NÚMEROS COMPLEJOS

DOCENTE - ESTUDIANTE

Ing. Wendy Gavilánez Espinoza

FORMACIÓN DOCENTE

Áreas de la ciencia en las que se aplican los números complejos.

Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos

de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la

electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Explique brevemente cómo se aplican los números complejos en esas áreas de las

ciencias.

En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la

relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y

para poner en números el comportamiento de los fluidos.

Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de

una máquina-herramienta por medio de números.

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica

del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una

variable imaginaria.

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original,

se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de

procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de

señales electrónicas.

Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha,

amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica,

centrales hidroeléctricas.

Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas

sobre vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los

físicos), además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del

calor.

En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de

navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una

herramienta fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta

se emplea para las aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números

complejos.

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para

una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión

del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de

una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una

función de variable compleja de la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la

frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el

tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e

inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las

dos últimas. (Heredia, 2013)

Coloque dos problemas contextualizados que se relacionen con números complejos.

1. Los afijos de tres números complejos forman un triángulo de vértices A(3,0), B(-1, 4)

y C(0, -5). Si se multiplica cada uno de los números complejos por el número i, se

obtienen otros tres números complejos cuyos afijos son A’, B’ y C’, vértices del

triángulo A’B’C’. Calcula la coordenada de estos vértices.

2. Una traslación se puede representar en el plano complejo como la suma de un número

complejo fijo, cuyo afijo tiene por vector de posición el vector guía de la traslación.

Sea t =(2,3) el vector guía de una traslación.

a) Escribe el número complejo equivalente a este vector guía.

b) Si los puntos A, B, C y D de la figura sufren una traslación de vector t, escribe

los complejos asociados a los puntos de partida y a los trasladados.

c) Si P(4, - 3) es un vértice de un pentágono regular centrado en el origen de

coordenadas, encuentra las coordenadas de los vértices del pentágono formado a

partir del anterior mediante una traslación de vector t.

Resuelva esos problemas y presente el desarrollo en un documento en Word.

1.- ZA = 3; ZA . i = 3i;

ZB = -1 +4i; ZB . i = (-1 +4i) i = -4 -i

ZC = -5i; ZC . i= (-5i) i = 5

El triángulo de vértices A’, B’ y C’ es el que se obtiene al girar el triángulo inicial ABC

en un giro de centro el origen y amplitud 90°.

2)

a) Zt = 2 + 3i

b) ZA= 2 + i ZA’ = 4 +4i; ZB= 1- i ZB’ = 3 + 2i; ZC = -3 – 2i

ZC’ = -1 +i; ZD = -2 + 2i ZD’ = 5i

c) Los vértices del pentágono de partida se obtienen mediante giros de centro el origen de

coordenadas y ángulo 360°

5 = 72°

Sumando a cada uno Zt = 2 + 3i se obtienen los vértices del pentágono trasladado.

Si Zp = 4 – 3i, arg (Zp) = art tg −3

4= -36°52’

Vértices trasladados:

Zp = 4 - 3i Z’p =6

Z1 = Zp .172° = 5 – 36°52’ +72° = 5 35°8’ = 4 + 2,9i Z’1 =6 + 5,9i

Z2 = Zp .1144° = 5 – 36°52’ +144° = 5 107°8’ = -1,5 + 4,8i Z’1 = 0.5+ 7,8i

Z3 = Zp .1216° = 5 – 36°52’ +216° = 5 179°8’ = -5+ 0,1i Z’1 = -3 + 3,1i

Z4 = Zp .1288° = 5 – 36°52’ +288° = 5 251°8’ = -1,6 + - 4,7i Z’1 = 0.4 - 1,7i

PLAN DE CLASE

TEMA DE LA UNIDAD: Numérico.

EJE CURRICULAR INTEGRADOR: Adquirir conceptos e instrumentos matemáticos que desarrollen el pensamiento lógico, matemático y crítico para resolver problemas mediante la elaboración de modelos.

EJE DE APRENDIZAJE: El razonamiento, la demostración, comunicación, las concepciones y/o la representación.

OBJETIVO: Realizar operaciones entre números complejos en sus diferentes formas y aplicar dichas operaciones a la resolución de problemas.

PROFESOR: _____________________ ÁREA: Matemáticas TEMA: Números complejos

Destrezas

con criterio

de

desempeño

Conocimientos Precisiones de enseñanza aprendizaje Recursos

propuestos Indicadores de evaluación

Caracterizar el conjunto de números complejos y comprender su utilidad.

Identificar los números complejos

Definir los números complejos en sus diferentes formas.

