Objetivos Contenidos - UNC

Cátedra I Estadística II Autor I Hebe Goldenhersch

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INFERENCIA ESTADÍSTICA: TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN I

Objetivos

Este Capítulo tiene por propósitos centrales:

Comprender el concepto de estimador y estimación puntual; Conocer las propiedades de los buenos estimadores y por lo menos un método para obtenerlos; Comprender el concepto de estimación por intervalos, así como los de errores de estimación, nivel de confianza; Determinar el tamaño necesario de una muestra en distintas situaciones; Calcular e interpretar intervalos de confianza para algunos parámetros y diferencias o cocientes de parámetros.

Contenidos

1. Introducción. 2. Estimación puntual. 3. Propiedades de los buenos estimadores. 4. El método de "Máxima Verosimilitud". Aplicaciones. 5. Estimación por intervalos. Definición de "Intervalos de Confianza". 5.1. Desarrollo de un ejemplo. 5.2. Planteo general de la estimación por intervalos. 6. Intervalos de confianza para la media, para la proporción, para la varianza. 6.1. Varianza poblacional conocida. 6.2. Varianza poblacional desconocida. Población normal. 6.3. Intervalos de confianza para la proporción poblacional. 6.4. Intervalos de confianza para la varianza en poblaciones normales. 7. Determinación del tamaño de muestra para la media, para la proporción. 7.1. Muestreo con reemplazo, o en poblaciones infinitas. Estimación de la

media o de la proporción. 7.2. Error, riesgo y tamaño de la muestra. 7.3. Determinación del tamaño de la muestra teniendo en cuenta el error

relativo. 8. Determinación del tamaño de muestra para poblaciones finitas. 9. Intervalos de confianza para la diferencia de medias, de proporciones y

cociente de varianzas. 9.1. Diferencia de medias, muestras independientes. 9.2. Varianzas poblacionales conocidas. 9.3. Varianzas poblacionales desconocidas. 9.4. Diferencia de medias, muestras dependientes (observaciones aparea-

das). 9.5. Diferencia de proporciones. Muestras independientes. 9.6. Intervalo de confianza para el cociente de varianzas. Poblaciones nor-

males. 9.7. Consideraciones generales para interpretar los intervalos de confian-

za para diferencias de medias o proporciones y cocientes de varianzas.


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1. Introducción

Iniciamos aquí el tratamiento de un tema fundamental de la disciplina, que resume una manera de “razonar” y permite entender la utilidad de la estadística en los más variados campos de conocimiento. Nos referimos a la Inferencia Estadística, que se aplica básicamente con dos objetivos alternativos:

Nos referimos a la estimación de parámetros (recordar o repasar en los materiales de Estadística I qué es un parámetro de una población) cuando desconocemos los parámetros de una población y para aproximarnos al conocimiento de esos valores desconocidos tomamos una muestra de la población y a partir de ella “estimamos” el o los parámetros (si se trata de una variable cuantitativa, se puede estimar por ejemplo la media, la varianza; si se trata de una variable dicotómica se puede estimar la proporción de “éxitos”, etc.). El contraste de hipótesis también se realiza a partir de una muestra tomada de la población de interés, pero en ese caso se trata de poner a prueba (o contrastar) alguna hipótesis referida ya sea al valor de un parámetro o a las características de la población (si tiene cierta forma su distribución, si hay o no independencia entre dos variables, entre otros). Recomendamos leer los ejemplos planteados en las páginas 3 y 4, y pensar en cuáles de ellos se aplicarían métodos de estimación de parámetros y en cuáles pruebas de hipótesis1/. Con estos ejemplos disponibles, avanzaremos ahora en el análisis más pormenorizado de la cuestión.

2. Estimación puntual

En la vida cotidiana, es habitual hablar de “estimación”: “estimo que hoy lloverá”, “estimo que no vendrán”, “estimo que el promedio de este alumno es cercano a seis”...

Sin embargo, cuando buscamos precisión estadística, se presentan algunas dificultades.

El problema de la "estimación" de parámetros surge porque en muchos casos, la población que desea estudiarse es, o muy grande, o infinita, o resulta difícil acceder a su conocimiento total por diversos motivos (vinculados al costo o no).

Entonces se recurre al muestreo. Naturalmente, cuando se desea conocer el valor de algún parámetro de una población, por ejemplo la media, la varianza, la proporción y resulta inviable el estudio de toda la población, surge la idea de "estimar" el valor de ese o esos parámetros.

1/ Respuesta: los casos 1, 3 y 5 corresponden a prueba de hipótesis, los números 2, 4 y 6 a

estimación de parámetros. El último puede ser planteado ya sea como estimación o como prueba de hipótesis, según cómo se formule el problema.

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Estimación de parámetros

Contraste de hipótesis


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¿Y cómo puede estimarse el valor de un parámetro? Es necesario poseer alguna información sobre la población ya que sería imposible intentar alguna estimación de un parámetro poblacional sin información alguna de la población de que se trata. Entonces se toma una muestra de esa población, se calculan "estimadores" o "estadísticos" a partir de la muestra, que servirán para proporcionar una idea de los valores posibles de esos parámetros poblacionales desconocidos. Existen distintos tipos de muestreo, que se analizarán más adelante; pero todos ellos deben garantizar, para que se pueda aplicar la teoría estadística y extender las conclusiones de la muestra hacia la población, que cada observación de la población tenga una probabilidad conocida de ser elegida en la muestra. Es natural pensar que si se quiere conocer algo sobre la media poblacional (µ ), se

acuda a estimadores como la media muestral ( X ), o la mediana de la muestra, o el promedio entre el menor y el mayor valor de la muestra, etc. ¿Cuál de ellos resultará un mejor estimador de µ ? Para poder elegir un estimador,

existen algunos criterios que fijan ciertas propiedades deseables para los estimadores. Y así será utilizado el estimador de un parámetro que cumpla con todas o la mayoría de esas propiedades. Existen también ciertos métodos de estimación que proporcionan los mejores estimadores cuando se conocen algunas características de la población. Antes de dar algunas definiciones importantes para comprender el tema que estamos tratando, nos pondremos de acuerdo sobre alguna simbología. Simbolizaremos en general con letras griegas a los parámetros, y con letras latinas a los estimadores o estadísticos (los parámetros corresponden a la población, los estimadores o estadísticos a la muestra); simbolizaremos la media poblacional con µ (la letra griega

mu), y la media muestral con X ; la varianza poblacional con 2σ (sigma al cuadrado)

y la varianza muestral con 2s ; la proporción poblacional (siempre que hablamos de una población dicotómica nos referimos a la proporción de “éxitos”) con P o p (algunos textos la simbolizan con π ), y la proporción muestral (proporción de “éxitos” en la muestra) con p̂ (p “con sombrero” o simplemente “p sombrero”). Simbolizare-

mos con θ (la letra griega Theta) un parámetro cualquiera de la población, y con θ̂ (Theta con sombrero...) el estimador de ese parámetro. En general, salvo que indiquemos lo contrario, se utilizarán indistintamente las mayúsculas o minúsculas. Precisemos ahora la definición de estimador

Cuando se toma una muestra de n observaciones a partir de una población determina-

da, se llama estimador θ̂ de un parámetro θ , a cualquier función de las observaciones muestrales. Recordemos que cada observación muestral es una variable aleatoria, por lo tanto un estimador de un parámetro por ser función de variables aleatorias, es una variable aleatoria. A cada valor particular de un estimador, es decir al valor que asume para una muestra

determinada, se lo llama estimación. Así, la media muestral X es un estimador de la media poblacional µ :

ˆ Xµ =

Cuando se toma una muestra, y se calcula su media:


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•

•••••

•• ••

•

•

••

•

••

•• •

•

•

••

•

•

[ ]1 2

1... nx x x x

n= + + +

x es una estimación particular de µ (observar que hemos simbolizado con minúscula

la estimación, valor particular, y con mayúscula el estimador, variable aleatoria). Si recordamos que un estimador puede asumir cualquier valor dentro del rango posible determinado por su distribución de probabilidad, advertimos que la concreción de una estimación puntual no permite realizar afirmaciones ciertas ni probabilísticas acerca del verdadero valor del parámetro, o de la confianza que puede depositarse en el estimador. Este último objetivo se logra mediante la estimación por intervalos, que trataremos más adelante; pero la estimación por intervalos siempre toma como punto de partida estimadores puntuales que cumplan con propiedades deseables. Con la definición que dimos de estimador, como “cualquier función de las observaciones muestrales”, parecería obvio que pueden resultar tantos estimadores como funciones uno pueda imaginar. En realidad no ocurre así, porque antes de elegir un estimador, se presta atención a sus propiedades. Hay estimadores que cumplen ciertas propiedades que otorgan confianza en que cada estimación particular que se realice utilizándolo proporcionará un resultado no muy alejado del parámetro. A continuación hablaremos sobre las propiedades deseables de los estimadores, o propiedades de los buenos estimadores.

3. Propiedades de los buenos estimadores

Comenzamos ejemplificando con un juego, que nos proporcionará una idea acerca de qué queremos decir con esto de “buenos estimadores”. Supongamos que se realiza un concurso de tiro al blanco, y el curso de Estadística II quiere seleccionar un estudiante que lo representará. En la prueba final, cada tirador deberá tirar un solo tiro, y el que pegue más cerca del blanco será el ganador. En el curso se presentan cuatro postulantes para intervenir, y para probarlos, cada uno tira seis veces al blanco, con los siguientes resultados:

Juan Adriana Pablo Martín

Si a cualquier persona se le pregunta a quién elegiría como representante en el campeonato, contestará que a Pablo. ¿Por qué? Vemos que si bien Pablo no siempre acierta, “en promedio” sus tiros dan en el blanco, y además la dispersión no es muy grande. Adriana presenta un “promedio” igual al de Pablo, pero tienen mucha dispersión... entonces, es razonable decir que es ”más probable que Pablo en lugar de Adriana acierte en el blanco”. Juan, por su parte, presenta poca dispersión, pero “en promedio” sus tiros pegan lejos del blanco. Y Martín... bueno, ni en promedio se acerca, y además su dispersión es muy grande. Si pensamos en cada estudiante (cada tirador) como un “estimador” y cada tiro como una “estimación”, y en el blanco como el “parámetro” que se desea alcanzar,


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inmediatamente definiremos estas propiedades que nos permitirán decir que elegimos a Pablo porque es “insesgado y eficiente”. Como suplente, ¿Adriana o Juan? Para decidir, diremos en principio que Adriana es “insesgada” pero “ineficiente”, y Juan “eficiente pero sesgado”. Piense una respuesta imaginando quién de los dos tiene más chance de corregir su problema... Confronte luego sus ideas con algunas pistas en el pie de página2/. Definimos ahora las propiedades deseables de los estimadores, conceptos que aclararán la ejemplificación anterior. a) Insesgabilidad Se dice que un estimador es insesgado, cuando su valor esperado es igual al parámetro que se estima:

E (θ̂ ) =θ

Ya se explicó que los estimadores o estadísticos son variables aleatorias; para cada una de las muestras posibles pueden asumir valores diferentes, y cada valor o intervalo de valores posibles tiene asociada una probabilidad. Un estimador tiene, entonces, una distribución de probabilidad (recordar de Estadística I el caso de la media muestral o la proporción muestral) y por lo tanto puede calcularse su esperanza. El hecho que la esperanza del estimador sea igual al parámetro a estimar, por supuesto no asegura ni aproximadamente que de una estimación a realizar surgirá un resultado igual al parámetro, sólo se trata de una propiedad teórica, que afirma que si se toman todas las muestras posibles, el promedio de los valores del estimador o sea su valor esperado será igual al parámetro. En cada realización, el valor del estimador puede resultar más o menos alejado de ese valor esperado. ¿De qué depende que no resulte muy alejado? Depende de la variabilidad del estimador, es decir de la desviación estándar (o el error estándar)3/ del estimador. En efecto, siempre que el valor esperado no esté muy lejos del parámetro, será preferible entre dos estimadores posibles aquél que tenga menor variabilidad, puesto que en este caso las probabilidades de que en cada muestra el estimador esté cercano al parámetro serán mayores. Si existiera un diferencia entre la esperanza del estimador o estimador y el parámetro a estimar, esa diferencia se denomina "sesgo ".

Sesgo = E (θ̂ )-θ

2/ Si es posible conocer el sesgo (Juan tiene algún problema con la vista o con su arma) se lo

puede corregir (hacer un pozo en el suelo, por ejemplo, para que pegue más abajo...); en cambio la eficiencia (variabilidad) no se puede corregir fácilmente. Elegiríamos a Juan, enseñándole a corregir el sesgo.

3/ Existe acuerdo en llamar “error estándar” a la “desviación estándar” de un estimador. Por eso se dice, por ejemplo, el error estándar de la media muestral es igual a la desviación estándar poblacional dividida por la raíz cuadrada de n.


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Veamos algunos ejemplos:

Son estimadores insesgados: para la media poblacional µ , la media muestral X

(se estudió en Estadística I que E( X ) = µ ); para la proporción poblacional (p) la

proporción muestral p̂ ; cuando se consideran dos poblaciones y se estiman sus

parámetros tomando una muestra en cada una, son estimadores insesgados de la diferencia de medias poblacionales, la diferencia de medias muestrales; de la diferencia de proporciones poblacionales, la diferencia de proporciones muestrales, etc. Es sesgado, en cambio, el estimador de la varianza poblacional calculado mediante la varianza muestral con la fórmula:

22 ( )isc

x xS

n

∑ −=

ya que resulta:

E( 2

scS )= 2 1n

nσ −

(1)

Por esto se sugirió utilizar como estimador de la varianza poblacional, la varianza muestral corregida:

22

1

( )ix xS

n

∑ −=−

Usted puede comprobar que de esta manera se corrige el "sesgo" (aplicar propiedades de la esperanza sabiendo que la varianza muestral corregida es igual a la varianza sin corregir multiplicada por n/(n-1), sabiendo de (1) cuál es la esperanza de esta última). En el ejemplo del tiro al blanco, serían “estimadores insesgados” Adriana y Pablo. Hay estimadores sesgados, pero "asintóticamente insesgados" (este es el caso de la varianza muestral no corregida), ya que significa que si bien presentan un sesgo, al aumentar el tamaño de la muestra, el sesgo tiende a desaparecer. En la fórmula (1) se advierte que si n es suficientemente grande, la esperanza del estimador es prácticamente igual al parámetro. b) Consistencia

Se dice que un estimador θ̂ es consistente si:

( )ˆP r 1limn

θ θ→ ∞ − < ∈ =

Esto significa que un estimador es consistente cuando al tomar muestras grandes (a eso nos referimos con n “tiende” a infinito), es seguro que el estimador se aproximará al parámetro. Dicho de otra manera, hay una probabilidad igual a 1 de que la diferencia (“error” lo llamaremos más adelante) entre el estimador y el parámetro será inferior a un número arbitrario ∈ (pequeño). Si recuerdan de Estadística I la Ley de los Grandes Números, ésta proporciona una evidencia de la consistencia de los estimadores media y proporción muestral (¿por qué?)


