ndice REVISIN BIBLIOGRFICA...2 Red de flujo2 MTODOS DE OBTENCIN DE LA RED DE FLUJO.6 Mtodo Analtico.6 Mtodo experimental..6 Mtodo de Analoga elctrica.6 Mtodo Grfico...7 APLICACIONES DE LA RED DE FLUJO...7 GASTO DE FILTRACIN..8 DIAGRAMAS DE SUBPRESIN...9 SOLUCIN DEL PROBLEMA ...11 BIBLIOGRAFA.13 OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO REVISIN BIBLIOGRFICA REDES DE FLUJO. Lareddeflujoesunamallaconformadapordosfamiliasdecurvasmutuamenteortogonales,unadelas cuales est constituida por las curvas de igual carga hidrulica o Lneas Equipotenciales(h = constante) y la otra por lneas de corriente o de flujo. La lnea de corriente se define como aquella que puede trazarse a travs de un escurrimiento, siendo tangente a los vectores velocidad en todo su desarrollo. En un escurrimiento permanente o establecido (independiente del tiempo) la lnea de corriente es la trayectoria real de las partculas. El potencial de una partcula, lo da la energa de presin y de posicin de dichas partculas: Fig. 1. Potencial de una partcula lquida = ep + z (potencial) LneaEquipotencialeslaqueunelospuntosdeigualpotencial,partculasdeigualpotencialpueden ascender al mismo nivel. En el flujo se tiene una serie de lneas de corriente. Tubodecorrienteeselespacioentredoslneasdecorrienteconunadimensinunitariaperpendicularal esquema. Fig. 2 Conformacin de una red de flujo. OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO Laslneasdecorrienteseconformanconunafamiliadeelipsesconfocales.LasEquipotencialesse conforman con una familia de hiprbolas equilteras. Fig. 3. Condiciones de frontera en red de flujo. Las condiciones de frontera de las lneas de corriente son la base de la estructura (AB) y el hidroapoyo (PP) para las lneas equipotenciales son la base del terreno (CA) antes y despus de la estructura (BD). Analizando lo que ocurre en un elemento de suelo de dimensiones infinitesimales, puede verse que el gasto de agua que entra a dicho elemento tendr que ser igual al de salida, si el volumen del elemento permanece constante. Siendo Vx y Vy las componentes de la velocidad de entrada y suponiendo que en el sentido normal alplanodelpapelnoexisteflujoyelelementodesuelotieneunaprofundidadigualalaunidadenesa direccin, la igualdad de los gastos puede expresarse como sigue: Fig. 4. Esquema de velocidades de entrada y salida al elemento infinitesimal: OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO vx dy + vy dx = dx dyy vv dyxvvyyxx||.|

\|cc+ + |.|

\|cc+ Simplificando: 0v xvyx=cc+ccy Segn Darcy:

y vy;xk vy x Xcc=cc= yk Sustituyendo en la ecuacin anterior: 0y kx k22y22x=cc+cc --------------------------------(1) Si: kx = ky, lo cual corresponde a un suelo istropo: 0y x 2222=cc+cc ------------------------------------------(2) Lasecuaciones(1)y(2)danlaleydevariacindelaenergapotencialhenelplanox-y,yselesconoce como la Ecuacin General del flujo Bidimensional. La integracin de la ecuacin (2), para casos de condiciones de frontera ideales produce dos races, cada una de las cuales se representa por una familia de curvas (Lneas de corriente) que interceptan a la otra familia de curvasenngulosrectos(lneasequipotenciales),formandoloquesellamaREDDEFLUJO,segnse observa en la figura 5. Laecuacingeneraldelflujo(2)hasidointegradaparavarioscasosdecondicioneshipotticas,perotales condiciones raramente se encuentran en problemas prcticos, para los cuales en su mayora, la integracin de laecuacinresultaunpococompleja.Deaququeseadegranutilidadestudiarlascaractersticasde cualquieradelassolucionesidealescomolasexplicadas,puesconociendodichascaractersticasesposible hacereltrazodelareddeflujoparacondicionesdefronteramscomplejasquesedificultamanejarlas analticamente. Si se toma un tramo de tubo de corriente de unared deflujo trazadaanalticamentecomo la sealada en la figura 6, puede escribirse: q1 = q2 (a) Siendo: q1 y q2 el gasto en las secciones 1 y 2 respectivamente. Por otra parte, segn la Ley de Darcy: q1 = k i1 A1(b) Pero:i1=11e A;siendo: A1laprdidadeenergaentrelasequipotenciales0y1.Adems,siseconsidera que el tubo tiene un ancho igual a la unidad (perpendicular al esquema), el rea A es: OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO Fig. 5. Representacin grfica de las races de la ecuacin General del flujo bidimensional (Ec. 2), en una red de flujo. Fig. 6. Tamo de tubo de corriente de una red de flujo. OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO A1 = l1 x 1 =1 Sustituyendo en la ecuacin (b): 1111lek q= Anlogamente: 2222lek q= Igualando, sustituyendo en (a) y considerando que k es constante, siendo el material homogneo: 222111le le A=A Imponiendo la condicin de que la prdida de energa sea la misma de una equipotencial a la siguiente, o sea que 2 1 A = A se tiene:

