

eta

86

2

2s

L_11 IIr,P(u) IS' dr s' < c f~, 1 IIr,P(u) I2 r

'

Bestalde, s > 2 bada, H~lderen desberdintza aplikatuz gero,2

Cf , 1 1 IIr,P(u)Isi drls< C f

2,11

IIr,P(u)I2dr

I1=2j+1

e-21rir(v- f» •pu drf2i -1

r

2i+1

dr12

Ie-2zrir(v-v) •pv - 1 i= 2a-1

r

izango dugu .

Idatz dezagun,

IIr,p(U )I2 =fsn_1XSn_1

Q(v)Q(v)e 2Trir(v-v) •Puda(v)da(i1)

fsn-1 Q(v)du(v) = 0 denez, hurrengo desberdintza egiazta daiteke :

2 '+ 1

drf ._1

SIIr,P(u)12 r < f

n-1 XSn-iI~(v) I I~(v) I min{Il , I2} du(v)du(v) ,

~

4.4 Nukleoa eraldatua duten eragile integral singularren bornaketak

baitira .Kapitulu honetako 2 . atalean, era horretako integraletarako estimazio

batzuk eman ditugu eta, beraz, estimazio horietatik, edozein c E (0, 1) har-turik, kasu honetan hurrengoak lortuko ditugu :

den .

Il< (2j p)E 1 (v -- v) - ulE eta 12 < C23PI (v - v) u l .

Honela, baldin eta s > 1 bada, a eta b positiboak existituko dira non2

fsn_1 fam,li ~Ir,n(u)I s , dr T

dar (u) < C min{( 23p) -a , (2ip) b }

Eta desberdintza hau (4.21) adierazpenera eramanez gero, (4.20) estimazioaerdietsiko dugu .

∎

(4.20) desberdintza (4 .19) adierazpenean ordezkatzerakoan, k E Z bakoitze-rako eta f E L,2.ad (Rn) denerako, k-ren independentea den or positibo baterako

fRn ITk,hf (x) I 2 dx < C2-I kh

fRn I f (x) I 2dx ,

(4.22)

estimazioa izango dugu .

Aurreko ataletako frogapenetako metodo berari jarraituz, L2 espazioanpisudun desberdintza bat frogatuko dugu. Oraingoan, lokalki integragarria denu funtzio positibo bakoitzerako eta edozein f funtziotarako,

fRn ITk,hf (x) I 2 u(x)dx < C I If (x) I2 Ahsl u(x)dx

(4 .23)

desberdintza beteko da, non C konstante absolutu bat den eta s 1 > 1 ba-koitzerako, Ah,,, eragilea, Ah,s1 u = (M(MfI h(Mus 1 ) 1 / S1 ) s1 1 1/sl adierazpenakemandakoa den .

(4.22) eta (4 .23) desberdintzak eta 4 .5 proposizioan aztertutako Mn ,h era-gilearen bornaketa kontuan hartuz, aurreko ataletako frogapenaren ideiak erre-pikatuz, edozein (2s)' < p < 2s indizetarako Tç,h : Lprad (W) -+ LP(Rn) delaerdietsiko dugu .

∎

87


4.5 Biderkadura espazioetarako hedapena

Eragile integral singularrak funtzio erradialen gainean eragiten dueneanduen bornaketa propietatea biderkadura espazioen kasura ere aurreko atale-tako metodo bera erabiliz heda daiteke .

Kontsidera dezagun RI x Rm espazioa eta S2 funtzioa S'-1 x Sm-1 bider-kaduran definituta, non

fsn 1 Q(yi, y2)do(y',) = fsm_ 1 9 (y ' , y ' )do(y'2) = 0

baitira, da, kasuan kasuko esfera bakoitzaren Lebesgueren neurri normalizatuaizanik .

Orduan, R' x R' espazioko Schwartzen klaseko f funtzio orotarako, hu-rrengo eragile integral singularra kontsideratuko dugu :

T12 f (x1, x2) = lim f

9(n1,

y2) f(xi- y1, x2 - y2)dyidy2 .

Ei-0,e2- O IY1I>E1,1Y2I>e2 Iy1I Iy2I

T1 eragileaz gain, R' x R' espazioan hurrengo eran definitutako Mnferagile maximala izango dugu :

Mnf (xl ) x2) = SUP

1n m f

I~(yl ) y2) I If (x1 - y1, x2 - y2) I dyldy2-R1,R2>0 Rl R2 IyII<R1,Iy2I<R2

Jarraian ageri den teoreman, TT eragile integral singularraren bornaketaaztertuko dugu, fo : (R+)2 -> R baterako, f (xi,x2) = fo (Ix1I, Ix2I) modukoakdiren R' x R' espazioko f funtzioetan eragiten duenerako . Atal honetan zehar,funtzio horiek "R' x R' espazioko funtzio erradial" gisa izendatuko ditugu .

P > 1 denean aintzat hartuko ditugun funtzio espazioak hurrengoak izangodira :

LPad(R' x R~) = {f, Rn x R~espazioko funtzio erradiala non_1

(1RnxR- If (x1) x2) IPdxldx2\

/

P

< oo} .

Aurreko baldintzatan eta adierazitako notazioa erabiliz, ondoko emaitzafrogatuko dugu .

Teorema 4.9 . Izan bitez n, m > 1 eta 2 E L1(Sn-1 X Sm-1 ) . Orduan, edozein1 LP(Rn x Rm) .

88

4.5 Biderkadura espazioetarako hedapena

Frogapena .

Frogapenean zehar, Rn espazioan soilik eragiten duten funtzioak Rm es-pazioan eragiten dutenen artetik ezberdintzeko, 1 eta 2 indizeak erabiliko di-tugu, hurrenez hurren . Honela, defini dezagun

K(x1ix2) = Ix1InIx2 IL Xl<IX 1 V2{} ®X{1<IX21<2}(x1,x2) '

Eta (r, s) indize bikote positibo bakoitzerako, dilatazioak hurrengo eran adie-raziko ditugu : K,,,(xli x2) = 2-rn-smK(2-r xi, 2-sx2 ) .

00T1 f = 1: Tj , kf deskonposaketa kontsideratuko dugu non (j, k) indize

j,k=-oobikote oso bakoitzerako

+00Tj,k f = 1: (K* (pl ® Xpk) 2) r , s * f

r,s=-00

den, {"j}jEZ = {2-inW1(2-j .)}jEZ eta { ~V 2}kEZ = {2-kmI,2(2-k .)}kEZ, Rneta Rm espazioetako identitatearen bi deskonposaketa izanik, hurrenez hurren,eta non IF i , i = 1, 2 funtzioak, kasuan kasuko espazioko Schwartzen klasekofuntzioak diren .

j eta k osoetarako eta f E Lŕad (Rn x Rm) denean,

2-j-*+1 2-k-8+1

fRnxRm ITj , kf (xl, x2) I 2 dxldx2 < C ~: J2-j-r-1 2-k-9-1 If (r1' r2) I2r1-1r2

-1

r,sEZ

. (f n-1 xSm-1IKr,s(rlul,r2u2)12da(ul)da(u2)) dr ldr2 .

S

a eta b positiboak existitzen direla frogatuko dugu, zeintzuetarako

1 Xsm-1 I K(Plul, P2u2) I2da(ul)da(u2) < C min{Pl, Pia } min{P2, P2b}sn -(4.24)

den .

I K(Plul) P2u2)I <fSn-1 I/2(vl) I fl (e

-27riR1v1 •p 1u1 _ 1) d" 1 do, (v1)1

,

non

Egiazta dezagun aurreko estimazio hori . Oraingoan,

fSn-1 Iµ(vl)I 1f1e-27riR1v1 •P 1u1

I do(v1),(v1),1

~2

27riR2v2 •P2u2Î~(v1) = J1 fSm-1

S2(v l , v2)2

da (v2 )

2R2

Pl > 1

o< Pl <1

89


baita .

Espazio baten kasuko arrazonamendua erabiliz gero, E2 E (0, 1) bakoitze-rako,

90

CP2 E2 fsm-1 19(v15 v2) l lu2 • v2l E2da(v2), P2 1

CP2 fsm -1 12 (vl ) v2) 11 ut

V21 du (v2), 0 < P2 < 1lti(vl) l -<

izango dugu . Desberdintza hauek kontuan harturik, a eta b positiboak existi-tuko dira non (4.24) egia den .

Honela, edozein (j, k) bikote osotarako, f erradialerako eta j eta k-ren in-dependenteak diren a eta b positibo batzutarako,

fRn xRm l Tj,kf (xl, x2) l2dxl dx2 < C2-Ijla-Ikib l lf 112

(4.25)

izango da .

Ondoren, Tj ,k eragilerako pisudun bornaketa bat lortuko dugu . Espaziobaten kasuan erabilitako metodoak orain erabiliko dugunarekin duen ezber-dintasun nagusia, kasu honetan, pisu egokiak lortzeko Rubio de Franciarenalgoritmoa ([31]) erabiliko dugula izango da .

Aukera dezagun Rn x Rm espazioan u(x 1i x2) funtzio positiboa, u E LP(R~ xRm) izanik. Har dezagun Ms Rn x Rm espazioko funtzio maximal sendoa. Msfuntzioa, p > 1 bakoitzerako, LP(R' x Rm) espazioan bornatuta dagoenez gero,Rubio de Franciaren algoritmoaz, v(x 1i x2) E LP(RI x Rm) pisua sortuko dugunon u < v i.n ., llvllP < CllullP eta Msv < Cv i.n. den, alegia, v c Ai (ikusaitzin-urratsak) .

Beraz,

fRnxRm lij,kf(x1, x2)12u(xl, x2)dxldx2

< CE f n m l(W,+T ® ~k+s) * f(x1, x2 )1 2Milv(xl , x2)dxldx2r,sEZ R xR

SZ(x 1 , x2 ) = SZ(-x1 ) -x 2 ) izanik .

4 .1 proposizioaren frogapenaren antzera, SZ E L l (Sn-1 x Sm-1 ) denerako etap > 1 denean M11 funtzio maximala LP(W x R) espazioan bornatuta dago,

Mnf(x1, x2) < f n 1 m-1lSZ(vl , v 2 ) lM„1 (M2f) (x1, x 2 )da(v 1 )da(v 2 )S

- xs

baita, non, i = 1, 2 indizetarako eta v2 bakoitzerako M;,, dagokion espaziokoHardy-Littlewooden funtzio maximal norabidetua den . Funtzio horiek LP es-

pazioetan, p > 1 denean, norabideen independenteak diren konstanteez bor-ratuta egotearen ondorioz, Mn funtzioa LP(Rn x Rm) espazioan bornatutadago .

Beraz, p > 1 bada, Rubio de Franciaren algoritmoa aplikatuko duguw E LP(R1 x R) pisua sortzeko zeinak Mf2v(xl , x2) < W(x l , x2) i-n-, I IW I IP <

CI I MnvH Ip eta MSW(xl , x2) < CW(xl , x2) i .n . beteko baitu, bereziki w E Aiizanik .

Rn x Rm espazioan lokalki integragarria den edozein u positibotarako etaRubio de Franciaren algoritmoaz lortutako v eta w pisuak kontuan harturik,edozein f funtziotarako hurrengo erako desberdintza bat errazki froga daiteke :

fRnxRm ITj,kf Itu < c f,xRm If I2W ,

( 4 .26)

non C konstante absolutu bat den .

(4 .25) eta (4.26) estimazioetatik eta aurreko emaitzetarako erabilitako arra-zonamenduari jarraituz, edozein p > 1 indizetarako, Tn : LPad(Rn x Rm) -~LP(Rn x Rm) dela erdietsiko dugu .

4.6 Pisudun bornaketak

Atal honetan


fRn'Mnf 1PÚi < Cp fRn 'f'PÙ) ; fRn ITTfIpW < Cp fRn IfIPW

∎

erako estimazioren bat betetzen duten w pisuak lortzeko planteamendua egitendugu .

