Cálculo Diferencial

1

1.1 La recta numérica.

La recta real o recta numérica es un modelo visual del conjunto de los números reales.

El punto que corresponde al 0 es el origen y los puntos situados a la derecha del origen

corresponden a los números positivos, como se ilustra en la figura siguiente. El término no

negativo describe un número que es positivo o cero.

Cada punto en la recta real corresponde a uno y sólo un número real y cada número

real corresponde a uno y sólo un punto en la recta real. El número asociado con un punto en la

recta real se denomina coordenada del punto por la correspondencia de uno a uno entre los

números reales y los puntos de la recta real; estas coordenadas se conocen como sistema

coordenado. Sin embargo, a veces es necesario distinguir entre el punto y su coordenada.

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Una propiedad importante de los números reales es que son ordenados.

Definición de orden en la recta real. Si a y b son números reales, entonces a es menor que

b si ab es positivo. Denotamos éste orden por la desigualdad ba . Esta relación

también puede describirse diciendo que b es mayor que a y escribiendo ab . La

desigualdad ba significa que a es menor o igual que b y que la desigualdad ab

Cálculo Diferencial

2

significa que b es mayor o igual que a . los símbolos , , y se denominan símbolos

de desigualdad.

Geométricamente, esta definición implica que ba si y sólo si a se encuentra a la

izquierda de b en la recta real, como se muestra en la siguiente figura.

1.2 Los Números reales. Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar

familiarizado con símbolos que los representan, por ejemplo

,25.596...,33333.0,85,0,2,12

49,5,73,1 3 y otros.

Los enteros positivos o números naturales, son: ...,4,3,2,1

Los números enteros (no negativos) son los números naturales combinados con el

número 0 . Los enteros se escriben a veces como sigue: ...,4,3,2,1,0,1,2,3,4...,

En todo texto, las letras minúsculas ,...,,,, yxcba representan números reales

arbitrarios (también llamados variables). Si a y b denotan el mismo número real,

escribimos ba , que se lee “ a es igual que b ” y se denota igualdad. La notación ba

se lee “ a no es igual que b .”

Si ,, ba y c son enteros y abc , entonces a y b son factores o divisores de c . Por

ejemplo, como: ),6()1(61)3()2(326

Sabemos que 6,3,3,2,2,1,1 y 6 son factores de .6

Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y

p . Los primeros números primos son 17,13,11,7,3,2 y 19 . El Teorema Fundamental de la

Aritmética expresa que todo número positivo diferente de 1 se puede expresar como el

producto de números primos en una forma y sólo una (excepto por orden de factores).

Algunos ejemplos son: ,32212 ,7332126 533322540

Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma ba / ,

donde a y b son enteros y 0b . Nótese que todo entero a es un número racional, dado

que se puede expresar en la forma 1/a . Todo número real se puede expresar como un

decimal y las representaciones decimales para números racionales son finitas o no finitas y

periódicas. Por ejemplo podemos demostrar, con el uso del proceso aritmético de la

división que

Cálculo Diferencial

3

25.14

5 y ...,2181818.3

55

177

donde los dígitos 1 y 8 en la

representación de 55

177se repite indefinidamente, (a veces se escribe como 182.3 ).

Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las

representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y no

periódicas. Un número irracional común, denotado por , es la razón entre la

circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación 1416.3 para

indicar que es aproximadamente igual a 1416.3 .

No hay un número racional b tal que 22 b , donde 2b denota bb , pero hay un

número irracional denotado por 2 (la raíz cuadrada de 2 ), tal que 222

El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e

irracionales. Las relaciones entre los tipos de números empleados en álgebra están

ilustradas en el diagrama de la siguiente figura, donde una línea que enlaza dos rectángulos

significa que los números mencionados en el rectángulo más alto incluyen los del

rectángulo más bajo. Los números complejos, contienen todos los números reales.

Tipos de números empleados en álgebra

Según Swokowski y Cole.

Cálculo Diferencial

4

Según Larson y Hostetler

Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición (denotada

por ); esto es, a todo par ba, de números reales corresponde exactamente un número

real ba llamado suma de a y b . Los números reales son también cerrados con respecto

a la multiplicación (denotada por ); esto es, a todo par ba, de números reales

corresponde exactamente un número real ba (también denotado por ab ) llamado

producto de a y b .

1.3 propiedades de los números reales.

Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales aparecen

en la tabla siguiente.

Propiedades de números reales

Terminología Caso general Significado

(1) La adición es conmutativa.

abba El orden es indistinto cuando se suman dos

números

(2) La adición es asociativa.

cbacba )()( La agrupación es indistinta

cuando se suman tres números

(3) 0 es el neutro aditivo.

aa 0 La suma de 0 con cualquier

número da el mismo número.

(4) a es el inverso aditivo o negativo de a

0)( aa La suma de un número y su

negativo da 0 .

Cálculo Diferencial

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(5) La multiplicación es conmutativa.

baab El orden es indistinto

cuando se multiplican dos números.

(6) La multiplicación es asociativa.

cabbca )()( La agrupación es indistinta cuando se multiplican tres

números.

(7) 1 es el neutro multiplicativo.

aa 1

La multiplicación de cualquier número por 1 da

el mismo número.

(8) Si a

a1

,0 es el

inverso multiplicativo o recíproco, de a

11

aa

La multiplicación de un número diferente de cero

por su recíproco da 1 .

(9) La multiplicación es distributiva sobre la adición.

acabcba )( y

bcaccba )(

La multiplicación de un número y una suma de dos números es equivalente a

multiplicar cada uno de los dos números por el número

y luego sumar los productos.

