Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:

Con estas operaciones C tiene la estructura de cuerpo conmutativo

Elemento neutro:

Elemento opuesto:

Elemento unidad:

Elemento inverso: , siempre que

Nótese que el complejo (0,1) verifica

, es decir,

(link a explicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas

)

El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).

El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en C una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

OTRAS FORMAS DE REPRESENTAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de

vectores. Dados dos vectores y su suma es

 

 

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa,

es decir, si , entonces el módulo de es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es

decir, si , entonces el conjugado de es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

 

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número

en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

 

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde es un argumento de , esto es, es un ángulo tal que

, .

 

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores

que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se

denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y ,

representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y

sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, ,

con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si

, y , entonces

 

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si

, para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,

. 

(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes

enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma

.

 

RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJOEstudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado

, sea , para un número natural p.

Si , puesto que , es decir, . Por

tanto, , y además, , o sea,

, para .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos

se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio

.

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de 

 

 

Puede verse lo mismo en la siguiente animación:

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Página creada por Ángela Barbero Díez

I.- Introducción

Existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, la ecuación x²+9=0 no tiene solución real ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9.

El matemático hindú Bhaskara (1114-1178) ya hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz cuadrada de un número negativo.

Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, fue el primero en escribir las raíces de números negativos solución de una ecuación de segundo grado, aunque especificando que no tenían sentido.

Euler (1707-1783) introdujo una nomenclatura específica para resolver raíces de números negativos.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) culminó la construcción de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos.

La unidad imaginaria, i, es el número que elevado al cuadrado da -1.

Una expresión de la forma a + b i, en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo.

Escribiremos z = a + b i, a es la parte real del número complejo z y b es la parte imaginaria de z. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica del número complejo z.

Si la parte imaginaria es cero, tenemos un número real. Si la parte real es cero, un número imaginario puro.

II.- Representación gráfica de los números complejos.

Los números complejos se representan en un plano infinito que llamaremos plano complejo, de modo que la parte real se represente en el eje de abscisas, llamado EJE REAL, y la parte imaginaria en el eje de ordenadas, llamado EJE IMAGINARIO.

Actividades:

a).- Representa los siguientes números complejos: -3i, 2-3i, -3+i, 4, -5, 4i, 3+4i.

b).- Observa dónde aparecen representados los números reales y los números imaginarios puros.

c).- Mueve con el ratón el punto P y observa el signo de la parte real y la parte imaginaria según el cuadrante en que lo situemos.

III.- Suma, multiplicación y división de números complejos en forma binómica.

Sean los números complejos z = a + bi y w = c + di. Definimos:

Suma.- Para sumar dos o más números complejos se suman las partes real e imaginaria de cada uno de ellos.

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Multiplicación.- Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1.

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

División.- Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

Actividades:

a).- Da a z los valores 2-5i, 1+5.5i, 6+3i, 1+3i, 3.5+2i y a w los valores -1+i, 0.5+0.5i, -1-1.5i, -2+0.5i, 0.5+2i. Calcula z+w, z.w y z/w. (Comprueba tus resultados con los de la escena).

IV.- Forma polar o módulo-argumental de un número complejo.

A cada número complejo z = a + bi se le asigna, en el plano complejo, un punto P de coordenadas (a,b).

Si se une el origen de coordenadas O con P, se obtiene el vector OP. De esta forma a todo número complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del número complejo).

El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (a,b) o mediante la longitud del vector OP y el ángulo que éste forma con el eje positivo de abscisas.

Se llama módulo del número complejo z = a + bi, y se representa por m o |z|, a la longitud del vector OP.

Se denomina argumento del número complejo z = a + bi, y se representa por al ángulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas. Para determinar el valor de se aplica la fómula:

La determinación del argumento no es única ya que existen infinitos ángulos con la misma tangente. Si se restringe la determinación a ángulos comprendidos entre 0 y 2 (0° y 360°), existen dos ángulos, que difieren en radianes (180°), con la misma tangente. El argumento dependerá de los signos de a y b, es decir, del cuadrante en el que está situado el afijo de dicho número complejo.

Notemos que a = m cos() y b = m sen(). Escribiremos z = a+bi = z = m(cos +i sen ).

