Numeros Complejos I

Esteban Avila C.

May 9, 2006

1 INTRODUCCION

Los Numeros Complejos son una extension de los numeros reales, cumpliendoseque R C. Los numeros complejos tienen la capacidad de representar todas lasraices de los polinomios, cosa que con los reales no era posible. Esto se consiguegracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada nmeroi, que verifica la propiedad:

i2 = 1Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones

con estos numeros, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cadalado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no con-fundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

Un complejo se puede representar de 3 maneras

1. Como un par ordenado: z = (x, y) donde x es la parte real, e y la imagi-naria.

2. Como la suma de real e imaginario: z = x+ iy

3. Notacion Polar z = rei

2 ALGEBRA DE COMPLEJOS

2.1 Operaciones

Sea zk = (xk, yk) numero complejo. Se cumple:

1. z1 = z2 x1 = x2 y y1 = y22. z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2)

3. z1 z2 = (x1 x2 y1 y2, x1 y2 + x2 y14. Si z = (x,y) entonces: z1 = ( xx2+y2 ,

yx2+y2 )

1

2.2 Conjugado

Se define el Conjugado de un complejo como:

z = a+ bi = a bi

Y esto cumple principalmente:

1. z = z

2. z1

z2 = z1

z2

2.3 Modulo de un Complejo

|z| = zz =x2 + y2

El modulo de un complejo cumple las siguientes propiedades:

1. |z| >= 02. | z| = |z|3. |z1z2| = |z1||z2|4. Si z distinto de 0 |z1| = |z|1

5. |zn| = |z|n

6. z1 = z|z|2

3 FORMA POLAR DE UN COMPLEJO

Como vimos al principio, un complejo puede estar determinado por un radior (que es igual a la modulo del complejo) y un angulo (tambien conocidocomo el Argumeto: Arg, que se calcula como = yx ). Al igual que en el planocartesiano, el numero se puede expresar como

z = (rcos(), rsin())

Y esto a su vez en su forma:

z = r(cos() + isin())

z = rCis()

Lo que tambien puede ser expresado como:

z = rCis() = rei

Cabe destacar que la importancia de esta ultima expresion radica en que facilitael calculo para obtener las raices de un complejo.

2

4 RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO

4.1 Raices cuadradas de z0

Supongamos el caso de:z2 = z0

en donde z0 = x0 + iy0 Debemos calcular el complejo z. Para ello expresemosz0 en su forma polar:

z0 = r0ei0

en donde r0 =x20 + y

20 Sabiendo esto, podemos decir que:

z = r0ei0

z = r0ei02

z = (r0(cos(02 ) + isin(02)))

z = (r0(

1 + cos(0)2

1 cos(0)2

))

(*)

z = (

r0 + r0cos(0)2

r0 r0cos(0)2

)

Ahora reemplazamos r0 =x20 + y

20 y r0cos() = x0

z = (

x20 + y20 + x0

2

x20 + y20 x0

2)

(*) La extraa aparicion de este signo entre medio de ambas raices, se debeal desarrollo del coseno y seno del angulo medio, que en si lleva un , el cuales aplicado en las 2 raices, pero como tenemos un afuera del parentesis, hayuna especie de factorizacion de signos quedando dependiendo solo del signodel seno del angulo medio, que este va a ser positivo si > 0 (entonces y0 > 0)o negativo si < 0 entonces y0 < 0.Por lo tanto tenemos 2 pares de soluciones, para el caso en que:

y0 > 0 z = (

x20 + y20 + x0

2+

x20 + y

20 x0

2)

y0 < 0 z = (

x20 + y20 + x0

2

x20 + y20 x0

2)

4.2 Raices n-esimas de w0

Ahora ampliamos la demostracion anterior para el caso n-esimo.

zn = z0

zn = r0e(i0)

3

Aprovechamos el periodo de la funcion exponencial:

zn = r0e(i(0 + 2kpi))

z = nr0e

i(0+2kpi)

n

Por lo tanto vamos a tener soluciones diferentes para los valores de k 0, 1, 2...n 1.Esto es porque, si k vale n, la solucion seria;

z = nr0e

i(0+2npi)

n

z = nr0e

i(0n +2pi)

Que es la misma solucion, para k = 0.

4.3 Raices n-esimas de la unidad

Es importante destacar este caso. En el cual deseamos calcular los complejostales que:

zn = 1

Recordemos que para la forma polar:

1 = e0 = ei(0) = ei(2k)

Usando esto:z = ei(

2kn )

Expresion por el cual se determina las raices de la unidad, variando el k.

wk = ei(2kn )

Segun esto, demostremos que:

n1k=0

wk = 0

Al descomponer esto:n1k=0

ei(2kpin ) = 0

n1k=0

cos(2kpin

) + in1k=0

sin(2kpin

)

Por analisis, si vamos al circulo trigonometrico, notaremos que ambas expre-siones dividen a este circulo en n partes iguales, y luego suman las proyeccionessobre el eje x e y respectivamente, luego si sumamos las proyecciones va a sercero.Es importante destacar el caso n=3, de las llamadas races cubicas de la unidad.

z3 = 1

4

La solucion a este problema es:

w0 = ei(20pi3 ) = e0 = 1

w1 = ei(2pi3 )

w2 = ei(22pi3 ) = w21

Si deseamos calcular el valor de aquellas raices:

w1 = ei(2pi3 ) = cis(

2pi3) = cos(

2pi3) + isen(

2pi3) = 1

2+ i

12

w2 = ei(22pi3 ) = cis(

4pi3) = cos(

4pi3) + isen(

4pi3) = 1

2 i1

2Notaremos que

w1 = w2

Vemos que el unico parametro es w1, haciendo un cambio de variable w1 = w,escribimos que las raices cubicas de la unidad son:

1, w, w2

donde complen:

w = ei(2pi3 ) = 1

2+ i

12

w2 = w

4.4 Ejercicios Resueltos

1. Calcular el modulo y el argumento de los siguientes complejos

(a) 1 i3El modulo lo calculamos asi:

|z| =12 + (

3)2 =

1 + 3 = 2

Mientras que el argumento ():

tan() = 31 = pi

3

(b) 3 + i(3)|z| =

(3)2 + (

3)2 =

9 + 3 =

12 = 2

3

Cabe notar que el argumento () debe corrresponder a un angulo del2do cuadrante:

tan() = 33 = 2pi

3

5

2. Represente de forma binomial a+ bi:

(1 + i)5

1 + i9

Segun el teorema del binomio de newton la fraccion es igual a:

1 + 5i+ 10i2 ++10i3 + 5i4 + i5

1 + i5

Ahora con cuidado desarrollamos los i-es.

i2 = 1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i, i9 = i1 + 5i+ 10i2 + 10i3 + 5i4 + i5

1 + i5=

1 + 5i 10 10i+ 5 + i1 + i

=4 4i1 + i

= 4El cual tiene la representacion compleja: 4 + 0i o bien (4, 0)

3. Resuelva las siguientes ecuaciones:

(a) z6 + 64 = 0z6 = 64

z6 = 64(cos(pi) + isen(pi))

z6 = 64ei(pi)

z6 = 64ei(pi+2kpi)

z = 664ei(

pi+2kpi6 )

Para k = [0, 1, 2, 3, 4, 5]

4. Encontrar todas las raices del polinomio p(x) = x4 x3 x2 + 2x 2, sicos(pi3 ) + isen(

pi3 ) es una de ellas

Si cos(pi3 ) + isen(pi3 ) es solucion, por lo tanto su conjugado tambien es

solucion. Esto quiere decir que las races conocidas son:

x1 = cos(pi

3) + isen(

pi

3)

x2 = cos(pi

3) isen(pi

3)

Para obtener las demas, aplicaremos lo siguiente:Sea x1, x2, x3, x4 las raices de p(x), esto implica que :

p(x) = (x x1)(x x2)(x x3)(x x4)Como conocemos x1, x2 entonces para conocer las otras raices aplicamos:

p(x)(x x1)(x x2) = (x x3)(x x4)

Lo cual nos lleva a encontrar las raices de ese nuevo polinomio que sonx1, x2.Entonces aplicamos esto:

(x x1)(x x2) = x2 (x1 + x2)x+ x1x2

6

(x x1)(x x2) = x2 (x1 + x2)x+ x1x2Sabemos que x2 es el conjugado de x1 por lo tanto (x1 + x2) correspondea 2 veces la parte real de x1, mientras que x1x2 corresponde al cuadradodel modulo de x1 que es 1.

