CAPÍTULO 4

Conceptos Racional-Number *

Merlyn J. Behr, Richard Lesh, Thomas R. Post, y Edward A. PlataConceptos Racional de números se encuentran entre las más complejas e importantes ideas matemáticas los niños encuentran durante sus años escolares presecundaria. Su importancia puede ser visto desde una variedad de perspectivas: (a) desde una perspectiva práctica, la capacidad de hacer frente eficazmente a estos conceptos mejora enormemente la capacidad para entender y manejar las situaciones y los problemas en el mundo real; (b) desde una perspectiva psicológica , números racionales ofrecen un escenario rico en el que los niños pueden desarrollar y ampliar las estructuras mentales necesarias para la continuación del desarrollo intelectual; y (c) desde una perspectiva matemática, comprensión racional de números proporcionan la base sobre la que más tarde se pueden basar las operaciones algebraicas elementales.

NAEP (Evaluación Nacional del Progreso Educativo) resultados (Carpenter, Coburn, Reys, y Wilson, 1976; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, y Reys, 1980) han demostrado que los niños experimentan dificultad importante aprender y aplicar conceptos racionales de números. Por ejemplo, los resultados de las dos evaluaciones indican que la mayoría de los 13 y 17 años de edad podrían agregar correctamente fracciones con denominadores comunes, pero sólo un tercio de los niños de 13 años y dos tercios de los niños de 17 años bien podría añadir 1 . / 2 + 1/3 resultados NAEP son consistentes con los de otros estudios (Coburn, Beardsley, y Payne, 1975; Lankford, 1972; sMsg [Escuela de Matemáticas Grupo de Estudio] 1968), lo que indica generalmente bajo rendimiento en número racional-computación y la resolución de problemas. El bajo nivel de rendimiento puede parecer bastante sorprendente a la luz del hecho de que los programas escolares tienden a enfatizar las habilidades procedimentales y algoritmos computacionales para los números racionales. Sin embargo, el general bajo rendimiento puede ser un resultado directo de este énfasis curricular sobre los procedimientos en lugar del desarrollo cuidadoso de entendimientos funcionales importantes.

Muchos de los "puntos conflictivos" en las matemáticas de la escuela primaria tienen que ver con las ideas racionales de números. Por otra parte, el desarrollo de ideas racionales de números es visto como un contexto ideal para investigar los procesos de adquisición concepto matemáticos generales porque:

1. Gran parte del desarrollo ocurre en el umbral de un período significativo de reorganización cognitiva (es decir, la transición de lo concreto a pensamiento operacional formal);

2. interesantes transiciones cualitativos producen no sólo en la estructura de los conceptos subyacentes, sino también en los sistemas de representación utilizados para describir y modelar estas estructuras;

3. las funciones de los sistemas de representación son bastante diferenciada e interactúan de maneras interesantes psicológicamente porque ambas características de la tarea figurativas y operacionales son críticos;

4. el concepto racional número implica un amplio conjunto de subconstructs y procesos integrados, en relación con una amplia gama de conceptos elementales pero profundas (por ejemplo, la medición, probabilidad, sistemas, gráficas, etc. coordenada). **

Piaget se centró en los aspectos operativos de las tareas y conceptos, el uso del término calado horizontal para referirse al hecho de que, mientras que puede ser útil pensar en una persona que se caracteriza por una estructura cognitiva dada, que no necesariamente sea capaz de realizar dentro de esa estructura para todas las tareas. Es común encontrar decalage horizontal con respecto a los conceptos numéricos racionales, en que los modelos que incorporan el mismo concepto varía radicalmente, a menudo por varios años, en la facilidad con que se entienden por los niños. Por lo tanto, la información sobre cómo las variables de tarea, como el contenido figurativo, dificultad de la tarea influencia es importante para aquellos que deben seleccionar o diseñar modelos apropiados para ilustrar conceptos numéricos racionalistas.

Un Análisis Matemático y Curricular de Conceptos Racional-Number

Los análisis de los componentes del concepto de número racional (Kieren, 1976; Novillis, 1976; Rappaport, 1962; Riess, 1964;. Usiskin 1979) sugieren una razón obvia por la comprensión completa de los números racionales es una tarea de aprendizaje formidable. Los números racionales se pueden interpretar por lo menos en estos seis maneras (denominados subconstructs): una comparación de parte a entero, un decimal, una relación, una división indicada (cociente), un operador, y una medida de cantidades continuas o discretas . Kieren (1976) sostiene que una comprensión completa de los números racionales no sólo requiere una comprensión de cada uno de estos subconstructs separadas, sino también de cómo se interrelacionan. Los análisis teóricos y evidencia empírica reciente sugieren que diferentes estructuras cognitivas pueden ser necesarias para hacer frente a las diversas subconstructs números racionales.

Un número de estudios han identificado etapas en el pensamiento racional-número de los niños mediante el examen de la diferenciación gradual y progresiva integración de subconstructs separadas. Un aspecto importante de estos estudios ha sido observar si o no los sujetos que realizan en una etapa dada en tareas que impliquen alguna subconstruct

rendir a un nivel comparable a tareas que implican un subconstruct diferente. Las relaciones entre las habilidades específicas y ciertos entendimientos básicos de números racionales también han sido investigados.

Kieren (1981) ha identificado y analizado cinco caras de la construcción del conocimiento matemático. Se refieren a la naturaleza matemática, visual, de desarrollo, constructivo y simbólico de las matemáticas, los mecanismos de aprendizaje, y los alumnos. Cuatro subconstructs matemáticos de medida racional numbers--, cociente, ratio, y el operador --Cada proporcionan experiencia racional número cuantitativa y relacional. Equivalencia y compartimentación son mecanismos constructivos que operan a través de las cuatro subconstructs ampliar imágenes y construir ideas matemáticas.

La Parte-Todo y Medida Subconstructs

La interpretación parte-todo del número racional depende directamente de la capacidad de la partición sea una cantidad continua o un conjunto de objetos discretos en subpartes o conjuntos de igual tamaño. Este subconstruct es fundamental para todas las interpretaciones posteriores y es considerado por Kieren (1981) siendo un importante generador de construcción idioma-.

La interpretación parte-todo se suele presentó muy temprano en el currículo escolar. Los niños de primero y segundo grado tienen entendimientos primitivas del significado de la mitad y el proceso de partición de base (Polkinghorne, 1935). No es hasta cuarto grado, sin embargo, que el concepto fracción se trata de una manera sistemática. Los estudiantes normalmente explorar y ampliar las ideas racionales de números hasta el octavo grado, después de lo cual estos entendimientos se aplican en álgebra elemental. Muchas de las dificultades de los estudiantes de álgebra se remontan a una comprensión incompleta de las ideas anteriores fracciones.

Regiones geométricas, conjuntos de objetos discretos, y la recta numérica son los modelos más utilizados para representar fracciones en la escuela primaria y secundaria. Interpretación de regiones geométricas aparentemente implica una comprensión de la noción de zona. Owens (1980) y Sambo (1980) cada examinan la relación entre el concepto de un niño de la zona y ella o su capacidad de aprender conceptos de fracción. Owens encuentra una relación positiva entre el éxito en las tareas de área y el éxito en una unidad de instrucción basado en las regiones geométricas. Sambo informa que la enseñanza deliberada para la transferencia de tareas de área habilidad ayudas de los niños a aprender los conceptos de fracción cuando las regiones geométricas e interpretaciones de medición están involucrados.

Ellerbruch y Payne (1978) afirman que la investigación, así como la práctica del aula sugieren la introducción de los conceptos de fracciones usando un modelo único, y recomiendan el modelo de medición parte-todo como la más natural para los niños pequeños y los más útiles para la adición de las fracciones como . La secuencia inicial Fracción (IFS), una secuencia de instrucción basado en la investigación de Payne y sus colegas (Ellerbruch & Payne, 1978), hace hincapié en la importancia de desarrollar una sólida base de los conceptos de fracciones antes de introducir a los niños a las operaciones o las relaciones de los números racionales. IFS utiliza regiones rectangulares debido a la facilidad de hacer modelos a partir de tiras de papel, y procede cuidadosamente de modelos concretos o pictóricos a los nombres de fracciones orales, a los nombres escritos en lenguaje natural (por ejemplo, las tres cuartas partes), y finalmente a los símbolos matemáticos formales.

El número de modelo de línea agrega un atributo no está presente en la región o modelos establecidos, sobre todo cuando se utiliza durante mucho tiempo una línea de números de más de una unidad. Novillis-Larson (1980) presentó los niños de séptimo grado con las tareas que implican la localización de las fracciones en las líneas de números que fueron una o dos unidades de largo y para el cual el número de segmentos en cada segmento unidad igualado o era dos veces el denominador de la fracción. Los resultados del estudio indicaron que, entre los estudiantes de séptimo grado, asociando fracciones propias con puntos fue significativamente más fácil en líneas de números de longitud uno y cuando el número de segmentos igualó el denominador. Hallazgos de Novillis-Larson sugieren una aparente dificultad en la percepción de la unidad de referencia: cuando participó una línea número de longitud de dos unidades, casi el 25% de la muestra utiliza toda la línea como la unidad. Sus datos también indican que los niños no asocian el número de un tercio racional con un punto para el que sugiere la partición y dos sextos. Estos resultados sugieren una noción imprecisa e inflexible de la fracción entre los alumnos de séptimo grado.

Sea o no el tipo de modalidad (cantidad continua versus cantidad discreta) exige diferentes tipos de estructuras cognitivas se investigó por Hiebert y Tonnessen (1978), quien preguntó si la interpretación parte-todo dada por Piaget, Inhelder y Szeminska (1960) fue apropiada tanto para el discretas y continuas de los casos longitud y el área. Sus tareas requieren los niños para dividir una cantidad igual y completamente entre una serie de animales de peluche. Ellos encontraron que los niños realizan considerablemente mejor en las tareas que implican el caso discreto (set-subconjunto) que el caso continuo. Una posible explicación es que las soluciones de las tareas continuas de cantidad (Piaget et al., 1960) requieren un esquema anticipatoria bien desarrollado, mientras que las tareas de cantidades discretas se pueden resolver simplemente con la partición. En particular, las tareas discretas se pueden resolver sin tratar el conjunto en su totalidad y sin anticipar la solución final. Debido a que

las estrategias empleadas por los niños para tareas cantidad discreta son tan marcadamente diferentes de las empleadas para tareas continuas de cantidad, es razonable suponer que las estructuras cognitivos implicados en la resolución de problemas racional de números se refieren a un modelo discreto son diferentes de los implicados en la solución racional -Número problemas se refieren a un modelo continuo.

Número racional como Ratio

Ratio es una relación que transmite la noción de magnitud relativa; por lo tanto, se considera más correctamente como un índice comparativo, más que como un número. Cuando dos razones son iguales que se dice que son en proporción a la otra. Una proporción es simplemente una declaración equiparar dos relaciones. El uso de proporciones es una herramienta muy poderosa la resolución de problemas en una variedad de situaciones físicas y la configuración de problemas que requieren comparaciones de magnitudes.

Noelting (1978, pp. 242-277) utilizó una prueba de zumo de naranja para investigar la capacidad de los sujetos para comparar proporciones. Tareas de Noelting pide a los niños para especificar cuál de las dos mezclas de jugo de naranja y el agua le gusto más "orangy." Se observaron tres etapas entre las respuestas-sujeto ", que van desde hacer juicios basados únicamente en la comparación de términos, a la comparación de pares ordenados utilizando reglas multiplicativos, a la fase final en la que pares ordenados fueron vistos como pertenecientes a una clase.

El uso de vasos de agua y jugo de naranja sugiere un modelo discreto. Otra línea de investigación, el uso de cantidades continuas, está representado por Karplus, Karplus, Formisano, y Paulsen (1979, pp. 47-103), Karplus, Karplus y Wollman (1974), y Kurtz y Karplus (1979). Se les pidió que encontrar un componente desconocido de una declaración proporcionalidad igualando dos relaciones que involucran longitud, distancia, o el volumen. Como Noelting, Karplus y sus colegas han identificado varios niveles de funcionamiento cognitivo, que van desde aleatoria adivinanzas para aditivos (en lugar de multiplicativa) razonamiento, al más alto nivel en el que los datos se utilizan en un nivel formal de la relación pensamiento multiplicativo.

Números racionales como División Indicado y como Elementos de un campo Quotient

De acuerdo con la interpretación parte-todo de los números racionales, el símbolo a / b lo general se refiere a una parte fraccional de una sola cantidad. En la interpretación relación de los números racionales, el símbolo a / b se refiere a una relación entre dos cantidades. El símbolo A / B también puede ser usado para referirse a una operación. Es decir, a / b se utiliza a veces como una forma de escribir un ÷ b. Esta es la división se

indica (o se indique cociente) interpretación de los números racionales.

Consideración de los números racionales como cocientes implica al menos dos niveles de sofisticación. Por un lado, 8 cuartos o 2/3 interpretarse como una indicados resultados de la división en el establecimiento de la equivalencia de 8 cuartos y 2, o 2/3 y 0.666. Pero los números racionales también pueden considerarse como elementos de un campo de cociente, y, como tal, puede ser usado para definir la equivalencia, suma, multiplicación, y otras propiedades desde una perspectiva puramente deductivo; todos los algoritmos son derivables de ecuaciones a través de las propiedades de campo (Kieren, 1976). Este nivel de sofisticación en general, requiere estructuras intelectuales no están disponibles para los niños de la escuela secundaria, ya que se refiere a los sistemas de números racionales algebraicas abstractas.

Número racional como Operador

El subconstruct del número racional como operador impone a un número racional p / q una interpretación algebraica; p / q se considera como una función que transforma las figuras geométricas de figuras geométricas similares veces p / q tan grande, o como una función que transforma un puesto en otra serie con tiempos p / q como muchos elementos. Cuando se opera en el objeto continua (longitud), pensamos en p / q como una combinación camilla-reductor. Cualquier segmento de línea de longitud L operado por p / q se estira a p veces su longitud y, a continuación reducido por un factor de q. Una interpretación multiplicador-divisor se da a p / q cuando se opera en un conjunto discreto. El número racional p / q transforma un conjunto con n elementos a un conjunto con elementos np y luego este número se reduce a np / q.

Este concepto racional-número puede ser realizada en una máquina de la función en la que p / q es considerado como una "p por q" de la máquina. Por lo tanto, 3/4 se considera como un 3 por 4 la máquina: una entrada de longitud o cardinalidad 4 produce una salida de longitud de cardinalidad 3.

La interpretación operador del número racional es particularmente útil en el estudio de equivalencia de fracciones y la operación de la multiplicación. El problema de encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada es la de encontrar máquinas de función que cumplen las mismas transformaciones de entrada-salida. Multiplicación de fracciones implica composición de funciones.

Una serie de estudios realizados por Kieren y sus colegas (Ganson y Kieren, 1980: Kieren & Nelson, 1978; Kieren y Southwell, 1979) y Noelting (1978, desde 242 hasta 277) han investigado la fase de desarrollo de los operadores y de relación de construcciones y la relación entre ellos en el

pensamiento de los niños.

Análisis de las descripciones de cómo funciona una máquina de los niños indicó que los estudiantes pensaban sustractivamente y no multiplicativamente. Esto fue particularmente cierto para los estudiantes menores de 12. Un segundo hallazgo importante fue el papel de la mitad jugó en el pensamiento de los sujetos; 91% de los sujetos a dominar las tareas "y medio". Incluso los estudiantes que sabían que una máquina no era una máquina de la mitad daría una media de respuesta de uno cuando confundido. Al parecer, la mayor tasa de éxito en las tareas y medio, y una mayor familiaridad con el mismo número de los estudiantes, dio lugar a malas aplicaciones. Este tipo de error se hizo en un 47% de los sujetos (Kieren & Nelson, 1978).

Kieren y Southwell (1979) examinaron las diferencias entre capacidad de los niños para realizar tareas de operador cuando la tarea se ha incrustado en una máquina de función en comparación con un enfoque "más simple" que consiste en patrones de pares de números de entrada-salida simbólicos. Un análisis de la varianza de las respuestas correctas no indicó diferencias significativas debido a modo de representación. Se observaron tres niveles de racional número desarrollo operador de datos de ambos tipos de tareas. Los autores sugieren que la comprensión de la clase de equivalencia y la partición eran los importantes mecanismos que subyacen a este desarrollo. Particionamiento se refiere a la división de un conjunto en subconjuntos. Aplicando el pensamiento clase de equivalencia a un tercio colmillo, un sujeto que correctamente pares 2 con 6 explica, "dividido por 3." Se requiere un uso más sofisticado del mecanismo para el éxito en la tarea fracción nonunit de "dos tercios"; a par 90 con 60, un estudiante piensa, "dividir por 3 y tomar 2 de ellos." El operador fraccionario general parece requerir la coordinación de la compartimentación de los dos subconjuntos de números con una operación multiplicativa, en este caso duplicación. Se utilizó esta estrategia de partición covaried con mayor frecuencia por los sujetos en la condición de la representación de la máquina. En la condición de representación de patrones, una explicación patrón frecuentemente acompañada de una respuesta correcta. Así, en el emparejamiento 24 con 16 en la tarea de dos tercios, el tema diría: "Bueno, sé que 12 fueron a 8 por lo que sólo un doble al conseguir 16" Se observó un mayor nivel de rendimiento en el grupo de la máquina a una edad más joven en comparación con el grupo de patrones.

Ganson und Kieren (1980) dio un solo grupo de sujetos tanto a las tareas del operador (Kieren & Nelson, 1978) tareas de jugo de naranja und (Noelting, 1978). Llegaron a la conclusión de que (a) no es una indicación de que los estudiantes que son capaces de crear particiones también son capaces de realizar comparaciones y reconocer equivalencias, y (b) el nivel de pensamiento cognitivo necesario para un desempeño exitoso en las tareas de operador general es relativamente el mismo nivel como la

necesaria para el desempeño exitoso en las comparaciones de equivalencia multiplicativo en las tareas de relación.

Sumario

A causa de un énfasis en la subconstruct parte-todo en las matemáticas escolares planes de estudio y la rápida progresión concomitante a los procedimientos de cálculo simbólico, una cantidad desproporcionada de la investigación pura sobre los números racionales se ocupa de las cuestiones relativas a cuál de los diferentes procedimientos algorítmicos mejor facilite el desempeño de computación de los niños . Más recientemente, la investigación ha incluido las observaciones basadas en datos de que se trate no con las comparaciones simples entre dos procedimientos de instrucción, pero con los intentos de identificar y describir los procesos mentales empleados por los niños que participan en estas tareas.

La gran mayoría de los esfuerzos actuales son los estudios de estado. Es decir, el investigador recoge los datos relativos al conocimiento de los niños de un área en particular sin tener en cuenta la instrucción concurrente o la consideración de la calidad o el alcance de las experiencias de instrucción últimos del niño. Debido a que gran parte de lo que los niños saben acerca de los aspectos más formales de la matemática está influenciada por la instrucción, estos estudios de estado, aunque muy útil, son inherentemente limitadas en la medida en que las estructuras cognitivas de los niños se pueden vincular directamente a la instrucción y / o experiencias específicas. Además, no proporcionan ningún indicio sobre cómo los conceptos desarrollan con el tiempo bajo la influencia de una secuencia de instrucción bien definido. Dicha información es sin duda crucial si la investigación es proporcionar una guía para la redefinición de los programas escolares para promover el aprendizaje más efectivo de las matemáticas por todos los niños.

Un esfuerzo actualmente en curso está tratando de investigar el desarrollo de las estructuras cognitivas de pensamiento dentro de un programa de instrucción basado teóricamente bien definido racional-número. Se discute en la siguiente sección.

El Proyecto Racional-Número

El (National Science Foundation) Racional Número del Proyecto apoyado por la NSF consta de tres componentes que interactúan: (a) un componente de instrucción en la que se observaron 18 cuarto y quinto grado, entrevistados, y probados con frecuencia durante las 16 semanas de instrucción basada en la teoría, (b ) un componente de evaluación en la que más de 1.600 segundos a través de los niños de octavo grado se pusieron a prueba utilizando una batería de pruebas escritas, pruebas de instrucción mediada y entrevistas clínicas, y (c) un componente de

diagnóstico de recuperación en la que los adultos jóvenes que estaban experimentando dificultades con las fracciones fueron identificados; sus malentendidos fueron aislados y remediados con materiales tomados del componente de evaluación y actividades prestadas a partir del componente de instrucción.

Objetivos generales del proyecto Número Racional son (a) para describir el desarrollo de las progresivamente complejos sistemas de relaciones y operaciones que los niños en los grados 2-8 utilización para emitir juicios que involucran números racionales, y (b) para describir el papel que diferentes representacional sistemas (por ejemplo, imágenes, materiales manipulativos, lengua hablada, símbolos escritos) juegan en la adquisición y uso de conceptos racionales de números. El proyecto tiene como objetivo desarrollar un "mapa" psicológico que describe (a) cómo varios subconstructs racional de números (por ejemplo, las fracciones, proporciones, indicaron cocientes) se convierten poco a poco diferenciado e integrado para formar una comprensión más madura de los números racionales, (b) cómo varios sistemas de representación interactúan durante el desarrollo gradual de ideas números racionales, y (c) cómo una variedad de intervenciones basadas en la teoría pueden favorecer este desarrollo.

El proyecto se ocupa no sólo de lo que los niños pueden hacer "natural", sino también con lo que pueden hacer acompañado de una guía mínima o después de la instrucción basada en la teoría. El interés se centra en la exploración de la "zona de desarrollo próximo" de los conceptos racionales de números de los niños (Vygotsky, 1976), no sólo para describir a los niños esquemas utilizan normalmente para procesar la información racional número e interpretar situaciones racional de números, sino también para describir cómo estos esquemas cambian como resultado de la instrucción basada en la teoría. En lugar de buscar sólo para acelerar el entendimiento de números racionales a lo largo de caminos conceptuales estrechas, el proyecto está interesado en el estudio de los resultados de la ampliación y el fortalecimiento de los modelos conceptuales deficientes (ver Lesh, Landau, y Hamilton, el Capítulo 9 de este libro).

Fundamentos teóricos

Fundamentos teóricos para el proyecto se derivaron de cuatro bases teóricas separados pero que se apoyan mutuamente: (a) (1976) el análisis matemático de Kieren de número racional en subconstructs; (b) Post y (1979) la interpretación de Reys de los principios de la variabilidad de percepción y matemáticos de Dienes; ( c) (1979) Análisis de Lesh de modos de representación relacionados con la adquisición matemática concepto y el uso, (d) un análisis de las estructuras de memoria desarrollado por un alumno (Behr, Lesh, & Post, la Nota 1). Estas bases

teóricas se discuten a su vez a continuación.

EL ANÁLISIS DE RACIONAL-NÚMERO SUBCONSTRUCTS

Nuestro trabajo ha dado lugar a una redefinición de algunos de (1976) categorías Kieren y una subdivisión de los demás. El plan incluye los siguientes siete subconstructs.

El subconstruct medida fraccionaria del número racional representa una reconceptualización de la noción parte-todo de la fracción. Se ocupa de la cuestión de lo mucho que hay de una cantidad relativa a una unidad especifica de esa cantidad.

La relación subconstruct de número racional expresa una relación entre dos cantidades, por ejemplo, una relación entre el número de niños y niñas en una habitación.

El subconstruct tasa de número racional define una nueva cantidad como una relación entre dos otras cantidades. Por ejemplo, la velocidad se define como una relación entre la distancia y el tiempo. Observamos aquí que, si bien se añade tarifas en un contexto como el cálculo de la velocidad media, rara vez se añade ratios.

