Números Complejos

Números Imaginarios

Si b es un número real , entonces es un número imaginario puro teniendo:

Donde:

Definiéndose i como la unidad imaginaria.

Al número se le denomina forma normal (o estándar) de un número imaginario puro.

0≥b

12 −=i

bibbb =−=−=− )1()1(

bi

1−=i

b−

Potencias de i

Las potencias básicas de i son:

Cualquier potencia de i puede reducirse a una de las cuatro potencias básicas, por ejemplo:

12 −=iiiiii −=−== )1(23

iiiii === )1(45

1)1)(1(224 =−−== iii

iiiiiii −=−== ))(1)(1)(1(344415

Multiplicación de radicales

Si a y b son números reales, entonces

si y

Si a < 0 o b > 0 ( o ambos a y b son negativos), es necesario convertir el radical a la forma normal de un numero imaginario puro antes de efectuar la multiplicación.

Por ejemplo:

abba = 0≥a 0≥b

6)3)(1(2)3(2)32(3)1)(3(4)1(3123 22 −=−===−−=−− iii

10421042)14)(7(56143)(7)(52()143(7)(52( 33 iiiiii −====−−−

Números Complejos

Si se suma un número real y un número imaginario se obtiene un número complejo.

Un número complejo es de la forma a + bi donde a y b son números reales:

Si a = 0 se tiene un número (bi) imaginario Si b =0 Se tiene un número real (a)

La forma a + bi se le denomina forma rectangular de un numero complejo.

La parte real del número complejo es a y la parte imaginaria es b.

Si a + bi y c + di son números complejos, entonces a + bi = c + di si y solo si a =c y b = dEjemplo:Hallar los valores de x y y en la expresión

4 + 3i =7i + x + 2 + yiReordenando se tiene: x + yi =4 + 3i – (2 + 7i)

x + yi = 2 - 4i Por lo tanto, x = 2 y y = -4 , ya que las partes reales

e imaginarias deben ser iguales.

Igualdad de Números Complejos

Conjugado de un Número Complejo

El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a – bi

Ejemplos

El conjugado de 3 + 4i es 3 – 4i

El conjugado de 5 – 2i es 5 + 2i

El conjugado de -7i es 7i, porque – 7i = 0 – 7i

El conjugado de 15 es 15 porque 15 = 15 + 0i

OperacionesOperación Definición Descripción

Adición (a + bi)+ (c + di)=(a + c)+ (b + d)i Se suman las partes reales y las imaginarias respectivamente

Sustracción (a + bi) - (c + di)=(a - c) + (b - d)i Se restan las partes reales y las imaginarias respectivamente.

Multiplicación (a + bi)(c + di)=(ac - bd)+ (ad + bc)i

Multiplicar números complejos como binomios y simplificar

División Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

22

)()(

dc

iadbcbdac

dic

dic

dic

bia

dic

bia

+−++=

−−

++=

++

Ejemplos.

a)

b)

c)

Operaciones

iii 51)2()43(

)12()163(

−=+−−=−+−−−

iii

iiiii

)53()53()1(5533

5533)11)(53()11)(53( 2

−++=−−−+

=−−+=+−=−+−−

236

)1(21)1(42

41

422

21

21

21

222

21

822

2

==−−−−

=−−=

−−

++=

−+−+

i

i

i

i

i

i

Operaciones

Ejemplos

a)

b)

c)

( ) 032853)28()5( =−++−−=−+−−− iiiiii

( ) ( ) ( )89236823681

229522425816222

222

−=+−

=−=+−=−+−−−

iii

iiiii

( ) ( )

53

9163512

91634912

3434

343

3422

3412

2

2

2

iii

iii

ii

ii

iiii

iii

+=+

++=−

−−+

=

++

−−=

−−+−=

−−+

Aplicación

Determinar todas la raíces de la ecuación:

Solución:

Por el teorema del factor cero:

0)42)(2)(42)(2()8)(8(64 22336 =+−+++−=+−=− xxxxxxxxx

0422 =++ xx0422 =++ xx

02 =−x 02 =+x21 =x 22 −=x

31 ix ±=

314 ix −−=313 ix +−=

31 ix ±−=

315 ix += 316 ix −=

0646 =−x