Números Naturales. Divisibilidad. 1º ESO

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

6

4

5

3

2

1

1 ES

O

G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 1

CO N T E N I D O

Números naturales.Divisibilidad

2

INTRODUCCIÓNDurante su etapa anterior, los alumnos han utilizado los números naturales y han aprendido las operaciones básicasde suma, resta, multiplicación y división, además del significado y cálculo de potencias de base y exponente naturales.En esta unidad, tras recordar el sistema de numeración decimal y el uso de los números naturales, se repasan las pro-piedades de las operaciones y se amplían los conocimientos en torno a estos números, estudiando la divisibilidad y losconceptos asociados a ella: divisor, múltiplo, número primo, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Es muy importante que entiendan y utilicen correctamente los conceptos de múltiplo y divisor, y que sepan calcular múlti-plos y divisores de un número. Para ello conviene relacionar el concepto de divisor y múltiplo de un número identificandoque cuando un número es divisor de otro número dado, también se cumple que el número dado es múltiplo del divisor.

La comprensión de los criterios de divisibilidad, en concreto los del 2, 3, 5 y 11, es esencial, ya que facilitan la des-composición en factores primos de un número cualquiera.

El cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números debe realizarse utilizando los algo-ritmos de cálculo que se dan en la unidad. Hasta el momento, muchos alumnos vienen haciéndolo calculando todos los divi-sores y los primeros múltiplos de los números dados, y seleccionando después el mayor y el menor, respectivamente, de loscomunes a todos ellos. Por ello es preciso que previamente dominen la descomposición factorial de un número natural.

• Números naturales.• El sistema de numeración decimal.• Interpretación de códigos numéricos presentes en la vida

cotidiana.• Propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la

división.• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma.• Elaboración y uso de estrategias personales de cálculo

mental.

• Múltiplos de un número.• Divisores de un número.• Cálculo de los múltiplos de un número natural.• Cálculo de todos los divisores de un número natural.• Criterios de divisibilidad: 2, 3, 4, 5, 10, 25, 100 y 11. • Números primos y números compuestos.• Descomposición de un número en factores primos.• Máximo común divisor de dos o más números.• Mínimo común múltiplo de dos o más números.

Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Utilizar correctamente los núme-ros naturales con el fin de repre-sentar la realidad de maneraclara, concisa, precisa y rigurosa.

1.1. Utilizar números naturales pararesolver actividades relaciona-das con la vida cotidiana.

1.2. Estimar y calcular el valor deexpresiones numéricas senci-llas de números naturalesbasadas en las cuatro operacio-nes elementales y sus propie-dades.

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana

• Tratamiento de la información ycompetencia digital

• Aprender a aprender

2. Identificar múltiplos y divisores deun número, si un número es pri-mo o compuesto, y obtener la des-composición en factores primosde un conjunto de números, parapoder calcular el máximo comúndivisor y el mínimo común múlti-plo en la resolución de problemasde la vida real en los que aparez-can conceptos de divisibilidad.

2.1. Utilizar adecuadamente los con-ceptos de divisibilidad pararesolver problemas de múlti-plos y divisores de un número,y distinguir números primos ycompuestos.

2.2. Emplear el algoritmo de cálcu-lo del máximo común divisor yel mínimo común múltiplo dedos números en la resoluciónde problemas sencillos.


3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosLos alumnos deben dominar la lectura y escritura de los números naturales y manejar con soltura el sistema de nume-ración decimal.

2. Previsión de dificultadesEl concepto de múltiplo y divisor de un número ya es conocido de cursos anteriores, pero los alumnos presentarán difi-cultades a la hora de relacionarlos entre sí. Para que asimilen la reciprocidad existente entre ambos conceptos con-viene hacer múltiples ejemplos del tipo “a múltiplo de b, entonces b divisor de a”.

A la hora de calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, los alumnos no suelen aplicar el métodoóptimo, por lo que conviene poner ejemplos en los que aprecien la utilidad del algoritmo a la hora de aligerar el tiem-po empleado en el cálculo.

3. Vinculación con otras áreasConviene insistir en la importancia del cálculo numérico en todos los campos de la ciencia, la técnica y la sociedad engeneral.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza con un repaso del sistema métrico decimal y de la utilización de los números naturales para crearcódigos, a la vez que se recuerdan las propiedades de las operaciones.

Más tarde se introducen los primeros conceptos de divisi-bilidad, múltiplos y divisores de un número, y se calculantodos los divisores de un número natural. Para facilitareste cálculo se estudian algunos criterios de divisibilidad:por 2, 5 y 10; por 4, 25 y 100; por 3 y 9, y por 11.

Se definen entonces los números primos y compuestos, yse explica la forma de expresar un número como produc-to de factores primos.

