NÚMEROS REALES

NZ

QQ`

C

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos N

umér

icos

Números Reales REs el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales

R = Q U Q’

Números Complejos cEs la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-1

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos N

umér

icos

Números Racionales QEs el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.

Q= { ,q Є Z Λ q ≠ 0}

Números Irracionales Q’Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros

Q’

Entre los mas conocidos esta el π

pq

Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales, por ejemplo cuando decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta 2'35 euros. Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.

Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:

Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un número entero, por tanto:

También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:

Aún cuando representásemos todos los números racionales sobre la recta, quedarían puntos de la recta sin cubrir, dicho de manera coloquial “quedarían agujeros”.

-5'9 -10/3 -3/2 ½ 2'2 6'7

Hay números decimales que no son exactos, ni periódicos puros ni periódicos mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:

2 1,414213562 ......Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna periodicidad, no es por tanto un número racional.

Los números con esa expresión decimal son los números irracionales, conjunto que representaremos por: I● Todas las raíces no exactas son irracionales.● El número p = 3,141592654... es irracional.● Existen otros muchos números irracionales entre los que destaca

el número de Oro o número Aúreo: 1 52

Ahora si representásemos los irracionales sobre la misma recta que habíamos representado los racionales, ya quedarían cubiertos todos los puntos de la misma. Al conjunto formado por los racionales junto con los irracionales lo llamaremos conjunto de los números Reales y lo denotaremos:

IA cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, cada número real tiene su punto. Por esto diremos que los nºs reales son un conjunto completo.

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos N

umér

icos

Números Naturales NEs la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.

N= {1, 2, 3, 4, ….}

Números Enteros ZLos números enteros abarca los números negativos incluyendo eL cero y los números positivos. Y se representa

Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, 3, 4, ......., 100, 101, 102, ......

Al conjunto de los números naturales lo designaremos:

Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos números naturales cualesquiera, siempre uno es menor o igual que el otro. Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:

0 1 2 3 4 5 6 ...

A veces para contar se requieren también números negativos: el saldo de una cuenta podría ser -234 euros, los pulsadores de un ascensor pueden contener botones que marquen -1 ó -2 indicando 1º o 2º sótano, ... Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, que designaremos por:

Se pueden representar también sobre una recta del siguiente modo:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenación:

● Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenados● Todo entero positivo es mayor que uno negativo● Si un nº natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b

Jerarquía de los operadores

Para desarrollar cualquier operación aritmética es necesario utilizar la jerarquía de los operadores aritmeticos.Dentro de una misma expresión los operadores se evalúan en el siguiente orden.1. Exponenciación2. Multiplicación, División (Con decimales)3. División Entera.4. Suma y resta

1. Cuando se encuentran operadores del mismo nivel, estos se desarrollan de izquierda a derecha.

2. Cuando se encuentran varios paréntesis, se empiezan a desarrollar por el más interno. Un paréntesis, sólo desaparece, cuando queda un solo término en medio de ellos

Jerarquía de los operadores

EJEMPLO

Tomaremos como ejemplo la expresión [2 * 5 + 3].

Algunos tendrían la duda de cual operación resolver en primera instancia ¿La multiplicación o la suma?; otros sumarían y luego multiplicaría diciendo que la respuesta es 16

Para no cometer errores al momento de resolver una operación matemática, tenga en cuenta la jerarquía de los operadores.En nuestro ejemplo: primero se debe realizar la multiplicación y luego la suma, por lo tanto la respuesta correcta será:

2 * 5 + 310 + 3

13 Resultado Correcto

RESPUESTA CORRECTA

40 / 5 + 8² * 3 ----------> 1° es la exponenciación 40 / 5 + 64 * 3 ---------> Primero se resuelve la

división (de izquierda a derecha) 8 + 64 * 3 --------------> Luego división (mismo nivel

jerárquico de multiplicación) 8 + 192-----------------> Por último se realiza la suma 200

EJEMPLO

EJERCICIO

Resolver. 51 / 2 + 3 Desarrollo:51 / 2 + 3 ---> La división ( / ) indica que se

manejan decimales. 51 / 2= 25.525.5 + 3 -----> Luego se realiza la suma de los dos

valores 28.5

EJERCICIOResolver : 7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9

7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9 1 270 – 5 * 4 + 9 370 –20 + 9 450 + 9 559

Desarrollo:

EJERCICIOResolver : 9 + 7 * 8 – 36 / 5 Desarrollo:

9 + 7 * 8 – 36 / 5 19 + 56 – 36 / 5 29 + 56 – 7.2

365 – 7.2 457.8

Resolver:9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5)

9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (125 / 10 + 2.5)

9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (12.5 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + 15

9 + 2 * 12 / 4 + 15 9 + 24 / 4 + 15

9 + 6 + 1515 + 15

30

Resolver:360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500

360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500180 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500

18 / 3 – 5 * 8 + 38 + 5006 – 5 * 8 + 38 + 500

6 – 40 + 38 + 500-34 + 38 + 500

4 + 500504