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Números CompleJos
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7/17/2019 Números CompleJos
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-complejos-56902b1313c07 1/2
Problemas de Matemáticas I Matilde Legua 1
Números complejos
1. Explicar el signi…cado geométrico de las siguientes relaciones
(a)¯̄z+5z¡3
¯̄ = 2
(b) z = 1z
(c) jz ¡ 1 + ij < 2
(d) Re(1z
) < 12
(e) jz ¡ 1j · jz + 1j
2. Expresar en forma binómica
a) 2+i3¡i
b) e(i¡1)2 c) (2 + 2i)27
d) (2 ¡ 3i)(1 + 4i) e)¡1+i1¡i
¢10f ) (1+2i)3
(1+i)(2¡i)(1¡3i)
g) i+i2+i3+i4+i5
1+i h) i4+i9+i16
2¡i5+i10¡i15 i) ln i
j) e¡9¼i
2 k) ep i l) (1 + i)8
3. Encontrar todos los valores de las siguientes raíces:p ¡
8i, 4p ¡
1; 3p
1 + i:
4. Resolver la ecuación
a) z 6 + 64 = 0: b) z 4 + z 2 + 1 = 0
c) z 2 + (¡3 + 2i)z + 5 ¡ i = 0 d) z 5 ¡ 1 = 0
5. Resolver la siguiente ecuación, mediante el cambio z 3 = t
z 6 ¡ 9z 3 + 8 = 0
6. Calcular(8p
2 ¡ 8p
2i)1=4
7. Hallar el valor de la siguiente expresión, con n 2 N:
E = (1 +p
3i)n + (1 ¡p
3i)n
Sugerencia: Pasar a forma trigonométrica y aplicar la fórmula de Moivre.
7/17/2019 Números CompleJos
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Problemas de Matemáticas I Matilde Legua 2
8. Como aplicación de la fórmula de Moivre, obtener sen(5®) en función de
sen ®, cos ® y las potencias de éstas. Sugerencia: Apliquese el binomio deNewton.
9. Representar en forma exponencial: 1 + i; ip 2
4+4i; ¡3; 2 +
p 3i
10. Probar que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es 0. Sugerencia:expresar las raíces en forma exponencial.
11. Determina dos números reales a; b tales que
43 + bi
a¡
5i = 4 + 3i
12. Halla dos números reales tales que su suma es 1 + 4i; su cociente es imaginariopuro y la parte real de uno de ellos es ¡1:
13. Para todo z 2 C se de…ne cos(z ) = eiz+e¡iz
2 : Hallar todos los valores de z tales
quecos(z) = 4: