Números Complejos

● Números naturales: útiles para contar cosas

N={ 0, 1, 2, … }

Pero con ellos no podemos resolver la ecuación:

X+5=2

Números Complejos

● Entonces inventamos los números enteros:

Z = {…-2, -1, 0, 1, 2, … }

Sin embargo, con ellos no podemos resolver la ecuación:

5x = 2

Números Complejos

● Entonces inventamos los números racionales Q, como la fracción:

p/q

con p y q números enteros (q distinto de cero)

Sin embargo, hay números que no son racionales, como

Números Complejos

● Entonces inventamos los números reales, R

Sin embargo, no podemos resolver la ecuación:

?No hay un número real cuyo cuadrado sea -4 !

● A esta nuevo conjunto de números complejos nos gustaría imponer, tantas como sean posibles, propiedades de los números que ya conocemos.

Por ejemplo:

Números Complejos

● Por lo tanto, postulamos que i se comporta como un número real en operaciones tales como la adición y la multiplicación.

● Con la única nueva característica que:

Números Complejos

● Definición formal: definimos los números complejos como un par ordenado (x,y) de números reales:

Números Complejos

● Dos números complejos:

y

son iguales si y sólo si

e

Números Complejos

● Ecuación de Euler

Álgebra de números complejos

● Teorema de “De Moivre”

● Raíces

Dos números complejos y

son iguales si y solo si

k: entero

● Raíces

De aquí se deduce que si las raíces n-ésimas de están dadas por

[ Raíces distintas: ]

Definimos la función valor principal de Ln(z), ln(z), restringiendo el argumento de z en el intervalo:

Ejemplo: evaluar Ln(-i)

es decir

Mientras que el valor principal es:

Ejemplo: simplifique la expresión

Usando que

tenemos

Por lo tanto: z es real!

Regiones en el plano complejo

● Disco abierto, vecindad o entorno:

El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad

======================================

Recordemos que representa la

distancia entre y

donde es número real positivo [ : entorno]

Ejemplos

●

●

Regiones en el plano complejo

● Punto interior:

un punto en un conjunto S se le llama punto interior de S, si hay un disco abierto, o vecindad circular, que está completamente contenido en S

Ejemplo:

en el conjunto Re(z)>0, pues

existe un disco contenido

en el conjunto:

Regiones en el plano complejo

● Si cada punto del conjunto S es un punto interior, entonces S es un conjunto abierto

Ejemplo: un disco abierto es un conjunto abierto

● Un conjunto abierto S es conexo, si para cada

par de puntos y en S pueden unirse

por una línea poligonal.

Regiones en el plano complejo

Ejemplo: el anillo es un conjunto abierto y conexo

Regiones en el plano complejo

● A un conjunto abierto y conexo se le llama dominio

Regiones en el plano complejo

Regiones en el plano complejo

● Punto frontera: un punto está en la frontera de S, si cada vecindad de contiene al menos un punto en S y punto fuera de S

● Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera

Ejemplo: (disco cerrado)

● Los números complejos pueden visualizarse como puntos en la esfera unidad o esfera de Riemann por medio de una proyección estereográfica.

● Esta proyección asocia un punto z en el plano ecuatorial con un punto sobre la esfera, por el que una línea recta corta la esfera al unir z y el polo norte de la esfera

Regiones en el plano complejo

Regiones en el plano complejo

El punto infinito se identifica con el polo norte de la esfera. A la unión de este punto y el plano complejo se le llama plano complejo extendido

● Una vez introducido los números complejos y visto alguna de sus propiedades (y definido regiones en el plano x-y) quisieramos estudiar funciones de esos números:

● Recordemos que un función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo (*) un elemento de un conjunto B

(*) las funciones multivaluadas las veremos más tarde

Mapeos/Transformaciones

● Si f asigna el valor b al elemento a en A, es decir, tenemos que:

El conjunto A es el dominio(*) de definición de f y el conjunto de imágenes f(a) es el rango de f

(*) no necesariamente el dominio que hemos definido anteriormente

imagen de a bajo f

Mapeos/Transformaciones

Mapeos/Transformaciones

● Comentario

Podemos construir, de hecho ya lo hemos hecho, funciones que van del conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos

Por ejemplo

Pero estas funciones se pueden estudiar mediante el análisis vectorial de funciones reales

Resulta conveniente introducir el valor (complejo) w de la función f(z) en el punto z, es decir,

como

Mapeos/Transformaciones

Ejemplo:

Sea

a)Describa las curvas en el plan x-y tales que

y

Mapeos/Transformaciones

b) Describa las curvas en el plan u-v cuya preimagen está dada por las coordenadas x=a e y=b

Mapeos/Transformaciones

b) Entonces tenemos la transformacion de la región

Plano x-y Plano u-v

0 a a2

Mapeos

● Ejemplo: Describa la función para z

en el semidisco dado por con