(x x1)(x x2) = x2 2cos(pi3 )x+ 1 = x2 x+ 1

Ahora continuando con el metodo:

p(x)(x x1)(x x2) =

x4 x3 x2 + 2x 2x2 x+ 1 = x

2 2

Por lo tanto, debemos resolver:

x2 2 = 0Para encontrar sus raices, lo cual implica finalmente que :

x3 =2, x4 =

2

5. Dados los polinomios p(x) = x2 + ax + b y q(x) = x3 + cx2 + dx + e,ambos con sus coeficientes reales. Determine p(x) y q(x) si se sabe que elproducto p(x)q(x) es divisible por x3 + 1 y que (1+i) es raiz de q(x).

Seaf(x) = p(x)q(x)

De grado 5, es decir tiene 5 raices complejas (recordemos que los reales sonsubconjunto de los complejos), sean estas: x1, x2, x3, x4, x5 Esto implicaque:

f(x) = (x x1)(x x2)(x x3)(x x4)(x x5)De estas raices, 3 deben ser raices de q(x) y 2 de p(x). Digamos que x1, x2son raices de p(x) y x3, x4, x5 raices de q(x), de las cuales 2 son complejasx1 = 1 + i y x2 = 1 i, esto obliga a x3 ser real.Si f(x) es divisible por x3 + 1, significa que las soluciones de x3 + 1 = 0son raices de f(x), vemos que las soluciones a esa ecuacion son:

x3 = 1x3 = e(ipi)

x = e(ipi + 2kpi

3)

Por lo tanto las soluciones son:

z1 = 1

z2 = e(ipi + 2pi

3)

z3 = e(ipi + 4pi

3)

Ahora vemos que ninguna de estas soluciones coincide con las raices yaobtenidas para q(x), por lo tanto forzosamente una de ellas tiene que

7

ser raiz de q(x), como raices complejas siempre van acompaadas de suconjugado por descarte z1 va a ser raiz de q(x), por lo tanto z1 = x3. Az2, z3 no le queda mas que ser raizd e p(x), entonces z2 = x1, z3 = x2.Entonces bajo todo lo anterior podemos decir que:

p(x) = (x x1)(x x2)

q(x) = (x+ 1)(x (1 + i))(x+ (1 i))

6. Calcular el cos(6) y sen(6)Por un lado tenemos que:

ei6 = cos(6) + isen(6)

y por otro:ei6 = cos() + isen()6

Por lo tanto:

cos(6) + isen(6) = (cos() + isen())6

Descompioniendo el binomio del lado derecho llegamos a:cos(6) + isen(6) = cos6() 15cos4()sen() + 15cos2()sen4() sen6() + (6cos5()sen() 20cos3()sen3() + 6cos()sen5())i Igua-lando partes Reales e Imaginarias llegamos a:

cos(6) = cos6() 15cos4()sen() + 15cos2()sen4() sen6()sen(6) = 6cos5()sen() 20cos3()sen3() + 6cos()sen5()

7. Demostrar que si 1, w, w2 son raices cubica de la unidad y z1, z2, z3 com-plejos cualquiera, entonces:

z1 + z2 + z3 z1z2 z2z3 z1z3 = (z1 + wz2 + wz3)(z1 + wz2 + wz3)

Vamos de derecha a izquierda:

(z1 + wz2 + w2z3)(z1 + w2z2 + wz3)

z21 +w2z1z2 +wz1z3 +wz1z2 +w3z22 +w

2z2z3 +w2z1z3 +w4z2z3 +w3z23

z21 + w3z2 + w3z3 + (w + w2)z1z2 + (w + w2)z1z3 + (w2 + w4)z2z3

Ahora sabemos que :

w3 = w2w = ww = |w|2 = 1

1 + w2 + w3 = 0 w + w2 = 1w2 + w3 = w2(1 + w2) = w2 w = w3 = 1

Por lo tanto, si reemplazamos queda:

z1 + z2 + z3 z1z2 z2z3 z1z3Que era lo que queriamos demostrar.

8

8. Si w es una raiz cubica de la unidad, entonces:

(1 w)(1 w2)(1 w4)(1 w5) = 9

Desarrollando el lado izquierdo:

(1 w)(1 w)(1 w)(1 w)

(1 w)2(1 w)2

(1 2w + w2)(1 2w + w2)(1 2w + w)(1 2w + w4)(1 2w + w)(1 2w + w)

Ahora si:1 + w + w2 = 0

1 + w + w = 0

1 + w = w 1 + w = w

Reemplazando:(2w w)(w 2w)

(3w)(3w)9ww

9

9