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¿Le parece razonable pensar que son consistentes aquellos estimadores cuyas varianzas (o sus errores estándar) tienden a cero al crecer el tamaño muestral? Puede verificarse (aunque aquí no lo haremos), que la varianza muestral también es un estimador consistente de la varianza poblacional. La mediana muestral, que como estimador de la media poblacional es insesgado si la distribución poblacional es simétrica, no es un estimador consistente de la media, aunque sí de la mediana poblacional. ¿Qué significa esto? Que al tomar muestras grandes, la media de la muestra se aproximará a la media poblacional, pero la mediana de la muestra se aproximará a la mediana de la población (estimador consistente de la mediana poblacional) y no a la media. La consistencia es una propiedad deseable y muy importante de los estimadores cuando se usan muestras grandes. Si éstas son pequeñas no tiene relevancia el hecho de que un estimador sea o no consistente. c) Eficiencia

Esta propiedad es muy importante, porque se refiere precisamente a la variabilidad de los estimadores a la cual se hizo referencia al hablar de insesgamiento. La varianza de un estimador, proporciona una idea del grado de confianza que se puede tener en el mismo.

Ante dos estimadores insesgados (o por lo menos consistentes) 1θ̂ y 2θ̂ es más eficiente

1θ̂ si:

V( 1θ̂ ) < V( 2θ̂ )

Generalmente la comparación se hace realizando el cociente entre ambas varianzas; si es menor que 1, el estimador del numerador es más eficiente que el del denominador y viceversa. Es claro que cuanto menor sea la varianza de un estimador, es más probable que asuma valores cercanos al parámetro (siempre que sea insesgado) y por lo tanto, será un mejor estimador. En el ejemplo del tiro al blanco, Juan y Pablo tienen menor varianza que el resto, pero Juan es sesgado; es muy probable que pegue cerca... pero no del blanco, sino de “su valor esperado” que no es igual al parámetro. Para estas situaciones, es conveniente introducir el concepto de “eficiencia en error cuadrático medio”. Si uno de los estimadores es sesgado y el otro insesgado, pero el primero tiene menor variabilidad que el segundo, suele ser conveniente elegirlo a pesar del sesgo (por eso elegíamos a Juan antes que Adriana)4/. El concepto de eficiencia a que nos referimos aquí, es el de “eficiencia relativa” porque se compara la eficiencia de dos estimadores. Un ejemplo interesante es que surge de comparar la media y la mediana muestrales como estimadores de la media poblacional. Sabemos que la varianza de la media muestral es:

4/ La varianza de un estimador es [ ]2ˆ ˆ( ( )E Eθ θ− . Si el estimador es insesgado, esta fórmula

coincide con [ ]2ˆ( )E θ θ− ; pero si es sesgado, la última fórmula no es la varianza sino el “error

cuadrático medio” del estimador, y mide su dispersión con respecto al verdadero valor del parámetro. Si un estimador es sesgado, pero su ECM es pequeño, será preferible a uno insesgado pero con ECM (o varianza) mayor.


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2

( )V Xn

σ=

En cambio la varianza de la mediana muestral es:

V(med) = 1.25332

2

n

σ(Esto es

2

π multiplicado por la varianza de la media muestral)

Resulta así que ( ) ( )V X V med< ; ó ( )

1

( )

V X

V m ed

<

Esto significa que, siendo ambos estimadores insesgados de la media poblacional, por tener la media muestral un menor error estándar, habrá mayor probabilidad de que la media muestral se encuentre cerca de la media poblacional que la mediana. Es útil reiterar en este punto que se habla de probabilidades. Esto es que, en un caso particular, puede ocurrir un suceso que tenga baja probabilidad (alguna vez usted puede ganar la grande...), y entonces tal vez en una realización particular, la mediana muestral resulte más cercana a la media poblacional que la media muestral, pero ello no es muy probable. Existe otro concepto de eficiencia, se trata de la eficiencia absoluta. Este es conocido como la “acotación de Rao- Cramer”, y permite establecer, dada una distribución poblacional, cuál es la varianza mínima de un estimador de cada parámetro. Este tema no será tratado en esta asignatura. d) Suficiencia

Un estimador es suficiente cuando utiliza toda la información que surge de la muestra con respecto al parámetro a estimar. Esta es una definición intuitiva, la definición rigurosa va más allá de los objetivos de este curso, y se puede consultar en la bibliografía5/. Con un ejemplo, se comprenderá cuándo un estimador no es suficiente. Si en una población se desea estimar la media poblacional, se toma una muestra de tamaño n y se define como estimador de la media, la siguiente función de las observaciones muestrales:

1 2ˆ2

x xµ

+=

Es decir, el promedio de las dos primeras observaciones. Puede comprobarse que este estimador es insesgado, pero no utiliza la información proporcionada por las n-2 observaciones restantes; por ello decimos que no es un estimador suficiente. Algunos autores mencionan otras propiedades (que el lector interesado puede consultar en la bibliografía), tales como “estimadores asintóticamente normales”, refiriéndose a aquellos estimadores cuya distribución es normal al crecer el tamaño muestral -tal como ocurre con todos los casos donde se aplica el Teorema Central del Límite- o “estimadores robustos” aquéllos que no se ven muy afectados ante pequeños desvíos respecto del cumplimiento de ciertos supuestos6/. Proponemos ahora varias Actividades sobre estos temas.

5/ Canavos, G.: Probabilidad y Estadística - McGraw Hill (1995) - pág. 261. 6/ Peña, Daniel: "Fundamentos de Estadística". Ciencias Sociales, Alianza Editorial Madrid 2001,

Canavos (op. cit).


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Actividad 1: Se considera que el tiempo de duración promedio de cierta batería se distribuye con media µ y varianza 1. Tomamos una muestra aleatoria de tamaño 2, y como deseamos realizar una estimación puntual de la duración promedio poblacional, se nos sugieren 3 estimadores:

1$µ = 1/3 x1 + 2/3 x2

2$µ = 1/4 x1 + 3/4 x2

3$µ = 1/2 x1 + 1/2 x2

donde x1 y x2 componen la muestra de tamaño 2.

Se pide:

a) ¿Son insesgados estos estimadores? b) ¿Cuál de ellos permitirá realizar estimaciones más precisas? ¿Porqué?

Actividad 2: Sea x1, x2 y x3 valores de ingreso familiar de una muestra de tamaño 3, tomada del total de familias de una ciudad con media µ y varianza σ2. Considerando los siguientes estimadores del promedio del ingreso familiar, ¿cuál de ellos elegiría y porqué?

1$µ = 1/3 x1 + 1/3 x2 + 1/3 x3

2$µ = 1/9 x1 + 3/9 x2 + 5/9 x3

3$µ = 4/10 x1 + 2/10 x2 + 4/10 x3

Actividad 3: Una muestra de los diámetros de 5 pelotas de tenis anotados por un vendedor fueron:

6,33 cm. 6,37 cm. 6,36 cm. 6,32 cm. 6,37 cm.

Suponga que los diámetros se distribuyen en forma normal:

a) Calcular una estimación con un estimador insesgado y eficiente: 1) de la media poblacional 2) de la varianza poblacional

b) Determinar un estimador insesgado pero ineficiente del diámetro promedio poblacional.

c) Determinar un estimador insuficiente de la media poblacional.

Este método se basa en el hecho, intuitivamente comprensible, que distintos párame- tros poblacionales producirán muestras diferentes. Así, por ejemplo si se tiene una población en la que se estudia el peso de las personas, si la media poblacional es de 70 kg., seguramente los valores observados en una muestra extraída de esa pobla- ción, serán diferentes a los que resulten de una muestra extraída de una población donde la media es de 55 kg. El método de Máxima verosimilitud, consiste en seleccionar como valor estimado del parámetro, aquél que maximiza la probabilidad de una muestra (a posteriori de haberla extraído) con respecto a todos los valores posibles del parámetro.


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Se trata de un método muy utilizado para obtener estimadores, porque se comprueba que los estimadores máximo verosímiles gozan de la mayoría de las propiedades enunciadas en el punto anterior (a veces son sesgados, pero el resto de las propiedades siempre está presente); esto significa que haber encontrado un estimador máxi- mo verosímil es haber encontrado un “buen” estimador del parámetro desconocido.

Un ejemplo7/, ayudará a entender este concepto, no muy simple para la intuición.

Se tomó una muestra con reposición de diez profesores en una Facultad, y se encontró que tres se manifiestan favorables a constituir un sindicato. Con este resultado muestral, ¿cuál sería la estimación de la proporción de profesores sobre

el total de la Facultad, que desean constituir el sindicato?

Esa proporción puede ser (mencionando sólo algunos de todos los posibles valores entre 0 y 1): 0, 0,1, 0,2,... 0,9, ó 1?

Por la distribución binomial, puede calcularse cuál es la probabilidad de obtener tres respuestas favorables en una muestra de tamaño 10, para los distintos valores posibles de p (observe que a diferencia de los problemas que resolvió en Estadística I con la distribución binomial, donde se calculaba la probabilidad de cierto número de éxitos conociendo p y n, aquí se trata de encontrar la probabilidad de obtener x éxitos, donde x ya es conocido porque ya se tomó la muestra - 3 en este caso particular- para distintos valores de p).

P P(x=3,10,p) 0.0 0.0000 0.1 0.0574 0.2 0.2013 0.3 0.2668 0.4 0.2150 0.5 0.1172 0.6 0.0425 0.7 0.0090 0.8 0.0008 0.9 0.0000 1.0 0.0000

Evidentemente no se elegiría p = 0 ó p = 1 como estimador de p en la población, porque en la muestra hubo 3 que contestaron afirmativamente, entonces p no puede ser igual a cero, y hay 7 que contestan negativamente, luego p no puede ser igual a 1.

Del resto de valores posibles de p, se advierte que 0.3 es el que proporciona la mayor probabilidad que en una muestra de 10 ocurran 3 opiniones favorables, luego 0.3 es el estimador máximo verosímil o de máxima probabilidad de p.

En general, es posible obtener estimadores máximo verosímiles en forma analítica a partir de la función de probabilidad conjunta de una muestra. En Estadística I se explicó el concepto de distribución conjunta de probabilidad de n observaciones muestrales. Es claro que esa distribución depende de la forma de la distribución poblacional, de las observaciones muestrales y del o los parámetros poblacionales.

El caso de la distribución normal. Para la distribución normal, con mediaµ y

varianza 2σ , la distribución conjunta de las observaciones muestrales, llamada

función de verosimilitud, que depende de las observaciones muestrales y del o los parámetro desconocidos es: (ver Estadística I, Capítulo VII).

7/ La parte numérica es del libro Análisis Estadístico de Ya Lun Chou - Interamericana - México

1985 (pág. 218).


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µσµ σ µ σ

πσ=

−− ∑

= =

ni

i

n ( x )

nL( , ) f (X , X ,..., X ; , ) e

2

21

122 2

1 2 2

1

2(2)

Esta función se plantea una vez que se obtuvo la muestra, y por lo tanto las iX son

conocidas, tiene como incógnitas a µ y 2σ . Si se busca el máximo de µ σL( , )2 con

respecto a ambos parámetros, se obtienen los valores deµ y 2σ que otorgan la

máxima probabilidad a la muestra. Esos valores son los estimadores “máximo verosímiles” o de “máxima probabilidad” para los parámetros.

Para encontrar este máximo se sugiere tomar logaritmo natural de L, porque siendo el logaritmo una función monótona (tiene sus puntos extremos en los mismos lugares que la función original), es más sencillo bajar los exponentes antes de buscar el o los

máximos. Luego se deriva con respecto a µ y a 2σ , se igualan a cero esas derivadas,

se encuentran los valores que satisfacen cada ecuación y luego se verifican las condiciones de segundo orden. Tomando logaritmo natural en (2) y recordando las propiedades de los logaritmos: exponente por el logaritmo de la base, el ln(e) es igual a 1, etc.

22

2

1l l

2 2

( )n( ) n(2 ) ixnL

µπσσ−= − − ∑

En esta función, al derivar con respecto µ y a 2σ ,

2

2

2 2 2 2

l 20

2

l 2 1 1

2 2 2

n( )( )

n( ). ( ( )

( )

i

i

Lx

L nx

µµ σ

π µσ πσ σ

∂ = + ∑ −∂

∂ = − − − ∑ −∂

Simplificando:

2

2

2 2 4

l 1

l 1

2 2

n( )( )

n( )( )

i

i

Lx

L nx

µµ σ

µσ σ σ

∂ = ∑ −∂

∂ = − + ∑ −∂

Al imponer la condición de anular estas derivadas, se obtienen dos ecuaciones, siendo

los valores deµ y 2σ que las verifican los estimadores que buscamos: (no verifica-

mos aquí el resto de condiciones, puede hacerlo usted).

2

2

2 4

10

10

2 2

ˆ( )ˆ

ˆ( )ˆ ˆ

i

i

x

nx

µσ

µσ σ

∑ − =

− + ∑ − =

Despejando (observar que calculando el denominador común y luego multiplicando ambos miembros por ese denominador común, éste “desaparece” al multiplicarse por cero el segundo miembro):


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2

2 4

2 2

4

22

;0

10

2 2

02

ˆ( - )

ˆ

ˆ( ) ;ˆ ˆ

ˆ ˆ( );

ˆ

ˆ( )ˆ

i

i

i

xi

xi

n

nx

n x

x

n

µ

µ

µσ σσ µ

σ

µσ

=∑

∑=

− + ∑ − =

− + ∑ − =

∑ −=

Así hemos comprobado que los estimadores “máximo verosímiles” de la media y varianza en una población normal, son respectivamente la media muestral y la varianza muestral sin corregir. Los estimadores máximo verosímiles tienen, en general, las propiedades deseables planteadas más arriba, es por ello que suelen resultar los mejores estimadores de los diferentes parámetros en casi todos los casos. No obstante, el estimador máximo verosímil de la varianza es un estimador sesgado, y por eso en lugar de usar directamente el estimador máximo verosímil en general se corrige para que desaparezca el sesgo (dividiendo por n-1 en lugar de n). También puede verificarse que en una población Poisson, la media muestral es el estimador máximo verosímil de la media poblacional; en una población dicotómica la proporción muestral es un estimador máximo verosímil de la proporción poblacional (el ejemplo de los profesores muestra esta situación). Estos problemas se plantean en las Actividades que siguen.