El subconstruct cociente de número racional interpreta un número racional como cociente indicado. Es decir, a / b se interpreta como dividido por b. En un contexto curricular esta subconstruct se ejemplifica por la siguiente situación problema:

Hay 4 galletas y 3 niños. Si las galletas son compartidos en partes iguales por los tres hijos, ¿cuánto cookies pone cada niño?

El subconstruct lineal de coordenadas del número racional es similar a la noción de una interpretación medida Kieren. Se hace hincapié en las propiedades asociadas con la topología métrica de la línea número racional como intermediación, la densidad, la distancia, y (no) lo completo. Los números racionales se interpretan como puntos en una recta numérica, haciendo hincapié en que los números racionales son un subconjunto de los números reales.

El subconstruct decimal del número racional enfatiza propiedades asociadas con el sistema de numeración de base diez.

El subconstruct operador del número racional impone número racional de un concepto de función; un número racional es una transformación. Las nociones camilla-Shrinker desarrollados por UICSM (Universidad de Illinois, el Comité de Matemáticas Escuela) CSMP (Proyecto Matemática Escolar) y Dienes (1967) representan realizaciones físicas de esta

construcción.

Preguntas con respecto a cuál de estos subconstructs podría mejor servir para desarrollar en los niños el concepto básico fracción, las relaciones de los números racionales, operaciones con números racionales, y las aplicaciones de los números racionales siguen sin respuesta. Parece plausible que el subconstruct parte-todo, basada tanto en cantidades continuas y discretas, representa un constructo fundamental para el desarrollo del concepto racional-número. Es, además, un punto de partida para la instrucción de la participación de otros subconstructs. La conceptualización preliminar de las interrelaciones entre los diversos subconstructs se representa en la figura 4.1. Las flechas continuas y discontinuas sugieren establecidos y la hipótesis de relaciones, respectivamente, entre racional número construye, las relaciones, y las operaciones. El diagrama sugiere que (a) la separación y la subconstruct parte-todo de los números racionales son básicos para el aprendizaje de otras subconstructs de número racional; (b) la relación subconstruct es más "natural" para promover el concepto de equivalencia; (c) el operador y subconstructs medida son muy útiles en el desarrollo de una comprensión de la multiplicación y la adición.

EL ANÁLISIS DE MODELOS DE CONCRETO RELACIONADO CON CONCEPTOS RACIONAL-NUMBER

Publicar y Reys (1979) interpretan los principios matemáticos de variabilidad y de percepción de Dienes (1967) mediante el uso de un marco matriz. Subconstructs (1.976) racional de números Kieren constituyen la dimensión variabilidad matemática de la matriz. La dimensión de la variabilidad perceptiva incluye objetos discretos, modelos de longitud, área de modelos y modelos simbólicos escritos.

El Proyecto Número Racional ha refinado Post y la matriz de Reys para incluir las categorías que se muestran en la Figura 4.2.

Cada célula en esta matriz implica tanto un tipo de actividad física o simbólica y una perspectiva matemática. Materiales discretos utilizados en el proyecto incluyen contadores, cajas de huevos y otros conjuntos de objetos. Materiales continuos involucrados alguna cantidad como la longitud o el área, y se incluyen varillas Cuisenaire, líneas de números y hojas de papel. Materiales Contable-continuas involucrados una cantidad continua que había sido dividida en unidades contables de la misma '' tamaño ", pero no necesariamente la misma forma. Ejemplos de materiales continuos contables incluyen azulejos y papel cuadriculado.

UN MODELO INTERACTIVO DE REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS

Lesh (1979) reconceptualizó (1966) Modo enactiva de Bruner, dividió el modo icónico de Bruner en materiales manipulativos y modelos de figuras estáticas (es decir, imágenes), y se dividió el modo simbólico de Bruner en lenguaje hablado y símbolos escritos. Además, estos sistemas de representación se interpretaron como interactiva en lugar de lineal, y traducciones dentro y entre los modos fueron dados como mucho énfasis como la manipulación de los sistemas de representación individuales. La figura 4.3 muestra la versión modificada del Proyecto Número Racional del modelo de Lesh.

Un aspecto importante del proyecto es el papel de los materiales manipulativos para facilitar la adquisición y el uso de conceptos racionales de números como la comprensión del niño se mueve de concreto a lo abstracto. Análisis psicológicos muestran que manipulativos son sólo uno de los componentes en el desarrollo de sistemas de representación y que otros modos de representación también juegan un papel en la adquisición y uso de conceptos (Lesh, Landau, y Hamilton, 1980). Una hipótesis importante del proyecto es que es la capacidad de hacer traducciones entre y dentro de estos diversos modos de representación que hace que las ideas significativas para los estudiantes.

El Proyecto Número Racional se ha alejado de tratar de identificar la "mejor" ayuda manipuladora para ilustrar (todos) los conceptos racionales de números hacia la comprensión de que los diferentes materiales son útiles para modelar diferentes situaciones del mundo real o diferentes subconstructs racional de números (es decir, parte-todo fracciones, proporciones, operadores, proporciones), y los diferentes materiales pueden ser útiles en diferentes puntos en el desarrollo de conceptos racionales de números. Por ejemplo, plegado de papel puede ser excelente para la representación de las relaciones parte-todo o fracciones equivalentes, pero puede ser engañoso para representar adición de fracciones. No existe una única ayuda manipuladora que es "mejor" para todos los niños y para todas las situaciones racionales de números. Un modelo concreto que sea significativo para un niño en una situación puede no ser significativo para otro niño en la misma situación ni al mismo niño en una situación diferente. El objetivo es identificar las actividades de manipulación usando materiales concretos cuya estructura se ajusta a la estructura del concepto racional-número particular que se enseña.

Nuestra investigación actual se centra en gran medida en el análisis de las estructuras cognitivas niños utilizan para realizar diversas tareas racional de números. Grupo de análisis revelan que, incluso dentro de la categoría de materiales concretos, algunos son más concretos que otros. Una implicación razonable de esta observación es que los profesores que intentan concretar conceptos racionales de números abstractos pueden

ser sabio para comenzar la instrucción con aquellos materiales que son más concretas, menos compleja, y que recurrir a entendimientos intuitivos útiles.

Como los maestros pueden ilustrar ideas como la "adición de fracciones" usando papel doblado, varillas Cuisenaire, u otros materiales manipulativos, pueden subestimar el nivel de sofisticación que se requiere para llevar a cabo estas tareas. Una cosa es que un niño sabe cómo ilustrar fracciones tales como 1/2 o 1/3 utilizando varillas Cuisenaire, y otra muy distinta es ser capaz de ilustrar 1/2 + 1/3 usando las varillas. Materiales concretos que son útiles para las fracciones que ilustran pueden no ser útiles para ilustrar la adición de fracciones. Es decir, la adición de las fracciones puede ser más significativo si se construye sobre una sólida comprensión concreta de las fracciones individuales, pero esto no implica que el aprendizaje para añadir varillas Cuisenaire o papel doblado facilitará la comprensión del niño de la adición de las fracciones.

Los jóvenes estudiantes no funcionan en un solo modo de representación en toda la solución de un problema. Pueden pensar en una parte del problema (por ejemplo, el número) de una manera concreta, pero pueden pensar en otra parte del problema utilizando otros sistemas de representación (es decir, acciones, reglas del lenguaje hablado o procedimientos de símbolos escritos).

Figura 4.3 se pretende sugerir que los problemas matemáticos realistas son frecuentemente resueltos por: (a) la traducción de la situación real de algún sistema de representación, (b) la transformación u operar con el sistema de representación para producir algún resultado o predicción, y (c) traducir el resultado de nuevo en la situación real. Figura 4.3 también se pretende dar a entender que muchos problemas se resuelven mediante una secuencia de asignaciones parciales involucran varios sistemas de representación. Es decir, imágenes o materiales concretos se pueden utilizar como un intermediario entre una situación real y símbolos escritos, y el lenguaje hablado pueden funcionar como un intermediario entre la situación real y las imágenes, o las imágenes y los símbolos escritos.

Algunos problemas inherentemente implican más de un modo en el inicio. Por ejemplo, en situaciones de adición reales que involucran fracciones, los dos elementos que se agregan puede no ser siempre dos símbolos escritos, dos símbolos hablados o dos pizzas; que puede ser una pizza y un símbolo escrito, o una pizza y una palabra hablada. Es decir, el problema puede implicar que muestra el niño medio de una pizza y luego preguntar cuánto el niño tendría si se les da otro tercio de una pizza. En este tipo de problemas, que se producen regularmente en situaciones reales, parte de la dificultad es representar ambos sumandos utilizando un único sistema de representación.

Aunque el objetivo del Proyecto Número Racional ha sido la de seguir el desarrollo de las ideas racionales de números, nuestros datos nos han hecho sensibles a la necesidad de explicar la estabilidad concepto y la inestabilidad, así como el desarrollo de conceptos. Por ejemplo, a pesar de que nuestro estudio utilizó criterios de "dominio" que fueron considerablemente más estrictas que las que se utilizan normalmente en la enseñanza de la escuela, era común observar una regresión significativa en concepto de comprensión en periodos de 2 ó 3 semanas. No sólo debe "dominar" conceptos serán recordadas, deben ser integrados en sistemas cada vez más complejos de las ideas; a veces hay que reconceptualizados cuando se amplían a nuevos dominios. Ideas que son verdaderas en dominios restringidos (por ejemplo, "la multiplicación es como suma repetida" o "una fracción es parte de un todo") son engañosas, incorrectas o no es útil cuando se amplían a nuevos dominios. Las ideas matemáticas suelen existir en más de un nivel de sofisticación. No se limitan a ir de "no se entiende" a "dominado". Por lo tanto, a medida que desarrollan deben ser reconceptualizados periódicamente, y deben ser incorporados en los sistemas progresivamente más complejas que pueden alterar significativamente su interpretación original.

El Proyecto Número Racional ha estado especialmente interesados en las interacciones entre las representaciones internas y externas de las situaciones problemáticas. Con frecuencia, cuando los niños a resolver problemas, una interpretación interna del problema influye en la selección, generación o modificación de una representación exterior. La representación exterior puede implicar una imagen, materiales concretos, o símbolos escritos. A menudo, los modelos de representación externos sólo una parte del problema. Por ejemplo, la primera imagen de un niño para una "adición de fracciones" problema podría representar las fracciones sin ningún intento de representar el proceso de adición. Una representación exterior normalmente permite a los niños refinan sus representaciones e interpretaciones -que internos pueden ciclo de nuevo a la generación (o selección) de una representación exterior refinado, o para una solución. Representaciones externas pueden, entre otras cosas, reducir la carga de memoria o aumentar la capacidad de almacenamiento, la información del código en una forma que es más manipulable, o simplificar relaciones complejas.

ESTRUCTURAS DE MEMORIA

Gagne y Negro (1978) propusieron un modelo para relacionar las estructuras de memoria de los resultados del aprendizaje. Consideraron cuatro estructuras de memoria: (a) las redes de proposiciones (que almacenan conocimiento verbal); (b) habilidades intelectuales (que son la base de la identificación de conceptos y la aplicación o normas); (c) imágenes (principalmente visual, sino también auditiva o representaciones hápticas correspondientes más o menos directa con objetos concretos o eventos); y, (d) episodios (incorporando

representaciones de experiencia personal en la forma de "primero que hice esto, yo hice eso"). Tulving (1972) distingue la memoria episódica de la memoria semántica (el almacenamiento de conocimiento lingüístico organizado), haciendo hincapié en el carácter autobiográfico de la memoria episódica.

La consideración de las estructuras de memoria es relevante para el uso de ayudas de manipulación en la enseñanza de las matemáticas. Experiencia episódica que un niño adquiere de ayudas concretas no pueden proporcionar el conocimiento recuperable, sin información semántica sobre los episodios y sobre las relaciones entre las diferentes experiencias episódicas. Interacción verbal por el aprendiz con un maestro o compañeros de observar las similitudes y diferencias entre las experiencias episódicas y los materiales sobre los que se basan es probablemente esencial.

Principales Componentes del proyecto

EL COMPONENTE DE INSTRUCCIÓN

Desarrollo de Materiales

Veinte semanas de materiales de instrucción para estudiantes (más de 600 páginas) han sido desarrollados por el personal del proyecto, pilotado, y se utiliza en grupos pequeños experimentos de enseñanza con niños de cuarto y quinto grado. Guías de observación extensos y protocolos de entrevistas se han producido para recoger datos sobre el comportamiento cognitivo de los niños en una base lección por lección.

Cada experimento de 20 semanas de enseñanza (una en DeKalb, dos en Minneapolis) grupos que participan de seis estudiantes y audio utilizado y grabación en vídeo, extensas entrevistas y pruebas de rendimiento antes y postinstruction. Se identificaron los estudiantes de control para cada grupo a efectos de comparación. Los materiales de instrucción reflejan fundamentos teóricos subyacentes del proyecto. Parte-todo, cociente, medida, y las interpretaciones de relación de número racional, y las traducciones dentro y entre cinco modos de representación se enfatizan.

Recopilación y análisis de datos

Cuatro principales tipos de instrumentos se han utilizado en los sitios de DeKalb y Minneapolis para identificar y evaluar el desarrollo de los conceptos numéricos racionalistas de los niños dentro de la instrucción basada en la teoría.

1. El Rational Test-Number fue utilizado como un pre y postmeasure con ambos estudiantes no experimentales y experimentales seleccionados al azar. Esta prueba, principalmente con el dominio del contenido, los niveles identificados de rendimiento de los

estudiantes en tres áreas: conceptos racionales de números, relaciones y operaciones. Este instrumento también se utilizó con grupos en el aula en los grados 2-8 en cinco ubicaciones geográficas (N> 1600).

2. Guías de observación de clases se desarrollaron para cada una de las 12 lecciones. Cada lección abarcó 2-6 días de instrucción. Estas guías fueron diseñadas para proporcionar al personal información sobre los procesos cognitivos estudiantes puedan recurrir cuando se trata de situaciones que implican conceptos racionales de números. Debido a la cantidad de información que se pide es extensa, los guías a menudo se complementan con audio o cintas de vídeo.

3. Protocolos Entrevista involucrados audio o grabados en video entrevistas individuales, con una duración de 15 a 50 minutos, y llevaron a cabo con cada estudiante después de cada lección. Proporcionan una amplia información sobre los procesos mentales inferidos, estructuras de memoria, y entendimientos ganaron y utilizados. Estos datos proporcionarán información longitudinal detallada sobre el desarrollo de conceptos racionales de números en los estudiantes individuales. Datos de las entrevistas fueron examinados de forma lección por lección para evaluar el impacto de los "movimientos" de instrucción específicos sobre el desarrollo conceptual.

La secuencia de las entrevistas individuales que se realizaron con los niños sobre la 16-18 semanas de enseñanza experimento se desarrolló de manera que información continua sobre el desarrollo de ciertos conceptos racionales de números emergería. Los protocolos de entrevista producen datos de varias hebras de datos separados, pero no mutuamente excluyentes que reflejan la capacidad de los niños para

a. tratar con distractores de percepción visual,b. tratar las cuestiones relacionadas con la equivalencia y

el orden de las fracciones,c. tratar con el concepto básico fracción,d. entender el concepto de unidad en situaciones racional

de números,e. realizar tareas que requieren razonamiento

proporcional,f. realizar dentro y entre las traducciones de modo y la

relación entre esta capacidad y el rendimiento en otras tareas numéricas racionales y

g. realizar tareas de resolución de problemas con números racionales.

4. Los datos de la primera cadena se presentan en una sección posterior de este capítulo. Codificación fue diseñado para proporcionar información específica en las traducciones de los

estudiantes dentro y entre los modos de representación, la frecuencia relativa de cada tipo, y la identificación de los que resultó particularmente problemático.

EL COMPONENTE DE EVALUACIÓN

Hay tres componentes en el programa de pruebas: pruebas de papel y lápiz, pruebas de instrucción mediada y entrevistas clínicas (Figura 4.4) (Lesh & Hamilton, 1981).

La porción de papel y lápiz consta de tres pruebas: conceptos, relaciones y operaciones. La primera evalúa la fracción y la relación de los conceptos básicos. El segundo evalúa la comprensión de las relaciones entre los números racionales, tales como pedidos, formas equivalentes, y proporciones simples. La tercera prueba evalúa el desempeño en la suma y la multiplicación de fracciones y varias aplicaciones de elementos. Las pruebas se modularizados para dar cabida a los niños en los grados 2-8. Varios artículos de la prueba de los estudios anteriores se utilizaron intacta o modificarse para hacer posible la integración de resultados con investigaciones anteriores (por ejemplo, Carpintero, Coburn, Reys, y Wilson, 1978; Karplus, Pulos, y escenarios, 1980; Kieren, 1976; Klahr y Siegler, 1978; Noelting, 1979) y para proporcionar una base para futuras investigaciones. Una sección transversal de los estudiantes de primaria y secundaria se pusieron a prueba, la producción de datos de referencia sobre la comprensión racional de números para más de 1.600 niños en los

grados 2-8. Cinco sitios geográficos (Evanston, DeKalb, Minneapolis, San Diego y Pittsburgh) se incluyeron en la recogida de datos. También se utilizaron las pruebas escritas para identificar a los estudiantes para las entrevistas de seguimiento y para el componente de diagnóstico correctivas y errores de análisis del proyecto.

ERROR-ANÁLISIS Y COMPONENTE DE INTERVENCIÓN

El punto de vista que llevó al desarrollo de este componente del proyecto fue que una gran parte se podía aprender del estudio cuidadoso de racional número conocimientos que poseen los adultos jóvenes que habían estudiado el tema durante muchos años y había recibido las matemáticas escolares típicos la instrucción. Se han previsto dos beneficios particulares a los esfuerzos de desarrollo Número curriculares Proyecto racionales: (a) mediante la identificación de los encuentros y desencuentros de estos individuos, información útil podría ser adquirida que podrían guiar el desarrollo de instrucción, y (b) las rutinas de enseñanza desarrollados en los otros componentes del proyecto se podría utilizar en este componente para probar su utilidad correctivas.

El trabajo en este componente del proyecto se efectuará directamente en el sitio de San Diego y constaba de tres partes: pruebas escritas, entrevistas clínicas, e intervención de instrucción. Un total de 161 estudiantes de colegios comunitarios (matriculados en una clase de aritmética correctivas) y 59 estudiantes universitarios (inscrito en un curso de matemáticas para profesores de pregrado de la escuela primaria) completó los tres de selección múltiple, pruebas escritas desarrolladas en el componente de evaluación.

De la muestra de prueba, 20 sujetos fueron seleccionados para las entrevistas clínicas. Los sujetos fueron entrevistados individualmente en sesiones que duran de 45 a alrededor de 75 minutos. La entrevista clínica revisado problemas seleccionados de las pruebas escritas, sobre todo los que el sujeto se había perdido, y la realización de tareas adicionales diseñadas para sondear la comprensión racional de números del sujeto. Algunas de las tareas de la entrevista fueron tomados de protocolos de entrevistas clínicas desarrolladas en el componente de prueba del proyecto. Las entrevistas se adaptan individualmente para investigar errores y entendimientos de cada sujeto.

De la muestra clínica entrevista, ocho estudiantes fueron seleccionados para la intervención de instrucción. Cada estudiante se reunió con el investigador en sesiones individuales de unos 45 minutos. El número de sesiones osciló entre una sesión de dos de los temas a ocho sesiones de uno de los temas. El enfoque de las sesiones de intervención fue la remediación de los errores y concepciones erróneas identificadas en las entrevistas clínicas y pruebas escritas. La metodología instruccional empleada fue pedido prestado o una adaptación de las rutinas de

instrucción desarrollados en el proyecto.

Cues perceptuales y la Calidad de pensamiento de los niños: un estudio del Proyecto

Aunque se recomienda con frecuencia que los niños deben aprender las ideas matemáticas utilizando ayudas de manipulación de hormigón, se sabe muy poco acerca de cómo ayudas manipuladora afecta las matemáticas de un niño el aprendizaje o el desarrollo conceptual. Un número de comentarios de investigación (Fennema, 1972: Gerling & Wood, 1976: Kieren, 1969: Suydam y Higgins, 1977) proporcionan evidencia de que el uso de manipulativos no facilitar el aprendizaje de las habilidades matemáticas, conceptos y principios. La investigación existente ha ocupado principalmente de la cuestión superficial de si su uso es efectivo o que el material es "el mejor". Los resultados han sido ambiguos. La literatura contiene poca información sobre cómo ayudas manipuladoras afectan el funcionamiento cognitivo de los niños o por qué su uso hace o no facilita el aprendizaje de las matemáticas.

Los datos de tres experimentos paralelos de enseñanza 16-18 semanas realizados recientemente con cuarto y los niños de quinto grado por el Proyecto Número Racional indican considerables diferencias individuales entre los niños en relación con (a) la información que codifican a una ayuda manipuladora y (b) ¿Qué características de una ayuda interfiere con su pensamiento lógico-matemático. Conceptos como la partición, la equivalencia, el orden, y la unidad de reconocimiento son herramientas de pensamiento básicas para la comprensión de los números racionales. En nuestro trabajo se ha observado que ciertos componentes de una ayuda de manipulación o exposición pictórica que son esenciales para ilustrar un concepto básico con frecuencia afectan la capacidad del niño para utilizar la ayuda para otro concepto. En particular, varios tipos de señales perceptivas pueden influir negativamente en el pensamiento de los niños. En algunos casos, estas señales perceptivas actúan como distractores y abruman procesos de pensamiento lógico de los niños.

En el componente de instrucción del proyecto, se encontró que los niños tienden a asumir que las condiciones físicas en las que se presentan los problemas de pertinencia y sean compatibles con la tarea. Esta tendencia es probablemente un artefacto de su aprendizaje de una textbook- o programa de instrucción hoja dominadas que pone poco énfasis en materiales manipulativos. Dentro de un programa de este tipo, las condiciones problemáticas son necesariamente de naturaleza estática, ofreciendo pocas oportunidades para que los niños manipulen condiciones problemáticas. Los estudiantes esperan que las condiciones de problemas matemáticos (contexto) se ajustan a la tarea prevista y, por lo tanto, no están en necesidad de reestructurar o repensar. Los niños aprenden que uno simplemente toma lo que se da, y procede directamente a la

solución.

Materiales manipulativos ofrecen un mecanismo para liberar a los procesos de pensamiento de los niños porque los materiales correctamente concebidas y secuenciados pueden proporcionar para la reconstrucción continua de las condiciones de problemas y al mismo tiempo se puede permitir una interacción dinámica entre solucionador de problemas y las condiciones del problema. Comprensión significativa de las ideas matemáticas y del simbolismo matemático para estas ideas depende en parte de la capacidad de demostrar de forma interactiva la asociación entre los modos simbólicos y manipuladora auxilios de representación. En teoría, cuando los niños se ocupan de las ideas matemáticas, consagrados en ayudas de manipulación, las ideas matemáticas se abstraen en estructuras lógico-matemáticas. Como estructuras lógico-matemática de los niños se expanden, se presume que su dependencia de las ayudas de manipulación de hormigón disminuye. En última instancia, el pensamiento lógico-matemático se convierte en lo suficientemente fuerte para que domina la información visual-perceptivo.

Mediante el uso de una serie de tareas en el que distractores de percepción visual se introdujeron deliberadamente, se obtuvo información que indica las diferencias entre los niños en su capacidad para dejar a un lado, superar, o ignorar los distractores y hacer frente a las tareas en un nivel lógico-matemático. La medida en que un niño es capaz de hacer conflictos este-resolver entre este procesamiento perceptual de información visual y el procesamiento cognitivo del niño de lógica-matemática relaciones es visto como uno de los varios indicadores importantes de la fuerza de la comprensión del niño de número racional conceptos.

Definiciones

Por el término señales de percepción visual, nos referimos a las figuras, modelos o diagramas que acompañan a las tareas escolares convencionales que implican números racionales. Estas señales son de dos tipos generales: aquellas consistente con la tarea y aquellos incompatibles con la tarea. Señales consistentes pueden subdividirse en tres categorías: completas, incompletas, y no pertinentes. Señales incoherentes se conocen como distractores perceptivas. Estas relaciones se representan en la Figura 4.5.

Señales consistentes generalmente proporcionan información para el estudiante que se puede utilizar (tal vez con algunas modificaciones) para ayudar en la solución de la tarea.

1. Señales completas contienen toda la información necesaria para ayudar en la solución de la tarea o problema. Además, la información se presenta en una forma que sea útil para la tarea en cuestión.

2. Señales incompletas requieren al estudiante para agregar o modificar características existentes para completar el diagrama o modelo.

3. Señales irrelevantes contienen información extraña pero neutral. Tales señales requieren el solucionador de ignorar cierta información.

Señales incoherentes son los que tienen conflictos con la conceptualización de la tarea o problema y, por lo tanto, debe conciliarse antes de la solución. Señales incoherentes proporcionan información visual que puede inducir a error o puede distraer al sujeto de la tarea prevista. Señales incoherentes se denominan aquí como distractores de percepción visual.

Un ejemplo ilustra estas distinciones. La tarea en todos los casos es a la sombra de tres cuartas partes del rectángulo.

Para cualquier aclaración sobre los tipos de señales perceptivas y estrategias de solución se proporciona en las Tablas 4.1 y 4.2.

TABLA 4.2 estrategias de solución de varios tipos de Percepción Cues

Tipo de señal visual Estrategia de solución recomendada

Consistente

CompletaNinguna modificación necesaria. Encuentra parte fraccionaria requerida utilizando estrategias parte-todo.

IncompletoIdentificar fracción unidad apropiada. Fracción unitaria Iterar para completar el diagrama. Proceda como con señales consistentes completa.

IrrelevanteResaltar fracción unidad apropiada. No haga caso de otras particiones. Proceda como con señales consistentes completa.

Inconsistente (distractor perceptual) No haga caso de todas las subdivisiones.

Reconstruir diagrama de manera que sea completa. Proceda como con señales consistentes completa.

Tabla 4.3Porcentaje de errores de Estudiantes por Tipo de Perceptual Cue. Interpretación de la

fracción, y el ejemplo específico de un

Línea de base Fracción específica

Numero de linea

Discreta Círculos Rectángulos

-Consistente completa

3.4 61 18 0 12.3 68 22 5 05/3 75 903.4 68 31 6 1

-Consistente incompleta

2.3 71 26 26 25

5/3 79 913.4 74 19 21

-Consistente irrelevante

2.3 78 23 25

5/3 82 883.4 87 31 48 57

Inconsistente 2.3 75 27 39 365/3 81.82 87

a Estos datos fueron recogidos por Nadie Bezuk como parte de una tesis de maestría en la Universidad de Minnesota. Los autores están indebited a la Sra Bezuk por su permiso

para incluir aquí. Tres clases de cuarto grado: N = 77.Los resultados de las tareas de distracción perceptuales

ENCUESTA DE DATOS DE una prueba escrita

Tabla 4.3 proporciona información acerca de la dificultad relativa de los diversos tipos de objetos perceptualmente estimulada. Estos datos fueron recolectados en el comienzo de la primavera de los niños habían sido objeto de la instrucción normal de cuarto grado se trata de fracciones. Se representan tres clases de cuarto grado (n = 77) de una escuela primaria suburbana en St. Paul, Minnesota.

Tres grandes tendencias son evidentes de inmediato. En primer lugar, hay un número desproporcionado de los errores en los problemas de número de línea en todas las categorías y fracciones específicas. Esto es cierto a pesar de que durante 3 años la serie de texto de los estudiantes había empleado el modelo de número de línea para las interpretaciones de números enteros de suma y resta: Los niños en esta muestra fueron generalmente incapaces de conceptualizar una fracción como un punto en una línea. Esto es probablemente debido al hecho de que la mayoría de sus experiencias había estado con la interpretación parte-todo de la fracción en un (área) contexto continuo. Estos resultados son consistentes con otros hallazgos (por ejemplo, Novillis-Larson, 1980) que sugieren que las interpretaciones de la línea número son especialmente difíciles para

los niños.

En segundo lugar, en el contexto discreta, la fracción 3/5 causa muchos más errores que hacer las fracciones 3/4 y 2/3. Esto se debe, quizás, al hecho de que la instrucción escolar ha puesto prácticamente la totalidad de su énfasis en fracciones de menos de una, sin duda una interpretación limitada del número racional pero apenas poco común en este nivel.

En tercer lugar, el porcentaje de errores aumenta a medida que el tipo de cambio de referencia de percepción de completa a incompleta a irrelevante a inconsistente. Como se predijo, el mayor porcentaje de errores se produjo con las señales inconsistentes. Esto es cierto en todos los cuatro interpretaciones físicas de estas tres fracciones. La discrepancia parece ser especialmente evidente en el contexto continua, que fue representada aquí por círculos y rectángulos. (Por desgracia, a partir de este escrito, no existen datos para la fracción 5/3 en el contexto continuo.) La estabilidad de esta tendencia sugiere la necesidad de un examen más detallado de los procesos cognitivos implicados en el tratamiento de varios tipos de señales de percepción a través de continua , tareas discretas, y el número de línea.

Los datos clínicos de uno-a-ONE ENTREVISTAS

Los niños que participan en los experimentos de enseñanza de proyectos recibieron periódicamente tareas de distractores perceptivas. Estas tareas se les dio bien con los demás en una-a-uno entrevistas clínicas. Los resultados y conclusiones de las tareas se presentan de acuerdo con el tipo de modalidad en que se basan.

Tareas de realización continua

Una tarea fue diseñado para evaluar la flexibilidad de los niños en relación con una parte de un todo como una región sin particiones y como una región con particiones. Se requiere la observación de que dos partes equivalentes de un todo pueden cada uno ser nombrados por las mismas fracciones cuando una parte se divide adecuadamente. En la Figura 4.6, b y cde, partes equivalentes, cada uno puede ser nombrado como un cuarto y tres doceavas partes.

Figura 4.6. Particionado y se repartió regiones circulares mostrando 04.01 = 3.12

De interés fue si el niño podía ignorar las líneas divisorias en cde considerarlo como una cuarta e imaginar las líneas divisorias colocados en b considerarlo como las tres doceavas partes. Este fue uno de los varios contextos en los que hemos encontrado la presencia de

subparticiones líneas para ser una distracción para el entendimiento lógico-matemático de los niños de los conceptos de números racionales.

Las respuestas de los niños a las preguntas en este contexto revelan distintos grados de flexibilidad en el pensamiento sobre fracciones. Niños determinar fácilmente que tomaría 4 piezas como b para cubrir el círculo y concluyeron b ser una cuarta parte de la totalidad. Los niños también extrapoladas más allá de los límites de cde para determinar que se necesitarían 12 partes como c, d, o correo para cubrir todo el círculo. Los niños hicieron esto de varias maneras; el más común fue la iteración cde para contar el número total de piezas en general, y nombrar c, d, y e cada uno como un doceavo.

Los problemas surgieron cuando se preguntó a los estudiantes a dar más de un nombre a cualquiera de b o cde. Algunas partes de una secuencia de la entrevista con un estudiante de cuarto grado indican la naturaleza general de estas dificultades.

I: b Es lo fracción del conjunto?

S: Un cuarto. . . [¿Por qué?] . . . Bueno, esto, [b] es tan grande y me midió con mis ojos sobre ese gran nuevo y luego todo el camino alrededor.

I: cde juntos es lo que la fracción de la totalidad?

S: Un cuarto. . . [Explique]. . . Bueno, si usted tomó todos ellos [cd y e] sería una cuarta parte, ya que es tan grande como el que [b].

I: ¿Hay otra manera me puede decir qué fracción de este [b] es del todo?

S: Yo no lo creo.

S: [Como I apunta a c, d, y e, a su vez] Una doceava, una doceava, una doceava.

I: Entonces, ¿qué fracción es esto [cde] en total?

S: Un cuarto.

I: Ahora cuente conmigo.

S: Uno-XII, de dos doceavas partes, las tres doceavas partes.

Yo. Entonces, ¿qué fracción es la de todo el círculo?

S: Uno-XII. . . ¡Oh! Manténgalo. . . un cuarto.

I: Ahora cuento conmigo otra vez [señalando a su vez a la c, d, y e]

S: Uno-XII, de dos doceavas partes, las tres doceavas partes.

I: Ahora, ¿cómo puedo decir otro nombre además de una cuarta parte de todo esto [cde]? S: Un cuarto, y dos cuartos, tres cuartas partes [contando señalando al mismo

tiempo e, d, y c]

I: A ver, ¿qué era esto [e] de nuevo?

S: Uno doceavos, y dos doceavas partes, las tres doceavas partes [mientras que los puntos I al ae, d, y c].

I: ¿Cómo puedo describir todo el asunto?

S: Tres doceavos. . . porque hay tres doceavas partes, por lo que podemos llamar las tres doceavas partes.

I: ¿Hay otro nombre para este [b]?

S: No.

I: ¿Qué has dicho sobre este [cde] comparado con esto [b]. . . y ¿qué se llama a este [cde]?

S: Tres doceavos.

Yo: Si son del mismo tamaño [cde y b] y esto [cde] es [S dice tres doceavas] entonces ¿cuál es otro nombre para este [b]?

S: Tres doceavos.

Yo: me explique.

S: Bueno estos son del mismo tamaño [cada uno de c, d, y e] y esto [b] y esto [cde] son del mismo tamaño para que pueda llamar a esto [b] las tres doceavas partes, si se corta de cada tres piezas [énfasis añadido].

Tenga en cuenta que a pesar de que el estudiante muestra una mayor flexibilidad en esta secuencia, que aún no es capaz de etiquetar la pieza con dos nombres a la vez.

Parece haber cierta rigidez que parece conducir a la confusión como se evidencia cuando el sujeto cuenta por error cde como "un cuarto, dos cuartos, tres cuartas partes." A menudo se ha observado en el transcurso del experimento enseñanza de que cuando los niños tienen dificultad con un nuevo concepto, habilidad con las tareas ya aprendidas veces se deteriora temporalmente. Identificación de las doceavas partes se consideró rutina para este tema, pero de doble etiquetado de las fracciones fue algo novedoso. Aunque el tema hizo finalmente resolver la discrepancia, era evidente que se necesitaba alguna instrucción adicional.

Los resultados de ocho de tales entrevistas sugieren una tendencia en el desarrollo de la capacidad de identificar las partes fraccionarias desde múltiples perspectivas. Por un lado los niños fueron capaces de etiquetar b y cde con una sola etiqueta única, centrado tanto en el tamaño de las partes (b = 1.4, cde = 1.4) o las líneas de partición (b = 1.4, cde = 3/12). A un nivel de transición, los sujetos mostraron aumento de la flexibilidad

con respecto a una sola región. Por ejemplo, algunos sujetos primero reconocieron que las líneas divisorias potencialmente se pueden extraer en b. Por lo tanto, b podría ser nombrado ya sea de un cuarto o tres doceavos (pero no ambos al mismo tiempo). Ellos persistieron en el nombramiento región cde tres doceavas partes porque las líneas divisorias ya se habían dibujado. Otros sujetos dijeron que cde podría llamarse una cuarta si se eliminaran las líneas divisorias, pero sostuvieron que b debe tener el nombre de un solo cuarto. En el último nivel, la flexibilidad de los sujetos aumentó hasta el punto en que podían etiquetar ambas regiones, ya sea con nombre.

