Objetos fractales(Autosemejanza)

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Geometría Fractal 1.- Objetos fractales. Autosemejanza 10/03/2010

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1.- Objetos fractales. Autosemejanza

Benoît Mandelbrot - Concepto de estructura fractal - Autosemejanza - Dimensión topológica - Dimensión de recubrimiento - Galería de

fractales clásicos: el conjunto de Cantor, la escalera del diablo, las curvas de Weierstrass, Mandelbrot-Weierstrass y Takagi, un ejemplo

diferente, las curvas de Peano y de Hilbert, los dragones de Heighway y Lévy, la procesión de cangrejos, conjuntos autoafines, las curvas

de Koch, Sierpinski, Kiesswetter y Given-Mandelbrot - Movimiento browniano - Fechas significativas - Algunas aplicaciones: la física de la

música y el canto de los pájaros, sistemas críticamente autoorganizados, dithering de imágenes con la curva de Hilbert

Nació en Polonia en 1924, de familia judía lituana, y emigró a Francia en 1936, donde se había establecido su

tío Szolem Mandelbrojt, a la sazón profesor de Matemáticas en el Collège de France, y a quien la educación de

Benoît quedó confiada.

Terminada la guerra, Benoît consiguió el ingreso, simultáneamente, en l’École Normale y l’École Politechnique.

Su personalidad y probablemente su clase de preparación le impulsaron a seguir sus estudios en l´École

Politechnique, bajo la dirección de Paul Lévy, que ejerció una gran influencia sobre su discípulo.

En 1935 se fundó la célebre escuela Bourbaki, organizadora del nuevo pensamiento matemático. Sus miembros

fundadores eran: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel y Szolem Mandelbrojt, supuestos colaboradores de

Nicolas Bourbaki.

Los objetivos fundamentales del policéfalo autor, eran la reconstrucción del edificio matemático sobre bases

axiomáticas. Sus trabajos cristalizaron en la redacción de una enciclopedia, “Éléments de Mathematique”.

Además, la asociación celebraba seminarios periódicamente.

Bourbaki rechazaba, en particular, el empleo de figuras o gráficas para ilustrar conceptos o demostraciones en

Matemáticas: la vista podía engañar a la razón. La influencia de Bourbaki en l’École Normal era particularmente

importante, razón que pudo influir en Mandelbrot para decidir su entrada en la Politechnique.

En 1945, su tío Szolem recomendó a Benoît la lectura de un escrito de 300 páginas de Gaston Julia (1893-

1978) titulado “Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles”, precursor de la moderna teoría de sistemas

dinámicos. Y, de acuerdo con las ideas de la escuela de la que formaba parte, añadió: “Olvida la geometría”.

El discípulo no se interesó mucho por la lectura recomendada por su maestro, bien por la clase de problemas

planteados por su tío acerca de aquella, o porque Benoît enfocaba las Matemáticas desde un punto de vista

muy diferente. Adicionalmente, hizo caso omiso de la recomendación acerca de la geometría. Por otra parte,

Benoît recobró interés por la publicación mencionada en 1970. Con ayuda de las facilidades computacionales

puestas a su disposición por IBM a partir de 1957 en el centro de investigación Thomas J. Watson, contribuyó a

crear las ilustraciones de su ensayo de 1975. Y, curiosamente, en 1980, con ayuda de un ordenador VAX,


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pantalla Tektronix y hardcopy Versatac, sorprendió a la comunidad científica con el primer dibujo detallado de

un gráfico deducido de la evolución del sistema dinámico en el campo complejo

Desde su puesto en el centro de investigación Thomas J. Watson de IBM, se dedica al estudio de series

temporales relacionadas con precios y posteriormente con el ruido de las líneas telefónicas para interconexión

de ordenadores.

En 1962 publica la memoria “Sur certains prix speculatifs: faits empiriques et modèle bassé sur les processus stables additifs de Paul Lévy”, Comptes Rendus (Paris), su primera referencia sobre series

temporales en Finanzas.

Secuencia de vídeo con un zoom sobre el conjunto de Mandelbrot (10 s, 5.20 MB AVI)

En 1975, Benoit B. Mandelbrot publicó un ensayo titulado “Les objets fractales: Forme, hasard et dimension”

Editorial Flammarion. Paris. En la introducción de la citada monografía se puede leer:

"El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos

“objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,..."

En 1982 publica un nuevo libro, con gráficos espectaculares creados con la tecnología informática que, por

aquel tiempo, estaba a su disposición: “The Fractal Geometry of Nature” Editorial W.H. Freeman & Co. New

York. En la página 15 de esta obra Mandelbrot propone la siguiente definición:


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“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente

mayor que su dimensión topológica.”

Este concepto no es definitivo - el mismo Mandelbrot reconoce que no incluye algunos conjuntos que, por otras

razones, deben incluirse en la categoría de fractales. Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho,

estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y

comúnmente aceptada.

KENNETH FALCONER

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”,

John Wiley and Sons, 1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de

las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;

(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;

(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;

(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;

(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

La propiedad 1 se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica: todas las

escalas son “buenas” para representar un fractal. Como veremos a continuación, esta afirmación tiene límites

cuando abandonamos los modelos matemáticos para entrar en la consideración de fractales físicos.

FRACTALES MATEMÁTICOS Y FRACTALES FÍSICOS

“A stone, when is examined, will be found a mountain in miniature”. (J. Ruskin, Modern Painters, Vol. 5, chapter

18, 1860).


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“The scale invariance of geological phenomena is one of the first concepts taught to a student of geology. It is

pointed out an object that defines the scale, i.e. A coin, a rock hammer, a person, must be included whenever a

photograph of a geological feature is taken”. (Donald L. Turcotte, Fractals ans Chaos in Geology and

Geophysics, Cambridge University Press, 1992).

Para incluir los fractales físicos en una categoría comparable a la correspondiente a los fractales matemáticos,

la propiedad 1 debe limitarse a un rango de escalas (una escala mínima y otra máxima) que depende del objeto

en consideración.

En general, F es una estructura autosemejante si puede ser construida como una reunión de estructuras, cada

uno de las cuales es una copia de F a tamaño reducido (una imagen de F mediante una semejanza

contractiva).


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Cualquiera que sea el método de aproximación al concepto de fractal que utilicemos, hay un concepto central,

que es el de dimensión. Más precisamente, consideraremos varios conceptos de dimensión; y el primero de

ellos, el de dimensión topológica.

En los “Elementos” de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión.

Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera

está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies.

Hermann Weyl ilustra el concepto de dimensión en los términos siguientes:

“Decimos que el espacio es tridimensional porque los muros de una prisión son bidimensionales.”