Actividad 4: Una compañía aseguradora está convencida de que el número de siniestros de determinado tipo, que se producen semanalmente, se ajusta a un modelo Poisson. Contando con una muestra de 7 semanas en las que se produjeron 59 siniestros, se desea obtener la estimación (es decir el valor) máximo verosímil del promedio de siniestros semanales (λ) del modelo.

Recordar que: f ( x , ) = e

x !i

- x

i

i

λλλ

Actividad 5: Para la función de verosimilitud o probabilidad conjunta L(P) adjunta:

a) Determine el estimador máximo verosímil de P (proporción poblacional de éxitos).

. (1 )x x n x

nL(P) = C P P −− donde x = Σ xi

b) Explicite el modelo que representa la distribución poblacional y la muestral. Actividad 6: Se conoce que el coeficiente intelectual de las personas es una variable aleatoria continua que se distribuye en forma normal. Sean x1, x2, .... xn los valores de coeficientes observados en una muestra aleatoria de n individuos, ¿cuáles son los estimadores máximo verosímiles de los parámetros de esta distribución?


20

En el punto anterior se desarrollaron los conceptos vinculados con la definición de estimadores, sus propiedades deseables, los métodos para obtener buenos estimadores, y se plantearon algunos estimadores que gozan de aquellas propiedades y son utilizados en los problemas de aplicación más frecuentes: media muestral, varianza muestral, proporción muestral.

Ahora bien, las estimaciones realizadas en forma puntual, esto es, calculando para cada caso particular el valor surgido de una muestra, no llevan asociada idea alguna acerca del grado de aproximación que puede existir entre el valor del estimador y el del parámetro que se está estimando. O dicho de otra forma, no es posible conocer algo acerca del "error " que puede cometerse al afirmar que el parámetro desconocido se "estima " igual a esa función de las observaciones muestrales definidas por cada estimador, ni de la confianza que puede depositarse en la sospecha de que el valor estimado se encuentra relativamente cerca del parámetro desconocido.

Así por ejemplo, si se desea estimar la duración media de un lote de lamparitas eléctricas; se toma una muestra de 25 lamparitas, y se las deja encendidas hasta que se queman; si la duración media de esa muestra fue de 1200 horas, ¿qué podemos decir acerca de la duración promedio de todo el lote, o sea su media poblacional? Sólo que, si la muestra fue tomada al azar, y por lo tanto es representativa de la población, deberíamos esperar que esa media no esté muy lejos de las 1200 horas. Pero ¿cuánto es “no muy lejos”?

Precisamente, la diferencia existente entre el valor del estimador en una muestra particular (a este valor lo hemos llamado “estimación”) y el verdadero valor del parámetro desconocido se llama “error de muestreo”, nombre que es intuitivamente

comprensible. En efecto, si θ es el parámetro que se desea estimar, y un estimador

de θ , la expresión:

θ̂ θ− ≤∈

ella indica que el “error” cometido al realizar la estimación no excederá en valor

absoluto a ∈. El error es aleatorio, porque depende de θ̂ que es una variable aleatoria. Esto significa que obviamente no es posible saber con exactitud en cuánto nos “equivocaremos” al estimar un parámetro a partir de una muestra (este cuánto es una variable aleatoria), pero la expresión que comentamos, está planteando la necesidad o la intención que el error no supere a ∈. Es interesante entonces, teniendo en cuenta el conocimiento de las distribuciones de probabilidad de algunos estimadores y/o estadísticos8/, esto es, funciones de los estimadores y los parámetros, analizar la posibilidad de establecer un intervalo aleatorio,

( ˆ ˆ,θ θ− ∈ + ∈), cuya amplitud es igual al doble del error máximo de estimación, y al cual

pueda asociarse una elevada probabilidad que el parámetroθ sea interior al intervalo.

8/ Si bien para muchos autores Estimador y Estadístico son sinónimos, nosotros hemos llamado

“estimador” a una función de las observaciones muestrales (por ejemplo, la media muestral) y llamaremos “estadístico” a una función de las observaciones muestrales (generalmente a

través de un estimador) y también de parámetros poblacionales. Por ejemplo x

n

µ

σ

− es, para

nosotros un estadístico (es función de la media muestral, de la media poblacional y de la desviación estándar poblacional).


21

De esta manera, si por ejemplo se desea estimar el tiempo promedio que demoran los proveedores de una línea de productos para entregar los pedidos, al efectuar la estimación puntual, podrá concluirse que la demora promedio, según lo calculado a partir de la media muestral, es de 12 días. Si se realiza una estimación por intervalo, utilizando el conocimiento existente acerca de la distribución de la media muestral, podría concluirse que existe una confianza del 95% que la demora promedio se encuentre en el intervalo (10,5 - 13,5) días.

Podemos decir que, si bien se ha perdido precisión en la estimación al referirse la misma a un intervalo y no a un valor puntual, se ha ganado en el conocimiento del error que puede cometerse al realizarla (en este caso, la diferencia entre el verdadero valor del parámetro y el de su estimación no supera 1,5 días) y del grado de confianza (probabilidad fiducial se llama este grado de confianza; se explicará más adelante por qué no es estrictamente una probabilidad) que la afirmación sea verdadera (en este caso, existe un 95% de confianza que el verdadero promedio se encuentre entre 10,5 y 13,5 días, y hay sólo un 0,05 de probabilidad que ello no ocurra, esto es, que el verdadero promedio no se ubique en ese intervalo).

5.1. Desarrollo de un ejemplo

Normal (0.1)


22

A partir de la necesidad de estimar la media poblacional se desarrollará un ejemplo, teniendo en cuenta el conocimiento que existe de la distribución de la media muestral.

Para este ejemplo se plantearán algunos supuestos, que pueden resultar irritantes; habrá quienes digan: "esos supuestos no se verifican nunca...", o "cómo hago para saber si se cumplen los supuestos". Sin embargo, más adelante al desarrollar los diferentes casos, se irán levantando algunos de estos supuestos, y también apren- diendo los procedimientos para saber si se cumplen o no en diferentes poblaciones.

Se trata de estimar la media de una variable en cierta población, de la cual se conoce que tiene distribución normal, y además se supone conocida la varianza poblacional la reacción de algunos podrá ser: "pero, si no conozco la media, cómo voy a conocer la varianza..."!. El conocimiento de la varianza puede provenir de experiencias anteriores con poblaciones similares (hay mayor permanencia en la varianza que en la media). Ambos supuestos (población normal y varianza conocida) serán levantados en desarrollos posteriores. La estimación se efectuará a partir de una muestra aleatoria de tamaño n.

El estimador puntual deµ es X . Por tratarse de una población normal, no importa

cuál sea n, (¿recuerda por qué?) se conoce que la distribución de X es también

normal, con esperanza µ y varianza 2

nσ . Luego, el estadístico:

,(0,1)~X

n

Nµ

σ

−

Observe que el estadístico planteado, es función del estimador, del parámetro a

estimar y de σ , pero habiendo supuesto conocida esta última,µ es la única incóg-

nita de la expresión, n es el tamaño de la muestra, y el valor particular del estimador X se obtendrá a partir de la muestra. El conocimiento de la distribución de probabilidad del estadístico, permite afirmar que:

2 1 21

XP z z

nα α

µα

σ−

−< < = −

(3)

y se lee: existe una probabilidad igual a 1- α que el estadístico esté comprendido

entre2

Zα y 1 2z α− . Recordando los valores de la variable normal estandarizada, se

advierte que los límites izquierdo y derecho del intervalo, son –z y z . Esta z es la abscisa de la curva normal (0,1) correspondiente a una probabilidad acumulada

igual a 1 2α− . Así por ejemplo, si 1 α− = 0.95, entonces z = 1,96 dado que

P(z < 1.96) = 0.975 y P(- 1,96 < z < 1,96) = 0,95.

0.95

0 1.96 -1.96 Z

Normal (0.1)


23

Despejando el error aleatorio en (3):

( ) 1X X

P z n X z nσ µ σ α− < − < = − (4)

Esto se lee: existe una probabilidad igual a 1-α que el error (aleatorio, porque

depende de X ) de estimación no supere en valor absoluto a z nσ . Como puede

observarse la probabilidad 1-α , que debe ser elevada (generalmente mayor a 0,90) es la que determina el valor de z: a mayor “confianza”, es decir mayor 1-α , mayor será z y eso incidirá aumentando el valor máximo del error (se tendrá una estimación menos precisa); a mayor tamaño de muestra, será menor el error

estándar del estimador ( nσ ) y por lo tanto será menor el error máximo de

estimación (se tendrá una estimación más precisa). Ahora despejando en la expresión (4):

( 1P X z n X z nσ µ σ α− < < + = − (5)

Observe: ¿dónde está la variable aleatoria en esta expresión probabilística? ¿ µ es

una variable aleatoria? ...Entonces debe leerse: existe una probabilidad igual a 1-α que el intervalo

aleatorio ,X z n X z nσ σ− + contenga a µ (y no es correcto hablar de proba-

bilidad que µ esté comprendida... etc.).

Se recomienda leer varias veces y muy atentamente los párrafos destacados en gris, hacerse preguntas e intentar responderlas, ya que son fundamentales para comprender el concepto de estimación por intervalos.

El intervalo X z nσ± es un intervalo de confianza del (1 ) 100.α− % para µ .

La expresión intervalo de confianza se debe a que, una vez tomada la muestra y realizada la estimación de µ obteniendo una media muestral particular, el

intervalo deja de ser aleatorio, y toma dos valores también particulares, llamados límite inferior y límite superior de confianza, y el nivel 1-α expresa ya no una probabilidad, porque no hay ninguna variable aleatoria a la cual referir esa probabilidad, sino un nivel de confianza que el intervalo obtenido contenga al parámetro conocido:

LIC x z n

LSC x z n

σ

σ

= −

= +

El gráfico que sigue, puede ayudar a comprender cabalmente el significado de los límites de confianza en una estimación. De acuerdo al ejemplo planteado, se trata de una distribución normal, con media µ y desviación estándar σ . Se grafica la

distribución de la media muestral para muestras de tamaño n que por lo tanto es

también normal, con media µ , y desviación estándar nσ .

El intervalo señalado en el gráfico, encierra el 0,95 de probabilidad debajo de la curva normal. Esto es, el 95% de las posibles muestras aleatorias de tamaño n, tendrán una media dentro de ese intervalo. El intervalo de confianza que se construye a partir de una media muestral, consiste en restar y sumar a ella la

cantidad1, 96. nσ .


24

------------------------------ LIC

1x LSC

------------------------------ LIC 2x LSC

------------------------------ LIC

3x LSC

------------------------------ LIC

4x LSC

------------------------------ LIC

5x LSC

Como puede observarse en las líneas trazadas debajo de la curva normal, correspondientes a los posibles resultados de cinco muestras, siempre que la media muestral caiga dentro del intervalo del 0,95 de probabilidad, los límites de confianza contendrán en su interior la media poblacional µ .

Es decir, el intervalo así construido encerrará la verdadera media (aunque ésta sigue siendo desconocida, se sabe que el intervalo la contiene). Pero cuando la media muestral cae fuera del intervalo del 95% (¿en qué porcentaje del total de muestras posibles se espera que esto ocurra?...) los límites de confianza obtenidos no contendrán la verdadera µ .

Luego, cuando se tome una muestra aleatoria, y a partir de la media de esa

muestra se construya un intervalo de amplitud igual al doble de1, 96. nσ , se

tendrá una confianza igual a (1 ).100%α− (95% si z = 1,96) que el valor del

parámetro µ , desconocido, esté dentro de ese intervalo. (¿Cuánto debe valer z si

se desea una confianza del 98%? ¿y del 90%?)9/. En este ejemplo gráfico, de cinco muestras obtenidas, sólo en la cuarta resulta un intervalo que no contiene a µ . En las restantes, es "verdadera" la afirmación

que µ se encuentra entre el LIC y el LSC.

¿Comprende ahora qué significa 95% de confianza?... ¿Es correcto afirmar que el máximo error que puede cometerse al realizar la estimación de la media en este

caso es1, 96. nσ ? ¿Por qué?

9/ Para el 98% es z = 2,326; para el 90% es z = 1,645 (¿los encontró usted en la tabla?).


25

Para precisar el ejemplo planteado más arriba acerca del tiempo de demora para

entregar los pedidos, supóngase conocida la varianza poblacional ( 2σ = 4). Se

toma una muestra de 49 pedidos, y se encuentra una media muestral de 8 días. Luego, para un 95% de confianza:

( 1,96. 1, 96 0, 95P X n X nσ µ σ− < < + =

Hay una probabilidad de 0.95 que el intervalo expresado arriba, contenga la demora promedio. Se trata de un intervalo aleatorio. Luego remplazando por los datos del problema:

(8 1, 96. 2 49) 7, 44

(8 1, 96. 2 49) 8, 56

LIC

LSC

= − =

= + =

Esto significa: existe un 95% de confianza que la demora promedio para entregar un pedido, se encuentre entre 7,44 y 8,56 días. Es importante reflexionar acerca de la amplitud del intervalo (también se llama “precisión de la estimación”, sólo que varían en sentido inverso, mayor precisión implica menor amplitud). Quien construye un intervalo de confianza, desea que además de una elevada “confianza” en la exactitud de su afirmación, el intervalo sea lo más preciso posible, porque un intervalo muy amplio, dice poco acerca del parámetro a estimar.

5.2. Planteo general de la estimación por intervalos

Teniendo en cuenta el desarrollo del ejemplo en el punto anterior, puede describirse el procedimiento general para la construcción de intervalos de confianza, siguiendo los pasos siguientes:

1) Establecer cuál es el parámetro θ , desconocido, y qué se conoce de la población.