Tareas de realización discretos

Cuando un objeto continuo, tal como una hoja de papel, se divide en n partes de igual tamaño, cada parte es también una sola pieza continua. Cuando se utiliza un conjunto de objetos discretos como una unidad, partición de la unidad en n partes de igual tamaño con frecuencia resulta en subconjuntos, cada uno con varios objetos. Esta característica de la realización conjunto discreto obliga a una extensión de parte-todo esquema racional-serie del niño.

Para investigar la fuerza de pensamiento lógico-matemático de los niños sobre número racional en el contexto de realizaciones separadas, se desarrollaron varias tareas que implican distractores perceptuales. El distractor se ha creado mediante la transformación de la disposición de los objetos en la unidad inicial fijar de "constante" a "incompatibles".

Tarea 1 implicó una presentación inicial de 6 clips de papel dispuestas como !!! !!! y transformado a !! !! !!; Tarea 2 implicó una presentación inicial de 10 clips de papel dispuestas como !!!!! !!!!! y transformado a !!! !!!! !!!. Para cada parte de cada tarea, el sujeto se le pidió que producir un conjunto de clips de papel en número igual al de tres mitades el número de clips en el conjunto de estímulos. Tarea 3 implicó un conjunto de 12 clips de papel; para la presentación inicial que estaban dispuestos en 3 grupos de 4 como !!!! !!!! !!!! y transformada a 2 grupos de 6 como!!!!!! !!!!!!. El problema para el sujeto en cada caso en la Tarea 3 era presentar un conjunto de clips igualan en número a cinco tercios el número de clips en el conjunto de estímulos.

En la entrevista final del experimento de enseñanza, los niños se les dio dos tareas, cada una de las cuales incluía una unidad de seis fichas de recuento. La unidad fue presentada por primera vez en una fila: ••••••; a continuación, mientras los niños observan, el conjunto se transformó en •• •• ••; por último, de nuevo mientras los niños observan, el conjunto se transformó en 2 grupos de 3 como ••• •••. Para la primera de estas tareas (Tarea 4) se le preguntó el niño, después de la presentación inicial, y después de cada transformación, para mostrar un conjunto de fichas iguales en número a dos tercios del conjunto de estímulos; en la Tarea 5,

se le preguntó al niño a mostrar tres mitades del conjunto de estímulos.

Para cada una de las tareas, se pidió a algunas de las preguntas principales, si el niño no logró inicialmente a mostrar la fracción solicitada de lo dispuesto consistentemente establecido; el propósito era determinar si el niño conserva el aspecto cuantitativo de la fracción a pesar de la distracción provocada por la transformación del conjunto a un acuerdo inconsistente. Por ejemplo, si un niño tenía dificultades en mostrar tres mitades de !!! !!!, Se sugirió que el niño muestre la mitad, y dos mitades, y por último tres mitades. Los niños eran invariablemente éxito después de esta intervención. Por lo tanto, el interés de este conjunto de respuestas sujeto está en la disparidad, cuando existe, entre el rendimiento de los sujetos en la tarea, en ausencia de un acuerdo de distracción (consistente) en comparación con el rendimiento en la presencia de un arreglo de distracción (inconsistente) .

El desempeño exitoso para la segunda parte de las tres primeras tareas se caracterizó por regresar a la disposición constante y la repetición de la solución correcta anterior. Dos sujetos lograron de inmediato; otros dos mejoraron durante el transcurso de la entrevista y fueron finalmente éxito. Los cuatro de estos temas ha comentado el hecho de que el traslado de los objetos no cambió el problema. En Tareas 4 y 5 de estos niños no tenían problemas para la transformación de cada pantalla, en un acuerdo coherente y resolver correctamente.

El error más común en las tareas 1 y 2 para los cuatro temas mencionados anteriormente, y en la tarea 3, así, para los dos sujetos restantes fueron del tipo siguiente: Durante tres mitades !! !! !!, La solución era !! !! !!, Con el sujeto nombrando cada par de clips con un medio, y dos mitades, y tres mitades. Un segundo error común el resultado de confundir el numerador de la fracción solicitada con el número de objetos en cada juego. Por ejemplo, para cinco tercios de !!!!! !!!!!, Dos sujetos mostraron cinco series de cinco clips. Un niño los llamó "una quinta, dos quintas partes, las tres quintas partes, cuatro quintas partes, cinco quintos;" el otro niño dijo que "un tercio, dos tercios, tres tercios, cuatro tercios, cinco tercios." Los arreglos inconsistentes para Tareas 4 y 5 suscitó los mismos tipos de errores de sujetos sin éxito.

Es posible que la similitud entre los números utilizados en la fracción y los números que describen la disposición del estímulo visual presentada puede haber causado dificultades para muchos estudiantes. Por ejemplo, algunos niños tenían más problemas con el problema "Encuentra las tres mitades de •• •• ••" de lo que hizo con el problema "Encuentra cinco tercios de oooooo oooooo". Es posible que la dificultad en el primer problema implicó la similitud numérica entre la fracción (3/2) y la disposición de los chips presentado (3 grupos de 2). Esta similitud aparentemente abrumado algunos estudiantes, haciendo que abandonar su proceso de solución habitual a favor de un proceso lógico. Por ejemplo, algunos estudiantes dijeron que la respuesta al problema "Encuentra las

tres mitades de oo oo oo" fue oo oo oo. Algunos de estos mismos estudiantes, sin embargo, correctamente afirmó que cinco tercios de •••••• •••••• era 20 fichas, y no 5 grupos de 3 como su estrategia anterior podría haber sugerido.

Tareas Número de línea

Uno de los subconstructs de números racionales que Kieren (1976) identificado es el subconstruct medida, para los que está implicada alguna unidad de medida, así como la subdivisión de unidades en componentes más pequeños. La medida (número) asociado a un objeto es entonces el número de unidades o subunidades que mide "igual" al objeto. Una realización concreta común de la subconstruct medida del número racional es la recta numérica. En este contexto, una unidad está representada por una longitud, en contraste con la subconstruct parte-todo en que la unidad es muy a menudo un área o un conjunto de objetos discretos.

Algunas investigaciones (por ejemplo, Novillis-Larson, 1980) indica que los niños todavía en séptimo grado tienen dificultades para interpretar la unidad en la recta numérica. Otra variable que se ha encontrado para causar hijos dificultad era si las subdivisiones de la unidad eran iguales en número al denominador de la fracción en cuestión.

Se investigó la capacidad de cuarto y quinto grado de los niños a lidiar con situaciones racional de números en una recta numérica para los que el número de subunidades de cada unidad era, con respecto a la fracción en cuestión, igual que el denominador, la mitad del denominador , dos veces el denominador, o ni un divisor ni múltiplo del denominador.

De acuerdo con la definición de las señales perceptivas se utilizan en este capítulo, los problemas de número de línea o bien representados señales perceptivas completas, incompletas, irrelevantes o inconsistentes.

Los tipos de problemas de número de línea que se describen aquí son (a) localizar el punto en la recta numérica que corresponde a un número racional dado; y (b) el uso de la recta numérica para generar una fracción equivalente a una fracción dada, o el uso de la línea de números para justificar respuestas dadas en abstracto. Nuestros resultados fueron similares a los reportados por Novillis-Larson:

1. Los niños difieren en la forma en que identifican la unidad en la recta numérica.

2. Problemas en la que las subdivisiones de la unidad no igualan el denominador de la fracción eran más difíciles de resolver que había problemas en los que subdivisiones igualaron el denominador.

3. Problemas con distractores perceptuales (señales inconsistentes) eran más difíciles de resolver que había problemas en que las subdivisiones de la unidad eran factores o múltiplos del

denominador o la fracción (señales incompletas o señales irrelevantes).

En la serie de tareas de número de línea, con las señales que van desde completa a inconsistente, dado a dos grupos de estudiantes de cuarto grado (N = 11) después de la instrucción, encontramos diferencias en los niveles de éxito, las estrategias utilizadas para resolver los problemas, y las cantidades de asistencia necesarios para llegar a una solución. Varias de las tareas y los resultados obtenidos de las entrevistas se analizan posteriormente.

Todos los 11 niños fueron capaces de localizar 2/3 en una recta numérica de 4 unidades de largo en el que cada unidad se dividió en tres partes. Ellos también tuvieron éxito con un problema similar usando fracciones mayores que uno.

El problema relacionado con las señales inconsistentes requiere a los sujetos para localizar 2.4 en una recta numérica de 4 unidades de largo en el que cada unidad se dividió en tres partes. Sólo cuatro sujetos resolvieron este problema fácilmente. Las estrategias exitosas eran ignorar las marcas de terceras partes y dibujar en cuartos o para simplificar 02.04 a 01.02 y localizar media a medio camino entre cero y uno. Otro tema fue capaz de responder correctamente después de que nos dijeron ignorar los de un tercio de las marcas.

Un sujeto situado 02.04 en el punto 2.3, se dio cuenta de su error, pero no pudo corregirlo. Tres sujetos cambiaron la longitud de la unidad: uno situado en 2 cuartos 2, el cambio de la unidad a 4, mientras que los otros 2 cuartos situados en 2/3 indicando que habían cambiado la unidad a 1 1/3.

Una regla externa en la que un cuarto se aproximó fue desarrollado por un sujeto que luego midió su longitud estimada cuarto dos veces para localizar 2.4. El sujeto restante apretó un punto de partición adicional entre 0 y 1/3, 2/4 entonces situado en el segundo de los cuatro puntos de partición (en realidad en 1/3).

La segunda tarea número de línea involucrado fracciones equivalentes. Se les pidió que usar la línea numérica para encontrar 5/3 = [] / 12 en una recta numérica 4 unidades de largo, dividido en tres partes. Los estudiantes no tenían problemas para localizar 5/3 en la recta numérica; doceavas identifican hicieron presentar un problema.

Cuatro de los nueve estudiantes de cuarto grado resuelto el problema sin necesidad de utilizar la recta numérica. Observaron que 3 x 4 = 12, 5 x 4 = 20, por lo que 3/5 = 20/12. Tres de estos temas a continuación, utiliza la recta numérica para verificar la solución. El cuarto tema no podía conciliar con éxito su resultado simbólica correcta con los intentos de subdividir la recta numérica en doceavos.

Cuatro sujetos realmente intentaron resolver el problema con la recta numérica, sin encontrar primero el resultado simbólicamente. Uno dividido con éxito cada tercio de 1 a 2 en cuatro partes iguales para obtener doceavos, después se contaron 20/12 sin dividir el segmento de cero a uno. Un niño fue capaz de completar la solución después de que el entrevistador divide la recta numérica en doceavos y destacó los tercios. Los otros dos sujetos divididos cada tercio a la mitad, y luego etiquetados 5/6 y 10/6 como 10/12 y 20/12, respectivamente. El sujeto restante no pudo obtener una respuesta al problema.

Estos resultados ilustran el hecho de que, frente a una representación que no es inmediatamente útil en la solución de la tarea requerida, un número de niños prefieren traducir el problema en un modo diferente de la representación. En este caso, la representación numérica de línea pictórica no incluía marcas para las doceavas partes requeridas; cuatro de los nueve sujetos resolvió el problema utilizando una representación simbólica. Una preferencia similar para representaciones simbólicas es reportado por Lesh, Landau, y Hamilton (Capítulo 9, este volumen) para la solución de problemas que se presentan en el contexto de los modos del mundo real y manipuladora auxilios.