Gerald A. Edgar (“Measure, Topology and Fractal Geometry”, Springer, 1990) completa la imagen de Weyl en

los términos que siguen:

"Si tenemos un punto en el espacio tridimensional, podemos usar un pequeño cubo como prisión. El

cubo está constituido por 6 caras planas. Necesitamos saber que estas caras son bidimensionales. Un

punto que vive en una de estas caras puede ser sometido a prisión haciendo uso de una pequeña

circunferencia. Así, decir que las caras del cubo son bidimensionales, requiere saber que una

circunferencia es unidimensional. Un punto que vive en una de las circunferencias, puede ser

aprisionado haciendo uso de dos puntos como muros de la prisión. Necesitamos saber que un conjunto

reducido a dos puntos es de dimensión cero. Finalmente, un punto que vive en el conjunto de dos puntos

es ya incapaz de moverse. No necesitamos muros para aprisionarlo. Estamos, por definición, ante un

conjunto de dimensión 0."

La construcción de la dimensión topológica se puede basar en la idea de generalizar el concepto de que la

dimensión de una bola es tres mientras que la dimensión de la esfera que la limita es dos: dimensión de un

conjunto X a partir de la dimensión de su frontera X .

Por otra parte, un objeto fractal es, ante todo, un subconjunto de nR . En este contexto, preferimos una

definición equivalente de dimensión topológica basada en la dimensión de recubrimiento, concepto que juega

un papel importante en la definición de dimensión fractal.

Consideremos un subconjunto S de nR .


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Un recubrimiento abierto de S es cualquier colección de conjuntos abiertos cuya reunión contiene al

conjunto S .

Dimensión topológica 1

Un refinamiento abierto del recubrimiento abierto es otro recubrimiento tal que cada abierto A está

incluido en algún abierto A .

En algún sentido, un refinamiento abierto de S , proporciona un recubrimiento “más detallado” de S que

.


Decimos que es un recubrimiento abierto de orden k del conjunto S , si, cualquiera que sea

x S , x pertenece a un máximo de k abiertos del recubrimiento .

Definición: El conjunto S tiene dimensión de recubrimiento (dimensión topológica) n , si cualquier

recubrimiento abierto de S admite un refinamiento abierto de orden 1n , pero no de orden n .



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Revisamos a continuación una serie de objetos, manejados por sus descubridores con anterioridad a 1975, con

intenciones e intereses muy diversos, muchas veces para proponer contra-ejemplos. Todos tienen en común la

actual denominación de objetos fractales.

En general, se trata de subconjuntos del plano 2R , y para su construcción se utilizan técnicas variadas: en

algunos casos algoritmos geométricos, en otros son gráficas de funciones. Muchos se pueden obtener

construyendo aproximaciones de atractores de sistemas dinámicos.

¿Por qué estos objetos tienen la consideración de fractales? Teóricamente, porque satisfacen varios de los

criterios vistos previamente. Y desde un punto de vista más práctico, porque si realizamos magnificaciones

sucesivas de la vecindad de un punto, reproducimos las ‘irregularidades’ de la vecindad inicial. Esto no ocurre

con los conjuntos ‘euclidianos’ clásicos.

Ilustramos esta afirmación con herramientas que, por su naturaleza, no son útiles en este contexto. En efecto, la

representación digital de las imágenes trata por igual a la gráficas fractales y a las que no lo son, porque, en

cualquier caso, sólo manejamos aproximaciones.

Sucesivamente hablaremos de: conjunto ternario de Cantor, la escalera del diablo, curva de Hilbert, curva de

Peano, función de Weierstrass, curva de Van Koch, triángulo de Sierpinski, tapiz de Sierpinski, etc.


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ORIGEN DE LOS FRACTALES CLÁSICOS

El conjunto de Cantor (1883), junto con otras estructuras como la escalera del diablo, las curvas de Hilbert y de

Peano que llenan un espacio (1890), la función de Weierstrass (1872), la curva de van Koch (1904), el

“triángulo” de Sierpinski (1915), etc., fueron considerados en su tiempo “monstruos” matemáticos o situaciones

“patológicas”, sin más valor que posibles contraejemplos.

Sin embargo, algunos de los fractales clásicos que describimos, han surgido en el contexto o han contribuido a

la evolución del Análisis Matemático en los siglos XIX y XX, particularmente en lo que respecta a los conceptos

de función, integral y convergencia.

Posiblemente es el fractal clásico más importante y más conocido, y muchos otros objetos fractales tienen

alguna relación con él. Fue descrito en 1883 por Georg Cantor (1845-1918), pero fue mencionado en 1875

(posiblemente antes) por el matemático irlandés Henry Smith.

El conjunto triádico de Cantor es un subconjunto de puntos del intervalo [0,1] para el que definimos

seguidamente un algoritmo recursivo de construcción. Este procedimeinto de caracterización, facilita, por otra

parte, le demostración de muchas de sus propiedades por inducción.

Partimos del intervalo [0,1], que denominamos C0. Obtenemos C1 removiendo el tercio central de C0, de forma

que resulta

Sucesivamente, se continúa el proceso de remoción, suprimiendo el tercio central de cada nuevo subintervalo

generado.

De manera inductiva, definimos el elemento Ck de la sucesión como la reunión de un total de 2k subintervalos

cerrados, cada uno de ellos de longitud 3-k.

La sucesión de conjuntos compactos {Ck} es monótona decreciente:

El límite de esta sucesión


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es el conjunto triádico de Cantor o, en palabras de Mandelbrot es un “Cantor dust”, nombre que intenta

transmitir la clase de conjunto que es.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

cantor00.m

fillcantor00.m

¿Por qué la reproducción en la pantalla de la iteración 6 exhibe una baja calidad? Porque no es posible la representación exacta sobre el dispositivo, la pantalla, en el sentido de que, a partir de un tamaño de subconjunto, no es posible usar un conjunto equilibrado de pixels. El conjunto de Cantor

no se puede representar con un número finito de pixels.

Podemos representar los números reales de C0=[0,1] en base 3, mediante una expresión de la forma


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siendo xi=0, 1 o 2. Los elementos del conjunto de Cantor están descritos para valores xi=0 o xi=2.

En efecto, cuando eliminamos el tercio central para pasar de C0 a C1, suprimimos los números x para los que

x1=1. Cuando suprimimos los tercios centrales para pasar de C1 a C2 ,eliminamos los números reales x para

los que xi=1, y así sucesivamente.

PROPIEDADES NOTABLES

Este conjunto tiene una serie de propiedades notables que vamos a analizar seguidamente:

(1).- El “polvo” de Cantor así definido no es el conjunto vacío.

Estos puntos,

se denominan puntos de primer género del conjunto de Cantor C. Los puntos restantes, que veremos que

también existen, se denominan de segundo género.

En efecto, contiene al menos los extremos de todos los subintervalos Ck. Además, es fácil mostrar que el punto

¼ es un elemento del conjunto de Cantor, por ejemplo escribiéndolo en base 3, y, por otra parte, no es extremo

de ninguno de los subintervalos Ck.

(2).- La medida de Lebesgue del conjunto de Cantor es cero.

En efecto, la suma de las longitudes de los intervalos suprimidos es 1:

(3).- El conjunto C tiene el cardinal del continuo. Es decir, tiene el mismo cardinal que el intervalo original

C0=[0,1].

Esta propiedad se muestra fácilmente estableciendo una correspondencia entre los puntos que se pueden

representar en base 3 en la forma 0.x1x2x3..., con xi=0 o xi =2 y los que se escriben en binario en la forma

0.y1y2y3...