2) Buscar un estimador puntual 1 2

ˆ ( , ... )n

g x x xθ = función de las observaciones

muestrales en una muestra de tamaño n. 3) Plantear, de acuerdo a lo establecido en los dos puntos anteriores, un estadístico

función del estimador y del parámetro ˆ( , )h θ θ . Dicho estadístico debe cumplir dos

condiciones: primera, que algebraicamente sea posible despejar el párame- tro única incógnita de la expresión y segunda, que tenga una distribución de probabilidad conocida (y en lo posible tabulada). En el ejemplo planteado anteriormente, el parámetro era µ , la población normal con varianza conocida, el

estimador X , el estadístico ( ) ( )X nµ σ− , en el cual se advierte claramente

que, por los supuestos establecidos µ es la única incógnita, y además tiene una

distribución que es conocida: N (0,1). 4) En estas condiciones, fijando el nivel de confianza 1 α− , el cual indica la probabi-

lidad que el intervalo así construido contenga realmente al parámetro poblacional, se determina en primer lugar un intervalo para el estadístico:

1 2

ˆ( ( , ) ) 1P k h kθ θ α< < = −

Donde 1k y 2k se obtienen teniendo en cuenta la distribución de probabilidad del

estadístico y el nivel de confianza establecido. En el ejemplo este intervalo es:

2 1 21

XP z z

nα α

µα

σ−

−< < = −


26

5) Luego se despeja el parámetro, obteniéndose un intervalo aleatorio el cual tiene una probabilidad igual a 1-α de contenerlo. En el ejemplo:

( 1,96. 1, 96 0, 95P X n X nσ µ σ− < < + =

6) Por último y ya con los valores particulares de una muestra, se realiza la estimación del parámetro, y se obtienen los límites inferior y superior de confianza entre los cuales se piensa con una confianza igual a (1 )α− 100% que se encuentra

θ . En el ejemplo:

(8 1, 96. 2 49) 7, 44

(8 1, 96. 2 49) 8, 56

LIC

LSC

= − =

= + =

Se trata ahora de obtener intervalos de confianza para la media de una población, aplicando el método general descripto en 5.2. Se plantean distintos casos, según el conocimiento que se tenga de la población, el tamaño de la muestra, y los supuestos que pueden realizarse acerca de la distribución poblacional. En todo lo que sigue, se supone un muestreo aleatorio simple (con reemplazo). Si se trata de poblaciones finitas, y el muestreo es sin reemplazo, debe corregirse el error

estándar de la media muestral, multiplicando ( ) ( 1)n N n Nσ − −por 10/.

Consideraremos los siguientes casos: � Varianza poblacional conocida � Varianza poblacional desconocida � Intervalos de confianza para la proporción poblacional � Intervalos de confianza para la varianza en poblaciones normales. 6.1. Varianza poblacional conocida

Este primer caso coincide con el desarrollado en el ejemplo. Siendo µ el parámetro a

estimar, conociendo la varianza poblacional, se advierte de inmediato que el estimador será la media muestral, y el estadístico a utilizar.

(0,1)~X

n

Nµ

σ

− (6)

siempre que:

• Se trate de una muestra extraída de una población normal (por tratarse de una

combinación lineal de variables normales) se distribuye ( , )N nµ σ y el estadístico

es N(0,1). O bien • Se trate de muestras grandes (n> 30) extraídas de cualquier población. Entonces

por aplicación del Teorema Central del Límite, también X se distribuye

( , )N nµ σ y el estadístico es N(0,1).

10/ Recordar el factor de corrección de la varianza en la Distribución Hipergeométrica (muestreo

sin reemplazo).


27

Si la población no es normal, y la muestra es menor que 30, no puede usarse este estadístico (algunas alternativas: utilizar la desigualdad de Chebycheff para obtener el intervalo de confianza, o bien realizar alguna transformación con la variable para que la distribución poblacional de la variable transformada se aproxime a la normal. En otros Capítulos se comentará acerca de las transformaciones posibles).

Actividad 7: El dueño de una estación de servicio desea saber la cantidad de nafta diaria que vende, en promedio, por cliente. Toma una muestra al azar de 36 clientes y encuentra que, en promedio vendió 15 litros de nafta. Si sabe por estudios anteriores que la población se distribuye aproximadamente normal con una desviación estándar de 2 litros, se pide encontrar:

a) La estimación puntual de la media poblacional. b) Un intervalo de confianza del 95% para la media de la venta diaria de

combustible en dicha estación de servicio. c) Si luego se conociera que la media poblacional es de 14 litros ¿qué pudo haber

pasado? d) Un intervalo de confianza del 99%. Explique la diferencia con el obtenido en

b). Modificando el enunciado del ejercicio como sigue, vuelva a resolverlo, y reflexione acerca de las diferencias con el anterior. Los resultados que se reproducen, así como varios de los ejercicios siguientes corresponden a salida de máquina de un procesamiento realizado con un paquete estadístico. Es necesario que los estudiantes se habitúen a interpretarlos. El dueño de una estación de servicio desea saber la cantidad de nafta diaria que vende, en promedio, por cliente. Toma una muestra al azar de 136 clientes y encuentra: Estadística descriptiva

Resumen nafta

n 136 Media 15 Var(n-1) 3,97 E.E. 0,17 Mín 10 Máx 22 Mediana 15 Q1 14 Q3 16

a) ¿Puede indicar algún estimador para el parámetro de interés? b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿qué límites de estimación propone para

dicho parámetro? 6.2. Varianza poblacional desconocida. Población normal

Si se desconoce la varianza poblacional, el estadístico planteado en el punto anterior no puede ser aplicado, ya que existirían dos parámetros desconocidos: y µ σ .

Hay una solución para este problema. ¿Recuerda de Estadística I la distribución del

estadístico: X

S n

µ−? (7)

S es la desviación estándar corregida, estimada a partir de la muestra.


28

Ese estadístico tiene distribución t con n-1 grados de libertad. Si la muestra es grande, la función de densidad de la t se aproxima a una normal, por lo tanto, los límites de probabilidad pueden ser los correspondientes a la distribu- ción normal. Pero también es importante recordar que para aplicar la distribución t, necesariamente se parte de una distribución poblacional normal. Luego, si la varianza poblacional es desconocida, pueden construirse intervalos de confianza utilizando el estadístico siempre que la población sea normal, cualquiera sea el tamaño muestral. ¿Qué pasa si la población no es normal? Nuevamente se presentan algunas alternativas: • Intentar alguna transformación de la variable original para aproximarla a una

normal (en distribuciones asimétricas con “cola derecha” la transformación logarítmica o la raíz cuadrada suelen proporcionar buenas aproximaciones a la normalidad). Esto significa que se calcularán intervalos de confianza para el logaritmo o para la raíz de la variable, lo cual a veces complica la interpretación;

• Si las muestras son suficientemente grandes -estamos hablando de poblaciones no normales- (en general es suficiente con n > 100), teniendo en cuenta que S es un estimador consistente deσ , puede usarse el estadístico (6), utilizando la S muestral en lugar de la a poblacional. Esto, recalcamos, sólo puede hacerse con muestras bastante grandes porque de lo contrario, con poblaciones no normales y varianza poblacional desconocida, los intervalos resultantes no tienen la confianza esperada.

• Si la muestra no es mayor que 100, y no puede hacerse una transformación adecuada de la variable para “normalizarla”, deberá recurrirse a la desigualdad de Chebycheff. En realidad, este procedimiento no es aconsejable, porque los intervalos resultantes de aplicar la desigualdad de Chebycheff son muy poco precisos.

Actividad 8: Una compañía, dedicada a la venta de productos derivados del petróleo desea realizar un estudio de mercado para estimar la cantidad gastada, por año, en combustible para calefacción casera en una determinada ciudad. Una muestra de

64 hogares arrojó como resultado una y = $ 836 y una s = $ 178. Encontrar un

intervalo de confianza del 90% para el verdadero gasto promedio anual en combustible, en las viviendas de esa ciudad y suponiendo que dicho gasto tiene una distribución aproximadamente normal. Actividad 9: Debido a que el estudio de la duración de focos de luz implica la destrucción de los mismos, con el análisis de una muestra aleatoria de n = 10 focos de una nueva marca lanzada al mercado, ¿qué puede decir de la duración de esta nueva marca, a un nivel de confianza del 95%?

Vida útil (en hs.)

4402 4066 3788 4028 3973 3629 4275 3944 4090 3913


29

Intervalos de confianza Estimación paramétrica Variable Parámetro Estimación E.E. n LI(95%) LS(95%) vida útil Media 4010,80 70,18 10 3852,03 4169,57

vida útil

3590,35

3802,92

4015,50

4228,07

4440,65

vid

a ú

til

Box plot

vida útil

Actividad 10: Una editorial que lanza al mercado un nuevo diario desea estimar la cantidad diaria promedio a imprimir. Una muestra aleatoria de 7 días mostró una demanda promedio de 2500 ejemplares y una desviación típica muestral de 238. Suponiendo que la distribución de la demanda diaria es normal, determinar un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional. Actividad 11: El directorio de una empresa ferroviaria desea estimar, a un nivel de 0,95, el tiempo diario promedio que han trabajado los 2000 empleados de esa empresa durante el año anterior. Como el examen de los 2000 legajos insumiría mucho tiempo y personal, se decidió tomar una muestra simple al azar de 50 legajos, sin reposición. Por estudios anteriores se sabe que el tiempo trabajado se distribuye aproximadamente normal. Los resultados obtenidos de la muestra fueron los siguientes:

xi = tiempo trabajado en la Cía. por el i-ésimo empleado seleccionado, durante un día determinado.

Σxi = 300 hs.

Σ i2x = 2835,50 hs.

Actividad 12: Para determinar el rendimiento anual de ciertas acciones, un grupo de inverso- res tomó una muestra de n = 50. La media y desviación estándar resultaron

y = 8,71% y s = 2,1%. Suponiendo que el rendimiento de esta clase de acciones

se distribuye en forma aproximadamente normal, estimar su verdadero rendimiento anual promedio usando un intervalo de confianza del 90%. Actividad 13: Una empresa dedicada a la venta de productos derivados del petróleo está elaborando su plan de negocios para el próximo año. Sobre la base de un estudio de mercado del gasto anual en combustible (en $) de un conjunto de hogares se


30

obtuvo la siguiente información. ¿Cómo podría utilizar el intervalo de confianza construido?

Intervalos de confianza Estimación paramétrica

Variable Parámetro Estimación E.E. n LI(90%) LS(90%) Combustible Media 857,87 24,51 64 816,95 898,79

Co m b u s t ib le

3 8 5 ,6 9 6 1 8 ,2 8 8 5 0 ,8 7 1 0 8 3 ,4 6 1 3 1 6 ,0 5

C u a n ti le s d e u n a N o rm a l(8 5 7 ,8 7 ,3 8 4 4 7 )

3 8 5 ,6 9

6 1 8 ,2 8

8 5 0 ,8 7

1 0 8 3 ,4 6

1 3 1 6 ,0 5

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

(Co

mb

us

tible

)

n = 6 4 r = 0 ,9 8 9 ( C o m b u s tib le )

Q -Q p lo t

Co m b u s t ib le

Recuerde que con el gráfico Q-Q plot puede analizar si la variable en estudio tiene distribución normal (este gráfico completa una prueba de hipótesis paramétrica que se estudiará en el Capítulo VI).

Combustible

332,88 570,55 808,22 1045,88 1283,55

Combustible

0,00

0,07

0,13

0,20

0,26

fre

cue

nci

as

re

lativ

as

Histograma

Ajuste: Normal(857,870,38447,088)

Combustible

6.3. Intervalos de confianza para la proporción poblacional

Sea una población dicotómica, con N elementos, de los cuales k tienen una determinada propiedad. Luego p = k/N es el parámetro (desconocido) que pretendemos

estimar a partir de una muestra tamaño n. El estimador de p es p̂=xnp=xnp=xnp=xn, donde x es el número de elementos en la propiedad deseada (éxitos) en la muestra. Recuérdese que x tiene distribución binomial, con esperanza np y varianza np(1-p). El estadístico a utilizar dependerá del tamaño de la muestra.


31

Muestras chicas

En este caso será necesario utilizar la distribución binomial, para encontrar un intervalo de confianza para k (número de “éxitos” en la población), y a partir de k se obtiene p. Debido a que se trata de una distribución discreta, y que las tablas están cons- truidas para p que varía de 0,05 en 0,05, los intervalos resultan sólo aproximados.

Para solucionar este problema, se han publicado los llamados “cinturones de confianza para p” que se pueden consultar en la publicación que contiene las tablas estadísticas usadas en la Facultad (páginas 43 y 44). En ellas hay cinturones de confianza para el 95 y para el 99%. A continuación explicamos cómo se obtienen en forma gráfica los intervalos de confianza del 95% para p, conociendo el valor observado de x/n11/.

Se ingresa en el gráfico de acuerdo a este último valor (por el eje de las abcisas), y se buscan las ordenadas correspondientes al límite inferior y superior de confianza para p de acuerdo al tamaño de la muestra. Para cada tamaño de muestra, se dibuja un “cinturón”. Por ejemplo, si en una muestra de tamaño 50 se encontraron 20 éxitos ˆ 0, 4p = aproximadamente LIC = 0.27, LSC = 0.54 (aproximadamente, porque se de-

terminan los valores gráficamente en la escala de p que sólo tiene las divisiones correspondientes de 0.10 en 0.10).

Con este y algún otro ejemplo que sugerimos plantear, podrá observar la gran amplitud de los intervalos obtenidos a partir de la distribución binomial (o los cinturones de confianza); esto equivale a una baja precisión de las estimaciones, y por lo tanto su utilización no resulta en general práctica, de allí la necesidad de trabajar con muestras relativamente grandes cuando se desean estimar proporciones.

Muestras grandes

Por el Teorema Central del Límite, se utiliza el estadístico:

ˆ(0,1)

(1 )~

p pN

p p n

−−

(8)

siempre que n sea suficientemente grande. Existe una evidencia empírica, de que la aproximación es buena cuando np > 5 y n(1-p) > 5.

Deben cumplirse ambas desigualdades. Si alguna de ellas no se cumple, la aproxi- mación normal no es buena y deben utlilizarse los cinturones de confianza.