Con todo ello ya es posible estudiar los múltiplos y diviso-res comunes a varios números y aprender el método quepermite calcular el máximo común divisor y el mínimocomún múltiplo de varios números a partir de su des-composición en factores primos.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en12 sesiones:

1.ª Sistema de numeración decimal y los números como códigos.

2.ª Operaciones y propiedades de las operaciones de números naturales.

3.ª Múltiplos y divisores.

4.ª Divisores. Criterios de divisibilidad.

5.ª Números primos y compuestos.

6.ª Descomposición factorial.

7.ª Máximo común divisor.

8.ª Mínimo común múltiplo.

9.ª Algoritmo para el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

10.ª Resolución de problemas de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo.

11.ª Actividades de repaso y consolidación.

12.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Números naturales. Divisibilidad Unidad 1

NÚMEROS NATURALES.DIVISIBILIDAD

Múltiplos y divisoresSistema denumeración decimal

Criterios de divisibilidad

Descomposición enfactores primos

Máximo común divisorMínimo común múltiplo

Propiedades de lasoperaciones de

números naturales

4

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En particular, la comprensión del sistema de numeración deci-mal contribuye al desarrollo de los descriptores de la subcompetencia oral.

Asimismo, los problemas con enunciado contextualizado y el texto de entrada, junto con las actividades, desarrollan deforma específica los descriptores de la comunicación escrita y la reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores. Sin embargo, dos subcompetencias destacan:

– La del razonamiento y argumentación, con el planteamiento y resolución de problemas de divisibilidad.

– El uso de elementos y herramientas matemáticos, en la utilización de los números naturales como códigos y enla realización de operaciones con números naturales.

Competencia para la interacción con el mundo físicoHay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones yproblemas de la vida real.

Competencia social y ciudadanaEl texto inicial y las actividades sobre competencias básicas del final de la unidad, sobre los sistemas de numeraciónde otras civilizaciones, permiten que los alumnos valoren y aprecien el progreso científico desarrollando de forma másespecífica el descriptor “conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo” de lasubcompetencia desarrollo personal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalEsta competencia se desarrolla en todas las unidades del libro, en especial, la subcompetencia del uso de herramien-tas tecnológicas, con la resolución de actividades interactivas que aparecen en LIBROSVIVOS.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de apren-dizaje.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críti-co del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo ycrítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.



COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

LingüísticaComunicaciónescrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida enun texto para contribuir al desarrollodel pensamiento crítico.

– Obtiene información numérica de un texto.

Desarrolla tus competencias: II

Matemática

Razonamiento yargumentación.

Poner en práctica procesos derazonamiento que llevan a la soluciónde los problemas o a la obtención de lainformación.

– Extrae información de un texto y aplicarla a labúsqueda de regularidades.

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.

– Utiliza los números naturales como códigos.

– Opera con rigor y precisión con los númerosnaturales.

En toda la unidad

Interaccióncon el mundo físico

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Comprender la influencia de laspersonas en el medioambiente a travésde las diferentes actividades y valorarlos paisajes resultantes.

– Muestra interés por las diferentes formas dereciclar.Actividad 100

– Conoce las diferentes energías sostenibles.Actividad 101

Socialy ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y sucarácter evolutivo.

– Sitúa hechos y períodos históricos relevantespara el progreso científico-técnico.Actividad 107Desarrolla tus competencias: IIIPon a prueba tus competencias: Analiza y deduce

– Aprecia la sencillez del sistema decimal.Actividades 3, 4, 66 y 68

Participación cívica,convivencia yresolución deconflictos.

Practicar la ciudadanía democrática através del ejercicio de los derechos ydeberes propios y ajenos.

– Conoce el código de barras y sus utilidad para elconsumidor.

Pon a prueba tus competencias: Calcula y reflexiona

Culturaly artística

Habilidades y actitudesinterculturales.Sensibilización parainteractuar con lasdiversas culturasaceptando lasdiferencias.

Reconocer la diversidad cultural.

Mantener una actitud abierta y derespeto hacia otras culturas.

– Aprecia los conocimientos matemáticos dediferentes culturas.

Desarrolla tus competencias

Tratamientode la información

y competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en páginas de internet para complementarla información.Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensarEn la red.

– Visita la página librosvivos.net para realizardistintas actividades.Investiga en la red, organiza tus ideas, autoevaluaciónActividades 6, 14, 24, 44 y 60

Uso de lasherramientastecnológicas.

Hacer uso habitual de los recursostecnológicos disponibles paraaplicarlos en diferentes entornos ypara resolver problemas reales.

– Utiliza la calculadora para averiguar si unnúmero es primo.

Actividad 39

6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nospermiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación medioambiental y desarrollo sostenible: actividades 100 y 101.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y per-miten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y que sirve para comprobar el gradode asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados asituaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de matemáticas básicas.

– Unidad 1. Números naturales.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidades 1 y 3.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

– Unidades 1, 2 y 3.