Puesto que los puntos de primer género constituyen un conjunto numerable, queda claro que el conjunto de los

puntos de segundo género no se reduce al punto ¼.


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(4).- El conjunto C tiene dimensión topológica 0.

(5).- El conjunto C no contiene intervalos de longitud positiva ni puntos aislados.

(6).- El conjunto C es un conjunto cerrado y cada uno de sus puntos es un punto de acumulación. Es,

decir, es un conjunto perfecto.

(7).- El conjunto C es un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado.

(8).- El conjunto C es totalmente inconexo.

Así, C es un conjunto compacto, perfecto e inconexo. Además, C está caracterizado por éstas tres propiedades:

cualquier subconjunto de R compacto, perfecto e inconexo se puede aplicar sobre C por medio de una

transformación continua reversible.

(9).- Finalmente, el conjunto C tiene una propiedad notable, pero nada evidente. Dado cualquier número

real x del intervalo [0,1] , existen dos elementos de C, y,z, tales que x=y-z.

En otras palabras, las sumas y+z de dos elementos y y z del conjunto C, llenan el intervalo [0,2].

Analizando el conjunto de estas propiedades observamos el hecho sorprendente de que C, a pesar de tener

medida de Lebesgue y dimensión topológica nulas (igual que un conjunto finito o numerable de puntos), tiene el

cardinal del continuo (lo mismo que I0=[0,1] o R).

Esta situación, un tanto paradójica, se puede resolver (y, de hecho, se resuelve) argumentando que el conjunto

de Cantor está incluido en una nueva categoría de conjuntos, los conjuntos fractales, asociándole en

consecuencia un concepto nuevo de dimensión (que no es un número entero), la dimensión fractal.

Existen razones adicionales para clasificar el conjunto de Cantor como objeto fractal. Si consideramos el

concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer, observamos que el conjunto de Cantor satisface cada una

de las “propiedades” citadas. En particular, la “propiedad”


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(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;

se detecta en el conjunto C en los términos siguientes.

El conjunto C puede obtenerse como reunión de dos conjuntos: el primero se deduce de C mediante una

contracción de razón 1/3. El segundo se deduce mediante la misma transformación seguida de una traslación

de vector 2/3.

El conjunto C se puede obtener, además, como el atractor de un sistema de funciones

cuando se aplican en forma iterada, comenzando, por ejemplo, con C0=[0,1]. ¿Es el conjunto así definido el

mismo que hemos definido en forma recursiva anteriormente? En efecto, es fácil probar por inducción completa

la siguiente propiedad del conjunto de Cantor C:

AUTOSEMEJANZA

En este sentido, C es una estructura (un conjunto) autosemejante.

VARIACIONES SOBRE EL CONJUNTO DE CANTOR

Podemos generar un conjunto de Cantor diferente eliminando un abierto de longitud ½ , situado en posición

central, dejando los segmentos [0,1/4] y [3/4,1]. A continuación, se eliminan abiertos de longitud 1/8 de cada

uno de ellos. Y así sucesivamente. Queda el atractor del sistema

Otra construcción consiste en eliminar dos abiertos de longitud 1/3, quedando el conjunto

[0,1/9] [4/9,5/9] [8/9,1]. Se obtiene así el atractor del sistema


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CURDLING

Consideramos ahora una construcción del conjunto de Cantor suponiendo que repartimos una unidad de masa

sobre el intervalo [0,1], con lo que tenemos una barra. Se elimina el tercio central, pero la masa unidad se

reparte entre los intervalos restantes, que pasan así a poseer una densidad igual a

La siguiente iteración suprime los tercios centrales de los dos intervalos, quedando cuatro intervalos cerrados a

los que se adscribe la totalidad de la masa, repartiendo 0.25 a cada uno de ellos. Quedan barras más pequeñas

de densidad

En la n-sima generación tendremos 2n barras, cada un de ellas de longitud 3-n y con una adscripción de masa

de valor 2-n, lo que conduce a densidades crecientes que ascienden a


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fillcurdling00.m

Podemos generalizar el ‘curdling’ transformando la ‘barra’ inicial en dos nuevas: izquierda con escala l0 y

derecha con l1, al tiempo que repartimos la masa unidad con las proporciones p0 al segmento izquierdo y p1 al

derecho, respectivamente. Suponemos, así,

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS DE CANTOR

La construcción original de Cantor se puede generalizar a dimensión 2 (o superior) mediante diversos

mecanismos. Por ejemplo, se puede construir el producto cartesiano de dos conjuntos triádicos de Cantor,

dando como resultado conjunto CxC con medida de Lebesgue cero y con la potencia del continuo, igual que C.


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cantor200.m

CONJUNTO DE CANTOR ALEATORIO

Partimos, nuevamente, de C0=[0,1] y seleccionamos dos cantidades al azar r1 y r2, de forma que r1+r2<1.

Deducimos así el conjunto reunión de dos intervalos, a cada uno de los cuales se aplica una construcción

semejante a la anterior.

LA APLICACIÓN DE LA TIENDA DE CAMPAÑA Y EL CONJUNTO DE CANTOR

La aplicación R R definida por

se suele denominar tienda de campaña (tent map), debido a la forma de su gráfica. Estudiaremos algunos

aspectos del sistema dinámico con inicio en x0 y tal que xn+1=f(xn).


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EL CONJUNTO PRISIONERO

En primer lugar se observa que si x0<0 o x0>1, la sucesión diverge hacia - . Y lo mismo sucede si cualquier

xn<0 o xn>1. Consideremos, pues, x0 [0,1]. Nos planteamos la cuestiones siguientes: ¿Existen puntos en [0,1]

para los que la sucesión no diverge? Si la respuesta es afirmativa ¿hay pocos o muchos puntos que se pueden

considerar ‘prisioneros’?

Es fácil ver, mediante una ilustración gráfica, que la construcción del conjunto de prisioneros P es la misma que

la correspondiente al conjunto triádico de Cantor. Así, P=C.

Esta conjetura responde también a la segunda pregunta. Los puntos de C (y de P) son escasos en [0,1]. De

hecho, si seleccionamos un punto al azar en [0,1], la probabilidad de que sea un prisionero es nula.

prisioneros1.m (1era generación)

prisioneros2.m (2nda generación)

En el escrito de Cantor titulado “On the Power of Perfect Sets of Points”, extraído por los editores de Acta

Mathematica partiendo de una carta dirigida a los mismos en 1884, se describe el ya considerado Conjunto de


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Cantor y una función (de Cantor) conocida como escalera del diablo. Se trata de la gráfica de una función

(singular) continua en [0,1], no constante, y con derivada nula en todos los puntos, excepto en un subconjunto

de [0,1] con medida de Lebesgue nula. Este subconjunto es, precisamente, un conjunto de Cantor.

Repetimos la construcción del conjunto de Cantor suponiendo que repartimos una unidad de masa sobre el

intervalo [0,1] y que, en cada operación de eliminación, se elimina también la masa correspondiente. La

escalera del diablo se obtiene como la representación de la masa M(x), para cada abscisa x, situada a la

izquierda de la misma.

ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA ESCALERA DEL DIABLO

(1).- En un cuadrado [0,1]x [0,1], trazamos el segmento O(0,0)-U(1,1).

(2).- Sobre el tercio central de [0,1] (abscisas), elevamos un segmento y=1/2, de extremos A(1/3,1/2) y

B(2/3,1/2), respectivamente. Seguidamente, trazamos la línea quebrada (0,0)- (1/3,1/2)-(2/3,1/2)-(1,1),

finalizando así la segunda etapa.

(3).- En la tercera etapa, se realiza una operación análoga con los segmentos OA’ y B’U’. Se construye sobre el

tercio medio de cada uno de ellos un segmento, y=1/4 para OA’ e y=3/4 para B’U’.

(4).- El algoritmo prosigue indefinidamente.


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REPRESENTACIÓN GRÁFICA

devil.m

OTRAS PROPIEDADES

La escalera del diablo tiene dimensión topológica 1 y longitud 2. El área entre la curva y el eje de abscisas es

igual a ½.

LA ESCALERA DEL DIABLO Y LOS SISTEMAS DINÁMICOS

La escalera del diablo no es, simplemente, una construcción matemática con propiedades más o menos

notables. La descripción de muchos sistemas físicos origina la construcción de varias versiones de la curva

mencionada.

El comportamiento dinámico de las ecuaciones (no lineales) de un oscilador forzado o de un sistema de Van der

Pol, por ejemplo, se puede, bajo determinadas condiciones, simplificar mediante la denominada aplicación del

círculo (en si mismo):


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Esta aplicación presenta dos parámetros, K, que corresponde a la intensidad de la oscilación perturbadora, y,

simultáneamente, al grado de no linealidad del sistema, y , que es la frecuencia del sistema en ausencia de

acoplamiento (K=0).

Se denomina número de rotación a la función

La gráfica de frente a tiene un curioso comportamiento: es una función continua de y presenta un

conjunto numerable de mesetas para valores racionales de : son mesetas de acoplamiento o de resonancia.

Los intervalos (abiertos) de para los que aparece el fenómeno de acoplamiento, llenan el intervalo [0,1],

quedando como puntos residuales de , que no corresponden a resonancia, un conjunto de Cantor. La gráfica

de frente a es una escalera del diablo.

El 18 de Julio de 1872, Karl Weierstrass (1825-1897) leyó un escrito titulado “On Continuous Functions of a Real Argument that do not have a Well-defined Differential Quotient”, en la Royal Prussian Academy of

Science. El artículo fue publicado tres años mas tarde por P. du Bois-Reymond.

El párrafo de introducción dice así:


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Hasta tiempos muy recientes, se suponía de forma universal que una función continua uniforme de una

variable real siempre tenía una derivada primera, cuyo valor podría no estar definido o ser infinitamente

grande sólo en puntos aislados.

Seguidamente, Weierstrass construye el primer ejemplo de curva continua y no diferenciable en ningún punto,

siempre que el producto ab sea superior a cierto límite:

weierstrass.m (a=0.5 y b=2)

Weierstrass probó que la función descrita carece de derivada finita o infinita en cada uno de sus puntos si

0<a<1, b es un entero impar y ab>1+3 /2.

En 1914, Hardy demostró que, si ab 1, W(x) carece de derivadas en todos sus puntos. Si ab<1, W(x) es

continuamente diferenciable.

LA CURVA DE MANDELBROT-WEIERSTRASS

La gráfica de la curva de Weierstrass no es autoafín. Mandelbrot diseñó una ligera modificación de ella que le

confiere alguna clase de autoafinidad

Esta función puede expresarse como suma de una de Weierstrass y una función continua y diferenciable.

Además, WM(x)=aWM(bx)).


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mandelweir.m

Esta curva fue descubierta en 1903 por Takagi (1875-1960), y se deduce de la de Weierstrass la función

trigonométrica que aparece en la suma por la función (x)=dist(x,Z) que mide la distancia entre el argumento x

y el número entero más próximo a x.

La gráfica de la función (x)=dist(x,Z) tiene la forma siguiente:

En primer lugar, consideremos el algoritmo de Arquímedes para la construcción punto a punto de la parábola.

Sea y=P(x)=a-bx2, con b>0. Dados los extremos de la cuerda {xA,a-bxA2}, {xB,a-bxB

2}, Arquímedes interpola el

valor P(x) que corresponde al punto medio x=(xA+xB)/2.


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Seguidamente, se interpolan otros dos puntos, partiendo del punto medio de las cuerdas AC y CB,

respectivamente, y elevando cada ordenada en la cantidad /(42)= /16. La etapa k requiere el desplazamiento

de los puntos medios de 2k-1 cuerdas en la cuantía 4-k .

Para la curva fractal de Takagi, se copia el algoritmo precedente, cambiando el incremento de las ordenadas

por 2-k en la etapa k. La curva que se deduce punto a punto es muy diferente de una parábola.

takagi.m


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takagimonte.m

Sobre el conjunto [0,1] definimos las aplicaciones contractivas

siendo a>1/3, b>1/3, a+b>4/3. Iterando en la forma acostumbrada, se obtiene una función continua no

diferenciable en todos sus puntos.

diferente.m

En 1890 Giuseppe Peano (1858-1932) publicó un artículo titulado “Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”. Esta curva, como la de Hilbert, tiene la propiedad notable de “llenar” el plano, en el sentido de que pasa

por cualquier punto, por ejemplo, del cuadrado unidad. Se demuestra que ambas tienen dimensión topológica

igual a 1.

ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA DE PEANO

Partimos de un segmento de longitud unidad. Deducimos 9 nuevos segmentos, cada uno de longitud 1/3, que

colocamos de la forma siguiente:


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En la etapa p, obtenemos un conjunto formado por 9p cuadrados de lado 3-p. El objeto así engendrado es

estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de n=9 conjuntos semejantes a Q,

reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/k=1/3.

Para construir la curva de Peano como atractor de sistemas de aplicaciones afines necesitamos nueve

aplicaciones de la forma

Las tablas que siguen relacionan los valores de los 54 coeficientes.

a b c d e f 1/3 0 0 1/3 0 0 1/3 0 0 -1/3 0 -1/3 1/3 0 0 1/3 -1/3 -1/3 -1/3 0 0 1/3 1/3 -2/3 -1/3 0 0 -1/3 -2/3 0 -1/3 0 0 1/3 0 -1/3 1/3 0 0 1/3 -1/3 1/3 1/3 0 0 -1/3 1/3 -2/3 1/3 0 0 1/3 -2/3 0


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La curva de algoritmo constructivo que describimos a continuación, fue descrita en 1891 por Hilbert (1862-1943)

en un artículo de exactamente dos páginas, poco mas tarde de que Giuseppe Peano describiese una curva

análoga. Ambas tienen la notable propiedad de “llenar” el plano.

La curva comienza con un línea H0 compuesta de 3 segmentos, cada uno de longitud unidad, que conecta los

centros de cuatro cuadrantes.

En la etapa siguiente se realizan cuatro copias de H0, reducidas en la proporción 1/3, y se colocan en los

cuadrantes. Resulta H1. Se observa que para construir H1, es necesario unir las copias de H0 con tres

segmentos de longitud 1/2.