Actividades:

a).- Observa el valor de la parte real y de la parte imaginaria del número complejo z cuando el argumento sea 0°, 90°, 180° y 270°.

b).- Observa el valor de la parte real y de la parte imaginaria del número complejo z cuando el argumento sea 45°, 135°, 225° y 315°.

c).- Puedes mover con el ratón el punto P y observar el argumento dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto P.

d).- Observa qué ocurre cuando la parte real es cero. (No existe la tangente de 90° ni la tangente de 270°).

V.- Raíces n-ésimas de la unidad.

Si calculamos las raíces n-ésimas de 1 y representamos sus correspondientes afijos obtenemos los vértices de un polígono regular con un número de lados igual al índice de la raíz.

Los vértices del polígono estarán sobre la circunferencia de radio 1.

Actividades:

a).- Aumenta el índice de la raíz y observa lo que ocurre.

VI.- Operaciones con números complejos y transformaciones geométricas.

1.-Si se suma el número complejo a + bi a otro número complejo c + di, se

produce una traslación de vector v=(a,b). Vamos a hacer translaciones del triángulo PQR. Obtendremos el triángulo P1Q1R1

Actividades:

a).- Haz coincidir los dos triángulos.

b).- Haz distintas traslaciones cambiando los valores de a y b. Puedes mover con el ratón el punto P.

2.-Si se multiplica el número complejo 1 a otro número complejo , se produce un

giro de centro el origen y ángulo

Vamos a girar el triángulo de vértices PQR.

Actividades:

a).- Haz distintos giros. Puedes mover con el ratón el punto P.

3.-Si multiplicamos por el número complejo z a otro número complejo ,

realizamos una homotecia de centro O y razón módulo de z y un giro de centro O y ángulo

Vamos a multiplicar los afijos de los vértices del triángulo PQR por z

Actividades:

a).- Observa que si el módulo es mayor que 1, el triángulo transformado P1Q1R1 es mayor que el triángulo PQR.

b).- Observa que si el módulo es menor que 1, el triángulo transformado P1Q1R1 es más pequeño que el triángulo PQR. (Puedes mover con el ratón el punto P. Cambia la escala para ver bien la escena.).

Resumen

Este circuito tiene la cualidad de activar o desactivar algún dispositivo conectado a él, mediante dos aplausos consecutivos. El circuito puede: activar/ desactivar lámparas, calentadores de agua, etc. El funcionamiento se basa en que el circuito detecta una señal de sonido la cual es transmitida a la entrada inversora del amplificador operacional. El amplificador operacional al recibir la transmisión activa un temporizador 555 que está conectado como multivibrador monoestable. También se desarrollara una interfaz gráfica la cual simulara las funciones posibles del circuito activado por sonido.

Abstract

This circuit has the quality of enable or disables some device connected to him, through two consecutive applause. The circuit can: activate / deactivate lamps, heaters of water, etc. The operation is based on the circuit detects a signal of sound which is transmitted investment entry wing of the operational amplifier. The operational amplifier to receive the transmission activates a 555 timer that is

connected as multivibrator monostable.also developed a graphical interface which pretends the functions possible circuit activated by sound...

Planteamiento del problema

La posibilidad de brindar nuevas innovaciones en la tecnología nos demuestra que si colocamos nuestra visión en crear nuevas ideas debemos apoyarnos en las necesidades sociales y ecológicas, ayudando así en la conservación del medio ambiente tratando de economizar suministros he innovando en la actualidad.

Creando sistemas como estos tenemos beneficio que son reducir los materiales de cobre, caucho, plástico, etc. Los cuales son utilizados en gran parte por la sociedad actual.

Con la interfaz gráfica se piensa modelar el proyecto el cual nos permitirá visualizar más cómodamente el comportamiento del circuito y sus aplicaciones.

Justificación

Este proyecto se llevara a cabo teniendo en cuenta la reducción de elementos que se utilizan en las conexiones eléctricas.Este sistema el cual no necesita suiche que lo active y desactive puede funcionar con baterías las cuales pueden ser cargadas con la luz solar por medio de un panel o fotocelda. Con la interfaz gráfica se facilitara la interpretación del proyecto que será expresado por medio de figuras las cuales representan diferentes tipos de componentes del sistema demostrando sus aplicaciones.