• Cuaderno de resolución de problemas I.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Múltiplos y divisores en la página del proyecto Descartes, educación digital a distanciadel Ministerio de Educación.

www.e-sm.net/1esomatprd01

• Cartas, cromos, fichas, monedas, etc., para agruparlos en montones de igual cantidad sin que sobre nifalte ninguno.

• Juegos de dominó con operaciones combinadas con el mismo resultado.

• Calculadora.

Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os


7

Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

1. El sistema de numeración

3. Propiedades de las operacionescon números naturales

Para que los alumnos calculen cuántos segundos han trans-currido desde que han nacido, les guiamos indicándoles que,una vez calculados los segundos que tiene un día, calcu lenlos segundos que tiene un mes, distinguiendo entre mesesde 28, 29, 30 y 31 días. Posteriormente les recordamos queun año bisiesto es aquel en el que febrero tiene 29 días y quecada cuatro años hay un año bisiesto. Para finalizar les indi-camos que el año 2000 fue bisiesto.

Los resultados que obtendrán serán números de 9 cifras.Aprovecharemos esto para hacer ver a los alumnos que lossistemas de numeración surgen por la necesidad de expre-sar de una forma concisa los números naturales.

Podemos pedir a los alumnos que busquen informaciónsobre la aportación de diferentes civilizaciones a la ciencia,centrándose en los diversos sistemas de numeración queaparecen a lo largo de la unidad, y en la importancia que hatenido el sistema indo-arábigo, universalmente extendido.

De esta forma se pueden desarrollar todos los desempe-ños de las competencias básicas establecidos en la tabla:búsqueda en internet, utilización de algoritmos, apreciarlas diferentes culturas, uso de calculadora, etc.

2. Los números naturales como códigos

3, 4, 66 y 68. Con estas actividades, los alumnos puedenapreciar lo fácil que es escribir un número con ayudadel sistema decimal, comparándolo con el romano.Podemos sugerir, por ejemplo, que traten de escribirlos números de la actividad 65 en romanos:

a) 9502 = b) 8413 =

107. Esta actividad, junto con el primer epígrafe de siste-mas de numeración y la actividad sobre el sistema denumeración egipcio de las páginas finales de compe-tencias básicas, puede servirnos para que los alumnosvaloren y aprecien las aportaciones de diferentes cul-turas al desarrollo de las matemáticas.

IXDII VIIICDXIII

• Es interesante que, además de los códigos postales, losprefijos telefónicos, las matrículas de los coches y lascuentas bancarias, los alumnos encuentren otras situa-ciones en las que los números naturales se utilizan comocódigos y que intenten averiguar el significado de algu-nas cifras. Por ejemplo: el código de barras, identifican-do algunos productos españoles y descubriendo quécifras tienen en común; el dígito control…, enlazándolocon la actividad 71.

• Aunque los alumnos ya conocen el sistema de numera-ción y su significado, no está de más recordar que unadecena son 10 unidades, una centena equivale a 10 dece-nas o 100 unidades… y la importancia del valor posicio-nal de las cifras.

• En las actividades en las que se proponga escribir elnúmero indicando cuáles son sus unidades, decenas,centenas, etc., se pueden intercambiar los lugares paraque se fijen en las posiciones de las cifras y no traba-jen de forma mecánica. Por ejemplo, escribir el núme-ro 3 C + 8 U + 0 D + 1 M.

• A la hora de repasar el sistema de numeración romanoconviene hacerlo estableciendo las diferencias que tie-ne con el decimal. Además, sería bueno que se diesencuenta de que con las normas que conocen solo puedenescribir hasta el 3999. Como contenido de ampliaciónpodríamos indicar que para escribir números mayoresque 3999, es preciso ampliar las reglas:

Una raya horizontal encima de un símbolo multiplicapor mil el valor del símbolo. Dos rayas horizontalesencima de un símbolo multiplican por un millón el valordel símbolo:

= 4000 = 2 500 000

• Podemos pedir a los alumnos que indiquen situacionesen las que todavía se emplean los números romanos,como en los relojes, para señalar siglos, en las reseñashistóricas.

IV MMD

• Es conveniente que, además de estudiar las propiedades,se recuerden las operaciones básicas de suma, resta,multiplicación, división y potencias de números naturales.

• Para que entiendan la propiedad conmutativa se puedehacer referencia al dibujo del margen indicando que dalo mismo contar primero los jerséis rojos y después losverdes, que primero los verdes y después los rojos, queen total son 8 jerséis.

• Es importante que conozcan y utilicen las propiedades delas operaciones, puesto que resultan muy útiles para elcálculo mental. Por ello, además de repasarlas y reali-zar actividades en las que tengan que reconocer la pro-piedad que se aplica, conviene que se propongantambién otras como las siguientes:

– Cálculo de sumas del tipo: 18 + 32 como descomposi-ción en 10 + 30 + 8 + 2, en la que se aplica la propie-dad asociativa.