Al despejar p, resulta un intervalo con probabilidad 1 α− de contener al parámetro:

ˆ ˆ(1 ) (1 )p z p p n p p z p p n− − < < + −

El problema es que los límites de confianza contienen el parámetro desconocido. Hay que trabajar bastante para despejar completamente p, resolviendo una ecuación de segundo grado... Pero ocurre que se logra una buena aproximación de manera más sencilla, teniendo en cuenta que siendo n bastante grande, en la solución aparecen términos con n ó n al cuadrado en el denominador, que son próximos a cero. Al despreciar esos términos, resultan los límites:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.(1 ) y .(1 )LIC p z p p n LSC p z p p n= − − = + −

11/ No obstante, es conveniente aclarar, y usted mismo observará, que los intervalos obtenidos

son muy amplios (muy poco precisos), por lo que en la práctica se utilizan poco. La razón de esta gran amplitud, es que la varianza (y también el error estándar) de la proporción es muy alta cuando n no es suficientemente grande. Como en este punto estamos tratando con muestras chicas, necesariamente los errores estándar son grandes. La solución es, entonces, tomar muestras más grandes, y en ese caso se pasa a trabajar con la distribución normal, tal como se explica en el punto siguiente.


32

lo cual es equivalente a utilizar el estadístico (8), reemplazando en el denominador p por p̂ ’.

¿Se anima a despejar el intervalo exacto para p a partir del estadístico (8)?

Incorporamos además cuatro Actividades de resolución de problemas respecto del tema que venimos tratando. Actividad 14: Ante los reiterados rechazos de productos que una fábrica de radiadores recibe por parte de sus clientes, el jefe de producción decide estimar el verdadero porcentaje de defectuosos que sale de la planta. En caso de que dicho porcentaje supere el 15% está dispuesto a realizar los ajustes que fueran necesarios en el proceso de producción. Con este fin toma una muestra aleatoria de 120 radiadores encontrando que 12 de ellos tenían algún defecto. ¿Debe el jefe de producción realizar algún ajuste? Use (1 - α) = 0,90. Actividad 15: El auditor de una gran empresa encuentra que, de 1500 cuentas por cobrar controladas, 450 se encuentran con su saldo vencido. En base a estos datos se decide a estimar p, proporción verdadera de todas las cuentas por cobrar que están vencidas, mediante un intervalo de confianza del 95%. Actividad 16: Tomada una muestra al azar de 500 directores de empresa se encuentra que 100 de ellos habían pasado sus vacaciones en el exterior. Estimar la proporción poblacional de directores de empresa que vacacionan en el extranjero mediante un intervalo de confianza del 99,73%. Actividad 17: Un grupo de docentes de la Facultad de Ciencias Económicas desea conocer el porcentaje de estudiantes que se dedicarían a la docencia luego de egresados. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes arrojó que 39 de ellos elegirían la docencia.

a) Obtenga alguna conclusión a partir de los datos siguientes. b) Un menor nivel de confianza, ¿mejoraría la precisión de la estimación?


Variable Parámetro Estimación E.E. n LI(99%) LS(99%) docencia Proporción(>0) 0,39 0,05 100 0,26 0,52


Variable Parámetro Estimación E.E. n LI(95%) LS(95%) Docencia Proporción(>0) 0,39 0,05 100 0,29 0,49

6.4. Intervalos de confianza para la varianza en poblaciones normales

Cuando se trata de estimar la varianza poblacional, recuérdese que el estimador

insesgado es la varianza muestral (corregida) 2S y que el estadístico es:

2

2

12

( 1)~

n

n S χσ −

−


33

Luego, a partir de la distribución 2

1nχ − , se construye el intervalo para el estadístico:

2

2 2

2 1 22

( 1)( ) 1

n SP α αχ χ α

σ −

−< < = −

Los valores 2

2αχ y 2

1 2αχ − corresponden a la distribución 2χ con n-1 grados de libertad,

dejando a la izquierda de 2

2αχ una probabilidad igual a 2α y a la derecha de 2

1 2αχ −

una probabilidad similar12/. Al despejar el parámetro 2σ , resultan los límites de confianza:

2 2

2 2

1 2 2

( 1) ( 1),

n S n SLIC LSC

α αχ χ−

− −= = 13/

Veamos la cuestión de modo práctico.

Actividad 18: El departamento de Control de Calidad de una envasadora de lubricantes desea conocer la varianza en el llenado de las latas de 4 lts. Interprete la salida que se muestra a continuación: Intervalos de confianza Estimación paramétrica Variable Parámetro Estimación E.E. n LI(90%) S(90%) llenado latas Varianza 0,02 0,01 27 0,01 0,03 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1,00 Extremes (=<3,41) 1,00 35 . 5 2,00 36 . 57 9,00 37 . 224556799 8,00 38 . 02344699 5,00 39 . 44667 1,00 40 . 9 Stem width: , 10 Each leaf: 1 case(s)

12/ A pesar que aquí no se ha demostrado la conveniencia de construir intervalos simétricos

cualquiera sea la distribución, debe mencionarse que ello es conveniente a fin de minimizar la amplitud de los intervalos de estimación. Esta simetría se entiende en el sentido de dejar fuera del intervalo una probabilidad igual en cada cola. Cuando la distribución es simétrica, como en el caso de la normal o la t de Student, también el intervalo resultará simétrico alrededor del parámetro; de lo contrario, como ocurre en este caso, donde la distribución no es simétrica, el intervalo tampoco lo es , pero su amplitud será la menor posible (mayor precisión).

13/ Observe que en el proceso algebraico de despejar, los valores de tabla2χ se invierte, el mayor

va en el denominador del LIC y el menor en el denominador del LSC.


34

3,41 3,58 3,75 3,92 4,09

Cuantiles de una Norm al(3,8037,0,019381)

3,41

3,58

3,75

3,92

4,09

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

(lle

na

do

lata

s)

n= 27 r= 0,974 (llenado latas)

Q-Q plot

Actividad 19: Un agente de bolsa debe asesorar a un nuevo inversor con relación al precio de las acciones de un banco, no sólo en su promedio de cotización sino también en su variabilidad. Para ello computó los valores diarios de cotización durante los primeros 24 días del mes anterior, obteniendo:

Día Cotización Día Cotización Día Cotización 1 2 3 4 5 6 7 8

142,07 142,42 128,32 129,36 139,23 130,76 135,95 119,17

9 10 11 12 13 14 15 16

128,90 133,14 139,40 133,71 148,73 138,19 126,68 139,02

17 18 19 20 21 22 23 24

117,56 125,27 127,35 130,98 131,09 143,09 124,11 143,64

cotizaciones

117,56 125,40 133,24 141,08 148,92

Cuantiles de una Normal(133,26,64,73)

117,56

125,40

133,24

141,08

148,92

Cu

antil

es

ob

se

rva

dos

(co

tizac

ion

es

)

n= 24 r= 0,991 (cotizaciones)

Q-Q plot

cotizaciones

¿Qué información podrá dar el agente de bolsa a un nivel de 0,95?


35

Actividad 20: Para un determinado electrodoméstico, el promedio de ventas por comercio durante el mes de Diciembre del año anterior, y de acuerdo con una muestra de 20 negocios, fue $ 3407 con una desviación de $ 219. ¿Qué puede decir de la variabilidad de las ventas del electrodoméstico en ese mes, utilizando un nivel de confianza del 90%?

ventas

2988,41 3195,49 3402,57 3609,64 3816,72

C uantiles de una N orm al(3406,7 ,48159 )

2988,41

3195,49

3402,57

3609,64

3816,72

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

(ve

nta

s)

n= 20 r= 0,982 (ventas )

Q-Q plot

ventas

En Estadística I se ha mencionado la aproximación de la distribución 2χ a la normal

cuando el número de grados de libertad es suficientemente grande.

Una de las primeras preguntas que surge cuando se desea realizar una estimación de parámetros a partir de una muestra, es naturalmente: ¿de qué tamaño debe tomarse la muestra?

Tal vez ustedes han escuchado la expresión “para muestra basta un botón” que solía utilizarse para expresar que no es necesario tomar muestras grandes, si conociendo un elemento de la población (un botón) se puede saber cómo es el resto (de los botones). ¿Es verdad esto, para los casos en que uno desea conocer un parámetro de la población en estudio?

Algunos dirán que sí, la mayoría dirá que no… en realidad puede o no serlo: si todos los botones son iguales (no hay variabilidad), ¿para qué tomar más de uno? ... entonces sería verdadera la afirmación. Si hay cierta variabilidad entre los botones en estudio, habrá que seleccionar más de uno, y si hay una variabilidad importante, habrá que seleccionar muchos más para tener una idea de cómo es la población … Entonces, antes de contestar si basta o no basta con un botón, hay que preguntarse por la variabilidad …

De igual manera, la pregunta acerca del tamaño necesario de muestra, sólo puede responderse con otras preguntas: ¿Cuál es el máximo error que se está dispuesto a tolerar? ¿Cuál es el nivel de confianza deseado para las estimaciones? ¿Cuál es la varianza de la población bajo estudio? ¿Se trata de muestreo con o sin reemplazo?

En lo que sigue responderemos a la cuestión de cómo calcular el tamaño de muestra para estimar la media de una población.

Comenzamos por el caso más general.


36

7.1. Muestreo con reemplazo, o en poblaciones infinitas. Estimación de la media o de la proporción

Supóngase que se desea estimar la media de una población ( µ ), y que se conoce su

varianza. Si el nivel de confianza deseado es de 1 α− , entonces:

2 1 2( ) 1P z z

X

nα α

µα

σ−

−< < = −

siendo X µ− el “error de estimación”, que hemos llamado e, al despejar resulta:

( . ) 1P e zn

σα< = −

Esta expresión puede leerse: existe una alta probabilidad ( )1 α− que el error de

estimación sea como máximo igual a .zn

σ.

Luego, e, igual a .zn

σ sería el “error máximo” de estimación, y despejando:

2 2

2

.

. (9)

e z

n

zn

e

σ

σ=

=

Este es el tamaño de muestra necesario para que e sea el máximo error. Un n mayor reducirá el error máximo. Esta fórmula, permite conocer de qué tamaño deberá tomarse la muestra para que el error no supere a e, eligiendo z de acuerdo con el nivel de confianza deseado. Debe prestarse atención a que el tamaño muestral, depende del nivel de error aceptable (e), del nivel de confianza deseado, reflejado en z y de la variabilidad de la variable en la población (σ ). La aplicación de la fórmula que hemos analizado presenta algunos inconvenientes: • La necesidad de conocer la varianza poblacional. Esta situación es superada

en la práctica ya sea utilizando una varianza conocida por experiencias anteriores, vinculadas con la misma variable o con alguna variable “Proxy” (modo en que los economistas denominan a otra variable con comportamiento similar a la que se tiene en estudio); estimándola a partir de una muestra piloto, o bien utilizando el conocimiento que un experto pueda tener de la forma de la distribución poblacional, y de los valores mínimo y máximo con que podrá encontrarse en la muestra, aproximarse al valor del desvío estándar. Por ejemplo, si se conoce que la población tiene una distribución aproximadamente normal, entre la media más y menos tres desvíos estándar se encuentra prácticamente la totalidad de las observaciones -99,73%-; luego conociendo el mínimo y el máximo valores posibles, dividiendo por 6 se tendrá una aproximación al valor de σ . En otros


37

casos, y para no subestimar la varianza, lo cual influirá negativamente en el tamaño muestral, suele dividirse por 4 el rango supuesto14/.

• Por otra parte, el error en la fórmula (9) está expresado en forma absoluta, en las unidades de la variable en cuestión (por ejemplo, $ 5, 3 metros, diez personas…). Para poder evaluar cuándo un cierto nivel de error se considera elevado o aceptable, es necesario relacionarlo con los valores posibles de la variable y de su media (no es lo mismo un error de $ 100.- en más o en menos respecto de una media igual a $ 10.000, que un error de $ 100.- en más o en menos respecto de una media igual a $ 100.-). Este aspecto se resuelve efectuando un razonamiento de este tipo, previo a la fijación del error máximo aceptable, o realizando los cálculos con una medida de error relativo, tal como se considera más adelante.

• En tercer lugar, cuando se realiza una investigación, generalmente se pretenden estimar parámetros de varias variables: ¿a cuál de ellas hay que referirse para calcular el tamaño de la muestra? Esta cuestión generalmente se resuelve seleccionando la variable más relevante, o la que se supone de mayor variabilidad, a fin de no subestimar el tamaño de la muestra.

¿Ha observado que el tamaño de la población (N) no aparece en la fórmula? Reflexione acerca de esta cuestión, sobre la que volveremos más adelante.

Actividad 21: El dueño de un diario editado en la ciudad de Córdoba desea abrir una sucursal en el interior de la provincia. Para ello desea determinar la cantidad diaria de ejemplares a imprimir sobre la base del número promedio de ejemplares vendidos. Conoce, por información obtenida de otros diarios del lugar, que la desviación estándar de la cantidad de ejemplares vendidos es de 2,5.

a) ¿Cuántos días deberá muestrear si está dispuesto a correr un riesgo del 1% de cometer un error de estimación de 2 o menos ejemplares?

b) ¿Cuántos días deberá analizar si aumenta el error de estimación a 5 ejemplares? ¿Y si lo baja a 1?

c) ¿Cuál será el tamaño de n (con el error del inc. a) si se aceptara un riesgo del 10%?

Analice los valores obtenidos en cada caso y explique las diferencias.

d) ¿Qué efecto tendría sobre el riesgo del inc. a) el tomar una muestra de 9 días?

Actividad 22: El mantenimiento de cuentas de crédito puede resultar demasiado costoso si el promedio de compra por cuenta es menor a un cierto nivel. El gerente de una empresa quiere conocer la cantidad mensual comprada por los clientes que usan crédito, con un error de no más de $ 25 y una confianza aproximada de 0,95. ¿Cuántas unidades debe seleccionar de su archivo de 4000 cuentas, si sabe además que la desviación estándar de las cuentas de crédito es de $ 75? ¿Porqué

los valores de 0n y n son prácticamente iguales?