Objetivo General

•Se implementara un circuito el cual es activado por sonido, este mismo se complementara con una interfaz gráfica la cual permitirá visualizar el comportamiento del circuito demostrando sus funciones.

Objetivos Específicos

•Desarrollar una simulación que permita la descripción del comportamiento del circuito en sus diferentes funcionalidades. •Clasificar los componentes que puedan ser utilizados en función del circuito activado por sonido. •obtener una señal de largo alcance para activar el circuito a largas distancias.

Marco Conceptual

En la elaboración del proyecto pudimos identificar las diferentes formas de utilizar los componentes que lo conforman teniendo en cuenta los estados de los sistemas a utilizar(rele,condensador,resistencias,amplificador operacional,circuitos integrados, micrófono). Con la interfaz gráfica especificaremos los sistemas del circuito simulando una acción cuando este se encuentre activo .Los condensadores cerámicos son utilizados para generar mayor frecuencia los electroliticos son usados para generar una frecuencia menor.

Metodología

El inicio del proyecto se realiza cuando el sonido se propaga por medio de un micrófono el cual convierte el ruido en energía eléctrica. Esta energía activa un relé el cual nos permite encender o apagar el sistema. La corriente eléctrica es controlada por una compuerta lógica (flip-flop) y se puede ampliar la salida de corriente con los amplificadores operacionales para las diferentes utilidades del circuito. La interfaz gráfica se desarrollara simulando los componentes necesarios con gráficos y figuras geométricas generando las funcionalidades del proyecto con su respectivo programa.

Marco Teórico

El Sensor de Sonido está basado en un micrófono de sensibilidad regulable que es fácilmente adaptable a la intensidad del sonido .El rele cumple la función de activar o desactivar todo el circuito .Los condensadores cerámicos no manejan polaridad los electrolíticos si tienen polaridad .Las resistencias nos ayudan a controlar el flujo de la corriente en diferentes puntos del circuito. El amplificador operacional sirve para generar una ampliación en la corriente que atraviesa por el .El flip-flop se encarga de distribuir la corriente en el circuito (compuerta lógica).El circuito integrado 555 está constituido por una combinación de comparadores lineales, flip-flops (biestables digitales), transistor de descarga y excitador de salida.El dispositivo 555 es un circuito integrado muy estable cuya función primordial es la de producir pulsos de temporización con una gran precisión y que, además, puede funcionar como oscilador. Sus características más destacables son: Temporización desde microsegundos hasta horas. Modos de funcionamiento: Monoestable. Astable.Aplicaciones: Temporizador. Oscilador.Divisor de frecuencia.Modulador de frecuencia.Generador de señales triangulares

Librerías de java

• import java.awt.Color; • import java.awt.Graphics; • import java.awt.Graphics2D; • $xini=$row['xini'];//Inicio de x del vértice 1 • $yini=$row['yini'];//Inicio de y del vértice 1 • $incx=$row['incx'];//Longitud de la base • $incy=$row['incx'];//Altura del triangulo • imagepolygon($im,array($xini,$yini,($incx*2),$yini,$incx,incy),3,$linea);

Metodología Propuesta

Debido a las investigaciones que se realizaron tenemos un objeto importante entre los componentes del proyecto y es El relé o relevador es un dispositivo electromecánico. Funciona como un interruptor controlado por un circuito eléctrico

en el que, por medio de una bobina y un electroimán, se acciona un juego de uno o varios contactos que permiten abrir o cerrar otros circuitos eléctricos independientes. Fue inventado por Joseph Henry en 1835.Dado que el relé es capaz de controlar un circuito de salida de mayor potencia que el de entrada, puede considerarse, en un amplio sentido, como un amplificador eléctrico. Como tal se emplearon en telegrafía, haciendo la función de repetidores que generaban una nueva señal con corriente procedente de pilas locales a partir de la señal débil recibida por la línea. Asociándolo con los sensores de sonido se pudo concluir Que Se trata de un sensor activado por sonido. Un micrófono recoge la señal de sonido o ruido ambiente. Esta señal es amplificada y, si se alcanza un determinado nivel o umbral, se produce un pulso lógico de disparo activo por flanco ascendente. El circuito en reposo (ausencia de ruido/sonido) mantiene la señal de salida a nivel lógico “0” permanente. El circuito dispone de un orificio que permite una flexible instalación y sujeción del mismo sobre cualquier tipo de estructura. Aclarando que cuando el sistema se comporta en uno (1) es encendido o en funcionamiento y cero (0) es apagado sin funcionamiento.

