Número primo

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente

dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los

compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1.

El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,

31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.1

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama

de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros. Los números primos

están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la

conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de

investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos

parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución global de los números primos

sigue leyes bien definidas.

Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una

representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor

primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los

números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema

requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros

conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el

máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.

Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Clases de números primos

De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más

rápidas de implementar, sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita

calcular rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estas

fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números

primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factoriales

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana

de la infinitud de los números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número

natural n, donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n.

Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros

primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …30

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …31

Números primos de Fermat

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y

compás, son los números de la forma , con n natural. Los únicos números

primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio

Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de n entre 5 y 32

estos números son compuestos.32

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo tiempo de ejecución es

polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, los propios números de Fermat crecen tan

rápidamente que sólo se lo ha podido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo

aplicó para n = 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayores se

utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha de junio de 2009 se

conocen 241 números de Fermat compuestos, aunque en la mayoría de los casos se

desconozca su factorización completa.32

Números primos de Mersenne

Los números de Mersenne son los de forma M = 2p – 1, donde p es primo.

33 Los mayores

números primos conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de

primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer, para determinar si un número de Mersenne

es primo o no.

Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609

- 1, que tiene

12.978.189 cifras en el sistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo

de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de 2008 gracias al

proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS).

Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son

menores que el 45.

Otras clases de números primos

Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número

primo para referirse a un subconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo,

los números primos pitagóricos son los que se pueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de

otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre 4 es 1. Otro

ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales

que p2 divide a 2

p-1 - 1.

Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:

Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos. Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también

es primo. Una sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, se denomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,36 aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de que dicha afirmación sea cierta.

Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base

de numeración empleada o de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula

matemática. Es el caso de los números somirp (primos al revés), que son aquellos números

primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es primo.

También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que

son concatenación de unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal

se considera el binario, se obtiene otro conjunto distinto de números primos repunit que,

además, coincide con el de los números primos de Mersenne. Finalmente, los números

primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto de

una recta horizontal.

El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no

significa que se conozca algún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se

conoce hasta el momento ningún número primo de Wall-Sun-Sun, pero su relevancia radica

en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, se

descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un

número primo de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números

primos de esta clase fuera también la búsqueda de un contraejemplo del último teorema de

Fermat.