Objetivos de la lección - · PDF filepuedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales. –Siempre se resta el exponente de la variable que está

Objetivos de la lección

Al finalizar esta lección los estudiantes:

• Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos.

• Aplicarán el método de la división larga al dividir por un binomio.

• Aplicarán el método de la división sintética al dividir por un binomio del tipo (x- a).

Introducción• La división de polinomios es muy útil en

muchas aplicaciones relativas a la economía, física e ingeniería, entre otras.

• Entre estas aplicaciones se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas.

Introducción• Para dividir polinomios podemos aplicar varios

métodos.• En esta lección estudiaremos cómo se dividen

polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos.

• Estudiaremos el método de la división larga y el método de la división sintética.

• La división larga aplica a todo tipo de polinomio. La división sintética aplica solo a unos casos particulares que discutiremos más adelante.

Comprendiendo la División

Comprendiendo la División

• La división es una operación matemática que consiste en saber cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).

• Ejemplo:– Cuando decimos “6 dividido por 2” (6 ÷ 2),

queremos determinar cuántas veces está contenido el 2 dentro de 6.

– En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el dividendo.

DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO

Componentes de la División• Los componentes de la división son los siguientes:

– Dividendo– Divisor– Cociente– Residuo

• Se le llama cociente al resultado de la división y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor.

• La relación existente entre estos componentes es la siguiente:

) Dividendo- (cociente x divisor)

Residuo

DivisorCociente

Relación entre los Componentes de la División

• A veces es conveniente expresar la relación de división anterior de otra manera.

• Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor,


DIVISOR DIVISOR DIVISOR

• Obtenemos la siguiente expresión:

• Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.


DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUODIVISOR DIVISOR

1

1

Relación entre los Grados de los Componentes de la División

• Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. • Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del

divisor.

• Así también, la división de polinomios asume que el grado del dividendo será mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría exponentes negativos y entonces no sería un polinomio.

• Esta relación nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operación. Gradoresiduo < Gradodivisor ≤ Gradodivdendo

Formas de Expresar la División

• Existen tres formas de expresar la división:– Forma 1: a ÷ b, donde “a” es el dividendo y “b”

es el divisor.

– Forma 2: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.

– Forma 3: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.

ab

ba

• La forma 2 se conoce como la forma de la “casita de división”.• La forma 3 se conoce como la forma de “fracción”.

Formas de Expresar la División• Es necesario que podamos intercambiar entre una

expresión y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de división.

• Por ejemplo: -En la expresión (x2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) debemos saber que la expresión a la izquierda del signo de división (x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo (x + 1) es el divisor.-Podemos expresar esa división de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de división y el divisor se coloca fuera de la misma:

-También, podemos expresar esa división de la siguiente manera:

121 2 xxx

1122

xxx

Ejemplo 1• Exprese la siguiente división usando la forma 2

(casita de división):

• Cuando tenemos la forma de fracción, el polinomio que está en el numerador es el dividendo y el que está en el denominador esel divisor.

• En la forma 2 el dividendo es el término queva dentro de la casita de división y el divisor el que va fuera:

31272

xxx

1273 2 xxx

Ejemplo 2 • Exprese la siguiente división usando la forma 3

(forma de fracción):

• En la forma 1 el dividendo es el término que que está a la izquierda del símbolo de división y el divisor es el que está a la derecha:

• En la forma 3 el dividendo es el término que va en el numerador y el divisor el que va en el denominador:

2652

xxx

)2()65( 2 xxx

División de Polinomios por un Monomio

División por un MonomioEjemplo 1: (16x5 – 8x4 + 5x3 – 2x2) ÷ 4x

• Para dividir por un monomio es conveniente expresar la división de esta forma:

• Observa que esto es una expresión racional, es decir, una fracción con numerador y denominador.

• En una expresión racional, el denominador es común a todos los términos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la expresión de la siguiente forma:

xxxxx

425816 2345

xx

xx

xx

xx

42

45

48

416 2345

Continúa en la próxima pantalla.

División por un Monomio• En una expresión como la anterior, donde tenemos

varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada expresión:

• Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se puedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales. – Siempre se resta el exponente de la variable que está en el

numerador menos el exponente de la variable que está en el denominador.

– Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan expresados tal como están o se simplifican si tienen algún factor común entre sí.

xx

xx

xx

xx

42

45

48

416 2345

División por un Monomio• Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio

anterior tenemos:

xxxxxx

xx

xx

xx

21

4524

42

45

48

416 234

2345

Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio, dividimos cada término del polinomio por el monomio, en forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes.

Ejemplo 2Divide ( ) por 4x.

• Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio 4x. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:

4812 23 xxx

xxx

xx

xx

xxxx

44

448

412

44812 2323

xxx 14123 2

Ejemplo 3Divide ( ) por

• Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio . Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:

324354 538 yxyxyx

32

32

32

43

32

54

32

324354 538538yxyx

yxyx

yxyx

yxyxyxyx

538 22 xyyx

32yx

32yx

División de Polinomios por un Binomio:

Método de la División Larga

División por un binomio

Divide ( ) por ( ).

• Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el método de la división larga.

• El método de división larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos números cardinales cualesquiera.

• En la próxima pantalla repasaremos la división de números cardinales.

852 xx 3x

Repaso de División de Cardinales• Si deseamos dividir (4565 ÷ 25) utilizamos la casita de

división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera:

• Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.

Cociente

DividendoDivisor

Residuo

456525182

-25206

-20065

-5015


• Divide ( ) por ( ) .852 xx 3x

853 2 xxx1. Se divide x2 y el resultado es x.

x

2. Se coloca el resultado x en el cociente.

x

3. Se multiplica el cociente x por todo el divisor (x+ 3) y se coloca debajo del dividendo.

x2 + 3x

4. Ahora tendríamos que restar:(x2 + 5x) – (x2 +3x). Veremos en la próxima pantalla.


• Divide por .)85( 2 xx )3(x

853 2 xxxx

6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próximo término del dividendo. Observa que el primer término x2 y -x2 se eliminan.

-x2 + -3x

5. Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio:

(x2 + 5x) – (x2 +3x) = (x2 + 5x) + (-x2 + -3x)

Observa que los signos del segundo polinomio cambian al opuesto de lo que eran y ahora se suma, y no se resta.

2x + 8

7. Se repite el proceso (pasos 1-6). Veamos en la próxima pantalla.


• Divide por .)85( 2 xx )3(x

853 2 xxxx

11. Se efectúa la suma del opuesto. Observa que el primer término 2x se elimina.

-x2 + -3x2x + 8

8. Se divide 2x y el resultado es 2.x

9. Se coloca el resultado + 2 en el cociente.

10. Se multiplica el cociente +2 por todo el divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se coloca este resultado debajo del anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el opuesto tendríamos:

(2x + 8) – (2x +6) = (2x + 8) + (-2x + -6)

+ 2

-2x + -6

12. Hemos finalizado el proceso ya que no tenemos ningún otro término en el dividendo que tengamos que bajar. El resultado es (x + 2) con residuo 2.

2


• Divide por .852 xx 3x

Podemos expresar esta división de la siguiente manera:853 2 xxx

x

-x2 + -3x2x + 8

+ 2

-2x + -62

32)2(

3852

xx

xxx

Observa que el residuo 2 es una parte fraccionaria del divisor.

Cociente Residuo

Ejemplo 2

• Divide por .)8635( 234 xxxx )1(x

86351 234 xxxxx1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3.

x

2. Se coloca el resultado 5x3 en el cociente.

5x3

3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo el divisor (x - 1) y se coloca debajo del dividendo.

5x4 - 5x3

4. Ahora tendríamos que restar:(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3). Veremos en la próxima pantalla.

Continuación de Ejemplo 2

• Divide por .8635 234 xxxx 1x

86351 234 xxxxx5x3

-5x4 + 5x3

6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próximo término del dividendo. Observa que el primer término 5x4 y -5x4 se eliminan.

5. Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio:

(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) = (5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3)

7. Se repite el proceso (pasos 1-6). Veamos en la próxima pantalla.

6x3 – 3x2



86351 234 xxxxx5x3

-5x4 + 5x3

6x3 – 3x2

8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2.x

9. Se coloca el resultado + 6x2 en el cociente.

10.Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 – 6x2. Se coloca este resultado debajo del anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el opuesto tendríamos:

(6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) = (6x3 – 3x2) + (-6x3 + 6x2)

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

11. Se eliminan los primeros términos 6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 .

12. Se baja el próximo término -6x.



86351 234 xxxxx5x3

-5x4 + 5x3

6x3 – 3x2

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

13. Se repite el proceso de dividir, luego multiplicar, luego restar, finalmente bajar el próximo y último término.

-3x2 + 3x

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3 - 11

Observa que cuando se ha bajado el último término del dividendo y se ha obtenido el residuo correspondiente a éste, el proceso de división finaliza. Este será el resultado final.



86351 234 xxxxx5x3

-5x4 + 5x3

6x3 – 3x2

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

-3x2 + 3x

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3 - 11

Podemos expresar esta división de la siguiente manera:

111)3365(

18635 23

234

xxxx

xxxxx

Observa que el residuo -11 es una parte fraccionaria del divisor.

Cociente Residuo

Reflexión• Cuando se aplica la división larga hay dos

reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir.– El dividendo y el divisor tienen que estar

ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables.

– Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0x ó 0x2 ó 0x3, dependiende de la potencia que falte.

Ejemplo 3:

• En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.

• Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2.

80012525 23 xxxx

258125 3

xx

80012525 23 xxxx25x2


Continuación Ejemplo 3:

• Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y tenemos:

• Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos:

258125 3

xx

80012525 23 xxxx25x2

125x3 – 50x2

80012525 23 xxxx25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0xContinúa en la próxima pantalla.

Observa que si no hubiéramos reservado el espacio de la potencia de x2 , no hubiéramos podido sumar ya que los términos no hubieran sido semejantes.


• Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x. Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x – 2). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el próximo término.

258125 3

xx

80012525 23 xxxx25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x


+ 10x

-50x2 + 20x20x – 8


• No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el último término, todavía no hemos obtenido el residuo.

• Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego multiplicamos 4 por el divisor (5x – 2) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo.

258125 3

xx

80012525 23 xxxx25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x

+ 10x

-50x2 + 20x20x – 8

+ 4

-20x + 80 Residuo

Ejemplo 4:

• Se ilustra el proceso para dividir:

• El resultado es:

259 24

xxx

50902 234 xxxxx-x4 + 2x3

2x3 – 9x2

-2x3 + 4x2

-5x2 + 0x 5x2 – 10x

-10x – 5

Residuo10x – 20

x3 + 2x2 – 5x – 10

– 25

2251052 23

xxxx

Ejemplo 4:

• Se ilustra el proceso para dividir:

• El resultado es:

259 24

xxx

50902 234 xxxxx-x4 + 2x3

2x3 – 9x2

-2x3 + 4x2

-5x2 + 0x 5x2 – 10x

-10x – 5

Residuo10x – 20

x3 + 2x2 – 5x – 10

– 25

2251052 23

xxxx

División de Polinomios por Binomios de la forma (x – a):

Método de la División Sintética

División Sintética

• La división sintética es un proceso de división sintetizado o resumido.

• Esto implica que es un proceso más corto, lo único que solo aplica cuando el divisor tiene la forma (x – a), o sea el coeficiente de x es 1.

• La división sintética se conoce también por el Método de Ruffini.

• Para entender mejor este método observa la próxima pantalla.

División Sintética• Compara la columna de la izquierda con la de la

derecha. ¿Qué observas?

• La columna a la izquierda ilustra el método de división larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, excepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables.

853 2 xxxx

-x2 + -3x2x + 8

+ 2

-2x + -62

851311

-1 + -32 + 8

+ 2

-2 + -62

División Sintética• Veamos otro ejemplo

• Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo, excepto por el signo opuesto.

7342 23 xxxx4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x11x + 7

-11x + 2229

71344

-4 + 85 + 1

+ 5 + 11

-5 + 1011 + 7

-11 + 2229

1 – 2


• Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros términos cuando se van a sumar.

7342 23 xxxx4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x11x + 7

-11x + 2229

1 – 2 71344

-4 + 85 + 1

+ 5 + 11

-5 + 1011 + 7

-11 + 2229

4


• Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener también si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en vez de restar.