Discusión

Distractores perceptuales representan una clase de condiciones de instrucción que hacen algunos tipos de problemas más difíciles para los niños para resolver. El conocimiento de su impacto será útil en el diseño de secuencias de enseñanza más eficaces para los niños. Parece razonable sugerir que los ejemplos iniciales podrían darse en el que el impacto potencial de los distractores de percepción se reduce al mínimo, pero que los ejemplos posteriores debería provocar deliberadamente a los niños a resolver los conflictos que surgen en asociación con distractores perceptivas.

Aunque el rendimiento con números racionales se ve afectada por la presencia de distractores, los niños pueden aprender a superar su influencia. Por otra parte, las estrategias generadas por los niños para superar estos distractores conducen a conceptos racionales de números más estables.

Nuestra investigación plantea preguntas acerca de la naturaleza de un papel adecuado para distractores perceptivas y otros en el proceso de aprendizaje. Distractores que los problemas de los niños causadas inicialmente no les afectan más tarde, cuando el concepto se había convertido interiorizado. Cuando un elemento de distracción es, junto con la introducción de un nuevo subconcepto, la situación resultante está contaminado con señales innecesarias e irrelevantes y causa dificultad para el niño. Creemos que el proceso de desarrollo de conceptos nuevos o ampliados requiere el estudiante para identificar las variables relevantes e irrelevantes y para ver las condiciones de problemas de manera más

crítica. Esto es, de hecho, el proceso de discriminar lo que es y lo que no es relevante para el concepto en cuestión. Esta discriminación se refiere continuamente en la literatura la formación de conceptos como un componente integral de lo que se entiende por "conocer un concepto."

Direcciones para futuras investigaciones

El refinamiento de los modelos teóricos

En esta sección se ofrece un breve análisis de tres grandes áreas de interés de investigación que se han identificado en el trabajo del Proyecto Número Racional. Un interés es la cuestión de si énfasis en el lenguaje oral puede servir un papel intermediario facilitando a cerrar la aparentemente gran brecha entre la capacidad del alumno para representar ideas matemáticas con ayudas de manipulación y la capacidad de representar las mismas ideas de simbolismo matemático. Una segunda cuestión se refiere a la forma en ayudas manipuladora podría ser utilizado para facilitar la capacidad del alumno para desarrollar modelos matemáticos apropiados para situaciones de problemas del mundo real. Estas cuestiones implican refinación dos tríadas del modelo teórico representado en la Figura 4.3. El primer número incluye las ayudas orales de manipulación del lenguaje escrito símbolos tríada; el segundo consiste en la tríada de símbolos-escrita ayudas reales problemas de manipulación.

La tercera área amplia de las preocupaciones de interés que subconstruct del número racional podría mejor servir de subconstruct fundamental para el desarrollo de la fracción conceptos iniciales en los niños. La importancia de las fracciones de la unidad (de la forma 1 / n) se discute en este contexto.

El papel de lenguaje oral en la facilitación de Matemáticas Aprendizaje

¿Cómo es que los alumnos hacen una conexión significativa entre una idea matemática representado con las ayudas de manipulación de hormigón y el simbolismo matemático adecuado para esa idea? Behr (1977) indicó que la brecha entre la capacidad de los niños para representar ideas matemáticas en estos dos modos es mucho mayor que generalmente percibido y que el esquema mental necesaria para salvar esto son aparentemente mucho más complejo de lo esperado. Hay una evidente necesidad de la investigación, a través de experimentos de enseñanza, para investigar situaciones de enseñanza con los objetivos de (un) la obtención de conocimientos sobre el origen de la dificultad de los niños, y (b) proporcionar experiencia para ayudar a los niños a superar la dificultad.

El problema de aprendizaje del simbolismo matemático de los niños no ha

pasado totalmente desapercibido en la investigación en educación matemática. Tres estudios (Coxford, 1965; Hamrick, 1978; Pinchback, 1970) se han ocupado de la cuestión. De particular interés es criterio de la disposición de Hamrick de simbolismo: la capacidad de un sujeto para expresar verbalmente la sentencia matemática de preocupación. Ella encontró que los niños que cumplieron con este criterio superaron a otros niños en su prueba de la suma simbólica y la resta. Ellerbruch y Payne (1978) informaron que los niños que, en primer lugar, dicen en voz alta la fracción representada por una pantalla, y luego transcribir el sonido oral, tres quintas partes, por ejemplo, antes de ir a la forma simbólica de 3/5, rara vez hacer que la común error de inversión de escribir 5/3.

Dos observaciones de nuestro oso trabajo actual sobre la cuestión:

1. Un niño que tiene dificultad para escribir "números mixtos" que se correspondan con una pantalla fracción se pidió a cada momento de decir oralmente la fracción se muestra, y luego escribir lo que dijo. Las repeticiones de este, junto con una instrucción siempre dicen la fracción a sí mismo antes de escribirla, aliviado el problema.

2. Muchas veces notamos cuando los niños están haciendo hojas de trabajo donde se utilizan ya sea imágenes o manipulativos, que simultáneamente vocalizan o subvocalizar la fracción representada ante escribirla. Cuando se le preguntó para mostrar y escribir una fracción utilizando nuestro modelo de piezas de colores, un sujeto se observó primero en colocar las piezas hacia abajo y luego por vía oral a contarlos antes de escribir la fracción.

El papel de Manipulador Sida en Desarrollo Problema Modelado

Las investigaciones anteriores indica que la instrucción utilizando ayudas de manipulación es al menos tan eficaz, pero tal vez menos eficiente, que otras formas de instrucción. Desafortunadamente, los resultados de aprendizaje que han sido evaluados por lo general se han limitado a la educación o la retención a corto plazo inicial. Menos atención se ha prestado a la transferibilidad y la utilidad del aprendizaje en bienes situaciones-precisamente lo que el aprendizaje a partir de materiales de concreto se podría esperar para facilitar la resolución de problemas.

Sin investigar es el papel que los materiales manipulativos juegan en el modelado de situaciones de problemas del mundo real, que requieren ambos (un) una traducción de la situación del mundo real al reino de las matemáticas y (b) una representación de la situación del mundo real con el simbolismo matemático y supuestos. Ayudas de manipulación son un intermediario entre el mundo real de las situaciones problemáticas y el mundo de las ideas abstractas y símbolos escritos. Son símbolos, en que pueden ser usados para representar varias situaciones del mundo real diferentes, y son de hormigón, ya que implican materiales reales. Una ayuda de manipulación, tales como fichas de póquer, puede modelar

fácilmente ciertos problemas del mundo real. Por ejemplo, considere el problema:

7.5 de un grupo de niños que recibirán un premio. Hay 35 niños. ¿Cuántas recibirá un premio?

Si se utilizan chips de conteo para representar personas, entonces la situación del problema se modela fácilmente y la respuesta determinada. Si los niños han tenido experiencia previa asociar la frase 5.7 X 35 = [] con la demostración de chip, entonces el hecho de que la misma frase matemática es un modelo para la situación del problema es más fácil de ver. Experiencias de este tipo pueden ayudar a un niño a moverse gradualmente de un modelo de manipulación de la situación del problema a un modelo simbólico.

Las preguntas de investigación de interés preocupación si los niños son capaces de mostrar un modelo a través de una ayuda de manipulador para una situación problema del mundo real, y si son o no son capaces de resolver el problema. También de interés son las cuestiones relativas a la capacidad de los niños, siguiendo el modelado de experiencias como las sugeridas anteriormente, para relacionar enunciados matemáticos simbólicos a los modelos ya las situaciones del mundo real.

La importancia de la Unidad Fracción Enfoque en Aprendizaje Racional-Número

Materiales curriculares que actualmente se utilizan en las escuelas a desarrollar el concepto racional número predominantemente del subconstruct parte-todo. La cuestión de qué subconstruct debe desempeñar un papel central en el desarrollo de la base concepto racional-número y en el desarrollo de los básicos conceptos subyacentes relaciones racionales de números y operaciones está abierto a la investigación empírica. Una hebra de los datos resultantes de los experimentos de enseñanza lleva sobre esta cuestión.

Desarrollo de la hebra de datos se refiere a los niños de una noción cuantitativa del número racional. (Por noción cuantitativa del número racional se entiende la capacidad de los niños para demostrar el tamaño de los números racionales.) Nuestras observaciones sugieren que esta noción es fundamental en el desarrollo de conceptos racionales de números, relaciones y operaciones de los niños. Aparentemente subyace capacidad de los niños para ordenar números racionales, para internalizar el concepto de fracciones equivalentes, y para tener una comprensión significativa de la suma y la multiplicación de fracciones. ¿Qué significado tiene la adición de 3.8 y 8.4 para tener un niño sin una noción interiorizada de la "grandeza" de cada sumando y la suma?

Aunque la importancia histórica y cognitivo de fracciones de unidad ha sido reconocido (Gunderson y Gunderson, 1957; Kieren, 1976), las

materias del plan de estudios no explotan este concepto en el desarrollo de conceptos racionales de números. Una hipótesis importante que surgió de nuestro trabajo actual es que los niños a desarrollar una noción cuantitativa más fuerte de los números racionales cuando el desarrollo de los conceptos básicos de números racionales surge de iteración de fracciones unitarias. En este contexto, las fracciones nonunit desarrollarían a través de recuento o la adición de fracciones unitarias relacionados (es decir, 3/4 es 1/4 y 1/4 y 1/4, en lugar de 3 de 4 partes). La adición, 8.3 + 4.8, podría ser procesado como 8.3, 4.8, 8.5, 8.6, 8.7, contando fracciones unitarias.

Algunas observaciones de nuestro trabajo actual dar credibilidad a esta hipótesis: Los niños no han tenido dificultad para hacer problemas de sumas simbólicas, tales como 3/7 + 4/7 cuando el énfasis de instrucciones contando séptimos en una pantalla manipuladora. La progresión de las fracciones de menos de uno a fracciones mayores que uno también se ve facilitada. De igual manera los niños que interpretan erróneamente

como 7/8 en lugar de 7/4 son ayudados cuando se hace hincapié en la identificación de la fracción representada por una parte (1/4) y luego contar el número de cuartos de sombra.

Otros Temas críticos en Racional-Número Investigación

Las preguntas de cómo y por qué las ayudas de manipulación facilitar el aprendizaje de las ideas matemáticas para niños no ha sido tratado adecuadamente por la investigación. Presentamos aquí algunas observaciones sobre el uso de ayudas manipuladoras como hipótesis para una mayor investigación.

1. ¿Qué ayudas manipulador debe usarse para enseñar qué conceptos, y en qué orden deberían ser introducidos? Ayudas de manipulación que se utilizan deben diferir entre sí en características perceptivas y en la forma matemática encarnan el concepto. Hemos observado que cuando los niños se enfrentan a la representación de un concepto tenuemente familiar en el contexto de un nuevo manipulador (que difiere de una manera no trivial de sus predecesores) se ven obligados a repensar el concepto. Así, mientras que la representación de un concepto con una primera ayuda manipuladora puede caracterizarse como una interpretación de abajo hacia arriba (es decir, el manipulador ofrece una

interpretación del concepto de niño), representaciones de manipulación posteriores proporcionan al niño una oportunidad para un láminas superior por la interpretación (es decir, el niño utiliza el concepto de interpretar cómo el manipulador representa el concepto). Parece probable que se trata de una serie de tales interpretaciones de arriba hacia abajo que prevé la generalización matemática y la abstracción del concepto (Dienes, 1967).

2. Los niños primero aprenden a representar ideas matemáticas con un primer manipulador por imitación de la demostración del maestro. Manipulativos posteriores se introdujeron en una de dos maneras: (a) el maestro demuestra con la ayuda familiar y estudiantes utilizan la nueva ayuda para interpretar la demostración del profesor, o (b) el maestro demuestra con la nueva ayuda y los estudiantes a interpretar con el familiarizados .