Para deducir H2, se hacen cuatro copias de H0, reducidas en la proporción 1/2, se colocan como se indica y se

unen las copias mediante tres segmentos , ahora de tamaño 1/4. Se observa, así, que el objeto que resulta no

es estrictamente autosemejante.

La curva de Hilbert se obtiene como atractor del SFI siguiente:


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Si el conjunto inicial es una línea quebrada como la que se representa a continuación

se obtienen transformaciones sucesivas cuyo límite es una curva de Hilbert.


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EL CÓDIGO GRAY

El código de Gray, basado en una permutación del código binario tradicional, proporciona una representación

de objetos ordenados de forma que, pasando de un objeto al siguiente, sólo tenemos que cambiar un bit de

información. La distancia de Hamming entre la representación de un objeto y el siguiente (o el predecesor) es 1.

Codificación decimal, binaria tradicional y basada en el código de Gray:

Decimal Binaria tradicional

Código Gray

0 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 100 110 5 101 111 6 110 101 7 111 100

Eventualmente – esto es importante en dispositivos mecánicos – el error medio en la transmisión es menor

cuando se hace uso del código Gray.

A continuación se ilustra la correspondencia de los dígitos de 0 a 7 con los códigos de Gray, haciendo uso de

una curva de Hilbert tridimensional.


28

Paul Lévy construyó un cuadro general en el que se puede colocar la curva de Von Koch, “que no es la única

que tiene esta propiedad maravillosa”- con referencia a la autosemejanza. La memoria publicando los

resultados se tituló “Les courbes planes ou gauches et les surfaces composées de partes semblables au

tout”, Journal del l’École Politechnique, IIIe série,81,1938.

Se puede constatar el mérito del dibujante que, en 1938, año de la publicación del trabajo de Lévy, trazó la

gráfica que se puede observar en la diapositiva siguiente, en la cual, a un tamaño de 22x34 cm., basó Lévy la

evidencia de varias propiedades del conjunto.

Hoy día, disponemos de varias técnicas para generar aproximaciones numéricas del Dragón de Lévy. Por

ejemplo, puede definirse como el atractor del sistema dinámico descrito por las transformaciones siguientes:

La curva, que es el límite alcanzado iterando sucesivamente, tiene dimensión topológica 2. Por otra parte, se

demuestra que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es 2, de forma que no entraría en el concepto de

fractal descrito por Mandelbrot en su manifiesto.

En su novela de Jurassic Park, Michael Crichton configura el índice de sus capítulos con siete iteraciones

sucesivas en el proceso de construcción de esta curva, seguidas de un breve comentario de su personaje Ian

Malcolm, el matemático especialista en caos.


29

Esta “curva” fue construida alrededor de 1967 por John E. Heighway. Igual que el dragón de Lévy, tiene

dimensión topológica 1.

La curva, que es el borde de la imagen, tiene dimensión topológica 1.

Esta “curva” fue construida alrededor de 1967 por el físico de la N.A.S.A. John E. Heighway. De acuerdo con

Martin Gardner (Festival Mágico-Matemático, Alianza Editorial), Heighway ilustró la construcción mediante el

doblado conveniente de una hoja de papel.

Esta curva también se puede obtener como el atractor del sistema


30

TRANSICIÓN ENTRE DRAGONES

Para cada valor de t en el intervalo [0,1], definimos el sistema de funciones

Se demuestra que A(t), para cada t, el atractor del sistema de funciones iteradas así definido, que es una

función continua de [0,1] en el espacio de los conjuntos compactos con topología de Hausdorff, siendo A(0) el

dragón de Lévy y A(1) el de Heighway.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DE BASE COMPLEJA

La curva dragón de Heighway, que es el contorno de la figura así construida, tiene una interpretación en el

contexto de los sistemas de numeración de base compleja y dos dígitos {0,1}. Si dibujamos los afijos de los

complejos que tienen expresión en base 1-i con la forma 0.x1x2x3...xn..., tenemos una gráfica cuya silueta es la

curva citada.

heighwaycomplejo.m

Se construye como el atractor del sistema


31

Los dragones de Lévy y Heighway, la procesión de cangrejos, así como la curva de Peano y la de Takagi, son

casos particulares de los conjuntos generados por las aplicaciones afines C C de la forma

donde a,b,c,d son parámetros complejos.

Para que las aplicaciones citadas sean contracciones, los parámetros deben verificar

Además, si se desea obtener conjuntos autoafines conexos, es necesario imponerles nuevas restricciones.

Inspirados por el hallazgo de Weierstrass, otros matemáticos trabajaron sobre curvas continuas sin tangente en

punto alguno. Este es el caso del matemático suizo Helge Von Koch (1870-1924): “On a Continuous Curve

without Tangents Constructible from Elementary Geometry”.

Casi inmediatamente después de la publicación del trabajo de Von Koch, Ernesto Césaro demostró que la curva

en cuestión es autosemejante. Es decir, puede ser obtenida reuniendo cuatro partes de la misma, cada una de

las cuales es semejante a la curva completa.

Estas curvas son otro ejemplo de curvas continuas y no diferenciables en ningún punto. Tienen longitud

(medida de Lebesgue) infinita, pero limitan una superficie finita. Su dimensión topológica es 1.


32

La construcción de la curva de Von Koch se realiza partiendo de un segmento de longitud unidad. En la primera

etapa del algoritmo, sustituimos dicho segmento por cuatro, cada uno de los cuales tiene longitud 1/3, y están

colocados de la forma que indica la gráfica:

LA ISLA DE KOCH

La versión que introdujo Von Koch en 1904 fue la denominada isla de Koch, cuya construcción comienza con un

triángulo equilátero, aplicando luego a cada uno de sus lados un algoritmo análogo al descrito para la curva.

Es fácil ver que es posible obtener las distintas etapas en la progresión hacia la curva límite mediante el sistema

de transformaciones contractivas siguiente:


33

En la etapa k disponemos de 4k segmentos de longitud 3-k cada uno de ellos. Así, la longitud total de la curva

es, en cada etapa,

Es evidente que esta cantidad crece indefinidamente cuando k .

ÁREA DE LA ISLA DE KOCH

Si designamos con el área del triángulo de partida, el área de la figura obtenida en la etapa k se escribe

cuyo límite, cuando k , alcanza la cantidad 8 /5.

EL TRIÁNGULO DE WACLAV SIERPINSKI

El matemático polaco W. Sierpinski (1882-1969) describe el conjunto ahora denominado “Triángulo de

Sierpinski” en el artículo “Sur une courbe dont tout point est un point de ramification”, C. R. Acad. París,

1915.


34

Este conjunto tiene dimensión topológica 1 y medida de Lebesgue nula. Se trata de una estructura

autosemejante.

EL TAPIZ DE SIERPINSKI

W. Sierpinski describe un segundo conjunto, denominado tapiz o alfombra de Sierpinski, que puede ser

considerado como una generalización del conjunto triádico de Cantor. Como éste conjunto y como el triángulo

de Sierpinski, tiene medida (área) nula.