– Cálculo de productos como 23 · 7 en los que la propie-dad distributiva facilita su cálculo: 20 · 7 + 3 · 7.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 1 a 3 y 63 a 68

Medio 4 y 5

Alto 107 y 109


Básico 10 a 12, 72 a 75, 94 y 95

Medio 13 y 76

Alto 86, 87 y 122


Básico 8, 9 y 69 a 71


8


7. Descomposición de un númeroen factores primos

6. Números primos y compuestos4. Múltiplos y divisores de un número• Aunque es un recurso muy utilizado, resulta interesante

realizar en clase la “criba de Eratóstenes” para obtener losnúmeros primos del 1 al 100. Con ella se vuelven a traba-jar los conceptos de múltiplos y divisores, se repasan denuevo los criterios de divisibilidad y es un recurso que pue-de ayudar a los alumnos a encontrar en cualquier momen-to (si no los recuerdan) los primeros números primos.

• Un buen método para averiguar cuándo un número esprimo es el descrito en el ejercicio resuelto 36. Cuandose trate de averiguar si un número grande es primo ocompuesto, se hará empleando este método, pero conayuda de la calculadora.

• A veces, los nombres de los conceptos ayudan a enten-derlos y recordarlos. En este caso es fácil asociar los múl-tiplos de un número con aquellos números naturales quese obtienen multiplicando ese número por cualquier otro.

• Los divisores los asociarán rápidamente con la división.De modo que para hallar los divisores de un número hayque plantear una división en la que el dividendo sea esenúmero y en la que haya que encontrar el divisor con lacondición de que el resto sea cero.

• Una vez que hayan recordado los conceptos de múltiploy divisor de un número, conviene que identifiquen la rela-ción que hay entre ambos. Es interesante que, a partirde una división exacta, y después de haber aplicado lapropiedad fundamental, se establezcan todas las rela-ciones posibles.

D = d · c

D es múltiplo de d y también de c.

d y C son divisores de D.

D es divisible por d y también por c.

• Es conveniente que, mediante ejemplos y actividadesorientadas, los alumnos observen que los divisores de unnúmero se pueden obtener de dos en dos en la mayoríade las ocasiones, ya que eso simplifica el cálculo de losmismos

• También es interesante que descubran que un númerosiempre tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo. Esotra forma de agilizar el cálculo de divisores.

• Y por último, indicarles que sigan un orden creciente enla búsqueda: empezar por el 2 (el 1 ya saben que es divi-sor); luego, el 3, el 4… y que continúen hasta que empie-cen a repetirse.

• Conviene empezar por explicar el significado de “des-composición de un número en factores”, expresandovarios números naturales como producto de otros, dedistintas formas. Entre ellas se puede escribir la des-composición en factores primos con el fin de que, una vezcomprendida la factorización de un número y mediantelas preguntas oportunas, consigan descubrir que hayuna en la que todos los factores son números primos.

• Debe quedar claro al alumno que la descomposición enfactores primos de un número es única, independiente-mente del orden que se utilice en ella.


Básico 37 y 88

Medio 38 y 39

Alto 110


Básico 40 a 43 y 89

Alto 112 a 114

8. Máximo común divisor de variosnúmeros

• Es importante que los alumnos comprendan el signifi-cado de esas tres palabras: el mayor de todos los divi-sores comunes a varios números. Por eso convieneponer ejemplos en los que primero haya que obtenertodos los divisores de varios números; luego, señalar losdivisores comunes a ellos, y por último, indicar el mayorde esos divisores comunes.

101. Este problema puede servirnos para introducir unpequeño debate sobre los beneficios de las energías sos-tenibles frente a las energías fósiles. Podemos pedir a losalumnos que busquen información sobre las diferentesenergías sostenibles que se producen en España.


Básico 46 y 47

Medio 48 a 50 y 101



Básico 15 a 22, 77 a 79 y 96

Medio 23, 80 a 82 y 90

Alto 115

5. Criterios de divisibilidad

• Los criterios de divisibilidad se aprenden a base de repe-tirlos. Por tanto, conviene realizar muchas actividades enlas que, sin hacer la división, deduzcan si un número esdivisible por alguno de los estudiados aplicando el cri-terio correspondiente. Para que los aprendan con mayorfacilidad conviene exponerlos uno a uno.

• La actividad 32 indica un criterio para deducir cuándo unnúmero es múltiplo de 15. Podemos utilizarla como apo-yo para tratar de que los alumnos razonen por sí mis-mos el criterio de divisibilidad del 6.


Básico 26, 83 a 87, 97 y 98

Medio 27 a 32 y 91

Alto 33, 34 y 111

9


9. Mínimo común múltiplo de variosnúmeros

Pon a prueba tus competencias

Organiza tus ideas

CALCULA Y REFLEXIONA: LOS CÓDIGOS DE BARRASEn esta actividad se desarrolla otro uso de los númerosnaturales como códigos.