3. Contrariamente a la opinión predominante entre los educadores matemáticos, hemos aprendido que una "buena" ayuda manipuladora es aquella que provoca un poco de confusión. El desequilibrio cognitivo resultante conduce a un mayor aprendizaje.

4. Hemos ganado una visión de qué tipo de tareas de números racionales niños pueden aprender. Podríamos argumentar que necesita más atención que debe darse ciertos conceptos fundamentales racional de números en los grados anteriores. En particular, los niños deben tener experiencias en la partición de actividades antes de Grado 3. A través de la utilización de materiales de manipulación apropiados, los niños deben comenzar a observar la relación de compensación entre el tamaño y el número de partes en que está dividida en su conjunto.

Agradecimientos

Nuestro más sincero agradecimiento a las siguientes personas que nos ayudaron durante esta investigación: Nik Nik Pa Azis, Nadine Bezuk, Diane Briars, Kathleen Cramer, Issa Feghali, Eric Hamilton, Cheri Hoy, Leigh McKinlay. Marsha Landau, Roberta Oblak, María Patricia Roberts, Robert Rycek, Constance Sherman, y Juanita Squire. También estamos en deuda con Nadine Bezuk, Kathleen Cramer, Marsha Landau, María Patricia Roberts, Robert Rycek, y Juanita Escudero por su ayuda en la preparación de este manuscrito.

Referencia Nota

1. Behr. M., Post. T., y Lesh R. Construir análisis, ayudas de manipulación, sistemas de representación, y el aprendizaje de los números racionales. NSF Propuesta RISE, 1981.

Referencias

Behr. M. Los efectos de manipulativos en el aprendizaje de alumnos de segundo grado 'de las matemáticas (Vol. 1). PMDC Informe Técnico N ° 11, Tallahassee, FL: PMDC de 1977.

Bruner, JS El crecimiento cognitivo. En JS Bruner, RR Oliver, y PM Greenfield (Eds.). Los estudios realizados en el desarrollo cognitivo. Nueva York: Wiley, 1966.

Carpenter, RP, Coburn, TG, Reys, RE, y Wilson, JW Notas de evaluación nacional:. La suma y la multiplicación de fracciones Aritmética Maestro, 1976, 23 (2), 137-141.

Carpenter, T., Coburn, TG, Reys, RE, y Wilson, JW resultados constituyen la primera evaluación de matemáticas de la Evaluación Nacional del Progreso Educativo. Reston, Virginia: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de 1978.

Carpintero. TP, Corbitt. MK, Kepner. HS, Jr., Lindquist. M., y Reys. R evaluación E. Nacional: Estudio prospectivo de dominio de las competencias básicas de los estudiantes. . En M. Lindquist (Ed) cuestiones Seleccionado en la educación matemática. Berkeley, California: McCutchan. 1.980.

Coburn. TG, Beardsley. LM, & Payne. JN Michigan programa de evaluación educativa. Informe Interpretativo Matemáticas. 1973, los grados 4 y 7 pruebas. Directrices para las matemáticas de calidad de enseñanza serie de monografías, No.7. Birmingham, Michigan: Michigan Consejo de Maestros de Matemáticas de 1975.

Coxford, AF Los efectos de dos métodos de enseñanza en el aprendizaje de los conceptos de suma y resta en el primer grado. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Michigan. 1965

Dienes. ZP edificio hasta las matemáticas (Rev. ed.). Londres: Hutchinson Edueational, 1967.

Ellerbruch. LW, & Payne. JN Una secuencia didáctica para los conceptos de fracciones iniciales a través de la adición de las fracciones diferencia. En M. Suydam (Ed.), El desarrollo de habilidades computacionales. Descansa en. Virginia: Consejo Nacional de Profesores de Mathematics.1978.

Fennema. EH Modelos y matemáticas. Aritmética Teache r, 1972. 19, 635-640.

Gagne, RM, y blanco, las estructuras de memoria RT y resultados de

aprendizaje. Review of Educational Research, 1978, 48, 187-222.

Ganson, RE, y Kieren, T. operador y la relación de pensamiento estructuras con números racionales - Una exploración teórica y empírica. El Alberta Journal of Educational Research, 1980, en prensa.

Gerling. M., y Madera. S. Revisión de la literatura: La investigación sobre el uso de manipulativos en aprendizaje de las matemáticas (PMDC Informe Técnico N ° 13). Tallahassee, Florida: Florida State University. 1976.

Gunderson, AG & Gunderson, conceptos de fracciones E. en poder de los niños pequeños. Profesor aritmética. 1957, 4 (4), 168-174.

Hamrick. AK Una investigación de factores de lenguaje oral en la lectura de la simbolización por escrito de la suma y la resta. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Georgia. 1976.

Hawkins. P. Una aproximación a la política de la educación científica. Documento de antecedentes para un programa de investigación en educación matemática y científica. Washington, National Science Foundation DC .:. 1.979.

Hiebert. J., y Tonnessen, LH Desarrollo del concepto de fracción en dos contextos físicos:. Una investigación exploratoria Diario de Investigación en Educación Matemática de 1975, 9 (5), 374 a 378

Karplus, R., Karplus, E., Formisano, M., y Paulsen, AC razonamiento y control de variables en siete países proporcional. En J. Lochhead & J. Clements (Eds.), Instrucción de proceso cognitivo. Philadelphia, Pennsylvania: Franklin Instituto de Prensa de 1979.

Karplus, R., Karplus, EF, y Wollman, W. El desarrollo intelectual más allá de la escuela primaria: Relación, la influencia del estilo cognitivo (Vol. 4). Ciencia Escuela y Matemáticas, 1974, 76 (6). 476-482.

Karplus, R., Pulos, S., y escenarios. EK razonamiento proporcional de los jóvenes adolescentes. Ponencia presentada en la reunión de la Cuarta Conferencia Anual MERGA. Hobart, Australia. Mayo 1980.

Kieren, TE actividad de aprendizaje. Revisión de Edu8cational Investigación. 1969, 39, 509 a 522.

Kieren, TE En los fundamentos matemáticos, cognitivos y de instrucción de los números racionales. En R. Lesh (Ed.), Número y medida: Documentos de un taller de investigación. Columbus, Ohio: ERIC / SMEAC, 1976.

Kieren, TE cinco caras de la construcción del conocimiento matemático.

Edmonton: Departamento de Educación Secundaria de la Universidad de Alberta, 1981.

Kieren, TE, y Nelson, D. La construcción operador de números racionales en la infancia y la adolescencia -. Un estudio exploratorio El Alberta Journal of Educational Research, 1978, 24 (1).

Kieren, TE, y Southwell, B. Los números racionales como operadores:. El desarrollo de esta construcción en niños y adolescentes Alberta Journal of Educational Research, 1979, 25 (4), 234 a 247.

Klahr, D., y Siegler, RS Las representaciones de conocimiento de los niños. Avances en el Desarrollo del Niño y el Comportamiento, 1978, 12, 62-116.

Kurtz, B., y Karplus, R. El desarrollo intelectual más allá de la escuela primaria: Enseñanza para el razonamiento proporcional (Vol. 7). Ciencia Escuela y Matemáticas, 1979, 79 (5), 387-398.

Lankford, FG, Jr. Algunas estrategias computacionales de los alumnos de séptimo grado. EEUU Oficina de Educación, Proyecto Nº 2-C-013. Washington, DC: Imprenta del Gobierno, 1972.

Lesh, R. Matemática dificultades de aprendizaje: Consideraciones para la identificación, diagnóstico y remediación. En R. Lesh, D. Mierkiewicz, y MG Kantowski (Eds.), Applied resolución de problemas matemáticos. Columbus, Ohio: ERIC / SMEAC, 1979.

Lesh, R., & Hamilton, E. El número racional Programa de Pruebas de Proyecto. Documento presentado en la Reunión de la Asociación Americana de Investigación Educativa Anual, Los Ángeles, California, abril de 1981.

Lesh, r., Landau, M., & Hamilton, E. Ideas número racional y el papel de los sistemas de representación. En R. Karplus (Ed.), Actas de la IV Conferencia Internacional de la Psicología de la Educación Matemática. Berkeley, California: Lawrence Hall of Science, 1980.

Noelting, G. El desarrollo del razonamiento proporcional en el niño y adolescente a través de la combinación de la lógica y la aritmética. En E. Cohors-Fresenborg + i Wacksmuth (Eds.), Actas de la Segunda Conferencia Internacional de la Psicología de la Educación Matemática. Osnabrück, Alemania Occidental: Universidad de Osnabrück, 1978.

Noelting, G. El desarrollo del razonamiento proporcional y el concepto de relación (el experimento de jugo de naranja). Escuela de Psicología Universite Labal, Quebec, noviembre de 1979.

Novillis, C. Un análisis del concepto de fracción en una jerarquía de

subconceptos seleccionadas y la comprobación de las dependencias de jerarquía. Diario de Investigación en Educación Matemática de 1976, 7, 131-144.

Novillis-Larson, C. Localización de fracciones propias. Ciencia Escuela y Matemáticas, 1980, 53 (5), 423 a 428.

Owens, Estudio DT de la relación del área de concepto y de aprendizaje conceptos por los niños en los grados tres y cuatro. En TE Kieren (Ed.), La investigación reciente sobre los conceptos numéricos. Columbus, Ohio: ERIC / SMEAC de 1980.

Piaget, J., Inhelder, B., y Szeminska, A. concepción de la geometría del niño. Nueva York: Basic Books, 1960.

Pinchback, Carolyn L. Relacionar Simbolismo de los conceptos matemáticos de 10-11 años de edad. Inédito Disertación Doctoral. Universidad de Texas en Austin, 1978.

Polkinghorne, los niños AR jóvenes y fracciones. Educación Infantil, 1935, 11, 354-358.

Publicar, TR, y Reys, RE abstracción, generalización, y el diseño de experiencias matemáticas para niños. En K. Fuson y W. Geeslin (Eds.), Modelos de aprendizaje de las matemáticas. Columbus, Ohio: ERIC / SMEAC, 1979.

Rappaport, D. El significado de las fracciones. Ciencia Escuela y Matemáticas. 1962, 62, doscientos cuarenta y un hasta doscientos cuarenta y cuatro.

Riess, AP Un nuevo enfoque de la enseñanza de las fracciones en los grados intermedios. Ciencia Escuela y Matemáticas, 1964, 54, 111-119.

Sambo, Abdussalami, A. efectos de transferencia de conceptos de medida en el aprendizaje de los números fraccionarios. Tesis doctoral, Universidad de Alberta, 1980.

Escuela de Matemáticas Grupo de Estudio. En James W. Wilson, Leonard S. Cohen, y Edward G. Begle (Eds.), Descripción y propiedades estadísticas de las escalas X en la población. Estudio Longitudinal Nacional de Habilidades Matemáticas Informes: No. 4 de Stanford, California: La Junta de Síndicos de la Universidad de Stanford Júnior Leland, 1968.

Suydam, MN, y Higgins, JL aprendizaje basado en la actividad en la matemática de la escuela primaria: Las recomendaciones de la investigación. Columbus, Ohio: ERIC / SMEAC, 1977.

Tulving, E. episódica y la memoria semántica. En E. Tulving (Ed.), Organización de la memoria. Nueva York: Academic Press, 1972.

Usiskin, ZP El futuro de las fracciones. La aritmética Maestro, 1979, 26, 18-20.

Vygotsky, LS mente en la sociedad. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1976.

* Esta investigación fue financiada en parte por la National Science Foundation con la subvención No. SED 79 a 20.591. Las opiniones, resultados o conclusiones expresadas en este informe son las de los autores y no reflejan necesariamente los puntos de vista de la National Science Foundation. **Estos son presupuestos por una variedad de situaciones de resolución de problemas y se toman a menudo para ser "fácil", cuando, de hecho, muchos de estos conceptos desarrollados bastante tarde en la historia de la ciencia y son extremadamente no evidente a los que no los han asimilado ( Hawkins, 1979).