[28] artikuluan, B . Muckenhouptek eta R. L. Wheedenek berretura pisu-etarako, w(x) = Ixi" itxurakoak, alegia, emandako zenbait bornaketa lortzendituzte. Beranduago, D . S. Kurtzek eta R . L. Wheedenek, [27], SZ funtzioakDini erako zenbait baldintza betetzen duenerako eragile integral singularrerakopisu orokorragoak lortu zituzten .

[47] artikuluan, D . K. Watsonek SZ E L4 (Sn-1 ), q > 1, tamainu baldintzabetetzen denerako eragile integral singularretarako zenbait pisudun estimaziofrogatzen ditu .

D. K. Watsonek egindakoaren independentziaz, [15] artikuluan, J. Duoan-dikoetxeak [47] artikuluko zenbait emaitza lortzeaz gain, Mn eragile maxi-malerako zenbait pisudun bornaketa frogatu zituen . Berez, lan bera horretan,

9 1


Sl E Lq(Sn-1 ) denean, q > 1 izanik eta

max(-n, -1 - (n - 1) P) < a < min(n(p - 1), p - 1 + (n - 1) p)

(4.27)

denean, bai Tç2 eta bai MM eragilea ere LL( Ix l') espazioan bornatuta daudelafrogatzen da . [28] artikuluan, gainera, tarte hori lor daitekeen hoberena delaegiaztatzen da .

Aipatutako emaitzetan, SZ E Lq(Sn-1 ) baldintzan q > 1 izatea funtsezkoada. Honela, SZ E L 1 (Sn-1 ) kasuko egoera aztertzeke dagoela ikusirik eta kapitu-lu honetako ideia nagusiari jarraituz, Tç eta Mn eragiletarako, hauek, L'ad (w)espazioetako funtzioetara murrizten direnerako zenbait pisudun estimazio lor-tuko ditugu .

4 .6 .1 M1 eragilerako pisuak

Teorema 4.10 . Izan bedi 9 E L l (Sn-1 ) . p > n denerako eta w E APn bada,

MI? : Lpad (w) -* LP(w) . Gainera, p > 1 denean eta -n < a < p - 1 badaMn : Lpad ( IXI') -* L1 ( I xl" ) da. Topa daiteke 9 E L 1 (Sn-1 ) zeinetarako -n <a < p - 1 tartea lor daitekeen hoberena den .

Frogapena.

Kontuan harturik

Muf (x) =ffn-1

1Q(u) 1Mu f (x)do(u)

dela eta S2 E L'(Sn-1 ) denez gero, Minkowskiren desberdintzaz

l I M12f H I LP(w) < fsn-1 iç2 (u) i i I Muf i ILP(w) da(u)

(4.28)

dugu, non Mu, U E Sn-1 norabideko Hardy-Littlewooden funtzio maximal no-rabidetua den .

lMu f I l LP(w) < Cl I f I ILP(W) desberdintza, u-ren independenteatanteaz egia balitz, orduan, Mn : LP(w) -> LP(w) genuke .

Beraz, gure helburua, f E Lpad(w) denerako

den C kons-

sup 1IMuf IILP(w) < CII f I ILP(w)

(4.29)uESn-1

beteko duten pisuak lortzea izango da .

92

f funtzio erradialetarako, p > n denean eta w pisu batzutarako,

bornaketa frogatuko dugu .Har dezagun

fR I sup 1 Muf (x) IPw(x)dx < C f n I f (x) IPw (x)dx

n uE5

R

Mf (x) = supA JAI1 fa If(y)I dy


funtzio maximala, non gorena jatorrian zentratutako eta x barruan duten Aeraztunen gainean hartua den . Izan bedi f = XE erradiala, orduan,

sup MuXE(x) < C(n) (MXE(x)) 1/n i .n .

(4.30)uESn-1

Gainera, f erradialetarako, M f (x) - M f (x) ia puntu guztietan bete-tzen da . (4.30) desberdintza eta bi eragile horien arteko baliokidetasuna J .Duoandikoetxeak, V. Naibok eta O . Oruetxebarriak [20] artikuluan frogatudute .

Edonola, lokalki integragarria den w positiborako,

fRn I uESP 1

MuXE(x)IPw(x)dx < C(n) fRn

I MXE(x)~PInw(x)dx

dugu .Orduan, p o > n denerako w E AP0 /n bada,

fRn I uESP

1 MuXE(x)IPOw(x)dx < Cw(E) .

Lorentzen espazioetako interpolazioa aplikatuz eta sup,

_1 Mu eragileaL°° espazioan bornatuta dagoela kontuan harturik, n < p o n denean, bereziki, eta -n < a 1 indizetarako, M0 eragilerako berretura pisuaklortzeari ekingo diogu .

93

u-ren independentea izanik, eta M,,, eragile positiboa denez gero, azkenekobaieztapen hori Mu eragilea l xl aL°° espazioan, -1 < cx < 0 denerako etau E Sn-1 norabidearen independentea den konstanteaz, bornatuta egotearenbaliokidea da . Beraz, (4 .28)-ren arabera, p > 1 eta -1 < cti < 0 bada,orduan, Mu : LP (l x l

a)-3 LP (l x I

a) . Horrez gain, edozein p > 1 denerako,Mu : LP(Rn) -+ LP(Rn) da bornaketa konstantea u e Sn-1 norabidearenindependentea izanik . Hortaz, lan honetako aitzin-urratsetan aipatutako 1 .13proposizioko interpolazio emaitzaz, p > 1 bada,

Mu : LP (Ixla ) -f LP (Ixla), O < a < p- 1 ,

izango dugu, non bornaketa konstantea, hemen ere, u E Sn-1 norabidearenindependentea den . Hau da, SZ E Ll (Sn-1 ) bada, (4.28) kontuan hartuz gero,p > 1 eta -1 < a n denerako, f E Lprad(l xl a) eta-n < a 1 indizetarako eta -n < a 1 eta -n < a < 0denerako bornaketa ziurtatzea nahikoa izango da .

Izan bedi p > 1, -n < a < 0 eta f e Lprad(Ixl a), orduan, u E Sn-i

norabidean uniformea den I I Muf IILP(hh) < Cl I f l lLP(IXla) bornaketa beteko delafrogatuko dugu .

Bai f, bai pisua ere erradialak direnez gero, orokortasunik galdu gabe, u =e l = (1, 0, . . . , 0) dela suposa dezakegu . Orduan,

eragilea izango dugu .

Hurrengo baliokidetasuna errazki froga daiteke :1

2k+1Mif (x) « suP - J

I f (x - tel ) Idt .kEZ 2k 2k

k E Z bakoitzerako izan bedi m x

1 2k+1

,k f ( ) = F f2k If (x - tel ) l dt beraz,

Ml f (x) ' sup mk f (x) .

(4.32)kEZ

94

1Rn I

MMf (x)IPIxladx < C fRn If(x)lPlxladx .

(4.31)

r

Mel f (x) = Mi f (x) = sup - f l f (x - te,) Idtr>0 r 0


Alde batetik, -1 < cti < 0 bada, M,,,(Ixl a) < Clxla da, C konstantea

-n < a < 0 bada, edozein f E Lpad (Ixl") funtziotarako eta edozein kosotarako,

fRn Imkf(x)IPlxl'dx < C fRn If(x)IP Ixl ' dx

dela frogatuko dugu non C konstantea k-ren independentea den . Har deza-gun k = 0 osoari dagokion eragilea, hau da, p > 1 denean LP(Rn) espazioanbornatuta dagoen m o f (x) = fl I f (x - tel) I dt eragilea .

Idatz dezagun,

Imof(x)IPIxIadx=

Imof(x)I P IxI'dx+ f

Imf(x)IP IxIadxfRn

fI'.I<á

.xI>_á

Bigarren integrala hurrengo eran deskonposatuko dugu :00

f~l]1 Imof(x)IPIxI adx= E f~ <IxI<2j+1 Imof(x)I P IxI~dx .-8

j= - 3 -

m o f (x), e l bektorearen norabidean x-tik 1 ordenako distantziara dagoenf-ren euskarri zatian funtzioa bera integratzea baino ez da .

Hurrengo integrala aztertzerakoan

f<IxI<zj+1 Imof(x)IP IxIadx,

aintzat hartu beharreko f-ren euskarri zatia, e l bektorearen norabidean 2j <Ix I < 2j+1 eraztuna unitate baten ordenako traslazioa aplikatuz lortzen deneskualdea izango da, hortaz, j > 2 denean, bai aurreko integralean bai kontuanhartu behar den f-ren euskarri zatian ere, Ixla, funtsean, konstantea da, beraz,pisurik gabeko LP espazioko mo eragilearen bornaketa dela eta, p > 1 denerako,

f<<+áIxl2~1

~ Imof(x)lPlxl"dx< Cfx if(x)IPIxIadxH2i


izango dugu .

Bestalde, baldin eta -3 < j < 2 bada, kontsideratu beharko dugun f-ren euskarri zatia jatorritik hurbil dago eta a < 0 denez gero, f If (x) IPdx <C f I f (x) I P I x Iadx da. Honela, -3 < j< 2 indizetarako, p> 1 eta -n < a < 0bada,

Imof(x)IPIxI'dx < Cf

If(x)IPIxI~dx .f 1 eta -n < a < 0 bada,

~~I>8 Imof(x)lPlxl&dx < CfRn lf(x)lPlxl'dx .

95


Jarraian, f,,1<á Imof (x) IP I x 1 adx integrala aztertuko dugu .

I x 1 < 1 bolan, mo f kalkulatzerakoan, kontuan hartu beharreko f-ren euska-rri zatia 1-1/8 < 1x1 < 2+1/8 eraztunean dagoena da, hortaz, f-ren euskarriaC 1 = {x : 1 - 1/8 < 1x 1 < 2 + 1/8} eraztuna dela suposa dezakegu . Orduan, ferradiala izanik, existitzen da fo : (1 - 1/8, 2 + 1/8) -+ R funtzioa zeinetarakof (x) = fo ( jx j ) baita .

x E B(0,1/8) bakoitza x = (xl , b) eran adieraziko dugu, x l E (-1/8,1/8)eta b E (-1/8,1/8)-1 izanik. Bestalde, x-tik abiatuz eta e l bektorearen nora-bideari jarraituz f-ren euskarrian jausten diren puntuak (t .,, b) eran adierazikoditugu non t,, 1 ordenakoa den eta, hortaz, i b 1 « ti .

Orduan, f (t,:, b) = fo (p(tJ ) izango da non p(tj adierazpena (ti , b) puntua-ren norma baita, alegia, p(tj =y/ (tx)2 + b2 . Honela,

mof (x) = f 2 if (x - tel ) idt = C f 2 I foVb2 + t 2 ) ldt .1

1

Aurreko integralean, b2 + t 2 = s2 aldagai aldaketa eginez gero,

f2 I f (x - te l ) I dt = Cf2 1fo(s)Ico8(s)

dugu, non, s bakoitzerako, 0(s), (tx , b) bektoreak e l norabidearekin osotzenduen angelua den . Kasu honetan, Ibi « t,, izanik, 1/ cos 8(s), s aldagaianuniformeki bornatuta dago eta, beraz,

mof (x) < C f2 1fo(s)1ds1

da.Orduan, p > 1 denerako,

L'<1 Imo f(x)1P1x1'dx < C (f2 1 fo (s)1ds) P f~I<8 ~x~'dxs

< C (f2 ifo(s)Ids)P

96

izango dugu .

da, bigarren berdintza soilik -n < a denerako egia izanik.Azkeneko integralean Hólderen desberdintza aplikatuz gero,

(f2 ~fo(s)Ids) P < C f2 jfo(s)iPds = CfRnl f(x) lP lx la dx


Honela, p > 1 eta -n < a bada,

I 1<8lmof(x)lPlxladx < C fRn lf(x)lPlxladx .