Las actividades 1, 2, 3, 4, 5 y 7 son meramente matemáti-cas, donde los alumnos deben aplicar de forma sistemá-tica un algoritmo nuevo.

La actividad 6 puede abrir un debate interesante sobre lanecesidad del dígito de control para evitar las falsificacio-nes de productos. Esta actividad puede enlazarse con la 9.Para realizarla podemos dividir la clase en grupos de treso cuatro alumnos. Cada uno de los miembros del grupodeberá aportar los códigos de barras de dos productos,habiendo alterado el dígito de control en uno de ellos. Elresto de los miembros del grupo debe adivinar cuál es elcódigo correcto.

La actividad 10 requiere el uso de internet. Una vez que losalumnos hayan buscado la construcción del NIF a partirdel DNI, pueden comprobar que la letra que figura en suDNI es la correcta.

ANALIZA Y DEDUCE: LA NUMERACIÓN EGIPCIAEsta actividad desarrolla el sistema de numeración egip-cio. Se explica brevemente en qué consiste y, a través delos ejemplos, los alumnos pueden responder fácilmente alas actividades 1, 2 y 3.

Para la realización de la actividad 4 conviene dividirlos enparejas.

Para la actividad 5 podemos establecer una lluvia de ideas,para luego contrastar las aportaciones de los alumnos conla realidad.

APRENDE A PENSAR: NÚMEROS PERFECTOSEsta actividad permite mostrar a los alumnos que lasmatemáticas están presentes en la literatura actual. Conlas actividades se contribuye a la adquisición de la com-petencia aprender a aprender.

• Es importante que comprendan el significado de mínimocomún múltiplo. Para ello se pueden proponer ejemplosen los que primero calculen algunos múltiplos de variosnúmeros; luego, indiquen los múltiplos comunes aellos, y por último, señalen el más pequeño de todos,observando que no sería posible obtener el mayor.

100. A partir de este problema se puede hacer una refle-xión sobre las consecuencias de la fabricación de papelpara la naturaleza, concienciando a los alumnos de laimportancia del reciclaje, no solo del papel, sino tam-bién del vidrio y del plástico.

• Los alumnos deben comprender la importancia de unesquema y aprender a elaborarlo.

Se les pueden plantear preguntas relativas a la unidadque deben responder solo mirando esta página:– ¿Qué valor tiene el 2 y qué lugar ocupa en el número 1282?– ¿Es 15 múltiplo de 5? ¿Y de 7?– ¿Es 6 divisor de 30?– Clasifica en primo o compuesto: 32, 47, 55 y 20.

La finalidad de estas preguntas es que los alumnos valo-ren la utilidad de un esquema.

En cuanto a su elaboración, en lugar de pedirles que rea-licen uno, les daremos orientaciones que les hagan refle-xionar sobre los contenidos del mismo.

• Primero se les pedirá que lean el título de la unidad y escri-ban en dos columnas las dos partes que aparecen clara-mente diferenciadas: números naturales y divisibilidad.

Actividades de ampliación

Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema,decidiendo cuáles son los más apropiados para resolvercada una de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

• Después escribirán debajo de los números naturales losepígrafes que están relacionados con ellos. Y harán lomismo con los epígrafes que se refieren a la divisibilidad.

• Por último, comprobarán que lo que ellos han hecho endos columnas es lo mismo que aparece en esta página.Si no es así, escribirán debajo las diferencias.

El objetivo es que comprendan que en un esquema sólo de -ben aparecer los contenidos más destacados de la unidad.



Básico 52 y 53

Medio 54 a 57 y 100

Alto 102

10. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m.por descomposición factorial

• Una vez que los alumnos ya han asimilado los concep-tos de máximo común divisor y mínimo común múltiplode varios números, podemos pasar a especificar cómocalcularlos a partir de la descomposición factorial.

• Conviene marcar las diferencias entre máximo común di -vi sor y mínimo común múltiplo. Y quizá en algún caso hayaque dar una forma menos rigurosa de recordar esa diferen-cia, indicando que, como los múltiplos han de ser mayoresque los números, siempre hay que poner todas las bases,comunes y no comunes, y el mayor de los exponentes.


Básico 58 a 60

Medio 61

Alto 103 a 106 y 108

10

Actividades de refuerzo

Unidad 1 Números naturales. DivisibilidadORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Durante la etapa anterior, los alumnos han utilizado los números naturales para contar y ordenar, han estudiado elsistema de numeración decimal y han realizado operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencias. Sinembargo, conviene recordar de nuevo todos los conceptos y procedimientos aprendidos antes de introducirse en eltema de la divisibilidad. Es suficiente que conozcan los conceptos de múltiplo y divisor y sepan calcular múltiplos ydivisores de un número natural; aprender y utilizar los criterios de divisibilidad por al menos 2, 3, 4 y 5; clasificar losnúmeros en primos y compuestos; descomponer en factores primos números naturales sencillos y calcular el máxi-mo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números.

