Capıtulo 1

Integrales multiples

Las tecnicas discutidas en las seccione anteriores se pueden modificar de una manera direc-ta para usarse en la aproximacion de las integrales multiples. El primer tipo de problema deintegracion multiple que cosideraremos corresponde a la aproximacion de una integral doble.∫ ∫

R

f(x, y)dA

donde R es una region rectangular del plano, es decir

R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

para algunas constantes a, b, c y d. Para ilustrar esta tecnica de aproximacion emplearemos laregla compuesta de Simpson, aun cuando cualquier otra de las formulas compuestas de Newton-Cotes podrıan usarse en su lugar.

Supongamos que se escogen enteros n ym para determinar los tamanos de los pasos h =b− a

2n

y k =d− c

2m. Escribiendo la integral doble como una integral iterada

∫ ∫R

f(x, y)dA =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx,

primero usamos la regla de Simpson para evaluar∫ d

c

f(x, y)dy,

tratando a x como constante. Tomando yj = c+ j k para cada j = 0, 1, 2, . . . , 2m, se obtiene∫ d

c

f(x, y)dy =k

3

[f(x, y0) + 2

m−1∑j=1

f(x, y2j) + 4m∑j=1

f(x, y2j−1) + f(x, y2m)

]

− (d− c)k4

180

∂4f(x, µ)

∂y4

1

CAPITULO 1. INTEGRALES MULTIPLES 2

para algun µ ∈ ⟨c, d⟩. Por lo tanto,∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dy dx =k

3

∫ b

a

f(x, y0)dx+2k

3

m−1∑j=1

∫ b

a

f(x, y2j)dx

+4k

3

m∑j=1

∫ b

a

f(x, y2j−1)dx+k

3

∫ b

a

f(x, y2m)dx

− (d− c)k4

180

∫ b

a

∂4f(x, µ)

∂y4dx.

(1.1)

La regla compuesta de Simpson se emplea ahora en cada integral de la ecuacion(1.1). Tomandoxi = a+ i h para i = 0, 1, 2, . . . , 2n se obtiene para cada j = 0, 1, 2, . . . , 2m:∫ b

a

f(x, yj)dx =h

3

[f(x0, yj) + 2

n−1∑i=1

f(x2i, yj) + 4n∑

i=1

f(x2i−1, yj) + f(x2n, yj)

]

− (b− a)h4

180

∂4f(ξi, yj)

∂y4

para algun ξi ∈ ⟨a, b⟩. La aproximacion restante tiene la forma∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dy dx ≈ h k

9

[f(x0, y0) + 2

n−1∑i=1

f(x2i, y0) + 4n∑

i=1

f(x2i−1, y0) + f(x2n, y0)+

+ 2m−1∑j=1

f(x0, y2j) + 4n−1∑i=1

m−1∑j=1

f(x2i, y2j) + 8n∑

i=1

m−1∑j=1

f(x2i−1, y2j)+

2m−1∑j=1

f(x2n, y2j) + 4m∑j=1

f(x0, y2j−1) + 8m∑j=1

n−1∑i=1

f(x2i, y2j−1)

+ 16m∑j=1

n∑i=1

f(x2i−1, y2j−1) + 4m∑j=1

f(x2n, y2j−1) + f(x0, y2m)

+ 2n−1∑i=1

f(x2i, y2m) + +2n∑

i=1

f(x2i−1, y2m) + f(x2n, y2m)

]

El termino error esta dado por

1.0.1. Integrales dobles a regiones arbitrarias

El uso de los metodos aproximados para integrales dobles no se lımita a integrales cuya regionde integracion es rectangular. Las tecnicas discutidas previamente se pueden aproximar integralesen la forma ∫ b

a

∫ d(x)

c(x)

f(x, y)dy dx (1.2)

o ∫ d

c

∫ b(x)

a(x)

f(x, y)dx dy (1.3)

J. R. Ticona Parisaca UNA

CAPITULO 1. INTEGRALES MULTIPLES 3

En realidad, tambien se pueden aproximar integrales en regiones distintas de estas, realizandoparticiones apropiadas de la region.

Para describir la tecnica involucrada en la aproximacion de una integral de la forma∫ b

a

∫ d(x)

c(x)

f(x, y)dy dx,

usaremos la regla de Simpson con respecto a las dos variables. El tamano de paso para la variable

x es h =b− a

2, pero el tamano de paso para y varıa con x. (Ver Figura. )

y

xa a+h b

( ( ))a,c a

( ( ))a,d a

( ( ))b,c b

( ( ))b,d bd x( )

c x( )

( ) ( )2

xdxc +

Por consecuencia,∫ b

a

∫ d(x)

c(x)

f(x, y)dy dx ≈∫ b

a

h(x)

3[f(x, c(x) + 4f(x, c(x) + k(x)) + f(x, d(x))]

≈ h

3

[k(a)

3[f(a, c(a) + 4f(a, c(a) + k(a)) + f(a, d(a))]

k(a+ h)

3[f(a+ h, c(a+ h) + 4f(a+ h, c(a+ h) + k(a+ h)) + f(a+ h, d(a+ h))]

k(b)

3[f(b, c(b) + 4f(b, c(b) + k(b)) + f(b, d(b))]

]El algoritmo siguiente aplica la regla compuesta de Simpson a una integral de la forma (1.2). Lasintergrales de la forma (1.3) pueden, desde luego, manejarse similarmente.