Beraz, p > 1 eta -n < a < 0 denean, f E Lpad (l xl a) funtzioetarako,

fRfl lmof (x) lP l xl'dx < C fRn I f (x) l Plxl adx .

(4.33)

Gainera, k c Z bakoitzerako fk(x) = f (2kx) denean1

2k+1

mkf (x) = 2kJ2k

l f (x - te l ) ldt = mofk(2-kx)

dela kontuan izanik, (4.33) desberdintza erabiliz gero, p > 1, -n < a < 0 etaf E Lpad (l x l a) denerako,

ondorioztatuko dugu, non C konstantea k zenbaki osoaren independentea den .

M1 ^' SUPkEZ mk eragilea, p > 1 denean LP(Rn) espazioan bornatuta dago,eta frogatu berri dugun legez, k E Z bakoitzerako eta -n < a < 0 eta f E

Lpad (x lO') denerako,

fRn lmkf(x)lPlxl'dx < C fRn If(x)lPlxladx

da, C konstantea k-ren independentea izanik . Orduan, M1 eragileari lan hone-tako 3 kapituluko 3 .7 lema aplika dakioke eta hortaz, p > 1 denean, -n < a < 0eta f c Lpad(l xl a) bada,

fRn l M1f(x)lPlxl'dx < C fRn lf(x)lPlxl'dx

dela ziurta daiteke . Honela, p > 1 eta -n < a < 0 denean, M11 : Lpad (l x l ") _*LP(lxla) izango da non bornaketa konstantea u E Sn-1 norabidearen indepen-dentea den. Eta S2 E L1 (Sn-1 ) denez gero, (4 .28) desberdintzaz, p > 1 eta-n < a Lp (I 'C'l a)

97


Jarraian, a-rako tarte hori lor daitekeen hoberena dela frogatuko dugu .

Berez, p > 1 denean a < p- 1 baldintza beharrezkoa dela frogatzea nahikoaizango da .

Hurrengo kontradibidea eraikiko dugu . 12 E L'(Sn-') izanik, 52 esferarengaineko neurri bat denerako baldintza beharrezko bat lortzea nahikoa da . Hardezagun, adibidez, teorema honen frogapenaren aurreko atalean erabilitako Mleragilea eta f = X{I s j < a} funtzio erradiala, 8 E (0, 1) nahi adina txikia izanik .

Baldin eta

IMl f(x )IPIx iadx < C f If(x)1PIxiadx

(4 .35)fRfl

Rn

desberdintza egia bada, halabeharrez a Cbl ixl da. Orduan, (4.35) betetzen bada,

8P

a-Pdx < Cf IMlf(x)IP1xladx < CSa+nfRS Ixl

Ró

estimazioa izango dugu, a 1 denean, -n < a LP (Ixl a)

(4.36)

dugu, L1-ko SZ guztietarako a-ren tarte hori lor daitekeen hoberena izanik .

4.6 .2 Tp eragilerako berretura pisuak

Teorema 4 .11 . Baldin eta S2 E Ll (Sn-1 ) bada non fSn-1 Q(u)da(u) = 0 den,orduan, p > 1 denean, -n < a < p - 1 bada

TQ : LPad(Ixla) -# LP(¡xla)

da. Gainera 9 E L 1 (Sn-1) topa daiteke zeinentzat Tn -rako emandako a berre-tzaileen tarte hori eman daitekeen hoberena den .

98

∎


Frogapena. (4.36) kontuan harturik eta [15] artikuluko emaitzaren (lema 1)arabera, 1 2 kasua .

Lehenik eta behin -n < a < 0 kontsideratuko dugu . Kapitulu honetako 2 .

atalean bezala, eragilea hurrengo eran deskonposatuko dugu :00

oo

0,3Tof(x)_y: 1: Kj * Tk+j * f(X) =

Tkf(X)k=-oo j=-oo

k=-ce

Bereziki, (4 .37) emaitza kontuan hartuz gero, baldin eta f E LTad( IX I ")

bada, -n < a < 0 izanik,

fRfl ITkf(X)I 2 IxI"dx <CfRn

If(X)I 2 IxI"dx ,

dugu non C konstantea k-ren independentea den .

Bestalde, kapitulu honetako 2 . atalean frogatu dugunez, p > 2 bakoitzerako,

IfR

bereziki, eta f E Lpad(IXI") bada, existitzen da a > 0 zeinetarako

Tkf(x)IPIXI"dx < C2-nIkIf

If(X)IPIxI"dxn

Rn

baita .Orduan, azkeneko bi estimazio hauek interpolatuz, p > 2 eta -n < a < 0

denean, f E LPad (I x I ") hartuz gero,

fRn ITkf(X)IPIXI"dx < C2 -a( l- p) Ikl fRn

If(z)IPIxI"dx


Hortaz, baldin eta p > 2 eta -n < a < 0 bada, To : Lpad (I x I ") -~ LP (I x I ") .

Ondoren, p > 1 eta 0 < a < p - 1 denean ere, T0 eragilea f E Lpad (Ix I ")

funtzioetan eragitean bornatuta dagoela frogatuko dugu . Horretarako, j E Zbakoitzerako, f E Lpad (Ix I ") funtzioa hurrengo eran deskonposatuko dugu:

f = fX{IxI<2à-1} + fX{IxI>ti-l} = fi + f2 •

Orduan,

fRflITnf(x)IPIxI"dx = F, f<<+1IXI2iITnf (x)IPIxI"dx

jEZ

<

f

IToofi(x)IPlxI"dx+I f

ITof2(x)IPIxI"dx .jEZ IxI-2j

jEZ ii-1-2j

99


Has gaitezen bigarren batukaria aztertzen .

~F fXj-V I Tgf2 (x) IP I x l "dx - > 2'"f j-2jITTf2 (x) I Pdx

jEz

< CE2j'

If(x)IPdx-Cf n f(x)IPIxI"dxjEz

~x l >2~

R

dugu, non lehenengo desberdintzarako, p > 1 bakoitzerako Tç eragilearenLPad (M ) funtzioen gaineko bornaketa erabili dugun eta azkeneko baliokide-tasuna, a > 0 denerako eta f edozein denerako,

betetzen dela kontuan hartuz lortu dugu .Jarraian,

j

ITTfi(x)IPIxI"dx

batukaria aztertuko dugu .

Baldin eta Ixl - 2j eta IyJ < 23-1 bada, Ix - yI > 2j -1 da, beraz,

ITÇIfil(x)I <- 2(jc1)n

L(O, -l)

2;IQ((x-y)')IIf(y)Idy< CM~(f)(x) .

Alegia, p > 1, 0 < a 41-2i ITTfi(x)IPIxI"dx < C OE ff1N~ IMMf(x)IPIxI"dx

=C fRn IMMf(x)IPIxl"dx < C fRn If(x)IPIxI"dx

da, non azken desberdintzan, (4.36) emaitza aplikatu dugun .

Edonola, p > 1 eta 0 < a 1, -n < a LP (Ix I") bada, halabeharrez, a ~ If(x)IPdx

fITçif(x)IPIxI"dx < C f If(x)IPIxI"dx .

Rn

Rn

Hori lortzeko, eta 4 .10 teoremaren frogapeneko kontradibidean erabilitakoideia berari eutsiz, hurrengo neurria hartuko dugu :

1, u= e,,Q(u) _ -1, u = -e,,

0, beste kasuetan .

Oraingoan, I Tnf 1 = CjH1 f 1 da, non Hl eragilea e l bektorearen norabidekoHilberten transformatua den .

Beraz, f E L'rad (lx la ) denean

JRn

~Hlf(x)1PIxIadx < C fRn lf(x)IPlxl'dx

bada, orduan, halabeharrez, a < p - 1 izan behar dela frogatuko dugu .

Izan bedi f (x) = X{Ix I <5} funtzio erradiala non 0 < S « 1/2 den. Orduan,EuskHi f C R x (-S/2, b/2)n-1 . Berriz ere, aurreko atalean definitu dugunHl f-ren euskarriko Ró multzoa kontsideratuko dugu, honela, bereziki,

fRl Hif (x)1P1x1adx < C fRn if (x)IPlxladx = Cba

+nó

beteko dela suposatuko dugu .

Ra multzoan, Hl f (x) > CS/IxI, hortaz, aurreko desberdintza, berez, hu-rrengoa da :

SpfR~

I xI a-Pdx < C8a+n ,

zeina, soilik, a < p - 1 denean egia izan baitaiteke .

Alde batetik, bai MQ -rako bai To eragilerako ere lortu ditugun pisu erra-dialak kontsideratuz eta, bestetik, (4 .27)-ko pisuak aintzat hartuz, hurrengoemaitza ondorioztatuko dugu :

Korolarioa 4 .12 . Izan bedi S2 E LQ(Sn-1 ) non q > 1 den. Orduan, p > 1denean, Mn eta T1 eragileak Lpad(Ix1a) espazioko funtzioen gainean eragiteanLP(Ixl a) espazioan bornatuta daude, baldin eta

bada.

-n < a < min{n(p - 1),p - 1 + (n - 1) P}


∎

1 01


1 02

Kapitulua 5

Zenbait funtzio koadratikotarakopisudun bornaketak

5.1 Sarrera

Littlewood-Paley erako eragileek, hala nola Marcinkiewicz erakoek ere, ana-lisi harmonikoan duten eragina funtsezkoa da . [40] artikuluan, E . M . Steinekzenbait funtzio koadratikoren jatorriari eta garapenari buruzko ikerketa histo-riko bat aurkezten du .

Atal honetan,

~g(f) (x) = Jo00

INt * f (x)12

dtt 112

(5.1)

itxurako funtzio koadratikoetarako pisudun estimazioak lortzea izango da gurehelburu nagusia.

(5 .1) adierazpeneko Nt nukleoak, R' espazioko N funtzio finko baten di-latazioak direnean, hots, t positiborako, Nt (x) = t`N(t -1 x) denean, g funtziokoadratikoen kasu berezi bat lortuko dugu . Honela, baldin eta N Schwartzenklaseko funtzioa bada eta N(0) = 0 betetzen bada, g(f) era jarraian eman-dako Littlewood-Paleyren funtzio koadratiko bat izango da . Eta beraz, kasuhorretan,

IIg(f)H -< Cliflh , 1 < P < oo

(5 .2)

izango da, ikus [22] argibideetarako .n = 1 denean eta N(x) = X[-1,o] (x) - X[o,1](x) denerako, g(f) Marcinkie-

103

5 Zenbait funtzio koadratikotarako pisudun bornaketak

wiczen funtzioa da, hau da,

00

dt 1/2

g(f) (x) = f jF(x + t) - 2F(x) + F(x - t) 12ta

,

non F f-ren jatorrizko funtzio bat den . 1944 . urtean, A. Zygmundek funtziohonek ere (5.2) betetzen zuela frogatu zuen . [37] lanean, E . M. Steinek, Rn es-pazioan definituta dagoen Marcinkiewiczen funtzioaren hedapen bat definitzendu, definizio horretarako, N(x) = j xj1-'Q(x')x{j ,~j<1}(x) aukeratuz, x' = j xj -'xizanik eta Q bat erradiodun esferan definitutako eta bertan integral nuluaduen Lipschitz funtzio bat izanik (berez, S2 funtzioari ezarritako baldintzak,Calderón-Zygmunden integral singularretako nukleo erregularrei ezarri ohi zaiz-kien baldintzak dira) . [37] artikuluan, E . M . Steinek, Rn espaziora hedatutakoMarcinkiewiczen funtzioak 1 < p < 2 denean (5 .2) betetzen duela frogatu zuen .A . Benedekek, A. P. Calderónek eta R. Panzonek, [1] artikuluan, S1 E C 1 eta1 < p < oo denerako, (5 .2) ere betetzen dela egiaztatu zuten .