Si se trata de estimar una proporción, el mismo razonamiento conduce a la fórmula:

2

2(10)

(1 )

z p pn

e

−=

14/ Imagine que usted necesita tomar una muestra de recién nacidos para estimar el peso prome-

dio, y no conoce la varianza poblacional. Se conoce que su distribución es normal, cualquier pediatra puede decirle cuál es el peso mínimo y máximo con que podrá encontrarse. Ese rango, dividido por 6, será una buena aproximación al desvío estándar para usarlo en la fórmula (9).


38

dado que se trata de una población dicotómica, en la que se desea estimar la proporción de éxitos mediante una muestra. Nuevamente surge el problema de tener que colocar en la fórmula un valor de p que naturalmente se desconoce, puesto que es el parámetro que se desea estimar. En este caso, puede observarse que si p = q = 0,5, el producto p(1-p) alcanza su valor máximo (0,25) y éste es el que debe colocarse en la fórmula si no hay ningún conocimiento acerca del posible valor de p15/.

(revise cuánto es el producto p(1-p) para valores alternativos de p, tales como 0,10, 0,20, 0,40, 0,60, etc).

Tenga en cuenta la naturaleza de la variable dicotómica, cuando deba precisar el error máximo (e), en este caso no se trata de $, ni kg., sino de “proporción”, y el error también se expresa como una proporción.

Veamos un ejemplo

Se quiere conocer de qué tamaño debe tomarse una muestra si en una población muy grande se desea estimar la proporción de personas adultas que no han completado la educación media. 1) No se tiene ninguna información acerca de esa posible proporción, se usará por

lo tanto una p = 0,50. 2) Se desea un nivel de confianza en la estimación del 95%, por lo tanto,

z = 1,96 (en muestreo suele redondearse a 2). 3) Se pretende que el error no supere a 0,05 (es decir, que la estimación resulte

en un valor de p estimado más menos 0,05). Aplicando la fórmula (10):

2

2

2 0, 5(1 0, 5)400

0, 05

.n

−= =

Luego, será necesario tomar una muestra no menor a 400 casos para satisfacer las exigencias planteadas.

Es conveniente realizar algunas reflexiones: este tamaño de muestra puede parecer excesivo. Pero de este orden son las muestras necesarias cuando se quieren estimar proporciones. No ocurre lo mismo cuando se desean estimar medias de poblaciones para variables cuantitativas, que pueden tener varianzas pequeñas (como suele ocurrir en biología o ciencias naturales); en esos casos, sobre todo si se trata de poblaciones normales, a veces se puede trabajar con muestras pequeñas; pero si se trata de estimar proporciones, las muestras siempre son de un tamaño considerable (para estimar intención de voto, para estimar proporción de personas que acuerdan con ciertos productos, o con ciertas medidas de política).

Nuevamente llamamos la atención acerca de la ausencia de N (tamaño de la población) en la fórmula de cálculo... volveremos sobre esta cuestión.

Si existieran elementos de juicios para saber algo acerca de p, como por ejemplo si se trata de estimar la proporción de desempleados en una comunidad donde se conoce que ésta con seguridad no supera el 0,20, se colocará 0,20 en lugar de p y 0,80 para 1-p, así la muestra resultará menor que si se coloca 0,50. 15/ Sugerimos realizar el siguiente ejercicio: ¿cuál es el valor de p que hace máximo el producto

p.(1-p)? Busque ese valor aplicando lo que conoce de Matemática II acerca de maximizar funciones.


39

Actividad 23: Se quiere estimar la incidencia de la hipertensión arterial en el embarazo. ¿Cuántas embarazadas habrá que observar para estimar (con una confianza del 95%) dicha incidencia con un error del 2% en los siguientes casos?:

a) Sabiendo que en un sondeo previo se ha observado un 9% de hipertensas. b) Sin ninguna información previa.

Explique la diferencia entre ambos resultados. Actividad 24: La organización Apyme (que aglutina a las pequeñas y medianas empresas) necesita realizar un estudio sobre la proporción de PyMEs exportadoras que han sido beneficiadas con la devaluación del peso argentino. El Ministerio de la Producción estima que el 65% de ellas han aumentado su nivel de ingresos por esta razón. ¿Cuántas empresas deberá consultar esta organización si desea realizar una estimación precisa de dicho porcentaje?, definiendo un error del 3% y tomando dos niveles de confianza:

a) 95,45%. b) 99,73%.

Explique el efecto que tuvo sobre el tamaño de la muestra el cambio en el nivel de confianza. Actividad 25: Para conocer si hubo un cambio con respecto al Censo poblacional de 1991 se desea obtener una estimación para el año 2001 del número promedio de personas que residen en la misma vivienda. En el país hay un total de 6.500.000 viviendas. En 1991 había un promedio de 3,15 personas por vivienda y la varianza del número de personas por vivienda era de 0,5. ¿Cuántas viviendas se deben seleccionar para estar 95% seguros de que en el año 2001 el número promedio de personas por vivienda está a una distancia no mayor de 0,1 unidades de la media poblacional? Actividad 26: Se tiene previsto realizar una consulta popular a fin de conocer la opinión respecto de la anticipación de las elecciones. ¿A cuántos votantes se deberá entrevistar en un sondeo previo si se desea cometer un error no superior al 10% y depositar una confianza del 0,95 en las conclusiones?

7.2. Error, riesgo y tamaño de la muestra

En las fórmulas planteadas para determinar el tamaño muestral:

2 2 2

2 2

. . (1 ) y

z z p pn n

e e

σ −= =

puede observarse que el tamaño muestral depende de z, de la varianza y del error máximo aceptable. Es conveniente reflexionar acerca de estos elementos:

• z, valor extraído de la tabla de la distribución normal, determina la “confianza” de las estimaciones que se realizarán (1- α ), y por lo tanto el “riesgo” α de equivocarse al afirmar que cierto intervalo contiene al valor del parámetro;

• la varianza, ( 2 o p(1-p)σ ), indica una característica de la población, con respecto a

la variable de interés, si hay mayor o menor dispersión en la población, ello incide en el tamaño muestral y

• e, es el error máximo aceptable, medido en términos de la variable en cuestión si es cuantitativa, o en términos de proporción si es dicotómica.


40

Si en las fórmulas planteadas se despeja e, se observará que el error máximo depende del riesgo aceptado, de la varianza y del tamaño de la muestra. El cociente entre la varianza y el tamaño de la muestra, se conoce también como el cuadrado del “error estándar” del estimador:

2.(1 )

o p p

n n

σ −

¿Usted podría explicar por qué a las raíces cuadradas de estas varianzas de los

estimadores ( o .(1 )p p

nn

σ −) se las llama “errores estándar de estima-

ción”?

Actividad 27: Suponga que un investigador desea realizar un estudio sobre el gasto de las familias en la ciudad de Córdoba. Como no cuenta con información referida a esa variable utilizará como desviación estándar muestral la referida al ingreso familiar, obtenida en la Encuesta Permanente de Hogares, y que es s = $ 28,07.

a) Encontrar el tamaño de muestra adecuado si el investigador indica que el máximo error muestral no debe ser mayor que $ 2 por arriba o debajo de la verdadera media del gasto, y toma dos niveles de confianza:

1) 95,45%. 2) 99,73%.

b) Indicar cuál es el valor del riesgo si se toman muestras de tamaño:

1) 500. 2) 2000.

e) ¿Cuál sería el error si el nivel de confianza es de 0,9545 y el tamaño de la muestra es de 500 personas ?

7.3. Determinación del tamaño de la muestra teniendo en cuenta el error

relativo

Determinar el máximo error para una estimación en forma absoluta, puede constituir un serio inconveniente, especialmente cuando se desconoce la magnitud aproximada de los parámetros a estimar, sean estos medias o proporciones. Si en cambio, el error se expresa en forma relativa, como por ejemplo: un 10% de la media, o un 5% de la verdadera proporción, ese inconveniente sería superado, y se podría mantener un error máximo acotado según las necesidades. No obstante, aparecen (como de costumbre) otros inconvenientes a la hora de aplicar estas fórmulas. Simbolizando con ε la proporción del parámetro deseada como error máximo, resulta:

. e ε µ= o . e pε=

por lo tanto: 2 2

2 2.

nz σε µ

= o

2

2 2

(1 )

. n

z p p

pε=

−

Y recordando que σ µ es el coeficiente de variación de la variable en cuestión (CV),

resulta:

2 2

2

( )

. n

z CV

ε= o

2

2

(1 )

. n

z p

pε=

−


41

Estas fórmulas son adecuadas para calcular el tamaño de la muestra, cuando se conoce el coeficiente de variación, si se trata de una variable cuantitativa, o se tiene alguna idea del valor de p si es dicotómica, recordando que ahora se trata de un “error relativo”. Así por ejemplo, si ε = 0,10, significa que el máximo error aceptable es un 10% del valor del parámetro, sea éste una media o una proporción. En el caso de la media, suele resultar una ventaja el uso del coeficiente de variación en lugar de la varianza, ya que puede ser más estable, y en ese caso sería posible utilizar confiablemente valores obtenidos con anterioridad para ese coeficiente, o referidos a otras variables con un comportamiento similar.

Cuando se trata de una población finita, y se extrae la muestra sin reemplazo, es necesario aplicar el factor de corrección para las varianzas que intervienen en las fórmulas (9) ó (10). (Recordar de Estadística I esta corrección para muestreo sin reemplazo). En ese caso resulta (para la fórmula (9)):

2 2

2

..

1

zn

e

N n

N

σ=

−

−

como n aparece en ambos miembros, es necesario despejar. Llamando n∞ al

resultado de calcular el tamaño de muestra con reemplazo:

. 1

n .n=

(N-1)+nn n

N n

N

N∞

∞

∞=

−

−y despejando

Verifique que al despejar se obtiene el resultado indicado.

Para el caso de la proporción, llamando n∞ al resultado de (10), resulta exactamente

la misma fórmula. El tamaño de muestra así calculado, resulta algo menor al del muestreo con reme- plazo. Pero para que esa reducción tenga un efecto interesante, es posible advertir, analizando la fórmula, que n, tamaño de la muestra, debe ser importante (“grande”), comparado con N, tamaño de la población. La evidencia empírica indica que debe aplicarse la fórmula corregida, sólo cuando el tamaño de la muestra calculado, resulta superior al 5% del tamaño de la población, de lo contrario no es necesa- ria la corrección ya que la reducción en el costo (por menor tamaño muestral) será imperceptible. A continuación le proponemos una serie de actividades a resolver:

Actividad 28: Una compañía de transporte local de pasajeros piensa establecer una línea desde un determinado barrio hasta el centro de la ciudad. Dicha empresa quiere estimar la proporción de usuarios que utilizarían esta nueva ruta, con una confianza del 95% y un error máximo de ± 0,02. ¿Cuántas personas, sobre una población de 8.000 potenciales usuarios, debería entrevistar a fin de tomar la decisión de imple-


42

mentar el nuevo servicio? ¿Por qué los valores de n∞ y n son diferentes?

Actividad 29: Una compañía de televisión por cable, que cuenta con 5000 suscriptores en una determinada ciudad, querría estimar la proporción de los mismos que comprarían su revista mensual con la programación. Dicha empresa querría tener un 95% de confianza de que su estimación es correcta, con aproximación de ± 0,05. La experiencia previa en otras ciudades indica que cerca del 30% de los suscriptores compran la revista. ¿Qué tamaño de muestra es el adecuado a estos requerimientos si el muestreo se realiza sin reposición? Actividad 30: Se desea estimar la resistencia media a la tracción de una remesa de 1000 alambres de acero. Se conoce de estudios anteriores que la desviación estándar de la resistencia a la tracción es de aproximadamente 9,07 kg. ¿Qué cantidad de alambres de acero se deberán muestrear de la remesa, sin reposición, si se desea trabajar con una confianza de 0,95 de cometer un error de muestreo de 3 kg. o menos?

Actividades Complementarias

Actividad 31: Para llegar a una negociación salarial adecuada en un determinado sindicato se requiere una estimación precisa del salario actual de los empleados sindicalizados. Un agente laboral tomó una muestra de n = 60 empleados sindicalizados y en ella se encontró una media del salario quincenal de $ 247,45. Se sabe, de estudios anteriores, que la desviación estándar poblacional es de $ 21,60. Determinar un intervalo de confianza del 95% para el salario quincenal promedio de todos los empleados sindicalizados. Actividad 32: Un laboratorio muy importante está probando la reacción de una nueva droga para acelerar el crecimiento. Se aplicó la misma a una muestra aleatoria de 120 animales de laboratorio, arrojando un crecimiento promedio de 10 cm. y una varianza muestral de 2,56 cm2. Se pide: a) Encontrar un intervalo de confianza del 95% para µ. b) ¿Qué tan grande debería tomarse la muestra si se desea que la media

muestral no difiera de la media poblacional en más de 1 cm.? Actividad 33: En una semana de trabajo determinada se elige al azar una muestra de 300 empleados de una empresa manufacturera. Los trabajadores realizan una labor a destajo y se encuentra que el promedio de pago por pieza trabajada es de

x = $ 18 con una desviación estándar de s = $ 1,4. Estimar, con un nivel del 95%, un intervalo de confianza para el pago promedio a destajo de todos los empleados de la empresa. Actividad 34: Un supervisor del proceso de empacado de café en sobres tomó una muestra aleatoria de 12 en la misma planta empacadora. El peso neto de dichos sobres de café fue el siguiente:


43

Gramos por sobre Cantidad de sobres 15.7 15.8 15.9 16 16.1 16.2

1 2 2 3 3 1

Suponiendo que el peso del café empacado tiene distribución normal, estimar el peso promedio por sobre utilizando un nivel de confianza de 0,95. Actividad 35: El Dpto. de Marketing de un supermercado recopila datos de una muestra aleatoria de 100 clientes, seleccionados sin reposición de un conjunto de 400 clientes, titulares de una determinada tarjeta de crédito. Las 100 personas gastaron un promedio de $ 98,28 en el supermercado, con una desviación estándar de $ 26,40. Utilizando un nivel de confianza del 95% se pide estimar: a) el monto promedio de las compras para los 400 clientes b) el monto total, en pesos, para las compras realizadas por los 400 clientes. Actividad 36: En una muestra aleatoria de 15 alumnos del 5º año de un colegio secundario se encontró que 5 de ellos tenían decidida la carrera universitaria a seguir. Estimar la proporción de estudiantes secundarios que tienen decidido qué carrera seguir, a un nivel de 0,99. Actividad 37: Un analista financiero desea estimar el número promedio de sucursales de bancos extranjeros que se encuentran en el país. Conoce, por estudios muestrales previos, que la varianza poblacional es aproximadamente igual a 500. Sus requerimientos son: - máximo error muestral permitido: 3 - nivel de confianza: 95,45%. ¿Cuántos bancos se deberán muestrear, sin reposición, para satisfacer estos requerimientos? Se estima que la población de bancos extranjeros radicados en el país es de aproximadamente 60. Actividad 38: El dueño de una radio quiere conocer la proporción de gente que gusta de los programas deportivos. A cuántas personas deberá encuestar si: a) - el error muestral no debe ser mayor a un 2%

- el nivel de confianza es de 95% - la proporción de gente que gusta de estos programas es aproximadamente de 0,60

b) no se conoce nada acerca de la proporción de gente que gusta de este tipo de programas.