7342 23 xxxx4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x11x + 7

-11x + 2229

71344

-4 + 85 + 1

+ 5 + 11

-5 + 1011 + 7

-11 + 2229

1 – 2

Reflexión• En la división sintética se sintetiza el proceso

de división larga al tomar en consideración las observaciones anteriores.

• Ilustraremos el proceso de división sintética usando el mismo ejercicio anterior.

• Veamos en la próxima pantalla:2

734 23

xxxx

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2734 23

xxxx

Aquí se colocan los coeficientes del dividendo en orden descendente. Si falta alguna potencia de la variable, se reserva el espacio con un cero

Este es el símbolo que se usa para representar la división sintética


Se coloca esta línea para separar los coeficientes de la suma

Aquí se escribe el opuesto del segundo coeficiente del divisor.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2734 23

xxxx

1 El proceso comienza siempre bajando el primer término.

2. Luego se multiplica el primer coeficiente por el coeficiente que representa el divisor y se coloca debajo del segundo término del dividendo.

3. Se suman los segundos coeficientes.

4. Se repite el paso 2 y 3 pero con el nuevo coeficiente hallado.

4 5 11 29

8 10 22

5. Colocamos una línea para separar el residuo del cociente.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2734 23

xxxx

4 5 11 29

8 10 22

RESIDUO

COCIENTE

Observa que al dividir por un divisor de grado 1 (x-a), se producirá un cociente de grado uno menos que el grado del dividendo. Esto es, si el dividendo es de grado 3, el cociente será de grado 2.

Grado 3

Grado 1

Es por esto que podemos construir el cociente asignando a los coeficientes encontrados, comenzando con la variable en un grado menos que el grado del dividendo. Las demás potencias de las variables quedarán en forma descendente.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2734 23

xxxx

4 5 11 29

8 10 22

229)1154(

2734 2

23

xxx

xxxx

4x2 + 5x+ 11Grado 1

Grado 2

Grado 0

Como el residuo es parte fraccionaria del divisor tenemos que 29 representa: 29

x - 2

Grado 3

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2306 23

xxxx

+ 2

Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer coeficiente.

1

Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente.

2

8

Sumamos los segundos coeficientes

Repetimos el proceso de multiplicar y sumar hasta obtener el residuo.

16

15

30

0

RESIDUOCOCIENTE

Comenzamos colocando los coeficientes del dividendo asegurándonos que las variables están en orden descendente.

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2306 23

xxxx

+ 2

1

2

8

16

15

30

0

x2 + 8x+ 15Grado 1

Grado 2

Grado 0

RESIDUO

1580)158(2

306 2223

xxxxx

xxx

Cociente + Residuo

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3572 23

xxx

-3

Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer coeficiente.

2

Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente.

-6

1

Sumamos los segundos coeficientes

Repetimos el proceso de multiplicar y sumar hasta obtener el residuo.

-3

-3

9

4

RESIDUOCOCIENTE

Colocamos los coeficientes del dividendo en orden descendente. Como falta la potencia x, reservamos el espacio con un cero

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3572 23

xxx

-3

2

-6

1

-3

-3

9

4

COCIENTE

32 2 xx

RESIDUO

34

x

34)32(

3572 2

23

xxx

xxx

Ejemplo 4:

1 0 0 0 -1

114

xx

+1

1

1

1

-1

1

1

1

1

0

COCIENTE

123 xxx

RESIDUO

10x

)1(11 23

4

xxxxx

Ejercicios de Práctica

Instrucciones

• En tu libreta, realiza los ejercicios a continuación.

• Luego, haz clic para ver resultados.


• Divide los polinomios a continuación.

2

256

6361824

xxxx 634 34 xx

2

247

5152045

yyyy

)2()221432( 222334 babababa

349 25 yy

11716 22 abba



7x)3()2110( 2 xxx

)4()168( 2 aaa

)42()1464( 23 yyy

)2()652( 2234 xxxxx

432)2(a

a

426)22( 2

yyy

2123)92( 2

2

xxxx



14)1( 2

xxx)1()522( 23 xxxx

)4()1911( 2 aaa

)3()18253( 24 xxx

)2()16( 4 yy

447)7(

aa

)6293( 23 xxx

)842( 23 yyy

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