• Relacionar los términos de múltiplo y divisor con las operaciones de multiplicación y división, respectivamente, paraque resulte más fácil recordar qué son y cómo se obtienen.

• Utilizar cromos, monedas, cartas, fichas… repartidos en montones iguales para facilitar la comprensión del con-cepto de divisor de un número.

• Cuando calculen los divisores de un número natural es conveniente que escriban la división y anoten la relación entresus términos para que observen que en una división se obtienen dos divisores.

• Es importante que se acostumbren a seguir un orden tanto en la búsqueda de divisores de un número natural comoen su descomposición en factores primos

• Escribir ejemplos para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números (sin utilizarsu descomposición en factores primos) hasta que comprendan el significado de estos términos.

1. a) Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. c) Los divisores comunes a 30 y 24 son 1, 2, 3 y 6.b) Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. d) El máximo común divisor de 30 y 24 es 6.

2. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36 y 60. Divisores de 36: 1, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

3.

4. Tachar en vertical: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 y 30, y en horizontal: 10, 20 y 30.a) 10, 20 y 30 b) 20

7223 · 32502 · 523632 · 22

302 · 3 · 54532 · 52022 · 5

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Elaborando un juego de cartas. Los alumnos se organizan en grupos de cuatro personas. Cada grupo construirá car-tas con un mismo tipo de preguntas y respuestas: tantas como sean necesarias para tener varias barajas de 40 cartascada una y poder jugar todos a la vez. Las cartas deben asociarse por parejas: una con una pregunta y otra con la res-puesta a esa pregunta.

• En una carta: “¿Cuál es la descomposición en factores primos de 84?”, y en su pareja: “22 ⋅ 3 ⋅ 7”.• En una carta: “El m.c.d.(18, 9) es”, y en su pareja: “9”.• En una carta: “¿Cuáles son los divisores de 20?”, y en su pareja: “1, 2, 4, 5, 10 y 20”.• En una carta: “Entre los siguientes números: 2, 5, 8, 12, 17, ¿cuáles son primos?”, y en su pareja: “2, 5 y 17”.• En una carta: “De los números: 105, 30, 47, 125 y 99, ¿cuáles son divisibles por 5?”, y en su pareja: “105, 30 y 125”.

Una vez preparado el material, el juego puede realizarse de varias formas. Una de ellas es la siguiente:

Un jugador elegido al azar reparte todas las cartas entre los demás. Cada uno debe buscar de entre sus cartas susparejas y apartarlas en la mesa. Luego, el que esté a la derecha del que repartió las cartas cogerá una de este sin mirar-la y la unirá a las suyas para ver si ha conseguido otra pareja. El proceso se repite hacia la derecha hasta que esténformadas todas las parejas. Gana el que al terminar el juego haya conseguido formar más parejas.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


11

1. Trabaja con tu compañero. Uno de vosotros coge 30 fichas de color rojo, y el otro, 24 de color amarillo.

1. Cada uno tiene que agrupar sus fichas en montones de manera que todos tengan el mismo númerode fichas sin que sobre ni falte ninguna. Debéis conseguir todas las agrupaciones posibles.

2. Comparad los resultados que tenéis en la segunda fila (número de fichas de un montón) con los devuestro compañero y rodead con un círculo los que son iguales.

3. Escribid en vuestro cuaderno y completad las siguientes frases:

a) Los divisores de 30 son .............................................

b) Los divisores de 24 son .............................................

c) Los divisores comunes a 30 y 24 son ........................

d) El máximo común divisor de 30 y 24 es ....................

2. Rodea con una circunferencia los múltiplos de 4, y con un cuadrado los divisores de 36.

3. Las cajas de la izquierda contienen la descomposición en factores primos del número que está en lascajas de la derecha. Completa los números que faltan.

4. El siguiente cuadro es un mes del calendario con 31 días. Tacha con una línea vertical los múltiplos de2 y con una horizontal los múltiplos de 10.

a) ¿Cuáles son los múltiplos comunes a 2 y 10?

b) El más pequeño de todos ellos es el mínimo común múltiplo.¿Cuál es el m.c.m. de 4 y 10?

L M X J V S D1 2 3 4 5

6 7 8 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 2527 28 29 30 31

9

26

502 · 53632 · 2

32 · 52022 · 5

N.º totalde fichas

N.º de fichasde un montón


Pági

na

foto

cop

iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO


42

9

6 18

208

60

3

243612

4 128 16

59

722 · 32

30· 3 · 5

12

Actividades de ampliación

Unidad 1 Números naturales. DivisibilidadORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los alumnos que ya han aprendido los contenidos básicos deben ampliarlos de forma que apliquen correctamentetodas las propiedades de las operaciones con números naturales y las utilicen en el cálculo mental. También debenconocer los criterios de divisibilidad por 9, 10, 11, 25 y 100, y utilizarlos para agilizar el cálculo de múltiplos y diviso-res de un número natural, clasificar los números en primos y compuestos, y descomponerlos en factores primos. Ypor último, deben obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de más de dos números y resolverproblemas a partir del cálculo de los mismos.