Bestalde, D. Kurtzek, [26] artikuluan, era jarraian emandako Littlewood-Paley erako funtzioa LP(w) espazioan bornatuta dagoela frogatu zuen, w E APdenerako (1 < p < oo izanik) . [45] lanean, berriz, A . Torchinskyk eta S . Wangekzenbait emaitza interesgarri lortzen dituzte, horien artean, aipagarriena, E . M .Steinek definitutako Marcinkiewicen eragilearen R' espaziorako hedapenarenLP(w) espazioko bornaketa, 1 < p < oo eta w E AP denerako.

Nukleo ez-erregularra duten T- integral singularren kasuan bezala, hauda, Q-k erregularitate baldintza bat bete beharrean SZ E Lq(Sn-1 ) erakotamainu baldintza bat betetzen duen kasuetan bezala, nukleo ez-erregularraduten g funtzio koadratikoetarako ere bornaketa propietateak aztertzeko in-teresa sortzen da . Zentzu honetan, Y . Dingek, D . Fanek eta Y . Panek, [12]artikuluan, S2 E Lq (SI-1 ) bada, q > 1 izanik, Marcinkiewiczen funtzioarenhedapena, Steinen arabera, p > q' indizeetarako eta w E Ap qi denerako LP(w)

espazioan bornatuta dagoela frogatzen dute . Artikulu horretan bertan ere etaintegral singularrei buruzko zenbait emaitzetan sarritan erabilitako AP pisuendualitate propietateak kontuan izanik, p indizearen balio txikiagoetarako erezenbait pisudun bornaketa lortzen dituzte .

Kapitulu honetan aurretik aipatutako funtzio koadratikoak ere barneanhartzen dituen funtzio koadratikoen klase zabalago baterako zenbait pisu-dun bornaketa aztertuko dugu . Honela, adibidez, Marcinkiewiczen funtzioarenR' espaziorako hedapen ez-erregularraren kasu konkreturako, [12] artikuluanaipatutako AP pisu-klaseekin erlazionatuta dauden pisuez gain, pisu-klase za-balago bat lortuko dugu .

(5.1) adierazpenaz emandako g(f) funtzio koadratikoaren definiziotik eta

1 04

5.2 L2 espazioko bornaketak

orokorrean, N funtzio finko baten dilatazioa izan beharrik ez duen Nt nukleo-en Fourieren transformatuek jausiera zehatz bat dutenerako, L2 espazioan gfuntziorako pisudun zenbait estimazio errazki lor daiteke . Kapitulu honetako2 . atalean g funtzioa L2 (w) espazioan bornatuta egon dadin w pisuetarako bal-dintza nahikoak emango ditugu . Bornaketa horren hedapena, p 2 den kasura,[31] artikuluan, J . L . Rubio de Franciak Ap pisu-klaserako frogatutako extra-polazio teorema baino orokorragoa den ez-muturreko pisuetarako extrapolazioteorema baten bidez lortuko dugu . Extrapolaziozko teorema horren enuntziatua3 . atalean emango dugu eta bere frogapena kapitulu honen eranskinean .

12 E L°° denean, bereziki, S2 erregularra denean, J . L . Rubio de Francia-ren extrapolazio teorema nahikoa izango da g funtziorako bornaketa emaitzaklortzeko . Edonola ere, frogatuko dugun extrapolazio teorema orokor hori erabil-tzeak jada ezagunak diren funtzio koadratikoei buruzko zenbait emaitza lortzeaeta, zenbait kasutan, hobetzea ere ahalbidetuko du . Honela, adibidez, 4 . ataleanlortuko ditugun emaitzen aplikazioei eskeiniko diogun atalean, S . Satok, [33],bere arrazonamenduetarako Ar pisu-klaseei dagokien extrapolazioa soilik erabi-liz lortzen dituen emaitzetan ageri diren murrizketak, ez-muturreko pisu-klasezabalago baterako frogatuko dugun extrapolazioaz gaindigarriak direla egiaz-tatuko dugu .

5 . atalean aurretik aztertutako funtzio koadratikoak baino singularragoaden funtzio koadratiko baten adibidea aztertuko dugu, non funtzio berezi ho-rretako nukleoen konboluzioak, lan honetako 3 kapituluan aztertu dugun M f =supt>O lStf 1 funtzio maximal esferikoaz goi-bornatuta baitaude . Azkenik, 6 .atalean, frogatutako emaitzen zenbait hedapen emango dugu .

Kapitulu honetan zehar, 11f Ip ,, adierazpenaz LP (w) espazioko f funtzioarennorma adieraziko dugu eta ATBS-ren bidez {uTvs : u e A, v E B} multzoa .

5 .2 L2 espazioko bornaketak

Atal honen hasieran zenbait w pisutarako baldintza nahikoak emango di-tugu, (5.1) adierazpenaz definitutako g(f) funtzio koadratikoa L2 (w) espazioanbornatuta egon dadin .

Teorema 5 .1 . Demagun t > 0 bakoitzerako eta zenbait a, ,3 positibotarako

INt (e)1 < C min {~t ~-~, ~t ~Q}

(5.3)

dela eta w E A2 pisuak

sup f INt * f (x)l 2w(x)dx < Cf J f (x)J 2w(x)dx

(5 .4)t>0 Rn

Rn

105


betetzen duela .

Orduan, baldin eta 0 < s < 1 bada,

fRn ig(f) (x) 1 2ws (x)dx < C fRn 1 f (x)12ws (x) dx .

(5.5)

Frogapena.

Izan bedi b E S(Rn) non Eusk 0 C {~ : 1/2 < 1~1 < 2} den eta ~ =~ 0denerako, EkEZ I(2ke) = 1 baita .

Edozein t positibotarako eta k zenbaki osotarako izan bedi (Jk)t funtzioa,(Ok) t(e) = j(2 kte) berdintzaz definituta . Idatz dezagun

