Números Pares Relacionados

José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom.

“No considero inútil que se hagan proposiciones que no estén aún sustentadas por una demostración,

pues aunque con el tiempo se demuestre que son incorrectas pueden contribuir a conocer nuevas verdades.”

Christian Goldbach.

Dentro de la teoría de números, como en cualquier otra rama de las

matemáticas, existen un sin número de: axiomas, conjeturas, postulados, lemas,

etc. que a primera vista parecen ser muy poco interesantes y por ende nada

atractivos para los matemáticos.

Algo conocido.

A todo número par le sigue un impar.

Los números impares pueden ser: primos y compuestos. Tanto los primos como lo

compuestos son infinitos, siempre hay un número mayor que el anterior,

entonces es obvio que existen infinitos números primos consecutivos a un

número par.

Lo que se ha dicho, hasta ahora, es algo tan notorio que cae en el rango de cosas

no publicables, y es tiempo que nos preguntemos: ¿Qué tiene que ver todo esto

con los números pares relacionados?

Pues todo, ya que precisamente, sin haberlos nombrado, hemos hablado de los

números pares relacionados. Que se definen como aquellos números pares que

son antecedidos o precedidos por algún número primo impar.

Ejemplos:

(2, 6, 8, 10, 12…)

Como ya hemos dicho, existen infinitos números pares relacionados. Pero no

todos los números pares son relacionados. El más pequeño de los números pares

que no es relacionado es el 26.

Clasificación de los pares relacionados.

Dependiendo de si son antecedidos o precedidos por un número primo los pares

relacionados pueden ser de dos tipos.

Pares relacionados de la forma:

Sea un número primo, entonces:

A esta le llamaremos:

A esta pertenecen:

(2, 4, 6, 10, 12, 16…)

Pares relacionados de la forma:

A esta le llamaremos:

A esta pertenecen:

(4, 6, 8, 12, 14, 18…)

Como se puede observar existen pares relacionados que pertenecen a ambos

grupos a dichos pares les llamaremos relacionados duales. La existencia de dichos

pares nos indica la presencia de números primos gemelos. Dada su estrecha

relación, afirmar que existen infinitos pares relacionados duales es lo mismo que

afirmar que existen infinitos primos gemelos, cosa que, hasta hoy, es una

conjetura.

Divide y vencerás.

Para demostrar un teorema se necesita de otro teorema. En matemáticas, para

que una conjetura adquiera el estatus de teorema es preciso demostrar su

veracidad mediante procedimientos matemáticos lógicos. Muchas veces, se

puede llegar a la demostración de una conjetura dividiéndola en partes más

pequeñas o buscando otras conjeturas que amplíen nuestras opciones y que

guarden relación con la primera. De esta manera tendremos otros flancos por

donde atacar el problema a ser resuelto aumentando nuestras probabilidades de

éxito.

Conjetura de los pares relacionados de la forma

Todo número par mayor que 2 puede ser expresado como la suma de dos números

relacionados de la forma .

Ejemplos:

2 + 2 = 4

4 + 2 = 6

4 + 4 = 8

4 + 6 = 10

6 + 6 = 12

4 + 10 = 14

6 + 10 = 16

Dado que la conjetura expuesta está íntimamente ligada a la conjetura fuerte de

Goldbach, puede resultar de interés ya que una afirmación a la misma sería lo

mismo que dar una respuesta afirmativa a la conjetura de Goldbach.

De ser verdadera la conjetura sobre los números pares relacionados la conjetura

de Goldbach resultaría también cierta, dada la relación entre ambas conjeturas,

esta última se podría expresar como:

Donde:

son números naturales mayores que 0 y son números primos

impares.

Conjetura de los pares relacionados de la forma

Todo número par mayor que 6 puede ser expresado como la suma de dos números

relacionados de la forma .

Ejemplos:

4 + 4 = 8

4 + 6 = 10

4 + 8 = 12

6 + 8 = 14

8 + 8 = 16

Posibles aplicaciones.

Dado que los números pares relacionados están tan ligados con los números

primos, separados los grupos, su distribución es similar; los primeros también

pueden ser utilizados para el cifrado de datos, por poner un ejemplo.

La constante de Brun y los números gemelos relacionados de la forma .

Constante de Brun.

La suma de los inversos de los números primo gemelos converge en un número

llamado constante de Brun . Matemáticamente, esto es:

) +

) +

) +

) +…

Números gemelos relacionados de la forma .

Ya vimos que los números pares relacionados de la forma: son todos

aquellos que se obtienen al restarle la unidad a cualquier número primo impar.

Estos son:

(2, 4, 6, 10, 12, 16… …)

De este conjunto de números podemos extraer los siguientes pares gemelos

relacionados.

(2, 4); (4, 6); (10, 12); (16, 18)

Es decir que los pares gemelos relacionados son aquellos cuya diferencia, entre

términos consecutivos de la sucesión dada, es igual a 2.

Una vez conocida la constante de Brun y los gemelos relacionados, cabe

preguntarnos: ¿convergerán, al igual que los primos gemelos, los números pares

gemelos relacionados?

Matemáticamente, esto es:

) +

) +

) +

) +…

Con el fin de despertar el interés por el escrito, la respuesta la dejamos abierta al

lector.