1. a) 42 − 27 = 40 − 25 = 15

b) 23 · 7 = (20 + 3) · 7 = 20 · 7 + 3 · 7 = 140 + 21 = 161

2. a) (1 + 1) · (1 + 1) − 1 = 3

b) 3 · 3 · 3 − 3 = 24

c) 5 · 5 : 5 + 5 = 10

d) 3 − 2 · 1 = 1

3. a) 3230, 3232, 3236, 3238

b) 3231, 3237

c) 3230, 3234, 3238

d) 3234

4. n = abcdeedcba

(a + c + e + d + b) − (b + d + e + c + a) = 0

5. a) m.c.d.(104, 504, 252) = 4

m.c.m.(104, 504, 252) = 6552

b) m.c.d.(300, 108, 240) = 12

m.c.m.(300, 108, 240) = 10 800

6. Utilizando A · B = m.c.d.(A, B) · m.c.m.(A, B) se obtie-ne que el número es 600.

7. D = d · c + r → D − r = d · c

El número buscado debe ser divisor de 853 − 13 y de269 − 17, y además, el mayor.

m.c.d.(840, 252) = 84

8. m.c.m.(4, 6, 9, 11) = 396

Buscamos un múltiplo de 396 entre 1300 y 1800. Portanto, Eva tiene 1584 sellos.

9. n − 3 debe ser múltiplo de 4, 6, 8 y 9.

n − 3 = m.c.m.(4, 6, 8, 9) = 72

n = 75

10. Después de 60 días, el 9 de septiembre

11. Deben poner 15 bombones en cada caja.

Necesitan: 4 cajas del tipo A.5 cajas del tipo B.6 cajas del tipo C.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

La criptografía y los números primos

Organizados los alumnos en grupos de cuatro personas, se puede iniciar la actividad con un trabajo de investigaciónacerca de la criptografía: qué es, métodos para cifrar y descifrar mensajes, cómo y dónde se utiliza en la actualidad, yla importancia de los números primos en este campo.

Antes de iniciar esta actividad tal y como se propone, se puede trabajar con ejemplos sencillos para que comprendany manejen el cifrado y descifrado de mensajes.

Después les pediremos que elaboren un código para encriptar mensajes con las condiciones siguientes:

• Con las letras del abecedario ordenadas, asigna a la a un número de dos cifras y, de forma consecutiva, numera el resto.

• Elige dos números primos de una sola cifra y multiplícalos entre sí. Sea k el número obtenido.

• Ahora, multiplica el número asignado a cada letra por k y tendrás tu código secreto.

Primero escribirán con su código algunas frases y tratarán a su vez de descifrarlas para entender el mecanismo decifrado y descifrado. Y luego, uno de los componentes del grupo encriptará una frase y los demás tratarán de encon-trar su significado.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


13

1. Explica cómo se puede calcular mentalmente cada una de las operaciones y da el resultado.

a) 42 − 27 b) 23 · 7

2. Utiliza las cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división, para escribir:

a) El número 3, empleando cinco veces el 1.

b) El número 24, empleando cuatro veces el 3.

c) El número 10, empleando cuatro veces el 5.

d) El número 1, empleando un 1, un 2 y un 3.

3. Calcula el valor que debe tener a para que el número 323a sea:

a) Divisible por 2, pero no por 3.

b) Divisible por 3, pero no por 2.

c) Divisible por 2, pero no por 4.

d) Divisible por 6.

4. Demuestra que cualquier número capicúa de 10 cifras es divisible entre 11.

5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes ternas de números natu-rales.

a) 104, 504 y 252 b) 300, 108 y 240

6. El máximo común divisor de dos números es 150, y el mínimo común múltiplo, 1800. Uno de los núme-ros es el 450. ¿Cuál es el otro?

7. ¿Cuál es el mayor número por el que se tienen que dividir los números 853 y 269 para que los restosde las divisiones sean 13 y 17, respectivamente?

8. El número de sellos de la colección de Eva es una cantidad comprendida entre 1300 y 1800. Los pue-de colocar en las páginas de un álbum de 4 en 4, de 6 en 6, de 9 en 9 y de 11 en 11 sin que sobre ni fal-te ninguno. ¿Cuántos sellos forman la colección de Eva?

9. Calcula el número más pequeño que dividido entre 4, 6, 8 y 9 da de resto 3.

10. El camión que recoge los envases de vidrio pasa cada 15 días; el de los envases de plástico, cada 12días, y el de recogida de papel, cada 5 días.

El día 10 de julio se produjo la recogida del vidrio, plástico y papel. ¿Cuándo volverá a producirse estacoincidencia?