Presupuesto

Los materiales acontinuacion presentan un costo de: materiales Precio Protoboard 16.000 pesos Plafon 3.000 pesos Bombillo 2.000 pesos Relé 1.200 pesos Transistor 800 pesos Condensador 1.500 pesos Resistencia 2.300 pesos Cable 1.000 pesos Circuito integrado 1.700 pesos

Total 45.000 pesos

Resultados esperados Circuito fisico: Se espera que al detectar la propagacion de sonido el circuito responda a la señal , ya bien ,sea prendiendo o apagando el bombillo…

Interfaz grafica: Se espera poder visualizar las funciones del circuito simulando la actividad de este mismo…

Herramientas y Tutoriales utilizados

WEB GRAFÍAS

http://www.unicrom.com/cir_control_electronico_sonido.asp

http://www.slideshare.net/felix.rivas/sensores-ii-presentation

BIBLIOGRAFIAS Dorf circuitos eléctricos

Evaluación primer corte

Observaciones sustentación 2012-02-29

Profesor: J. Alexander Hernández

Hay que preparar diapositivas cuando uno sustenta el proyecto para explicar bien la idea de lo que se va a hacer

La idea hay que especificarla más (cambiar ficha técnica para especificar qué es lo que va a hacer el circuito)

No sustento la investigación que se debió haber hecho en este corte (Cristian queda de enviar lo investigado hasta ahora)

No se actualizó el Wiki con la info hasta el corte Se deja plazo para entregar el Anteproyecto para el lunes 5 de Marzo

Evaluación segundo corte

Observaciones sustentación 2012-04-18

Profesor: J. Alexander Hernàndez

Hay que entregar las sustentaciones a tiempo (en la fecha propuesta) Revisarla ortografía y correcciones dadas por correo Incluir las observaciones que les hizo el profesor Sergio Pinzón

Evaluación tercer corte

Observaciones sustentación 2012-05-23

Profesor: J. Alexander Hernàndez

El resumen habla de conectar cualquier dispositivo? Eso donde se ve en el simulador o en el circuito real?

En el objetivo general dice "utilizando sus aplicaciones en las posibles novedades tecnológicas" ... que novedades utilizaron? Hay que escoger mejor las palabras.

En el objetivo especifico dice que haran un modelo de simulacion ... se puede confundir con un modelo matemátco de simulación.

Revisar objetivo "Clasificar los componentes que puedan ser utilizados en función del circuito activado por sonido estos dispositivos se describen como sistemas los cuales cumplen un resultado específico unos ejemplos claros; Motores, lámparas, bombillos etc."

El marco conceptual debe hablar de los conceptos electrónicos y físicos que se ven involucrados en este proyecto. No, de como se va a hacer (esto es metodología)

Las imágenes no coinciden con las del wiki. Aqui se estructura mejor la informacion que en el wiki (deben ser consistentes).

No coinciden las partes del sistema entre los diferentes diagramas. ejemplo: sensor piezoeléctrico no esta en diagrama de clases ni diagrama de bloques.

Qué tiene que ver un sonar con este proyecto? Por que relacionan el Lm308 en las gráficas..? si se usa? No queda claro qué hace el sensor fotodiódico dentro de todo el sistema.

Cuál es su papel?

No queda claro qué hace el detector de frecuencia dentro de todo el sistema. Cuál es su papel?

Las librerías de java no son marco teórico , más bien hubieran hablado de que simuladores hay para este tipo de proyectos o proyectos de sensores de sonido en la actualidad o que productos comerciales hay que hagan lo mismo. Falta más investigación!

Esta bien que mencionen el presupuesto (ojala en tablas alineadas o de excel)

Ojo con la ortografía, la redacción y la puntuacion. Ejemplo puntos suspensivos indican que falta algo por decir. En unas conclusiones o resultados esperados no se debería dejar en puntos suspensivos sinoser concretos al realizar las afirmaciones.

La bibliografía tiene un formato estándar y la webgrafía tambien. Revisar estos formatos y no solo dejar los links, esto es de mal gusto.

En el documento no veo nada de los diagramas de UML, por qué los dejaron por fuera?