Se trata de otro ejemplo de curva continua no diferenciable en todos sus puntos. Este ejemplo es análogo a uno

dado por Bolzano alrededor de 1830 (por tanto, antes que Weierstrass leyera su trabajo) y publicado 100 años

más tarde.

Se puede generar como atractor un sistema de cuatro aplicaciones afines de la forma

aplicado de forma iterativa. Los coeficientes son:

a b c d e f 0.25 0 0 -0.5 0 0 0.25 0 0 0.5 0.25 -0.50 0.25 0 0 0.5 0.50 0 0.25 0 0 0.5 0.75 0.

Recordemos que el algoritmo para generar la curva de Von Koch parte de un segmento de longitud l. En la

primera etapa, dicho segmento se transforma en cuatro segmentos de longitud l/3, colocados como indica la

ilustración.


35

Given y Mandelbrot han construido un modelo físico (percolación) mediante un algoritmo análogo, que conduce

a una estructura fractal más sofisticada.

Se parte de un segmento de longitud l y se transforma en ocho de longitud l/3 colocados como se muestra en la

gráfica.

Supongamos que esta curva está construida con un material conductor y que conectamos los extremos

izquierdo y derecho a una fuente de energía eléctrica. La corriente no fluye a través de todos los segmentos.

La corriente eléctrica está confinada en el ‘backbone’ (columna vertebral) de la estructura, que se puede deducir

cambiando el algoritmo de construcción.


36

La novedad es que disponemos de una estructura fractal (el ‘backbone’) dentro de otra estructura fractal (curva

de Given-Mandelbrot). Otra estructura diferente está formada por los segmentos que suponen una conexión

simple, también fractal. Tenemos así una suerte de ‘fractal de fractales’.

Muchos fenómenos físicos seleccionan de forma natural sub-estructuras dentro de las estructuras en las que

dichos fenómenos tienen lugar.

Hablaremos de esta clase de (nuevos) objetos más adelante: son ‘multifractales’.

En 1840, el botánico escocés Robert Brown (1773-1858), haciendo uso de un microscopio, puso de manifiesto

la naturaleza desordenada de los movimientos de las partículas en suspensión en un medio líquido (granos de

polen en agua).

En 1900 Louis Bachelier (1870-1946) estableció el primer modelo y las primeras aplicaciones para el

movimiento browniano, y en 1905 Albert Einstein lo explicó en términos de colisiones entre partículas,

manifestando que se trataba de una confirmación de la teoría molecular del calor. Esto probaría la existencia de

átomos de tamaño finito.

Jean Baptiste Perrin (1870-1942), en 1908, demostró experimentalmente la existencia de átomos de tamaño

finito e intuyó el enlace entre las trayectorias del movimiento browniano y funciones contínuas no diferenciables.

En 1926, recibió el Premio Nobel de Física por sus trabajos sobre movimiento browniano.

Norbert Wiener (1874-1964), en 1923, confirmó las intuiciones de Perrin, probando que casi todas las

trayectorias son contínuas. En 1933, junto con Paley y Zygmund, completó el estudio demostrando que casi

todas las trayectorias son no diferenciables en todos sus puntos.

En 1939, Paul Lévy publicó un análisis exhaustivo sobre el movimiento browniano.


37

En 1968, Mandelbrot y Van Ness introdujeron el movimiento browniano fraccionario, en cuya descripción

aparece un parámetro relevante H, cuyo valor, para el m.b. estándar es ½. Este modelo había sido tratado

anteriormente pot Kolmogorov.

En 1975, Mandelbrot sugiere la utilización de los mecanismos brownianos para simular paisajes naturales:

montañas y valles, costas, etc., controlando la rugosidad por medio del parámetro H antes mencionado.

ALGUNAS FECHAS SIGNIFICATIVAS EN LA HISTORIA DE LOS FRACTALES

Gracias a los esfuerzos de Mandelbrot, los objetos tales como el conjunto de Cantor, hallaron un marco general,

la Geometría Fractal, compartiendo ubicación con otros importantes modelos como el movimiento browniano

fraccionario y los atractores de ciertos sistemas dinámicos deterministas, conceptos y estructuras

aparentemente alejados de aquellos.

LOS MONSTRUOS


38

1872

El conjunto de Cantor

1875

La curva de Weierstrass

1890

La curva de Peano

1891

La curva de Hilbert

1900

Movimiento browniano (Bachelier)

1903

La curva de Takagi

1906

La isla de van Koch

1915

El triángulo de Sierpinski

1938

El dragón de Lévy

1968

Movimiento browniano fraccionario (Mandelbrot)

LA DIMENSIÓN

1919

Dimensión de Hausdorff

COMPORTAMIENTO RELACIONADO CON LA ESCALA

1951

Ley de Hurst (río Nilo)

1956

Ley de Gutenberg-Richter para la distribución de la magnitud de terremotos

1961

Leyes de escala de Richardson

LOS FRACTALES

1968

Aristid Lindenmayer describe los ahora denominados sistemas L

1975

Mandelbrot inventa el término ‘fractal’


39

1975

Publicación de "Fractals: Form, chance and dimension"

1980

Mandelbrot ofrece la primera gráfica del conjunto que lleva su nombre

1981

Sistemas de Funciones Iteradas (Hutchinson)

1982

Publicación de "The Fractal Geometry of Nature"

1988

Mandelbrot introduce el concepto de medidas multifractales

1988

Artículo de Barnsley y Sloan en BYTE

FRACTALES Y SISTEMAS DINÁMICOS

1981

Witten y Sanders introducen la agregación limitada por difusión

1983

Hentschel y Procaccia relacionan los fractales y los atractores extraños

1984

Autómatas celulares de Stephen Wolfram

1987

Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld elaboran el concepto de sistemas críticos auto-organizados

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA FRACTAL

Sísmica

Fracturación y fragmentación

Meteorología

Análisis del clima

Oceanografía

Ecología

Música

Fisiología

Geografía

Planificación urbana

Medicina

Minería

Astronomía

Finanzas


40

Genética

Física

Química

Metalurgia

Mecánica de fluidos

Tratamiento de señales

Tratamiento de imágenes: análisis de imágenes, compresión de imágenes

Simulación de imágenes naturales: nubes, relieves, estructuras botánicas

Finalmente, desarrollamos tres ejemplos ilustrativos con el objeto de subrayar las aplicaciones de la la

Geometría Fractal en dominios de la Ciencia y de la Tecnología muy diferentes entre sí:

a.- La Física de la Música y el canto de los pájaros

b.- La auto-organización no es un privilegio de la vida

c.- No tan monstruos

La selección particular de tonos que ha hecho el género humano, asociados con ciertas frecuencias, ha sido

una constante desde que las distintas civilizaciones descubrieron la posibilidad de construir sucesiones de

sonidos interesantes.

Pitágoras observó que si dividimos una cuerda en dos secciones mediante un pequeño puente, cada parte vibra

con frecuencia 2f , frecuencia doble de la correspondiente a la cuerda en la situación original. El experimento

así descrito conduce a dos octavas consecutivas. A partir de Pitágoras (incluido), las distintas civilizaciones

establecieron varias discretizaciones sobre las octavas, dando lugar a diferentes sucesiones de notas

musicales.