1.0.2. Algoritmo de la Integral Doble

Para aproximar la integral doble I =∫ b

a

∫ d(x)

c(x)f(x, y)dy dx

ENTRADA: Ingresar la funcion continua f(x, y), los lımites de integracion de la region Res decir,

R = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ y, c(x) ≤ y ≤ d(x)}enteros positivos m y n

SALIDA: aproximacion J de I.J. R. Ticona Parisaca UNA

Algebra Lineal 4

Paso 1 Tomar: h =b− a

2n

Paso 2 Tomar:

J1 = 0; (Terminos extremos).

J2 = 0; (Terminos pares).

J3 = 0; (Terminos impares).

Paso 3 Para i = 0, 1, 2, 3, . . . , 2nTomar x = a+ i h (Metodo compuesto de Simpson con x fijo)

HX =d(x)− c(x)

2m;

K1 = f(x, c(x)) + f(x, d(x)); (Terminos extremos para cada x)

K2 = 0; (Terminos pares para cada x)

K3 = 0; (Terminos impares para cada x)

Para j = 0, 1, 2, 3, . . . , 2m− 1tomar . y = c(x) + j HX;. Z = f(x, y);si j es par entonces tomar K2 = K2 + Zsi no tomar K3 = K3 + Z

tomar L =HX

3(K1 + 2K2 + 4K3);(

L ≈∫ d(x)

c(x)

f(xi, y)dy (Por el metodo compuesto de Simpson)

)si i = 0 o i = 2n,entonces tomar J1 = J1 + Lsino, si i es par entonces tomar J2 = J2 + L,. sino tomar J3 = J3 + L.

Paso 4 Tomar J =h

3(J1 + 2J2 + 4J3)

Paso 5 SALIDA (J);PARAR

1.1. Ejercicios

1. Suponga que usted es un estudiante de ingenieria y pienza utilizar un arco grande cuyaforma parabolica esta dada por:

y =1

10x(30− x) metros

Donde y es la altura sobre el suelo y x esta en metros. Calcule la longitud total del arcopor la Regla de Simpson

L =

∫ 30

1

√1 +

(dy

dx

)2

dx

J. R. Ticona Parisaca UNA

Algebra Lineal 5

2. La longitud de una curva depende de x = ϕ(t) y = ψ(t), a ≤ t ≤ b, esta dado por

S =

∫ b

a

√[ϕ′(t)]2 + [ψ′(t)]2dt

Utilice las integrales apriimadas para calcular la longitud de la cicloide definido por:

x(t) = 3(t− Sent), y(t) = 3(1− Cost); 0 ≤ t ≤ 4π

3. Use el algoritmo con n = m = 3 para aproximar las siguientes integrales dobles y comparecon el valor exacto

(a)

∫ 1,5

1,3

∫ 0,1

−0,1

√xy2dy dx (b)

∫ 2,2

2,1

∫ 1,4

1,3

xy2dy dx

(c)

∫ 0,1

−0,1

∫ 0,1

0

x y ex2+y2dx dy (d)

∫ 0,1

0

∫ 0,1

0

ey−xdx dy

(e)

∫ 2,2

2

∫ 2x

x

(x2 + y3)dy dx (f)

∫ 1,1

1

∫ x

0

(x2 +√y)dy dx

4. Use el algoritmo para aproximar ∫ ∫R

√x y + y2dA

donde R es la region del plano acotada por las rectas x+ y = 6, 3y− x = 2 y 3x− 2y = 2.

5. Una lamina plana se define como una hoja delgada con una masa continuamente distribuida.Si ρ es una funcion que describe la densidad de la lamina, la cual tiene la forma de unaregion plana R en el plano XY , entonces el centro de masa de la lamina (x, y) se definecomo

x =

∫ ∫Rx ρ(x, y)dA∫ ∫

Rρ(x, y)dA

, y =

∫ ∫Ry ρ(x, y)dA∫ ∫

Rρ(x, y)dA

use el algoritmo con n = m = 7 para encontrar el centro de masa de la lamina descrita por

R = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤√1− x2}

con una funcion de densidad ρ(x, y) = e−(x2+y2)

6. El area de una superficie descrita por z = f(x, y) para (x, y) esta dada por

A(S) =

∫R

∫ √[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2dA.

Use al algoritmo para encontrar una aproximacion al area de la superficie en el hemisferiox2 + y2 + z2 = 9, z ≤ 0 que se encuentra arriba de la region en el plano descrito porR = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

J. R. Ticona Parisaca UNA