Nt*f(x) = ENt * (`bk)t*f(x)kEZ

gk(f) adierazpenaz, Nt * ('bk)t nukleoari dagokion funtzio koadratikoa adie-raziko dugu eta, hortaz, hurrengo eran definituko dugu :

~~~9k (f) (x) = f

ooINt * (`Yk)t * f (x)12

dt1/2

t

Orduan, p > 1 denerako eta edozein w pisutarako Minkowskiren des-berdintzaz,

beteko da.

Edozein k osotarako, gk (f)-rako L2 espazioko norma aztertuko dugu. Fu-biniren eta Plancherelen teoremak erabiliz,

2 = oo

I Nt (~)12 1 (2kt~)1 2 1 f (~)12d~d119k (f)112 - f fRn

t

lortzen dugu .

~ funtzioaren euskarria kontuan harturik eta (5.3) baldintzaz,

dugu, a = min (a, 0) izanik .

106

00

119M11p,. -< ~: Ilgk(f)IIp,wk=-oo

Ilgk(f)112 < CfRnf 2 k k 1 1W-1 (min{It~1 -`~, ItÇ1s}) 2dt 1f(e)12de

IeI -

< C2-21k10fRn

if(X)12 dx

den .

5.2 L2 espazioko bornaketak

Beraz, edozein k zenbaki osotarako, a positiboa existitzen da non

Ilgk(f)1I2 < C2-Ikl°IIf1I2

(5 .6)

Alegia, (5 .3) baldintza nahikoa da g(f) funtzioaren L2 espazioko bornaketaziurtatzeko .

Jarraian, gk (f) funtziorako L2 (w)-ko bornaketa frogatuko dugu . Hurrengoadugu:

Ilgk(f)II2,ù; - lo00fRn I Nt * (ek)t * f (x)12w(x)dx~t 00

dt<

I Rn

I (`Yk)t * f (X) 12 t w(x)dx

< C JRn If (x)I2w(x)dx ,

non lehenengo desberdintza lortzeko (5 .4) baldintza erabili dugun eta bigarrene-rako, aldiz, w E A2 pisurako Littlewood-Paleyren desberdintza, era jarraikian,aplikatu dugun .

Azkeneko desberdintza uniforme honen eta (5 .6) estimazioaren artean neurriezberdinetako Lp espazioen arteko interpolazioa aplikatuz (ikus [43]), 0 < s < 1balioetarako,

I Igk(f) I I2,w9 < C2-Iklu(1-s) I If I I2,w5estimazioa erdietsiko dugu . Eta beraz, k osoren gaineko batura eginez gero,teoremaren frogapena amaituko dugu .

∎

Oharra 5.2 .

(i) Berez, g funtzio koadratikoa L2 espazioan bornatuta egon dadin beha-rrezkoa eta nahikoa den baldintza

sup f 00 I Nt () I2 dt < oo

(5 .7)1

o

da. Baina baldintza hau orokorregia da bertatik beste bornaketa mota batzuklortu ahal izateko .

(ii) (5 .3) erabilgarria den baldintza bat da ; halere, 5.1 teoremaren frogape-nean ikus daitekeenez, orokorragoa den hurrengo baldintzaz ordezka daiteke

1 2Rsup - f I Nt(u) I2dt < (min{R, R-1})° u > 0 izanik .

uESn-1 R R

(iii) Nt(x) = t-'N(t-lx) denerako, (5 .3) baldintza hurrengoa da: I1V()I <min{IBI-a, IeIR} .

107


5 .3 IJ espazioko bornaketa extrapolazioarenbidez

5 .1 teoremako baldintzak aztertuko ditugu . Alde batetik, (5 .3) baldintzaezinbestekoa izan da L2-ko bornaketa frogatzeko . Bestalde, L2-ko pisuaklortzeko (5.4) baldintza betetzen duen Muckenhoupten A2 klaseko w pisubatetik abiatu behar izan dugu w 3 , 0 < s < 1, g funtzio koadratikorako L 2-kopisuak izan daitezen . Azpimarratu nahi dugu, argudio honen bitartez w pisua,hots, s = 1 muturreko pisua, galdu egiten dugula .

Zer gertatuko litzateke A2 klaseko pisu guztiek (5 .4) erako baldintza batbeteko balute? Egoera horretan eta Ar = {ws : w E Ar 0 < s < 1} denezgero, 5 .1 teoremaren arabera A2 klase osoa g funtziorako pisu-klase bat izangolitzatekeela lortuko genuke . Beraz, Rubio de Franciaren extrapolazio teoremaaplikatuz ([31]), edozein p > 1 eta w E Ar denerako g, LP(w) espazioan bor-natuta egongo litzatekeela erdietsiko genuke . Era berean, r < 2 denean, Arklasean dagoen edozein w pisutarako (5 .4) baldintza egia bada, orduan, ex-trapolazioari esker, edozein w E Ap / r pisutarako, p > r izanik, g funtzioa LP(w)espazioan bornatuta egongo da .

Kapitulu honetan eragile azpilinealei dagozkien ez-muturreko zenbaitpisutarako extrapolaziozko teorema bat enuntziatuko dugu, teoremaren fro-gapena eranskinean emango dugularik. Bereziki, eragile azpilineal hori Hardy-Littlewooden eragile maximala denean, eta beraz, pisuak Ap klasekoak dire-nean, aipatutako teorema J . L . Rubio de Franciaren extrapolazio teorema bainoez da .

Edozein T eragiletarako eta 1 < p < oo indizetarako, defini dezagun

Wp (T) = {w : f ITf Ipw < CfRn

Rnf Ipw }

eta p = 1 denerako, T ez-negatiboa bada izan bedi

108

W1 (T) = {w : Tw(x) < Cw(x) i.n . } .

Aurreko pisu-klase horietarako, ez-muturreko pisu-klaseak kontsideratukoditugu, alegia,

AWp (T) = {w e Wp (T) : ws E Wp (T) , s > 1 baterako} .

T = M denean, M Hardy-Littlewooden eragile maximala izanik, Wp (M) =AWp (M) = Ap. Orokorrean, edozein T eragiletarako AWp(T) C Wp (T)partekotasuna dugu .

5.3 LP espazioko bornaketa extrapolazioaren bidez

Lehenik eta behin, (5 .4) baldintza betetzen duten pisuak lortzeko metodobat emango dugu . Horretarako, nahikoa izango da M eragile positibo eta azpi-lineal bat kontsideratzea, non puntuz puntuko hurrengo desberdintza betetzenden :

sup 1Nt * f (x) I < CM f (x) i.n .,

(5 .8)t>o

C konstante absolutu bat izanik .Egoera honetan, W2(M) pisu-klaseak (5.4) baldintza betetzen du eta 5.1

teoremaren arabera, {ws : w E W2 (M + M), 0 < s < 1 } pisuak g funtziokoadratikorako L2-ko pisuak diren ondorioa izango dugu .

Hurrengo atalean aztertuko dugun g funtzio koadratiko mota bakoitzerako(5 .8) erako desberdintza bat beteko da .

Orokorrean, kontuan izanik (5 .4) baldintza g(f) funtziorako L2 espaziokopisuak sortzeko abiapuntu bat izan dela, baldintza hori betetzen duten pisuenizaera aztertzeko interesa izango dugu .

Izan bedi S eragile lineal eta positiboa eta S* bere adjuntua . Demagun w,,eta w i pisuetarako hurrengoa betetzen dela :

S*w, < Bo wo i .n . eta Swi < Bi wi i.n . ,

(5 .9)

Bo , B, konstante absolutuak izanik . (5 .9) baldintzak, f --+ wi 'S(wif) eragilea-ren L 1 (wow i ) espazioko bornaketa eta L°O(wow i ) espaziokoa ere dakar . Hortaz,interpolazioz, S eragilea LP(wowi -P ) espazioan, p > 1, bornatuta egongo da .Hau da, p > 1 denerako, Wi (S*) W, (S) i-P C WP (S) eta, beraz, Wi (S) klaseenbidezko faktorizazioa onartzen duten pisuak, p indize bakoitzerako, WP (S)klaseko pisuak dira. Propietate hau, kapitulu honetako 4 . atalean emango di-tugun adibideak baino singularragoa den 5. ataleko adibidea aztertzerakoanerabiliko dugu .

Gure problemari dagokionez, t > 0 bakoitzerako, izan bedi St, (5 .1) adie-razpeneko jNt J nukleoaren konboluzioz definitutako eragile lineal eta positiboaeta g konboluzio horiei dagokien funtzio koadratikoa ; izan bedi St* bere ad-juntua, hots, l N (x) I = INt (-x) l nukleoaren konboluzioz definitutako eragilea .Baldin eta M eta M* eragile maximal batzutarako, sup t IStf I < CM f etasupt I S*f j < CM* f desberdintzak ia puntu guztietan betetzen badira, ordu-an, W,(M) eta Wi (M*) klaseen bitartez faktorizazioa onartzen duten pisuek(5 .4) baldintza betetzen dute . Honela, (5.3) baldintza egia bada, 5 .1 teore-maren arabera, AW1(M* + M)AW1(M + M)-1 klaseko ez-muturreko pisuak,M Hardy-Littlewooden eragile maximala izanik, W2 (g) klaseko pisuak izangodira .

109


Bai J . L . Rubio de Franciaren extrapolazio teoreman, hala nola B . Jawerth-en ([23]) teoreman ere oinarrituz, hurrengo teorema dugu :Teorema 5 .3 (Extrapolazioa) . Izan bitez M eta M* bi eragile positibo,azpilineal, LP espazioan bornatuta (1 < p < oc) eta zeinetarako

13p = U (Wi(M*)Wl(M)1-P ) S c Wp(M)

(5.10)O<s<1

13P = U (W1(M)Wi(M*)1-p), C WP (M*)

(5.11)O<s<1

den .

Baldin eta po finkorako eta w E 13Po pisu guztietarako, T eragilea LP- (w)espazioan bornatuta badago, orduan, edozein w E 13p pisutarako, p > 1 izanik,T eragilea LP(w)-n bornatuta dago .

Teorema honen frogapena, kapitulu honetako eranskinean ageri dena, J . L .Rubio de Franciaren eta B . Jawerthen extrapolazio teoremetako ideia nagusi-etan oinarrituta dago .

4 . atalean aztertuko ditugun funtzio koadratikoetarako, Marcinkiewiczenfuntzioaren aldaerak gehienak, eta kasuan kasuko M eragile maximal positiboeta azpilineal bakoitzerako, (5.8) moduko puntuz puntuko desberdintza batbeteko da. Horrez gain, adibide horietako guztietarako, 13p = AWp (M) eta13P = AWp(M*) dira, hortaz, pisu horiei 5.3 teoremaren araberako extrapola-zioa aplika dakieke .

Aurreko extrapolazio teorematik hurrengo korolarioa dugu :

Korolarioa 5 .4 . Baldin eta (5.3) badugu eta (5.8), (5.10) eta (5.11) baldin-tzak betetzen dituzten M eta M* eragileak existitzen badira, orduan, edozeinw c AWp (M + M) pisutarako g funtzio koadratikoa LP(w) espazioan bornatutadago .

[48] artikuluan, D . K . Watsonek 5 .4 korolarioko baldintzak bermatuko di-tuzten eragile ez-erregularren pisuen gaineko baldintza nahikoak aztertzen ditu .Bestalde, testuinguru orokorrago batean, J . Duoandikoetxeak ([16]) hurrengoafrogatzen du: baldin eta {pj},jEz Borelen neurri positiboen segidak

j f j (« < C j 2j~ j -a

a > 0

jµj (~) - µj (0)I < Cj 23 eI

betetzen badu, {µgi (0) }jEZ uniformeki bornatua izanik, orduan, M f (x) _supj EZ 1p j * f(x) 1 eragile maximalerako (5.10) eta (5 .11) faktorizazio propie-tateak betetzen dira, kasu honetan, M* eragilea, M*f (x) = supiEZ I íi * f (x)da non j bakoitzerako ucj (x) = pj (-x) baita .

1 1 0

5 .4 Aplikazioak

Jarraian, (5 .1) adierazpenaz emandako zenbait funtzio koadratikotarako pi-sudun bornaketa batzuk lortuko ditugu . Emango ditugun emaitzak aurrekoataleko 5 .1 teoremaren eta 5.4 korolarioaren ondorio zuzenak izango dira . .

Izan bedi 11, S` esferan definituta eta bertan batezbesteko nulua duenfuntzioa. Demagun S1, L 9(S`) espazioan dagoela q > 1 izanik. Baldin etat > 0 bakoitzerako b t , t parametroan uniformeki bornatua den funtzio erradialabada, ,ú < n denerako hurrengo funtzio koadratiko ez-erregularra definitukodugu :

g(f)(x) = f0

00 1

'tn_p

1yl<t bt(l yl) yv f (x - y) dy

non y qÉ 0 bakoitzerako y' = y/1 yI den. g honekin batera hurrengo funtziomaximala kontsideratuko dugu,

Mof (x) = sup 1 fr>o rn lyI<r l

Q (y') I I f (x - y)¡ dy .

(5.13)

Izan bitez M = Mn + M eta M* = MM + M eragileak non f2(u) = Q( -u)den. Eragile hauetarako, [16] artikuluan J . Duoandikoetxeak, AWP(M) _ Bpeta AWP(M*) = Bp* dela frogatzen du . Honela, 5.3 extrapolazio teoremaz, Meragilearen ez-muturreko pisu-klaseak extrapola daitezkeela ziurta daiteke .