Una octava es, por tanto, el intervalo entre dos tonos cuyas frecuencias asociadas son f y 2f, respectivamente.

Dentro de la evolución de la música de la civilización occidental, desde el año 1800, una octava se divide en 12

intervalos iguales, y desde 1939, la International Standards Association acordó establecer la frecuencia de 440

Hz para la nota A4 del teclado de un piano.


41

Una nota musical lleva asociada una frecuencia f definida por la relación

donde f0 es la frecuencia base e i,n números enteros pequeños.

LA ESCALA TEMPERADA

do f re (p2)f mi (p4)f fa (p5)f sol (p7)f la (p9)f si (p11)f do 2f

Siendo p=2(1/12)

LEYES DE ESCALA EN LA MÚSICA DE J. S. BACH

Consideremos la composición de Johann Sebastian Bach "Los Conciertos de Brandeburgo". El espectro de

potencia (veremos que es el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier), expresada en términos de

la frecuencia puede ser aproximado mediante una ley de la forma

Esta ley hiperbólica puede escribirse en la forma

log[S(f)]=constante-log(f)

donde la variable frecuencia f puede expresarse en semitonos. Así, una gráfica doblemente logarítmica de

log[S] frente a log(f), resulta una línea recta de pendiente -1.

Esta no es la única ley de potencia que se cumple. El espectro de las amplitudes sigue también una ley de

potencia con el mismo exponente. La amplitud de la música se obtiene mediante regularización temporal de la

magnitud de la presión de sonido que se registra en las proximidades de la orquesta.

¿Seleccionó Bach una ley de potencias hiperbólica cuando compuso su música?

Evidentemente, no. Los compositores crean sonidos de forma que, de acuerdo con su criterio, resultan

interesantes. La cuestión es: ¿Por qué (al menos alguna) música interesante presenta para el espectro de

potencia y para el espectro de las amplitudes comportamientos que siguen leyes de potencia?


42

RUIDO BLANCO Y BROWNIANO

El matemático americano George David Birkhoff (1884-1944) propuso una teoría de acuerdo con la cual, para

que el resultado de un trabajo de arte fuese interesante, no debería ser demasiado regular ni predecible, ni

tampoco exhibir demasiadas sorpresas. Trasladada esta teoría al campo de las matemáticas, podría ser

interpretada diciendo que el espectro de potencia no debería ser muy ‘browniano’ (proporcional a f-2) ni

semejante a un ruido blanco ( proporcional a f0).

En un proceso de ruido blanco, cada valor del proceso es independiente de su pasado (es una completa

sorpresa). En contraste, en la música browniana, sólo los incrementos son independientes del pasado, dando

lugar a una composición más aburrida.

Aparentemente, lo que la mayor parte de los intérpretes prefieren, es una música en la que la sucesión de notas

no es ni predecible ni demasiado sorprendente. En otras palabras, su espectro deberá variar como f , con -

2< <0.

AUTOSEMEJANZA


43

Puesto que el espectro de potencia de cualquier ruido que obedece a una ley f es autosemejante, la curva

subyacente también lo será. De hecho, si el eje de frecuencias del espectro se multiplica por un factor r, el eje

de tiempos de la correspondiente curva resulta escalado en la proporción 1/r. Por supuesto, en el caso del

ruido, la autosemejanza es sólo estadística.

En estas condiciones, una composición musical ¿puede ser resumida, obteniendo un ‘abstract’ como en una

composición literaria o un artículo científico? En otras palabras, ¿podemos establecer un algoritmo de

reducción, que genere composiciones cuya duración sea 1/2, 1/4,… de la original sin perder sus rasgos

identificativos?

La teoría del comportamiento 1/f del espectro de potencia, responde afirmativamente. Y, en la práctica, si

efectuamos reducciones sucesivas de una composición de Bach (hasta un límite, que siempre marca la Física),

el resultado aún ‘suena’ como Bach.

LEYES DE ESCALA DE LOS SONIDOS QUE EMITEN LOS PÁJAROS

Partiendo de grabaciones realizadas directamente en la Naturaleza, los sonidos a menudo se componen de una

o dos notas, o incluyen combinaciones de tonos que no son ‘frecuentes’ en los ruidos rosa. Posiblemente, sólo

combinando varios cánticos de diferentes especies se podría obtener algo parecido a un ruido fractal.

Sin embargo, el canto de los pájaros es muy rápido y con tonos muy altos. El sonido grabado, puede ser

editado rebajando su duración 2, 4, 8, …, 128 veces respecto de su duración original, lo que equivale a rebajar

las octavas 1, 2, 3, …, hasta 7 veces, respectivamente.

El tono de los pájaros va desde 2 a 6 kHz. Una reducción de 4 octavas, rebaja este rango hasta 125 a 750 Hz,

que está dentro del rango de frecuencias correspondientes a la voz humana. Al mismo tiempo, la velocidad de

50 a 150 modulaciones de tono por segundo, se reduce al rango 3 a 10, que se encuentra dentro del rango de

lo que puede ser interpretado por un pianista.

Haciendo uso de esta técnica, melodías indistinguibles pueden ser transformadas en secuencias en cierta

forma análogas a un sonido folk. La estructura melódica del resultado, guarda una semejanza considerable con

la música generada por seres humanos.

AUTOAFINIDAD

Las reducciones de la música de Bach aún suenan como Bach. Las reducciones de los cantos de pájaros, han

cambiado las secuencias originales en estructuras melodiosas. La transformación no conduce, como antes, a la

autosemejanza, sino a la autoafinidad: los factores de escala para coordenadas diferentes no son los mismos.


44

Los pájaros cantan con diferentes tonos y diferentes velocidades de modulación probablemente a causa de que

su vida es considerablemente más corta que la nuestra. Mientras nuestro sistema neurofisiológico está

sintonizado para tonos de cientos de hertzios, la sensibilidad de los pájaros está en el rango de los kilohertzios.

Si los pájaros hubiesen adoptado una escala de tiempo diferente para su vida musical ¿Hay algo de absoluto en

la escala que corresponde al homo sapiens, una de entre millones de especies del mundo orgánico?

¿No es ésta la esencia de la geometría fractal del tiempo?

Fractal Geometry of Music: from Bird Songs to Bach J. Hsü Kennet En "Applications of Fractals and Chaos" de Crilly, Earnshaw, Jones (Eds.), Springer-Verlag, 1993.

SISTEMAS CRÍTICAMENTE AUTOORGANIZADOS

Consideremos una colección de electrones, o una pila de granos de arena, o un balde de agua, o una malla de

muelles elásticos, o un ecosistema, o el colectivo de los almacenistas-distribuidores. Cada uno de estos

sistemas, está constituido por muchos componentes que intercambian entre sí fuerzas o información.

Además de estas interacciones internas, el sistema puede estar afectado por alguna fuerza externa: un campo

eléctrico o magnético, el campo gravitatorio, cambios en el medio ambiente, etc. El sistema evolucionará ahora

bajo la influencia de las fuerzas externas y de las interacciones internas.