Actividad 39: a) ¿Cuántos intervalos de confianza se pueden construir para estimar µ? b) ¿Y para estimar P? c) ¿Todos contendrán el valor del parámetro? d) Se toma una muestra particular de tamaño n y se construye el intervalo de

confianza ¿contendrá este intervalo el verdadero valor del parámetro?


44

Actividad 40: a) ¿Para qué sirve conocer el error estándar de un estimador? b) ¿Es lo mismo que el error de estimación? Indique las fórmulas que conoce para cada caso. Actividad 41: Responda las siguientes aseveraciones con Verdadero o Falso, justificando en cada caso: 1. Un intervalo de confianza de nivel 99% para la media siempre contiene el

valor desconocido de la media poblacional. 2. Si el tamaño de la muestra y la varianza poblacional permanecen

constantes, y se disminuye el nivel de confianza del intervalo, entonces su amplitud aumenta.

3. Si el tamaño de la muestra y el nivel de confianza son fijos, y la variabilidad poblacional es mayor a la supuesta originalmente, entonces el nuevo intervalo de confianza que se obtiene será más amplio.

4. Mientras más observaciones se toman, menor amplitud tendrán los intervalos que se construyan.

5. Si se tiene una muestra grande, se puede usar la distribución normal para plantear intervalos de confianza.

6. Un intervalo de confianza de (1-α) para un parámetro está contenido en el correspondiente intervalo de confianza de (1-α/); siendo α > α/.

7. Si disminuye el nivel de confianza, disminuye la amplitud del intervalo y disminuye también el error estándar del estimador.

Actividad 42: Una pequeña industria dedicada a la fabricación de pilas produce 345 unidades diarias. Ante el reclamo de sus clientes en el sentido de que las mismas duran menos de 1000 hs. este fabricante pretende mostrar una estimación de la verdadera duración promedio de sus pilas. Esta industria conoce que la desviación típica poblacional es de 120 hs. La información disponible es: Estadística descriptiva

Resumen Pilas

n 81 Media 1203,38

Var(n-1) 12780,14

E.E. 12,56

Mín 905

Máx 1523

Mediana 1201 Q1 1121 Q3 1267

a) Indique cuál sería la estimación al nivel del 90%. b) Si el error máximo tolerado fuera de 47,04 hs., ¿qué cantidad de pilas

debería haber seleccionado? Actividad 43: Se tomó una muestra de 61 empresas exportadoras de la industria alimenticia que arrojó los siguientes volúmenes de exportación anual:


45

Exportaciones (miles de $)

Cantidad de empresas

10- 50 50- 90

90-130 130-170 170-250

9 19 21 7 5

Con un 90% de confianza estime:

a) la exportación media anual de las empresas de esta rama industrial. b) el porcentaje de empresas que no han alcanzado los 90 mil pesos de

exportación anual. Actividad 44: El Dpto. de Marketing de un supermercado recopila datos de una muestra aleatoria de 100 clientes, seleccionados sin reposición de un conjunto de 400 titulares de una determinada tarjeta de crédito. Las 100 personas gastaron un promedio de $ 98,28 en el supermercado, con una desviación estándar de $ 26,40. Utilizando un nivel de confianza del 95% ¿puede estimar el monto total, en pesos, para las compras realizadas por los 400 clientes? Actividad 45: Una editorial que lanza al mercado un nuevo periódico desea saber qué cantidad diaria aproximada debe imprimir. Para ello releva información, durante tres semanas, de la demanda diaria de ejemplares de otro diario local.

Demanda diaria 2451 2565 2278 2679 2610 2209 2404 2762 2912 2809 2658

2175 2619 2681 2369 2409 2015 2668 2315 2732 2411

¿Qué cantidad diaria a imprimir le sugiere a esta editorial? Use (1-α) = 0,99.

demanda diaria

2015,00 2249,16 2483,32 2717,48 2951,63

Cuantiles de una Normal(2511,54382)

2015,00

2249,16

2483,32

2717,48

2951,63

Cua

ntile

s ob

serv

ados

(dem

anda

dia

ria)

n= 21 r= 0,987 (demanda diaria)

Q-Q plot

demanda diaria


46

Si en lugar de tratarse de algún parámetro desconocido de una población se trata de dos poblaciones (la misma variable), y con el objeto de considerar las diferencias que pudieran existir entre ambas, se desea comparar sus parámetros, surge un problema diferente, que es el de estimar funciones en que intervienen parámetros de las dos poblaciones.

Podría plantearse como ejemplo estimar la diferencia entre las medias de ventas de dos sucursales de una empresa, o entre las varianzas del diámetro de las piezas producidas en dos máquinas diferentes, o entre los porcentajes de población económicamente activa existentes en dos ciudades capitales de provincia...

9.1. Diferencia de medias, muestras independientes

Se trata de estimar la diferencia existente entre1

µ y 2

µ , medias de dos poblaciones, a

partir de dos muestras independientes; esto es tomando una muestra de cada población; se plantea: a) El estimador de la diferencia de medias poblacionales, es la diferencia entre las

medias muestrales: 1 2

X X−

b) La esperanza de la diferencia, es igual a la diferencia de las esperanzas, por lo

tanto la esperanza del estimador, es 1 2

µ µ− ; la varianza del estimador, por ser las

muestras independientes, es igual a la suma de las varianzas (recordar

propiedades de la varianza), luego: 1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

2 2 2

X X X Xn n

σ σ σσ σ

− + +==

Se plantean entonces algunas alternativas para determinar el estadístico adecuado. 9.1.1. Varianzas poblacionales conocidas Siendo las poblaciones normales o las muestras suficientemente grandes como para aplicar el Teorema Central del Límite (se considera “suficiente” si cada muestra es superior a 30), entonces el estadístico:

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2

( ) ( )(0,1)~

X XN

n n

µ µ

σ σ

− − −

+ (11)

simbolizando con 1 2

X Xσ − (error estándar de la diferencia de medias) al denominador,

considerando la distribución normal, y despejando el parámetro a estimar, resulta:

1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

(( ) . ( ) ( ) . ) 1X X X X

P X X z X X zα ασ µ µ σ α− − − −− − < − < − + = −

que es la fórmula adecuada para estimar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, cuando se conocen las varianzas poblacionales.


47

Actividad 46: El gerente general de una empresa internacional ha estado examinando la cuenta de gastos del personal de los departamentos de Producción y Comercialización, conociendo por datos obtenidos de años anteriores que la desviación estándar para cada departamento es σ1 = 10 (departamento de Producción) y σ2 = 7 (departamento de Comercialización). Se tomó una muestra aleatoria de 5 empleados del departamento de Producción y 9 empleados de Comercialización

con los siguientes resultados: 1x = 150 y 2x = 200. Determinar, mediante la

construcción de un intervalo de confianza para la diferencia de medias, si hay diferencia significativa en los gastos promedio del personal de ambos departamentos con un nivel del 90% si se conoce además que dichos gastos se distribuyen en forma aproximadamente normal.

9.1.2. Varianzas poblacionales desconocidas

En este caso, es necesario buscar un estadístico adecuado que no contenga las varianzas poblacionales. Como en el caso de la estimación por intervalos de la media, cuando se desconoce la varianza, el estadístico está asociado a la distribución t. Pero ahora es necesario algún supuesto adicional bastante restrictivo, además del ya conocido de distribución normal de la variable en cada una de las poblaciones. Si esto se cumple, el estadístico (11), ya vimos que tiene distribución normal, y el estadístico:

1 2

2 2

21 1 2 2

22 2

1 2

( 1) ( 1)~

n n

n S n Sχ

σ σ + −

− −+ (12)

por ser suma de dos estadísticos con distribuciones 1 2

2 2

1 1 y

n nχ χ− − respectivamente. Se

sugiere revisar en Estadística I la distribución 2χ . El cociente entre el estadístico (11) y la raíz cuadrada de (12) dividido por sus grados de libertad, tiene una distribución t de Student, con los mismos grados de libertad de

la 2χ (es decir 1 2

2n n+ − ). Pero en ese cociente no es posible eliminar las 2σ

desconocidas. Ahora bien, si se agrega un nuevo supuesto: las varianzas de ambas poblaciones, si bien desconocidas, son iguales, entonces el cociente de los

estadísticos resulta (al reemplazar 22 2

1 2y por σ σ σ - sin subíndice porque son iguales):

1 2 1 2

2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 22 2

1 2 2

( ) ( )

( 1) ( 1)( 2)

~

/n n

X X

n n

n S n Sn n

t

µ µ

σ σ

σ σ

+ −

− − −

+

− −+ + −

Simplificando se eliminan las 2σ y resulta:

1 22

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )

( 1) ( 1).

2 .

~n nt

X X

n S n S n n

n n n n

µ µ+ −

− − −

− + − ++ −

(13)

Usted puede observar que el denominador (error estándar del estimador de la diferencia de medias) es la raíz cuadrada de la media ponderada de ambas varianzas muestrales; por ello varios paquetes estadísticos llaman a este caso, el de las “varianzas combinadas” o “pooled” en inglés.


48

En adelante llamaremos 1 2X X

S − a este denominador (error estándar combinado de la

diferencia de medias). El supuesto de las varianzas poblacionales iguales debe ser probado mediante los métodos que se estudian en el capitulo referido a la prueba de hipótesis, o mediante un intervalo de confianza para el cociente de varianzas, tal como se trata en el punto siguiente. A partir de esa prueba, si se concluye que no hay evidencias para sospechar que las varianzas son diferentes, se aplica el estadístico (13); si las hay, esto es si las varianzas poblacionales no pueden considerarse iguales, existe un estadístico desarrollado por Satterthwaite, en el cual se consideran las varianzas de ambas muestras "separadas" (como se hace con las poblacionales cuando éstas son conocidas),ya que no es correcto combinarlas; la distribución es también t de Student pero es necesario recalcular los grados de libertad, los cuales resultan menores que en el estadístico (13). Dicho cálculo se realiza de la siguiente forma (los grados de libertad de la t son en ese caso, la parte entera de v):

2 2

21 2

1 2

2 2

2 21 2

1 2

1 21 1

( )

( ) ( )

v

S S

n n

S S

n n

n n

=

+

+− −

El estadístico es entonces:

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2

( ) ( )~

v

X Xt

n nS S

µ µ− − −

+ (14)

Si las varianzas poblacionales son iguales, el intervalo de confianza resulta:

1 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 22(1 2(12) 2)(( ) ( ) ( ) 1). .

n n n nX X X XP X X S X X St tα αµ µ α+ − − + − −− −− − − < − + −< =

Si las varianzas poblacionales no son iguales, tenemos:

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 21 2(1 2) (1 2)(( ) ( ) ( ) 1

v vP X X t S n S n X X t S n S nα α αµ µ− −− − + < < − + + = −−

En este último caso, observe que son v los grados de libertad. Como de costumbre, si v es suficientemente grande, se utilizan los valores de la distribución normal.

Actividad 47: Una empresa de nuestra ciudad dedicada a la fabricación de jabón en polvo posee una sucursal en el interior de la provincia. El gerente de fabricación piensa que la producción media diaria (medida en cantidad de paquetes) de la sucursal es mayor que la de la casa matriz. Para saber si esto es así, se toman muestras aleatorias con los siguientes resultados: (La interpretación correcta de la segunda parte de la salida de computadora: “Prueba F…”. Se estudiará en el Capítulo III del programa, por ahora usted puede suponer que las varianzas poblacionales son iguales).


49

Paquetes casa matriz Paquetes sucursal 521 535 567 527 564 561 518 546 506

539 541 531 576 554 569 529 556 549

paquetes

525,18 537,89 550,59 563,30 576,00


525,18

537,89

550,59

563,30

576,00C

uant

iles

obse

rvad

os(p

aque

tes)

n= 9 r= 0,983 (paquetes)

sucursal

paquetes

paquetes

505,12 521,73 538,33 554,94 571,54

Cuantiles de una Normal(538,33,494)

505,12

521,73

538,33

554,94

571,54

Cua

ntile

s ob

serv

ados

(paq

uete

s)

n= 9 r= 0,974 (paquetes)

casa matriz

paquetes

Prueba F para igualdad de varianzas

Variable n(1) n(2) Var(1) Var(2) F p paquetes 9 9 494,00 261,25 1,89 0,3863 Con un nivel del 99%, opine sobre lo que piensa el gerente de esta empresa. Actividad 48: Los directores de una empresa dedicada a la fabricación de bolígrafos deben decidir la implementación o no de un nuevo proceso de fabricación de lapiceras. Si bien el nuevo proceso implica una disminución sustancial en los costos, quieren saber si la duración de la carga de tinta es aproximadamente la misma en ambos procesos. Para ello, el departamento de estadística de la empresa tomó una mues-


50

tra de bolígrafos fabricados por cada uno de los procesos, obteniendo los siguientes resultados:

Proceso antiguo Proceso nuevo

n1 = 200 Σxi = 11460 hs.

s12 = 9

n2 = 150 Σyi = 8565 hs.

s22 = 16

A partir de la construcción del intervalo de confianza que corresponda, ¿puede contestar si se debe implementar o no el nuevo proceso de producción, a un nivel del 95%? ¿Qué supuestos deberían corroborarse antes de construir dicho intervalo? Actividad 49: Con la salida que se muestra a continuación, ¿puede decir si existe diferencia significativa en la duración (en km.) de dos marcas de neumáticos? Si construyera usted el intervalo informado, ¿obtendría los mismos límites? (La interpretación correcta de la segunda parte de la salida de computadora: “Prueba F…”. Se estudiará en el Capítulo III del programa, por ahora usted puede suponer que las varianzas poblacionales son iguales). Intervalo T para muestras Independientes Clasif. Variable n(1) n(2) media(1) media(2) LI(90%) LS(90%) marca vida útil 10 8 4651,53 4040,13 436,74 786,06 Prueba F para igualdad de varianzas Variable n(1) n(2) Var(1) Var(2) F p vida útil 10 8 52315,61 34411,52 1,52 0,5942

4297,77 4474,65 4651,52 4828,40 5005,28

Cuantiles de una Norm al(4651,5,52316)

4297,77

4474,65

4651,52

4828,40

5005,28

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

(vid

a ú

til) n= 10 r= 0,984 (v ida útil)

m arca= 1


51

3729,39 3878,72 4028,06 4177,39 4326,73

C uan tiles de una N orm a l(4040 ,1 ,34412)

3729,39

3878,72

4028,06

4177,39

4326,73

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

(vid

a ú

til) n= 8 r= 0,993 (v ida útil)

m arca= 2

9.2. Diferencia de medias. Muestras dependientes (observaciones apareadas)

Cuando se trata de construir un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales, pero se parte de un par de muestras dependientes, no puede utilizarse ninguno de los estadísticos planteados en los puntos anteriores, ya que todos se basan en las propiedades de la varianza para variables independientes.