Egoera honetan hurrengo teorema dugu :

Teorema 5 .5 . Aurreko baldintzetan emandako S2 eta b t funtzioetarako,

~Rn Ig(f)(x)1P w(x)dx <CfRn If(x)IP w(x)dx

estimazioa betetzen da, edozein w E AWP(M) pisutarako, 1 0 bakoitzerako, defini dezagun

Nt(x) =tnlpbt(I

x1) 1x 1Q X{IxI<t} .

Orduan, (5.12) adierazpenaz definitutako funtzio koadratikoa hurrengo eranidatziko dugu :

1/2

g (f) (x) =(100 IN

t * f (x)12dtt

5.4 Aplikazioak

(5 .12)

1 1 1


Teoremaren frogapenerako, nukleoaren Fourieren transformaturako (5 .3)erako baldintza bat eta (5 .8) moduko puntuz puntuko bornaketa bat egiaz-tatuko ditugu . Kasu honetan, (5 .8) bornaketan agertuko zaigun eragile maxi-mal positibo eta azpilineala M1 izango da,

baita, Q < n denean C(Q) konstantea finitua izanik .Hortaz, azkeneko desberdintza honen arabera, kontuan hartu beharreko

ez-muturreko pisuak, M = Mp + M eragileari dagozkionak dira, zeintzuek,[16] artikuluan ageri den arabera, extrapolaziorako (5.10) eta (5 .11) baldintzakbetetzen baitituzte .

Honela, Nt nukleorako Fourieren transformatua aztertzea besterik ez zaigufalta. Kontuan harturik fsn-1 Q(u) da(u) = 0 dela eta bt funtzioa t parametroanuniformeki bornatuta dagoela, t > 0 bakoitzerako,

estimazioa dugu .

Bestalde, integrala koordenatu polarren bidez idatziz gero,

1 12

I Nt * f (x) j

INt(~)I =

da .

INt(~) I =

tn1Q flyl<tlbt(lyl)I ylp' If(x-y)I dy

00 2(k+1)''< IIbtIIoo Etn

f_k-1t<lyl<2-ktÇ2 (y )I I .f(x - y) 1 dy

<_ C(0)II btII,Mnf(x)

fxI<t bt(lxl)tQ'3I)Is (e-2Trix •~ - 1)dx

< 27fl~lllbtll ,~,

n ~x

I dx < Ct~

I lhI<t t QI xll-1

1

t

tn-Rf bt(r)rn-1-a (IS.-1 Sl(u)e -2zraru •~ d~(u)~ dr

n-1

f1bt(tr)rn-1-p

(f n-11(u)e-27riru•t~ du(u)

\I dr

o

s

(5.14)

Defini dezagun IT (e) = fsn-1 Sl(u)e-2Triru'~da(u) . Orduan,

IÑ (~)(2 < CQIIbt11,,0 f 1 rn-1-a1Ir(te)12dr0

= CjI1bt11,, f 1 rn-1-Q ffsn-1Xsn-1 Sl(u)Sl(v)e-27riT(v,-v) • tedo, (u)da(v)dr .

Baldin eta n - 1 < f < n bada,

II

rn-1-Qe-2airu*~drl < Cmin{1, lu • ~ lQ-n }0

< C(lu . e 1 ll~l) (Q-n ) E

dugu edozein 0 < c < 1 baliotarako. Eta Q < n - 1 bada,

1IJ

rn-1-Qe-2zriru ~drl < Cmin{1, l u . l -1 }

<- C(lu-~'Ul)-E .

INt(~)12< cQIIbt II

,,~It~j`(n-Q)

. JISn-1 XSn - 1

5.4 Aplikazioak

IQ(u)ç2(v)I(I(u - v) . C'l)(Q-n) Eda(u)du(v)

(5.15)

(5.16)

Egiazta ditzagun azkeneko bi estimazio hauek . C konstante absolutu batenbidezko bornaketa berehalakoa da . Gainera, n - 1 < Q < n denean, integralabi integraletan banatuz gero, horietatik bat, 0 eta hautazko A konstante batenbitarteko integrala izanik eta bestea, A eta 1 bitartekoa izanik, lehenengoanCAn-0 bornea berehala lortuko dugu eta bigarren integralean, aldiz, zatikakointegrazioz CAn_Q-'

lu • ~l -1 bornea izango dugu . A = lu . ~ l-1 aukeratuz gero,(5 .15) estimazioa lortuko dugu . Bestalde 3 < n - 1 den kasurako, Clu .~ l -1bornea zatikako integrazioa aplikatuz lortuko dugu, rn-2-Q integragarria baita .

Beraz, n - 1 < /3 < n denean, (5.15) estimaziotik,

dugu.

Azkeneko integral honi Hblderen desberdintza q indizeaz aplikatuz gero eta(n - f)Eq' < 1 den edozein c baliotarako, 5.5 teoremako baldintzapetan eta(5.14) estimaziotik, nukleoaren Fourieren transformaturako (5.3) estimazioabeteko dela egiaztatuko dugu . 0 < n- 1 denerako, antzeko argudio bat erabiliz,(5.16) estimaziotik eta c < 1/q' aukeratuz gero, (5.3) lortuko dugu .

∎

Azkeneko teorema honek zenbait funtzio koadratikotarako egun ezagunakdiren pisudun emaitza batzuk barnean hartzeaz gain, zenbait kasutan, emaitzahoriek hobetu ere egiten ditu. Honela, b t - 1 denean, (5 .12) adierazpene-ko funtzio koadratikoa, E . M. Steinek definitutako Rn espaziora hedatutakoMarcinkiewiczen integrala da, non oraingoan, nukleoaren gainean inolako erre-gulartasun baldintzarik izan gabe, pisudun estimazioak ere lortzen ditugun .

1 1 3


Bestalde, N nukleoan, bornatua den b funtzio erradial bat sartzen badugueta t > 0 bakoitzerako Nt , N funtzio finko baten dilatazioak badira, ale-gia, Nt (x) = t-nN(t- 'x), orduan, bt ( I x I ) = b(t- 'Ixl) . Kasu honetan, b tfuntzioa t parametroarekiko independentea denean eta kontsideratzen ari gareng funtzioan Q = n - 1 denean, Y. Dingek, D. Fanek eta Y . Panek [12] artiku-luan aztertutako Marcinkiewiczen integral ez-erregularrak lortuko ditugu . Ar-tikulu horretako pisuak, bereziki, atal honetako 5.5 teoremaz lor daitezke, bai[48] artikulutik hala nola [15] artikulutik ere, ezaguna baita, p > q' denerakow E Ap qi pisuak, alde batetik, eta w E Ap,/q, eta 1 1 indizeetarako w 9 ' pisua Ap klasekoa bada, orduan,[27] artikulutik, existitzen dira 0 E (0, 1), p o < pl indizeak eta w0, wl pisuak,

izanik. Hortaz,non w l /P = wó/P°wi-B Pl den, wó-P° E Ap°/Q, eta w l E Ap11 q

,w l E Wpl (g) eta w o E Wp° (g) . Hau dela eta, neurri ezberdineko LP espazioenarteko interpolazioaz, p > 1 denerako w9' E Ap bada, orduan, w, g(f) funtzio-rako LP-ko pisu bat izango da .

Areago, berretura pisuen kasurako, hots, w(x) = Ix j" moduko pisuetarako,g funtziorako lortzen ditugun AWp(M) pisu-klaseak [12] artikuluan lortutakoAp erako pisu-klaseak baino hobeak dira, [15] artikuluan ageri den arabera,

max(-n, -1 - (n - 1)p/q') < a < min(n(p - 1), p - 1 + (n - 1)p/q')

berretzaileetarako w(x) = IxIa E AWp (Mn ) baita eta beraz, AWp(M) klasekopisuak dira. a-rako tarte hori [12] artikuluko Ap erako baldintzetatik lortukogenukeena baino hobea dela nabaria da .

5 .5 teoremaren frogapena aztertuz gero, lortu nahi dugun emaitza berma-tzeko Nt nukleoaren Fourieren transformatua estimatzerakoan bt funtzioarenbornaketa izatea derrigorrezkoa ez dela ikus daiteke . Berez, nahikoa izangolitzateke bt funtzioa t-rekiko independentea balitz eta orokorragoa den hurren-go baldintza beteko balu :

tsup

l b(r)I 2rn-1-Qdr < oc .

(5.17)t>0

fto-Q 0

Kasu honetan, Nt nukleoekiko konboluzioak kontrolatuko lituzkeen funtziomaximala, Mn izan beharrean, jarraian ageri den funtzioa izango litzateke :

MQ,b(f)(x) =suP 1 f

Ib(Iyl)Q(y')f(x - y)Idyr>0 rn IyI<r

Edonola ere, (5.17) baldintzapeko b funtzioa badugu, Mn,b eragilearen ez-muturreko pisuen extrapolaziorako beharrezkoak diren (5.10) eta (5.11) fak-torizazio baldintzak ere beteko dira. Azkeneko baieztapen hau ziurtatzeko,

1 14

kontuan hartu behar dugu (5 .17) baldintza egia bada, Mn , b eragilearen deskon-posaketa diadikoko nukleoen Fourieren transformatuen jausierari esker, aurrekoataleko 5 .4 korolarioaren ondoren aipatu dugun J. Duoandikoetxearen [16] ar-tikuluko emaitza aplika daitekeela .

Bestalde, S. Satok [33] artikuluan hurrengo teorema frogatzen du :Teorema 5 .6 (S . Sato) . Izan bedi cp E Ll (Rn) non fRn cp(x)dx = 0 den .

Demagun hurrengoa betetzen dela:

(1) fx1>1 i co(x)IIx i Edx < oc da, c > 0 baterako ;

(2) (flxl<1 J`p(x) j udx) l1n < oc da, u > 1 bada;

(3) j W(x) j < h(1xi)Q(x') (x' = Ixi -l x) da h eta S2 funtzio ez-negatibo batzo-tarako zeintzuek

(a) r E (0, oo) denean h(r) ez-gorakorra da;(b) H(x) = h(lxl), H e L1 (Rn) ;(c) Q E L9(Sn-1 ), 2 < q < oo izanik,

betetzen baitute .

Orduan, hurrengo eran definitutako gw funtzio koadratikoa :

1 1 29w(f)(x) = (f I~t * f(x)1

2tdt)

cot (x) = t-ncp(t-1 x) izanik, p > q' eta w E A p q, denerako LP(w) espazioanbornatuta dago .

Azken teorema honetako (1) eta (2) baldintzak nahikoak dira (5 .7) baldin-tza beteko dela ziurtatzeko eta, beraz, 5.2 oharraren arabera, g. funtzioarenL2 espazioko bornaketa bermatzeko .

Bestalde, q indizearen gaineko murrizketa, S . Satok bere arrazonamendukoune batean darabilen Ap pisuen extrapolaziorako baldintza beharrezkotzat agerida. Baina, teoremako (3) baldintza aztertuz gero, cp t nukleoekiko konboluzioak(5 .13) adierazpenean definitutako Mn eragileaz puntualki eta t-rekiko indepen-dentea den konstanteaz bornatuta daudela errazki froga daiteke . Hortaz, 5.1teoremaz eta 5.3 extrapolazio teoremaz, edozein w E AWW(Mn+M) pisutarako,p > 1 izanik, g , LP (w) espazioan bornatuta dagoela erdietsiko dugu . Hau da,q > 2 soberako murrizketa da eta gainera 2 < q < oc denean, gure metodoaz,S. Satok 5.6 teoremaz lortutako pisu-klasea baino zabalagoa den pisu-klase batlortzen dugu .

5.4 Aplikazioak

1 15


5.5 Adibide singularrago bat

Izan bedi, N(x) = 1(x')da(x) non C°° klaseko S2 funtzioa Rn espaziokobat erradiodun esferan definituta dagoen, bertan batezbesteko nulua due-larik eta du, Sn-1 esferako Lebesgueren neurria izanik . t positibo bakoi-tzerako defini ditzagun Nt nukleoak N funtzioaren dilatazio gisa, hau da,Nt (x) = SZ(x')dat (x), dut , t erradiodun esferako Lebesgueren neurri normal-izatua izanik . Beraz, kasu honetan, Nt funtzio bat izan beharrean Borelen neurrisingular eta finitu bat da . Demagun g, Nt nukleo familiari dagokion eta (5.1)adierazpenaz definitutako funtzio koadratikoa dela .

Adibide honetan, INtI nukleoekiko konboluzioak ia puntu guztietan goi-bornatzen duen M funtzio maximala, lan honetako bigarren kapituluko sarre-ran aipatutako maximal esferiko ezaguna da . 3 kapituluan genionez, maximalesferikoa LP espazioan bornatuta dago baldin eta soilik baldin p > n/(n -1) bada. Gainera, maximal esferikorako pisudun estimazioak ez daude erabatfinkatuta. Adibide honen garapenean eta pisuei dagokienez, J . Duoandikoetxe-ak eta L. Vegak [19] artikuluan frogatutako emaitzak erabiliko ditugu, berezi-ki, Wp (M) c Ap partekotasuna dugula kontuan izango dugu . Aipatu beharradago, INtI nukleoen adjuntuez eratutako konboluzioen maximala ere M maxi-mal esferikoaz kontrolatuko dugula .Teorema 5 .7 . g funtzio koadratikoak,

Ilg(f)IIp,W <- CIIfiip,Wpisudun desberdintza beteko du hurrengo baldintzatan :