Las siguientes son propiedades básicas de la igualdad.

Propiedad de la igualdad Si ba y c es cualquier número real, entonces:

(1) cbca

(2) bcac

Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo número puede sumarse a ambos lados

de una igualdad y ambos lados de una igualdad pueden multiplicarse por el mismo número.

Productos que involucran el 0 (1) 00 a para todo número real a .

(2) Si 0ab , entonces 0a o 0b .

Cuando usamos la palabra “o” queremos decir que al menos uno de los factores a

y b es 0 . Nos referiremos a (2) como el teorema del factor cero.

Propiedades de negativos

Propiedad Ejemplo

(1) aa )( 3)3(

Cálculo Diferencial

6

(2) )()()( baabba )3(2)32(3)2(

(3) abba ))(( 32)3)(2( (4) aa )1( 33)1(

Notación de recíprocos

Propiedad Ejemplo

Si 0a , entonces .11

aa

3

4

43

1

4

3

2

12

1

1

Notarás que si ,0a entonces

111

aaaa

Las operaciones de sustracción y división se definen como sigue.

Sustracción y división

Definición Significado Ejemplo

baba

0;

1

1

bbaba

baba

Para restar un número de otro, se suma el negativo

Para dividir un número de otro diferente de cero, se multiplica

por el recíproco

)7(373

17373

7

1373

El símbolo ba o bien b

ase utiliza con frecuencia en lugar de ba y nos referimos a él

como el cociente de a entre b o la fracción de a sobre b . Los números a y b se llaman

numerador y denominador respectivamente. Puesto que el cero carece de inverso

multiplicativo, ba / no está definido para 0b ; esto es, la división entre cero, no está

definida. Es por esta razón que los números reales no son cerrados en relación con la

división.

Advertirás que:

Cálculo Diferencial

7

111 b

bb si 0b

Se pueden establecer las siguientes propiedades de los cocientes, en donde todos los

denominadores son números reales distintos de cero.

Propiedades de los cocientes

Propiedad Ejemplo

(1) bcadsid

c

b

a

(2) b

a

bd

ad

(3) b

a

b

a

b

a

(4) b

ca

b

c

b

a

(5) bd

bcad

d

c

b

a

(6) bd

ac

d

c

b

a

(7) bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

15

6

5

2 porque 65152

5

2

35

32

5

2

5

2

5

2

5

11

5

92

5

9

5

2

15

26

35

4532

3

4

5

2

15

14

35

72

3

7

5

2

35

6

7

3

5

2

3

7

5

2

Relaciones entre a y -a

(1) a Es positivo, entonces a es negativo. (2) Si a es negativo, entonces a es positivo.

Leyes de los signos

(1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y b

a

son positivos.

(2) Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y b

a

son negativos.

1.3.1 Tricotomía.

La ley de tricotomía dice:

Cálculo Diferencial

8

- Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que él. - Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que él. - Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que él.

Se dice que se cumple con la ley de tricotomía si dados Rba , se cumple una y sólo una

de las proposiciones siguientes:

bababa ;;

1.3.2 Transitividad.

La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.

En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La

Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.

De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al

mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si ba y

cb entonces ca

La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a;

mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que.

Si a, b, c son tres números reales y

1). Si a <b y b <c, entonces en ese caso, a < c.

2). Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.

3). Si a> b y b> c, entonces a > c.

4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces a ≥ c.

En general, las primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor

que o igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el

1er número es menor o igual que el tercero.

1.3.3 Densidad

Un número real es un número que existe en la realidad, lo que significa que cada

punto en la recta numérica real representa un número real. Puede ser un número racional o

irracional, un número entero o trascendental, de cualquier tipo.

Cálculo Diferencial

9

La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los

números reales son densos en naturaleza. En términos simples, entre dos números reales

existe un tercer número real, en todos los casos.

Por ejemplo: existen una cantidad infinita de números reales entre cero y uno.

Si a y b ∈ R , si ab , entonces existen un elemento x ∈R tal que xa y

bx

La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de número real, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números “suficientes" para explicar el mundo real.

1.3.4 Axioma del supremo

Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota superior de A sí y

sólo si y es un número real y para cada Ax , yx .

Ejemplos:

1. El conjunto 10,8,6,4,2 es acotado superiormente por cualquier número mayor o

igual a 10 .

2. El conjunto 3: xRx es acotado superiormente por cualquier número mayor o

igual a 3 .

3. El conjunto 11,12 xx es acotado superiormente por cualquier número

mayor o igual a 2 .

Una observación importante es que si un conjunto tiene una cota superior entonces existen infinitas cotas superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente definición.

Definición 1. Si A es un conjunto de números reales, el número y es el supremo

de A sí y sólo si y es una cota superior de A y para cada z que es cota superior de A se

tiene zy . Es decir el supremo es la menor de las cotas superiores.

REFERENCIAS: [1] http://www.ithua.edu.mx/documentos/calculo_diferencial.pdf [2] Algebra y trigonometría con geometría analítica, 12ª edición, Swokowski/Cole, Ed. CENGAGE

Learning.

[3] http://claroline.emate.ucr.ac.cr/claroline/backends/download.php/VGFyZWEyLUF

4RXh0clN1cC5wZGY%3D?cidReset=true&cidReq=MA0700

[4] Algebra, 3ª Edición, Larson/Hostetler, Ed. Publicaciones cultural.

[5] http://mitecnologico.com/igestion/Main/CalculoDiferencial