11. A fin de recaudar dinero para una excursión, los alumnos de un centro han comprado bombones de trestipos que van a repartir en cajas. En total tienen: 60 bombones de tipo A, 75 de tipo B y 90 de tipo C.

Los quieren colocar en el menor número de cajas posible de forma que todas tengan el mismo núme-ro de bombones. ¿Cuántos bombones deben poner y cuántas cajas necesitan?


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. En el número 42 809:

a) ¿Qué posición ocupa el 2?

b) ¿Cuántas centenas completas hay?

c) ¿Cuántas unidades hay que restar al número para que tenga una centena menos?

2. Observa la siguiente cuenta bancaria e indica el banco y el número de oficina

2830 − 1152 − 36 − 2009754401

3. Completa las siguientes igualdades indicando qué propiedad se aplica en cada caso.

a) 8 · (9 · ) = ( · 9) · 5 =

b) 7 + = 4 +

4. Escribe las propiedades que utilizas y sustituye cada cuadrado por el número correspondiente.

a) 345 − 108 = → 350 − = 237

b) 6 · ( + 5) = · 9 + 6 ·

5. Calcula los cuatro primeros múltiplos y todos los divisores de cada uno de los números siguientes.

a) 45 b) 29 c) 57 d) 30

6. Dados los números 316, 5328, 7250, 600, 914 y 475:

a) ¿Cuáles son múltiplos de 4?

b) ¿Cuáles son múltiplos de 25?

c) ¿Hay alguno que sea a la vez múltiplo de 4 y de 25? ¿Por qué otro número son divisibles todos los múl-tiplos de 4 y 25 a la vez?

d) ¿Cuántos son primos?

7. Escribe la descomposición en factores primos de los números:

a) 240 b) 405 c) 94 d) 375

8. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números:

a) 60 y 225

b) 28 y 105

c) 135, 63 y 99

d) 300, 72 y 120

9. Julio tiene entre 200 y 300 monedas de 2 €. Las ha contado haciendo montones de 10, 15 y 20 mone-das cada uno y no ha sobrado ninguna. ¿Cuánto dinero tiene Julio?

Pági

na

foto

cop

iab

le


PROPUESTA de EVALUACIÓN


15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) Unidades de millar b) 428 c) 100

2. El banco es el 2830, y la oficina, la 1152.

3. a) 8 · (9 · 5) = (8 · 9) · 5. Propiedad asociativa del producto

b) 7 + 4 = 4 + 7. Propiedad conmutativa de la suma

4. a) 345 − 108 = (345 + 5) − (108 + 5) = 350 − 113 = 237. Propiedad de la resta

b) 6 · (9 + 5) = 6 · 9 + 6 · 5 = 54 + 30 = 84. Propiedad distributiva

5. a) Múltiplos de 45: {45, 90, 135, 180} Divisores de 45: {1, 3, 5, 9, 15, 45}

b) Múltiplos de 29: {29, 58, 87, 116} Divisores de 29: {1, 29}

c) Múltiplos de 57: {57, 114, 171, 228} Divisores de 57: {1, 3, 19, 57}

d) Múltiplos de 30: {30, 60, 90, 120} Divisores de 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

6. a) 316, 5328, 600

b) 7250, 600, 975

c) Sí, 600. Por 100.

d) Ninguno es primo, todos son compuestos.

7. a) 240 = 24 · 3 · 5 b) 405 = 34 · 5 c) 94 = 2 · 47 d) 735 = 3 · 5 · 72

8. a) 60 = 22 · 3 · 5 225 = 32 · 52

m.c.d.(60, 225) = 3 · 5 = 15 m.c.m.(60, 225) = 22 · 32 · 52 = 900

b) 28 = 22 · 7 105 = 3 · 5 · 7

m.c.d.(28, 105) = 7 m.c.m.(28, 105) = 22 · 5 · 7 = 140

c) 135 = 33 · 5 63 = 32 · 7 99 = 32 · 11

m.c.d.(135, 63, 99) = 32 = 9 m.c.m.(135, 63, 99) = 33 · 5 · 7 · 11 = 3465

d) 300 = 22 · 32 · 52 72 = 23 · 32 120 = 23 · 3 · 5

m.c.d.(300, 72, 120) = 22 · 3 = 12 m.c.m.(300, 72, 120) = 23 · 32 · 52 = 1800

9. El número de monedas es múltiplo de 10, 15 y 20.

Múltiplos de 10: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70…}

Múltiplos de 15: {15, 30, 45, 60, 75, 90…}

Múltiplos de 20: {20, 40, 60…}

m.c.m.(10, 15, 20 ) = 60

Como el número de monedas está comprendido entre 200 y 300, Julio tiene 240 monedas de 2 €. Por tanto, tiene480 €.

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



Documents

Números Naturales. Divisibilidad. 1º ESO