(i) 2n/(2n - 1) < p < 2 eta w = wow11-2n/p')/(n-1) denean, w,, E AW1(M) nAWp / ( 2-p )(M) eta w1 E AW1(M) izanik;

(ii) 2 < p < 2n tartean berriz, w = wo2n~p-1)/(n-1) w1 p denean, wo E AW1(M)eta w1 E AW1(M) n AWp/(p-2) (M) izanik .

Bereziki, g, I P ( j x j ") espazioan bornatuta dago baldin eta 2n/(2n - 1) < p < 2eta 1- n < a < 1- 2n/p' bada edo 2 < p < 2n eta 1- 2n/p < a < (n -1) (p-1)bada.

f funtzioa 1 erradiodun bolaren funtzio karakteristikoa denean eta neurripositiboa duen esferaren zati batean Sl funtzioak 1 balio badu, orduan, xhandirako eta I x j - 1/2 < t < Ix j + 1/2 denerako, Nt * f (x) N lxI 1-n . Be-raz, w - 1 denerako, g funtzio koadratikoaren x-rekiko integragarritasunakp > 2n/(2n - 1) izatera behartzen du, baldintza hau, teoremaren enuntziatukop indizearen gaineko murrizketa izanik .

1 16

f Ig(f)Ipw f Ig(f)1 Pu -2U22u2w

<_ (f ig(f)12U-1wl2 (f utc2P> w)1 2

-

< C (f f2u-1w)2/f

fPw)1 2 .

5.5 Adibide singularrago bat

Frogapena.

Has gaitezen 5 .1 teorema aplikatuz . Nt nukleoak N funtzio finkoaren di-latazioak direnez gero, 5.2 oharreko (iii) arabera, a eta ,Q positibo batzutarakoJN(~)I < Cmin{IeI -a, I~Is} dela egiaztatzea nahikoa izango da .

Ñ(0) = 0 denez, IÑ(~)I < Cl~l desberdintza berehalakoa da . Bestalde,IÑ(~)I < CI~I(1-n)/2, (ikus [41] adibidez) . Kasu honetan, konboluzioen bidezemandako eragileak maximal esferikoaz kontrolatuta daude eta 3 . atalean fro-gatu dugunez gero, W1 (M) pisu-klasearen bidez faktorizazioa onartzen dutenpisuek (5.4) beteko dute . Honela, edozein w E AW1(M)AW1 (M) -1 pisutarako

ilg(f)II2,W Ç Cllfll2,w

izango dugu .

Aurreko ataleko adibideetan ez bezala, oraingoan, 5 .3 extrapolaziozko teo-reman pisuen faktorizazioek bete behar duten baldintza ez da betetzen . Halere,L2 espazioko bornaketatik abiatuz, LP espazioko zenbait bornaketa erdietsikoditugu, jarraian aipatzen dugun legez .

Lehenik eta behin, suposa dezagun 2n/(2n - 1) 0 non w1+E E Wp /(2-p) (M) den eta n/(n - 1) < q < p/(2 - p)denerako 1 E Wq(M) denez gero, neurri ezberdineko LP espazioen artekointerpolazioaz, s < 1 existitzen da non w E WPS/(2-p)(M) den . Bestalde,f(2-P)/s E LPS/(2-P) (w), orduan, Rubio de Franciaren pisuen eraiketan oina-rrituz (ikus [31]),

u1

0o Mk(f(2-P)/s)/s =

(2IIMIl)k

definituko dugu, 11M11, LPS/(2-P) (w) espazioko M eragilearen norma izanik etaMk, M eragilearen k-garren iterazioa izanik . Honela definitutako u funtzioakhurrengo propietateak beteko ditu :

IA2-P < u i.n . ,

I IUl Ip/(2-p),w < Cll f IIp,w , ut/S e w,(M) .

(5.18)

HSlderen desberdintzaz eta u,w E W1(M) dela kontuan izanik, hurrengoadugu :

11 7


Azkeneko desberdintzarako (5 .18)-ko bigarren propietatea erabili dugu etalehenengoa kontuan hartuz gero, u-1 < fp-2 da. Beraz, w E AW1 (M) nAWp/(2_p)(M) denean, g funtzioa LP(w) espazioan bornatuta dago . Azkenekoemaitza hau L2 (w) espazioko bornaketarekin interpolatu ondoren, teoremarenenuntziatuko (i) lortuko dugu .

Izan bedi p > 2 eta w E AW1(M) n AWp/(p_2)(M) . Orduan,

2

(f g(f ) pwl-p) P = f (g(f )w -1)2vw = f(g (f)) 2 vw- i

da 1 normadun v E LPl (p-2) (w) funtzio baterako . Rubio de Franciaren eraiketaberriz ere aplikatuz, v l / S E LPS/(P-2)(w) funtziorako u 1/S funtzio bat definitukodugu zeinetarako

v < U i-n- ,

IIUIIp/(p_2),w < CIIvllpl(p-2),w ,

u1/s E W,(M) ,

(5.19)

baita .

uw -1 pisurako L2-ko emaitza, HSlderen desberdintza eta u pisurako (5 .19)baldintzako propietateak aplikatuz gero, w E AW1 (M) n AWp/(p_2)(M) dene-rako LP(wl-P) espazioko bornaketa izango dugu . Azkeneko emaitza hau, w EAW1 (M) denerako L2 (w) espazioko bornaketarekin interpolatuz (ii) erdietsikodugu .

[19] artikuluan ageri denez, Ixl` E W1 (M), soilik, 1 - n < a < 0 denera-ko betetzen dela kontuan izanik, enuntziatuko berretura pisuetarako emaitzalortuko dugu .

E

M eragile maximal esferikoa bornatuta dagoen p indizeetarako, alegia, p >

n/(n - 1) denerako, AW1 (M) c Wp(M) partekotasuna egia dela ziurtatzeaoraindik ebatzi gabeko problema bat da . Partekotasun hori egia balitz, frogatuberri dugun teoremako w,, e AWp/(2_p) (M) eta w1 E AWp/(p_ 2) (M) baldintzakez lirateke beharrezkoak izango .

5 .6 Zenbait hedapen

5 .6 .1 Biderkadura espazioak

Aurreko ataletako emaitza nagusiak biderkadura espazioen kasura ere hedadaitezke, horretarako, kontzeptuak eta baldintzak berridatzi besterik ez dugu

1 18

5.6 Zenbait hedapen

egin behar . Problema nagusia Rn x R' espazioan kokatuko dugu . Oraingoanaztertuko dugun funtzio koadratikoa,

9(f)(xl ) x2) = Jo or~°° ~oo

I Nt1

dtl dtz

"2,t2 * f(XI , X2)

12

tt1

2

adierazpenaz emana dator .

Eta 5.1 teoremako (5.3) baldintzaren parekoa dena hurrengo eran idatzikodugu :

1Nt1,t2(~1,6)j <_ Cmin(I t i ~ll-'1, Itl~lj'1 )min(jt2~21 -Ck2 , It26I '2 ) ,

ei c R1 , ~2 E Rtm aldagaietarako eta al, 'Y1, az,'Y2 positibo batzuetarako . (5 .4)baldintza aurreko kasuetan bezala idatziko dugu non, oraingoan, w pisua A2klasean hartuko dugun, hots, w, Ms funtzio maximal fuertearen L 2 (w) es-pazioko bornaketa bermatzen duen pisu-klasean .

Testuinguru honetan, nukleo ez-erregularreko Marcinkiewicz erako funtziokoadratikoa,

fsn_1 Q(yl, y2)da(y,) = fm _ 1 Q(yi, y2)da(y2) = 0 ,

baldintzak betetzen dituen S2 E L 9 (Sn-1 X St-1), q > 1, funtzioaz eta bor-natuta dauden bt1,t2(Ixl k Ix2I) funtzio familiaz definituta dago . Honela, 01 < neta 02 < m direnerako, Nt1 ,t2 nukleoa hurrengo moduan definituko dugu :

bt j,t2 (jxlI,Ix2I) Q(xi,x2)Nt1,t2(xlIX2) =

t1-,31t2-p2

Ixl l/31Ix2 1~2x{IX11<t1 , IX21<t2}(xl ) X2 )

Espazio bakar baten egoeratik biderkadura espazioaren egoerara pasatzeansortzen diren aldaketak kontuan izanik, 4. ataleko emaitzen berdintsuak erdi-etsi daitezke. Honela, Ap klaseko pisuez lan egin beharrean, Ms eragile maxi-mal fuerteari dagozkion Ap pisu-klaseez lan egin beharko dugu halabeharrez .Gainera, Mn maximalaren definiziorako, eragilea bera biderkadura egiturarenarabera doitu beharko dugu . Bereziki, SZ bornatua denean eta w E Ap* denean,Marcinkiewicz erako funtzio koadratikoa Lr(w) espazioan bornatuta egongo da .Beharrezkoa den Nt1it2 transformatuaren jausiera lortzeko darabilgun arrazo-namendua, espazio baten kasuan erabilitakoaren antzekoa da ; arrazonamenduhori bera, integral singularren kasurako, [13] artikuluan ageri da .

1 19


5.6 .2 Dilatazio ez-isotropikoak

Calderón-Zygmunden eragileen teoria klasikoa, R'-ko dilatazio euklidearre-tarako ezezik testuinguru zabalago batean ere ikertu izan ohi da . Honela, eu-klidearra baino orokorragoa den dilatazio talde bat kontsidera dezakegu etadilatazio hauei lotuta R' espazioko pseudonorma bat, adibidez, [42] artikuluanageri den bezala. Orduan, teoria klasikoa izaera homogenoa duten espazio haue-tara heda daiteke (ikus [9]) . Bereziki, egoera berri honetan, kapitulu honetakokontzeptuek eta emaitzek badute euren pareko bertsioa .

5 .6 .3 Beste funtzio koadratiko batzuk

E. M . Steinek nukleo ez-erregularren kasura Marcinkiewiczen integralarendefinizioa hedatu zuen bezala, [40] lanean ageri diren gx* eta azalera-integralfuntzioekin erlazionatuta dauden funtzio koadratikoen definizioak, nukleo ez-erregularren kasura ere hedatuko ditugu .

Izan bedi Ç, Sn-1 esferan batezbesteko nulua duen eta L9 (Sn-1 ) espazioan,q > 1, definitutako funtzioa eta b funtzio erradial bornatua. Defini ditzagun,alde batetik,

2 dt1/2

/tsts(f)(x) _ ~(-

i ~Ft(y)~ to+l

funtzioa, non F(x) = {(y, t) E RT' x (0, oc) : I x - y I < t} den eta, bestetik,A > 1 denerako,

nA

1/2

µsl,a(f)(x)= ffR n+1 t+Ix-yI

~Ft(y)1 2 ~n~1

kasu bietan, t > 0 bakoitzerako eta s < n denerako,

Ft(y) =1 L

b(IyI)á(y') f(x - y)dy .t Q lYS-t

IyITeorema 5.8 . Bira p > 2 eta w E AWp(M11) n Ap /2 . Orduan, µn,s eta µn,>,eragileak LP (w) espazioan bornatuta daude.

Frogapena. Teoremaren frogapenean, alde batetik,

fRn I hsl,A(f) (x) 12w(x) dx < CafRn

Ig( f) (x) I2Mw(x)dx

1 20

5.7 Eranskina : Extrapolazio teoremaren frogapena

desberdintza integrala kontuan hartuko dugu ; kasu erregularrean, A. Torchins-kyk eta S . Wangek [45] artikuluan frogatu zuten eta kasu ez-erregularrean,aldiz, Y. Dingek, D . Fanek eta Y. Panek [12] artikuluan. Bestalde, errazkifroga daitekeen

pc,s(f)(x) < CA/L ,a(f)(x)puntuz puntuko desberdintza ere kontsideratuko dugu .

Aurreko desberdintza integralaz eta 5 .1 teorema kontuan izanik, w E Aldenerako, bai µQ , s bai p a ere, L2 (w) espazioan bornatuta daudela lortukodugu . Murrizketa hori dela eta, extrapolazioa p > 2 kasurako soilik aplikatuahal izango dugu .

Bereziki, w pisua AWW(Mn ) n Ap / 2 klasekoa izango da baldin eta, adibidez,hurrengo baldintzaren bat betetzen bada :

(a) max(q', 2) = a < p < oo eta w E Apia ;

(b) 2 < p < q eta w l-(p/2) ' E AP 11 9 , ;

(c) 2 < p < oc eta w4 ' E AP/2-

Berez, pisu horiek [12] artikuluan lortutakoak dira . Baina gure metodoaz pisu-klase zabalagoa lortzen dugu . Honela, adibidez, berretura pisuen kasurako, ale-gia, w(x) = l xl" itxurako pisuetarako,

max(-n, -1 - (n - 1) q) < a < min(n(2 - 1), p - 1 + (n - 1)p)

denerako 5 .8 teoremako baldintzak beteko dira, a-rako tarte hau [12] artikulutiklortuko litzatekeena baino hobea izanik .

5 .7 Eranskina: Extrapolazio teoremaren froga-pena

Eranskin honetan, kapitulu honetako 3. atalean enuntziatutako 5 .3 extra-polazio teorema frogatuko dugu .

Jarraian, frogapenerako erabiliko ditugun 5.3 teoremaren baldintzapeko era-gileen pisuen zenbait propietate aipatuko ditugu .

(PI) Izan bedi M, L°° espazioan bornatuta dagoen eragile positibo eta azpi-lineala. Baldin eta w E W1(M) bada, orduan, edozein 0 E (0, 1) balio-tarako w0 E W1(M) da.

121


Ikus dezagun horrela dela . w E Wl (M) denez gero Mw < Cw da eta Meragilea L°° espazioan bornatuta dagoenez, M1 < C. 1/p+1/p' = 1 denerako,p > 1 izanik, ab < aP/p + bP'/p' zenbakizko desberdintza kontuan hartuz eta0 E (0, 1) eta edozein e positibotarako, w0 = (Ew e)/e eran idatziz gero, w0 <