Aplicar los números complejos en sus

Ciclo del Aprendizaje

Experiencia Concreta:

- Exploración de conocimientos previos.

-Búsqueda de información en página web de números

complejos.

-Presentación de números complejos en sus diferentes

formas.

-Análisis de ejercicios de los números complejos.

-Realización de ejercicios de números complejos en sus

diferentes formas

-Resolución de problemas que impliquen números

complejos.

Lecturas

suplementarias

Recursos del

medio

Indicador esencial de evaluación

Conoce y analiza el uso de números

complejos.

Identifica la forma de los números

complejos y el conjunto que

configuran.

Resuelve correctamente ejercicios

aplicando números complejos.

Representa gráficamente números

complejos.

diferentes formas para la resolución de problemas

Representar de forma gráfica y resolver números complejos.

Observación – Reflexión:

- Se agrupan a los docentes – estudiantes en niveles afines.

- Entrega de la herramienta pedagógica (guía de auto

instrucción) para socializarla en grupo

- Instrucciones por parte del docente para el uso del recurso

pedagógico.

Conceptualización – Abstracción:

- Definición de números complejos

- Operaciones con números complejos

Aplicación

- Identificar situaciones de la vida cotidiana en las que se

usen los números complejos.

Indicadores de logro:

Resuelven problemas que impliquen

comparar, ordenar y calcular

operaciones con números

complejos.

DOCENTE

UNIDAD EDUCATIVA MILAGRO EVALUACIÓN SUMATIVA

Nombre: ____________________________________

Fecha: ________________________ Tema: Números Complejos

Reactivos de selección única

Instrucciones: Cada una de los siguientes enunciados tiene cuatro opciones, de las cuales

una y sólo una respuesta es correcta. Desarrolle el ejercicio completamente y encierre la

respuesta correcta.

Cada ítem tiene una valoración de 1 punto.

1. Calcula la siguiente suma (2 – 3i) + (-2 + 6i)

a. –3i

b. 3i

c. 4 - 9i

d. 4 + 3i

2. Calcula la siguiente diferencia (6 +4i) - (-2 -2i)

a. 7 + 6i

b. 7

c. 4 - 6i

d. 7 - 6i

3. Resolver los siguientes productos (2 – 3i) . (- 2 + 6i)

a. 14

b. 14 - 18i

c. 14 +18i

d. 2 + 16i

4. Resolver los siguientes cocientes - 3i : (2i + 3)

a. 16

13 i

b. − 6

13 −

9

13 i

c. 2 + 16i

d. - 16

13

ITEM DE DOBLE ALTERNATIVA

Instrucciones: Escriba V 0 F en casillero de la derecha de las siguientes afirmaciones,

según corresponda. Cada Afirmación tiene una valoración de 0.40 puntos.

5) Responda según su criterio.

Un número real a puede escribirse como un

complejo.

Todo número complejo es un número real.

Los números complejos se utilizan en todos los

campos de las matemáticas.

Los números complejos se utilizan en la electrónica

y las telecomunicaciones, por su utilidad para

representar las ondas electromagnéticas y la

corriente eléctrica.

El número bi se llama parte imaginaria del número

complejo. Si b ≠ 0.

PROBLEMA DE VARIOS PASOS

Instrucciones: A continuación se presenta una información que servirá para resolver el

siguiente planteamiento.

6.- Calcula x de manera que x + i

1 − 𝑖 sea:

a) Igual a 1 +2i

Rubrica

Indicador de

evaluación.

Reemplaza, Resuelve y

presenta la respuesta correcta.

Reemplaza correctamente. No hace ninguna

operación.

Calificación 1 puntos 0.50 puntos 0 puntos

b) Un número real

c) Un número imaginario puro

Indicador de

evaluación.

Reemplaza, Resuelve y

presenta la respuesta correcta.

Reemplaza correctamente. No hace ninguna

operación.

Calificación 1 puntos 0.50 puntos 0 puntos

Indicador de

evaluación.

Reemplaza, Resuelve y

presenta la respuesta correcta.

Reemplaza correctamente. No hace ninguna

operación.

Calificación 2 puntos 1 puntos 0 puntos

Bibliografía DOMINGUEZ, A. (Agosto de 1983). Obtenido de http://es.slideshare.net/Alexdfar/aplicaciones-

de-los-nmeros-complejos

Heredia, J. A. (Agosto de 2013). Slideshare . Obtenido de Slideshare :

http://es.slideshare.net/JosMendoza1/int-numeros-complejos

Oliva, M. (s.f.). wordpress. Obtenido de

https://ingeniomatematico.files.wordpress.com/2013/02/nc3bameros-complejos-

martti-oliva.pdf