Número primo fuerte 1

Número primo fuerte

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En matemáticas, un número primo fuerte es un número primo con ciertas propiedades. La definición de primofuerte es diferente en criptografía y en la teoría de números.

Definición en criptografíaEn criptografía un número primo es fuerte si satisface las siguientes condiciones:[2]

1. es grande.2. tiene factores primos grandes. Es decir, para algún entero y un primo grande .3. tiene factores primos grandes. Es decir, para algún entero y un primo grande .4. tiene factores primos grandes. Es decir, para algún entero y un primo grande .En algún caso, además de las condiciones anteriores, se impone que o , etc.

Definición en la teoría de númerosEn la teoría de números un número primo fuerte es un número primo tal que es mayor que la media aritmética desus primos predecesor y sucesor. De otro modo, si para un primo dado , donde n es el índice en el conjuntoordenado de los primos naturales:

Los primeros números primos fuertes son:11, 17, 29, 37, 41, 59, 67, 71, 79, 97, 101, 107, 127, 137, 149, 163, 179, 191, 197, 223, 227, 239, 251, 269,277, 281, 307, 311, 331, 347, 367, 379, 397, 419, 431, 439, 457, 461, 479, 487, 499.[3]

Por ejemplo, 17 es el séptimo primo; el sexto y el octavo, 13 y 19, sumados dan 32 cuya mitad es 16 que es menorque 17, luego 17 es un primo fuerte.En un par de primos gemelos (p, p + 2) con p > 5, p es siempre un primo fuerte ya que 3 divide a p − 2 con lo que nopodrá ser primo.Un número primo puede ser fuerte en los dos sentidos considerados. Por ejemplo, el439351292910452432574786963588089477522344331 es un primo fuerte en sentido de la teoría de números puestoque es 62 unidades mayor que la media aritmética de sus primos vecinos. Sin la ayuda de un ordenador también losería en sentido criptográfico puesto que 439351292910452432574786963588089477522344330 tiene el gran factorprimo 1747822896920092227343 (y, además, restando una unidad a este último obtenemos otro número con el granfactor primo 1683837087591611009), 439351292910452432574786963588089477522344332 tiene el gran factorprimo 864608136454559457049 (y, además, restando una unidad a este último obtenemos otro número con el granfactor primo 105646155480762397). Sin usar otros métodos que la división a mano no es fácil factorizar estosnúmeros. Con un sistema algebraico computacional estos números se factorizan casi instantáneamente así que unprimo criptográficamente fuerte debería ser mucho mayor que el del ejemplo.

Número primo fuerte 2

Aplicación de los primos fuertes en criptografía

Criptosistemas basados en la factorizaciónSe ha sugerido que en la generación de claves de los criptosistemas tipo RSA el módulo debería escogerse comoel producto de dos primos fuertes. Esto haría computacionalmente no factible la factorización de usando elalgoritmo p-1 de Pollard. Por esta razón se requieren los primos fuertes en la norma ANSI X9.31 para la generaciónde claves RSA de firmas digitales. Sin embargo, los primos fuertes no protegen contra la factorización modular queusan los más recientes algoritmos tales como la factorización Lenstra con curvas elípticas y la criba del cuerpo denúmeros. Dado el coste adicional en la generación de primos fuertes actualmente no se recomienda en la generaciónde claves. Argumentos similares (y más técnicos) han dado Rivest and Silverman.[2]

Criptosistemas basados en el logaritmo discreto

En 1978 Stephen Pohlig y Martin Hellman demostraron que si todos los factores de p-1 son menores que entonces el problema de hallar el logaritmo discreto módulo p está en P. Por consiguiente, para sistemas basados enel logaritmo discreto tales como el DSA se requiere que p-1 tenga al menos un gran factor primo.

Véase tambiénUn primo seguro computacionalmente grande es, seguramente, un primo fuerte criptográfico. Nótese que loscriterios para determinar si un pseudoprimo es un pseudoprimo fuerte son con congruencias de potencias de la base,no por la desigualdad con la media aritmética de los primos vecinos.Si un número primo es igual a la media de sus primos vecinos se dice primo equilibrado y si es menor primo débil.

Enlaces externos• Guide to Cryptography and Standards [4]

• RSA Lab's explanation on strong vs weak primes [5]

Referencias[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ N%C3%BAmero_primo_fuerte[2] Ron Rivest and Robert Silverman, Are 'Strong' Primes Needed for RSA?, Cryptology ePrint Archive: Report 2001/007. http:/ / eprint. iacr.

org/ 2001/ 007[3] sucesión A051634 en OEIS[4] http:/ / www. isg. rhul. ac. uk/ ugcs/ Companion_v1. 21. pdf[5] http:/ / www. rsa. com/ rsalabs/ node. asp?id=2217

Fuentes y contribuyentes del artículo 3

Fuentes y contribuyentes del artículoNúmero primo fuerte  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=30648386  Contribuyentes: Ezarate, SPKirsch, Verdegaban, 2 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesImagen:Spanish Language Wiki.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Language_Wiki.svg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: User:James.mcd.nz

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