(eWO )Plp + 1/(eP'p') dugu .

M azpilineala eta positiboa denez,

.Mw e 0 balioa batugai biak berdinakizan daitezen eta honela, Mwe < Cewe i .n . dela lortuko dugu .

(P2) Edozein p > 1 indizetarako, AW1 (M*) C W,(M) .

(P3) 1 1 izanik w E AWW(M) bada, existitzen da s > 1 zeinetarakows E AWW(M) baita .

Frogapena.(5.3 teorema)

Demagun w E BB° pisu guztietarako T eragilea LP° (w) espazioan bornatutadagoela .

Lehenik eta behin, finka dezagun p non 1 < p < po den eta f E LP(w),w E AWl ( M*) izanik .

Azter dezagun fRn I T f(x) I Pw(x)dx . 1 < s < p bitarteko s bakoitzerako, izanbedi us (x) = I f (x) IS, beraz, us E LP/S (w) . Froga dezagun w E WW/s (M) dela .

(P2) propietateaz, bereziki, AW^ (M*) C WW/s(M) dugu, hortaz, w E

WW / S (M) .

Orduan, Rubio de Franciaren [31] artikuluko algoritmoa us pisuari eta Meragileari aplikatuz gero, vs E LP/s(w) pisua eraikiko dugu non u, (x) < vS (x)i.n . den, hots, I f (x)I < v(x), eta fRn Iv(x)IPw(x)dx < fRn I f (x)IPw(x)dx etaMvs < Cvs diren, azkeneko propietate honetatik, v E AW1(M) dela erdietsiz .Beraz, r = po/p izendatuz gero,

1 2 2

fRhlITf IPw

fRn(ITfIP

°)~v -a

vaw ;+ŕ~

<(fRn

ITf IP°v- ar

w)r

(fRn

var'w ri

5.7 Eranskina: Extrapolazio teoremaren frogapena

Aukera dezagun ar' = p. Orduan,

f IT f I Pw < C (j ITf IP°v-~w ll/T

(ff

IPw)11.

Rn

Rn

Rn

r-ren hautaketaz, pr/r' = po - p. Idatz dezagun v -(Po-P )w = (v

PO-'weta pisuen propietateetatik, v-PT/r'w E '3Po izango dugu . Honela, 1 1 edozein eta finka dezagun pl , 1 baliotik nahi bezain hurbil .Kontsidera dezagun w e AWr(M) non, kasu honetan, r = p/p l den. Orduan,existitzen da u E Lr' (w), fRn IU(x) I r'w(x)dx = 1 izanik eta zeinetarako

fRfl1Tf(x)IPw(x)dx =(f ITf (x)IPlu(x)w(x)dx l r

Rn

baita .

w e AWr (.M) denez, s` > 1 baterako w s E AWr (.M) da. Aukera dezaguns = (sr')/(s + r' - 1) > 1 eta kontsidera dezagun (uw)S . Orduan, (uw)S ELr'/s(wl-r') Alde batetik, wl-r' E AWr,(M*) da eta bestetik, edozein q > rindizetarako w s e AWq(M) denez gero, bereziki, ws(l-q) E AWQ,(M*) da. Izanbedi q' = r'/s eta s"(1 - q') = 1 - r', orduan, wl-T E AW,,1,(M*) .

Lr'/s(Wi-T') espazioan, (uw)S pisuaz eta M* eragileaz Rubio de Franciarenalgoritmoa aplikatuko dugu, vS pisu bat eraikiz, zeinak

uw < v i.n ., fnlvs(x)Ir'Isw l-r'(x)dx < 1 eta M*v' < CvS

R

propietateak beteko baititu, bereziki, v E AWl (M*) delarik .

Pl indizea 1 zenbakitik nahi bezain hurbil aukeratu dugunez gero eta v eAWl (M*) izanik, T eragilea LP' (v) espazioan bornatuta egongo da, hortaz,hurrengoa dugu :

fITf(x) lPw(x)dx =

(fITf (x) IP'u(x)w(x)dx) r

Rn

R.n

<

r

(fRflITf

(x)IPIv(x)dx\

< (f.n if(x)I P'wllr (x)w -l/r (x)v(x) dx l

< C fRn I f (x) IPw (x) dx ,

r

1 23


non azkeneko desberdintzarako, r = p/pl indizerako Hólderren desberdintzaaplikatzeaz gain, v pisuaren tamainu propietateak ere erabili ditugun . Be-raz, p > 1 eta w E U1<pi<p AWp/pl (M) denerako, p = min{p, po} izanik,T : LP(w) --+ LP(w) da. Bereziki, w c U1<pi<p 1p/pl = ¡p bada T eragileaLP(w) espazioan bornatuta dago .

∎

124

Bibliografia

[1] A. Benedek, A . P. Calderón eta R. Panzone, Convolution operatorson Banach space valued functions, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S .A. 48(1962), 356-365 .

[2] C . Bennett eta R. Sharpley, Interpolation of Operators, AcademicPress, 1988 .

[3]

[4] A. P . Calderón eta A. Zygmund, On singular integrals, Amer . J . Math .78 (1956), 289-309 .

[5]

[7]

[9]

J . Bourgain, Averages in the plane over convex curves and maximaloperators, J . Anal . Math . 47 (1986), 69-85 .

A . P . Calderón eta A. Zygmund, A note on singular integrals, Studia .Math . LXV (1979), 1277-1287 .

[6] Y . K. Cho, Multiparameter maximal operators and square functionson product spaces, Indiana Univ. Math . 43 (1994), 459-491 .

Y. K . Cho, Strong maximal means with respect to non-product mea-sures, J. Korean Math . Soc . 32, 4 (1995), 697-712 .

[8] Y . K . Cho, Multiparameter maximal averages, Indiana Univ . Math. 472, (1998), 367-385 .

R. R. Coifman eta G . Weiss, Analyse harmonique non-commutativesur certain espaces homogènes, Lectures Notes in Math . 242, Springer-Verlag, Berlin, 1971 .

[10] W . C . Connett, Singular integrals near L', Proc. Sympos. Pure Math .,( S . Wainger and G . Weiss, eds .), 35, I (1979), 163-165 .

[11] Y. Ding, The Marcinkiewicz integral operator with Hardy space func-tion kernel on product domains, Math. Proc. Cambridge Phil . Soc .123 (1998), 337-343 .

125

Bibliografia

126

[12] Y. Ding, D. Fan eta Y. Pan, Weighted boundedness for a class ofrough Marcinkiewicz integrals, Indiana Univ. Math . J . 48, 3 (1999),1037-1055 .

[13] J . Duoandikoetxea, Multiple singular integrals and maximal functionsalong hypersurfaces, Ann. Inst. Fourier 36, 4, (1986), 185-206 .

[14] J . Duoandikoetxea, Análisis de Fourier, Ed. Univ . Autónoma deMadrid, 1991 .

[15] J. Duoandikoetxea, Weighted norm inequalities for homogeneous sin-gular integrals, Trans . Amer. Math . Soc . 336 (1993), 869-880 .

[16] J. Duoandikoetxea, Almost-orthogonality and weighted inequalities,Contemp. Math . 189 (1995), 213-226 .

[17] J. Duoandikoetxea eta J . L . Rubio de Francia, Maximal and singularintegral operators via Fourier transform estimates, Invent. Math. 84(1986), 541-561 .

[18] J . Duoandikoetxea eta A. Vargas, Maximal operators associated toFourier multipliers with an arbitrary set of parameters, Proc . RoyalSoc . Edin . 128A (1998), 683-696 .

[19] J . Duoandikoetxea eta L. Vega, Spherical means and weighted inequal-ities, J . London Math . Soc . 53 (1996), 343-353 .

[20] J . Duoandikoetxea, V . Naibo eta O . Oruetxebarria, k-Plane trans-forms and related operators on radial functions, Michigan Math . J .

[21] R. Fefferman, A note on singular integrals, Proc . Amer. Math . Soc .74 (1979), 266-270 .

[22] J . García Cuerva eta J . L . Rubio de Francia, Weighted norm inequali-ties and related topics, North-Holland Mathematics Studies 116, NorthHolland, Amsterdam, 1985 .

[23] B . Jawerth, Weighted norm inequalities: linearization, localization andfactorization, Amer. J. Math . 108 (1986), 361-414 .

[24] F. John, Plane waves and spherical means applied to partial differentialequations, Interscience, 1955 .

[25] P . W. Jones, Factorization of Ap weights, Ann. of Math . 2 (1980),511-530 .

[26] D . S . Kurtz, Littlewood-Paley and multiplier theorems on weighted L'spaces, Trans . Amer . Math . Soc . 259 (1980), 235-254 .

[27] D . S. Kurtz eta R. L . Wheeden, Results on weighted norm inequalitiesfor multipliers, Trans. Amer. Math . Soc . 255 (1979), 343-362 .

[28] B. Muckenhoupt eta R. L. Wheeden, Weighted norm inequalities forsingular and fractional integrals, Trans . Amer. Math . Soc . 161 (1971),249-258 .

[29] J . Namazi, A singular integral, Proc . Amer . Math . Soc . 96, 3, (1986),421-424 .

[30] F. Ricci eta G . Weiss, A characterization of H'(Sn -1 ), Proc. Sympos .Pure Math . of the Amer. Math . Soc . (S. Wainger and G . Weiss eds .),35, 1, (1979), 289-294 .

[31] J. L . Rubio de Francia, Factorization theory and Ar weights, Amer. J .Math . 106 (1984), 533-547 .

[32] J. L . Rubio de Francia, Maximal functions and Fourier transforms,Duke Math . Jour . 53, 2, (1986), 395-404 .

[33] S . Sato, Remarks on square functions in the Littlewood-Paley theory,Bull. Aust . Math . Soc . 58 (1998), 199-211 .

[34] A. Seeger, S . Wainger eta J. Wright, Pointwise convergence of sphericalmeans, Math. Proc. Camb. Phil . Soc . 118 (1995), 115-124 .

[35] P. Sjógren eta F. Soria, Weak type (1, 1) estimates for some inte-gral operators related to rough maximal functions, Israel J. Math . 95(1996), 211-229 .

[36] P. Sjógren eta F. Soria, Rough maximal functions and rough singularintegral operators applied to integrable radial functions, Revista Mat.Iberoamericana 13 (1997), 1-18 .

[37] E. M . Stein, On the functions of Littlewood-Paley, Lusin andMarcinkiewicz, Trans . Amer. Math . Soc . 88 (1958), 430-466 .

[38] E . M . Stein, Singular integrals and differentiability properties of func-tions, Princeton Univ . Press, Princeton, New Jersey, 1970 .

[39] E. M. Stein, Maximal functions: spherical means, Proc . Nat. Acad .Sci. U. S . A . 73 (1976), 2174-2175 .

1 2 7

Bibliografia

128

[40] E. M . Stein, The development of square functions in the work of Zyg-mund, Bull . Amer. Math . Soc . 7 (1982), 359-376 .

[41] E . M . Stein, Harmonic analysis: real variable methods, orthogonality,and oscillatory integrals, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993 .

[42] E . M . Stein eta S. Wainger, Problems in harmonic analysis related tocurvature, Bull . Amer . Math . Soc . 84 (1978), 1239-1295 .

[43] E . M. Stein eta G . Weiss, Interpolation of operators with change ofmeasures, Trans . Amer. Math . Soc . 87 (1958), 159-172 .

[44] E . M . Stein eta G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclideanspaces, Princeton Univ. Press, Princeton, 1971 .

[45] A. Torchinsky eta S . Wang, A note on the Marcinkiewicz integral,Colloq . Math. LX/LXI (1990), 235-243 .

[46] C . Tricot, Douze definitions de la densite logarithmique, C. R. Acad .Sci . Paris 293 (1981), 549-552 .

[47] D . K. Watson, Weighted estimates for singular integrals via Fouriertransform estimates, Duke Math. Jour . 60, 2, (1990), 389-399 .

[48] D . K. Watson, Vector-valued inequalities, factorization and extrapola-tion for a family of rough operators, Jour. Funct. Anal. 121 (1994),389-415 .

Documents

Nukleo ez-erregularreko eragile maximalen, integral ... · mentsioaren arteko erlazio bat topatzea. Horretarako, gure arrazonamendua [19] artikuluko ideiatan, eragileen arteko diferentzien