La cuestión que se plantea es si exista algún mecanismo simplificador que produce un comportamiento típico,

compartido por amplias clases de sistemas, o, por el contrario, el comportamiento del sistema dependerá

siempre de forma esencial de los detalles específicos de cada sistema.

La publicación de Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld “Self-organized critically: An explanation of 1/f noise”, Phys. Rew. Lett. 59, 381-384, 1987, contenía la hipótesis de que los sistemas que consisten en un

colectivo de muchos constituyentes que interactúan entre sí, pueden exhibir algún comportamiento general

característico.

Aunque la respuesta dinámica del sistema es compleja, en el sentido de que no existe un tamaño de

acontecimiento ni una escala característicos, el aspecto simplificador es que las propiedades estadísticas se

describen mediante leyes de potencia simples, cuyos exponentes pueden ser semejantes para sistemas que

presentan una apariencia muy diferente.


45

Muchos fenómenos en la Ciencia y en la Naturaleza permiten un modelo compatible con esta teoría. Los

primeros ejemplos han sido pilas de arena, terremotos e incendios en el bosque. Últimamente la idea ha sido

extendida a la Economía y a las teorías sobre evolución biológica.

SANDPILE

Los principios de la auto-organización crítica se ilustran haciendo uso de un autómata celular bidimensional.

Consideremos una caja cuadrada dividida en n2 cajas de lado L/n. El fenómeno que queremos estudiar se

refiere a la evolución del sistema que resulta cuando añadimos granos de arena a cada caja, de acuerdo con un

algoritmo establecido.

Al añadir arena en una caja determinada, la pendiente de la correspondiente pila se ve incrementando, hasta

llegar a un valor crítico. En tal caso, la pila se derrumba y transmite arena a las cajas vecinas, que, a su vez,

pueden alcanzar una pendiente crítica por esta razón o por la adición de arena desde el exterior.

El derrumbamiento de la pila correspondiente a una caja, libera la tensión acumulada en el pasado, pudiendo

de nuevo admitir nuevas aportaciones de arena (tensión), hasta, eventualmente, alcanzar un nuevo estado

crítico.

El modelo recibe partículas y las pierde por el contorno lateral de la caja ‘madre’.

El algoritmo con el que intentamos describir el modelo es como sigue:

1.- Se añade una partícula al azar a una de las cajas;

2.- Cuando una caja tiene cuatro partículas, se vuelve inestable, y las cuatros partículas son transmitidas a las

cajas vecinas, quedando vacía la caja considerada.

3.- Si después de la redistribución de partículas desde una caja a sus vecinas cualquier caja adyacente tiene 4

o más partículas, se convierte en inestable, lo que puede provocar una o más redistribuciones adicionales. En

cajas grandes, son posibles múltiples acontecimientos de esta clase.

4.- Si no existe caja adyacente, la partícula se pierde por el contorno. En promedio, el número de partículas

añadidas y perdidas es el mismo.

Un acontecimiento múltiple, puede alcanzar proporciones considerables, abarcando una fracción de cajas

importante.


46

El comportamiento del sistema está caracterizado por la distribución estadística frecuencia-tamaño de los

acontecimientos. El tamaño de un acontecimiento múltiple puede ser caracterizado de diversas formas. Una de

ellas consiste en evaluar el número de cajas afectadas por inestabilidad en un acontecimiento múltiple.

En las primeras etapas de adición de partículas, no hay redistribuciones ni pérdidas por el contorno.

Eventualmente, el sistema alcanza un estado de casi-equilibrio, en el que la distribución frecuencia-tamaño es

fractal. Este es el estado que corresponde a la auto-organización crítica.

MODELO MATEMÁTICO

Designamos con (x,y) a una caja genérica y con z(x,y) a la tensión (partículas) que corresponde a la caja (x,y)

en un instante dado. Si la variable z excede un valor crítico zc, entonces se produce una actualización

sincronizada como sigue:

Los clusters de las localizaciones alcanzadas por el efecto dominó siguen una ley de potencias:

donde 1 para tamaños de cluster s que van desde cajas de 500x500 hasta 50x50.

Los tiempos de duración (life-time) de las avalanchas, con independencia del tamaño de las mismas, sigue

también una ley potencial de la forma


47

con valores de 0.43.

TERREMOTOS

El comportamiento del modelo de autómata celular descrito, posee semejanzas notables con la seismicidad

asociada con una zona tectónica activa. La adición de partículas a la malla, es un modelo para la adición de

tensión debida al desplazamiento relativo entre las dos superficies de las placas continentales (considérese, por

ejemplo, la falla de San Andrés).

Los acontecimientos múltiples en los que las partículas son transferidas y/o perdidas son análogos a los

terremotos en los cuales parte de la tensión acumulada es transferida y otra perdida. Existe una gran

semejanza entre las estadísticas frecuencia-magnitud de acontecimientos múltiples y las estadísticas de

Gutenberg-Richter para terremotos.

La ley de potencia de Gutenberg-Richter para la distribución de la energía liberada por un terremoto tiene la

forma

N(energía liberada>E)=cte.E-c

y, puesto que la magnitud M es el logaritmo de la energía liberada

log(número(magnitud>M))=cte.-cM

DITHERING DE IMÁGENES CON LA CURVA DE HILBERT

Como ya hemos adelantado, esta curva es una de las situaciones geométricas patológicas previas a 1975

(concretamente de 1890), pero veremos que existen aplicaciones técnicas de esta curva en proceso digital de

imágenes.

Cuando queremos volcar una imagen con niveles de gris en una impresora laser de las primeras generaciones,

es necesario construir un modelo binario aproximado, ya que estas impresoras solo entienden, para cada uno

de los (posiblemente) 300 ppp, un código: 0 o 1 (tinta/no tinta). Para resolver este problema se utilizan técnicas

de dithering o dithering.


48

Las técnicas de dithering tienen por objeto simular que se dispone de una paleta de colores muy extensa,

cuando, en realidad, solo se dispone de unos pocos colores. También, simular que se dispone de muchos

niveles de gris para describir una imagen, cuando solo está disponible una descripción binaria.

Imagen de Lena original en 256 niveles de gris (izquierda), con dithering para imitar 256 niveles a partir de un conjunto menor (centro) y con dithering basado solo en dos tonos (derecha).

Habitualmente, se efectúa un barrido de la imagen por líneas o bloques de píxeles, produciendo la

aproximación binaria con el objetivo de minimizar el error global. Normalmente, aparecen pequeños defectos en

la imagen así calculada, que hacen obvio el proceso de dithering que se ha usado.

Comparación del dithering tradicional (izquierda) y el dithering con curva de Hilbert (derecha)

ALGORITMO DE DITHERING

Para eliminar los defectos antes citados, imaginemos una curva de Hilbert que pasa a través de todos los

píxeles de la imagen con niveles de gris. Una secuencia determinada de píxeles sobre la curva se transforma


49

en 0 o 1. La ventaja de este método de barrido es la ausencia de tendencias direccionales, presentes en otros

procedimientos.

Documents

Objetos fractales(Autosemejanza)