Algunos ejemplos de situaciones en que no hay muestras independientes aclararán el concepto. Un caso frecuente es aquél en que ambas muestras corresponden a las mismas observaciones en distintos momentos del tiempo: por ejemplo, se trata de construir un intervalo para la diferencia de medias de tensión arterial antes y después de un tratamiento, para una muestra de pacientes hipertensos (hay una diferencia de medias “antes” y “después”, pero se tomó una sola muestra y se realizaron a los mismos individuos dos mediciones; o se trata de analizar la diferencia entre el rendimiento promedio de un grupo de operarios trabajando en un turno matutino y el mismo grupo trabajando en turno vespertino; o la diferencia en los montos promedio de ventas de una muestra de vendedores antes y después de haber realizado un curso de capacitación para ventas… En estos casos, las diferencias no constituyen observaciones de muestras independientes puesto que se trata de la misma muestra observada en dos oportunidades; el valor de la variable no depende sólo del momento en que se mide, sino también de la observación de que se trata16/.

Para situaciones como las referidas, es conveniente, en lugar de trabajar con las

variables 1

X y 2

X , definir una nueva variable que sea igual a la diferencia entre

ambas:

1 2D X X= − , siendo cada observación

1 2i iid x x= −

16/ Hay otras situaciones de muestras dependientes, las que siempre tienen en común el hecho

que no hay dos muestras seleccionadas independientemente al azar, sino que la elección aleatoria de una de ellas determina la de la segunda. Por ejemplo, se desea construir un intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de temperatura de un grupo de pacientes que sufren de cierta afección y los que no la sufren; se toma una muestra de pacientes con la afección, y luego a cada uno de ellos se “aparea” una persona con características lo más similares posibles de edad, sexo, peso, etc. pero en los que esa afección está ausente. Sólo hay una muestra elegida al azar, la otra se construye buscando uno a uno los individuos adecuados.


52

Muestra 1 Muestra 2 d

11x 21x 1d

12x 22x 2d

….. …. …

1nx 2nx nd

De esta manera, se calculan la media y varianza muestrales de la nueva variable D y se utiliza un estadístico similar al necesario para construir un intervalo de confianza para la media de una variable (en este caso, la variable D). Como se trabaja siempre con la varianza muestral, siendo la varianza poblacional desconocida, corresponde utilizar el estadístico con distribución t de Student y se necesita el supuesto de poblaciones normales (ver punto 6.2.):

Media muestral:

id

d

n=∑

Media poblacional:

∆

Varianza estimada muestral:

2 2

2

1

i

dS

d nd

n

∑ −=

−17/

El estadístico adecuado es entonces:

1~ n

d

dt

S n−

− ∆

Y el intervalo de confianza para la diferencia poblacional ∆ resulta:

1(1 2) 1(1 2)

n d n dLIC d t S n LSC d t S nα α− − − −= − = +

Actividad 50: Un fabricante desea comparar el desgaste de dos distintos tipos de neumáticos A y B. Para realizar la comparación se montan en las ruedas traseras de cada uno de 10 automóviles un neumático del tipo A y uno del tipo B. Éstos se usan por una distancia preestablecida y se registra la cantidad desgastada de cada neumático. Los datos obtenidos fueron:

Automóvil Neumático A Neumático B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10,60 9,80 12,3 9,7 8,8

12,35 10,55 8,93 9,24 10,00

10,14 9,52 11,98 9,3 8,48 12,01 10,09 8,63 9,00 9,50

17/ Se trata de una fórmula de cálculo, usted puede verificar que se obtiene a partir de la defini-

ción de varianza muestral corregida.


53

Observando los datos de la muestra se puede ver que los valores de la primera columna son mayores a los de la segunda. ¿Se puede decir que esto es así en la población? En caso afirmativo, ¿en cuánto más se desgastan los neumáticos A en comparación con los neumáticos B? Trabaje con una confianza de 0,95.

dif . neumáticos A y B

0,23 0,30 0,36 0,43 0,50

Cuantiles de una Norm al(0,36294,0,0075438)

0,23

0,30

0,36

0,43

0,50

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

(dif.

ne

um

átic

os

A y

B)

n= 10 r= 0,968 (dif .neumáticos A y B)

Q-Q plot

dif . neumáticos A y B

Actividad 51: Para comparar la efectividad de un programa de seguridad en el trabajo la Cámara de Industriales Metalúrgicos observó, en 12 plantas industriales, el número de accidentes por año antes y después de dicho programa. Con los datos de la salida que se muestran a continuación indique si la Cámara puede recomendar la implementación de dicho programa. Intervalos de confianza (muestras apareadas)

Obs(1) Obs(2) N media(dif) DE(dif) LI(90%) LS(90%) antes después 12 3,83 3,59 1,97 5,69

diferencia

-2,03 0,97 3,98 6,99 10,00


-2,03

0,97

3,98

6,99

10,00

Cu

an

tile

s o

bs

erv

ad

os

n= 12 r= 0,970 (diferencia)

Q-Q plot

diferencia


54

9.3. Diferencia de proporciones. Muestras independientes

Se trata de obtener el estadístico adecuado para construir intervalos de confianza para una diferencia de proporciones, estamos hablando por lo tanto de dos poblaciones dicotómicas. Sólo consideramos el caso de muestras independientes y suficientemente grandes como para usar la aproximación normal (esto es, np y nq mayores que 5 para cada una de las muestras). Los estimadores de cada una de las proporciones poblacionales son las proporciones muestrales, y por propiedades de esperanza y varianza de una diferencia de variables aleatorias independientes, el estadístico es:

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ( ) ( )(0,1)

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )~

p p p pN

p p p p

n n

− − −

− −+

Las proporciones estimadas en el denominador, utilizadas como estimadores de los errores estándar de la proporción en cada muestra, se aplican por desconocimiento de las poblacionales, produciéndose por este motivo un error adicional que, en general, no es importante (ver punto 6.3.).

Simbolizando con 1 2ˆ ˆ

ˆp pσ − el denominador de la expresión anterior, el intervalo resulta:

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) . ( ) .p p p pLIC p p z LSC p p zα ασ σ− − − −− − = − +

Actividad 52: Al intentar medir la opinión de los padres respecto a un nuevo plan de estudios, un supervisor escolar recopila muestras aleatorias de 100 padres de familia, en cada una de las dos regiones más importantes incluidas en el sistema escolar. En la primera región 70 padres de familia señalaron que están a favor del nuevo plan de estudio; mientras que en la segunda región sólo 50 padres indicaron estar a favor. ¿Existe diferencia en la opinión de los padres en las dos áreas, a un nivel del 95%? Actividad 53: En una fábrica de alfajores donde hay instaladas dos líneas de armado y horneado, una muestra de n1 = 200 alfajores de la primera línea mostró 15 unidades desgranadas; mientras que una muestra de n2 = 100 alfajores de la otra línea mostró 12 desgranados. Si compara ambas líneas, ¿qué puede concluir a un nivel de confianza del 99%?

9.4. Intervalo de confianza para el cociente de varianzas. Poblaciones norma-

les

Cuando se desea establecer un intervalo de confianza que compare las varianzas de dos poblaciones, tomando muestras de forma independiente en cada una de ellas, hay que tener en cuenta que para comparar varianzas existen estadísticos que contemplan el cociente, en lugar de la diferencia (como ocurre para medias o proporciones). Si se recuerda de Estadística I que el estadístico:

2

1 1

2

1 1

2

2 2

2

2 2

1 2( 1, 1)

( 1)

( 1)

( 1)

( 1)

~ n n

n S

nF

n S

n

σ

σ

− −

−−−−

Tiene esta distribución por tratarse de un cociente entre dos 2χ independientes,


55

divididas por sus grados de libertad. Luego, simplificando, resulta el estadístico:

1 2

2 2

1 2

2 2

2 1

( 1, 1)~ n nFS

S

σσ − −

Al despejar el cociente de varianzas poblacionales, se obtiene el intervalo de confianza

(para el cociente 2

1

2

2

σσ

):

2 2

1 1

2 2

2 1 2 2 2

1 1S SLIC LSC

S F S Fα α−

= =

Recuerde de Estadística I, cómo debe buscar el valor de F para una probabilidad de

cola izquierda, a fin de obtener el 2Fα .

Actividad 54: Se intenta lanzar al mercado un nuevo tipo de plástico que se presume posee menos variabilidad en la resistencia a la rotura que el que se produce actualmente. Se tomaron dos muestras aleatorias, una de cada tipo de plástico, y se los sometió a pruebas de resistencia, con los siguientes resultados:

Tipo I: 75 40 80 63 49 Tipo II: 47 72 69 59 65 73 50

Suponiendo que ambas poblaciones se distribuyen normalmente, determinar si existe diferencia significativa, a un nivel del 99% para la variabilidad en la resistencia a la rotura de ambos tipos de plástico. Actividad 55: En la industria de manufacturas metálicas la productividad, y consecuentemente la utilidad, depende en gran medida de la calidad y uniformidad de las materias primas. Suponga que se tienen bajo consideración dos fuentes principales de materias primas, para las cuales el fabricante no está seguro acerca de su respectiva uniformidad en el contenido de impurezas. Se toman 10 muestras de 100 kg. cada una de cada fuente y se determina la cantidad de impurezas en cada muestra. Los resultados fueron:

Material A Material B

1y = 41,30

2y = 39,60

12s = 18,75 2

2s = 7,85

¿Sugieren estos datos una diferencia significativa en la uniformidad en el contenido de impurezas en los dos materiales, a un nivel de 0,90?

Suponga poblaciones normales. 9.5. Consideraciones generales para interpretar los intervalos de confianza

para diferencias de medias o proporciones y cocientes de varianzas

La interpretación de estos intervalos se relaciona íntimamente con las pruebas de hipótesis para comparar medias, proporciones o varianzas de dos poblaciones, tema que se estudia en el Capítulo III. En este Capítulo se trata de dar una interpretación que deberá ser completada luego con aquellos conceptos.


56

Si se obtiene un intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones, llamando a y b a los límites inferior y superior del mismo, puede decirse, con una confianza igual a 1 α− que:

1 2a bµ µ< − < .

Esto puede leerse como que, con una elevada confianza, puede esperarse que la diferencia de medias esté comprendida entre a y b. Si a y b son ambos positivos,

significa que es muy probable que 1

µ sea mayor que 2

µ ; si, por el contrario, ambos

límites son negativos, ello implica que es muy probable que 1

µ sea menor que 2

µ (por

eso la diferencia negativa). En cambio, si a es negativo y b es positivo, ello sugiere que la diferencia entre las medias poblacionales puede ser tanto negativa como positiva, no pudiendo afirmar nada respecto a cuál de las medias es mayor. Es por este razonamiento que suele afirmarse, en cualquiera de los dos primeros casos (ambos extremos de igual signo), que la diferencia observada entre las medias muestrales es significativa, en el sentido que indica con alta probabilidad que una de las medias poblacionales es mayor que la otra. Por el contrario, si los signos son diferentes, se afirma que la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, en el sentido que no puede afirmarse, a partir de los resultados muestrales, que alguna de las medias poblacionales supere a la otra. Este mismo razonamiento se aplica para la diferencia de proporciones. Si en cambio, se trata de un cociente de varianzas, el intervalo sería de la forma:

2

1

2

2

a bσσ

< < y en este caso, la existencia de diferencia significativa o no

significativa entre las varianzas muestrales se determina según a y b sean ambos menores que 1 (en ese caso la segunda varianza es menor que la primera), ambos mayores que 1 (la segunda varianza es mayor que la primera). Pero si a es menor que 1 y b mayor que 1, entonces concluimos que no hay diferencia significativa entre las varianzas muestrales, que permita concluir la existencia de una diferencia entre las varianzas poblacionales. Interpretar los resultados de los ejercicios anteriores sobre diferencias. Ejercicio adicional Finalizamos aquí el primer Capítulo, donde hemos aprendido a “estimar” parámetros desconocidos de una población, y a comparar parámetros de dos poblaciones. Sugerimos como actividad de cierre de este apartado revisar la forma en que se fueron planteando los problemas; volver sobre las consignas dadas en cada caso, reconocer datos y preguntas, para finalmente, reflexionar sobre la manera en que los ha resuelto, el “tipo de razonamiento” seguido y los posibles obstáculos o dificultades que se fueron presentando en este proceso. Sería interesante también que intente “inventar” posibles problemas, desafiando de ese modo la identificación de situaciones de la práctica profesional o la vida cotidiana en las que la estimación puede ser de utilidad. En el Capítulo III se retomará el tratamiento de los estadísticos aquí utilizados, pero para encarar el otro aspecto fundamental de la Inferencia Estadística: la prueba o contraste de hipótesis. Antes de eso en el Capítulo II, estudiaremos cómo se toman las muestras para realizar las estimaciones o las pruebas de hipótesis. ¿Por qué este orden? Porque


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resultan muy importantes para definir el método de muestreo de los conceptos de “error” y “precisión” de las estimaciones que hemos desarrollado en el presente Capítulo.

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