A= =k q el el2211---------------------------------- (3) Si la relacin l/e se elige arbitrariamente, igual a la unidad, la red de flujo estar constituida por una serie de cuadradosencadaunodeloscualeslasdistanciasmediassonigualesentres.Estacondicinpermite construiramanolibre,lareddeflujoparamuydiversascondicionesdefrontera,cuyasolucinanaltica resultara sumamente compleja. MTODOS DE OBTENCIN DE LA RED DE FLUJO Mtodo Analtico Estemtodoseutilizasolamentecuandosetieneunespesorinfinito,paralocualseutilizaelMtodode Boussinesq Mtodo experimental A travs de un modelo fsico con una pared de vidrio, se inyecta colorante en varios puntos en la frontera al inicio de la obra, observando las trayectorias a travs de la estructura. Mtodo de Analoga elctrica Este mtodo est basado en la Ley de Ohm y la Ley de Darcy.La Ley de Ohm establece que la prdida de voltaje es proporcional a la primera potencia de la corriente. Se aplican 100 volts, 90 volts, 80 volts, etc. y se buscan los puntos que corresponden a esos voltajes, ya sea por mtodos pticos o auditivos. Comolasresistenciasvaranconlatemperatura,serecomiendatrabajarnomsde3lneasydejarquese enfre el aparato. Las lneas de corriente se trazan a mano, aunque tambin se pueden trazar invirtiendo el modelo (conductores donde son aisladores), dndose las lneas de corriente y a mano se obtienen las equipotenciales. Este mtodo es recomendado para problemas complejos. OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO Mtodo Grfico DenominadotambindetanteossedebeaForheimer,paralocualsedebenconocercuatrocondicionesde frontera sealadas anteriormente en la Fig. 3. El mtodo grfico para el trazo de la red de flujo resulta sumamente sencillo pero requiere de cierta prctica, la cual se obtiene despus de trazar un buen nmero de redes de flujo para distintos casos. Para auxiliar al principiante en aprender este mtodo, el Dr. Artur Casagrande sugiere las siguientes reglas: a)Aprovechartodaoportunidaddeestudiarlaaparienciaderedesdeflujobienconstruidas.Cuandose considerequestasehagrabadosuficientementeenlamente,intentardibujarlasinmirarlasolucin disponible;repetir hasta que sea capaz de dibujar esa red de flujo de manera satisfactoria b)Generalmenteessuficientetrazar45tubosdecorrienteenelprimerintento;elusodeunnmero excesivo de tubos distrae la atencin de las caractersticas generales de la red c)Observarsiemprelaaparienciageneraldetodalared.Notratardeajustardetallesantesdequelared completa est aproximadamente correcta d)Confrecuenciahayporcionesdeunareddeflujoenlascualeslaslneasdecorrientedebenserrectas, aproximadamente paralelas. Los tubos de corriente son entonces casi de la misma anchura y los cuadros, por consiguiente de tamao uniforme. Comenzando a trazar la red en una zona como esa, que se supone consta de lneas rectas, se puede facilitar la solucin e)La red de flujo en reas confinadas, limitadas por fronteras paralelas es frecuentemente simtrica y consta de curvas de forma elptica f)Es normal que el principiante cometa el error de dibujar transiciones muy bruscas entre una seccin recta yotracurva,deunalneadecorrienteodeunaequipotencial.Recordarsiemprequetodaslas transiciones son suaves yde forma aproximadamente elptica o parablica. El tamao de los cuadros en cada tubo de corriente cambia gradualmente g)Generalmente, la primera suposicin que se hace de los tubos de corriente da por resultado una red en la quenotodaslasfigurassoncuadrados.Laprdidadecargaentredosequipotencialesvecinas correspondientesaunnmerodetubosdecorrientearbitrariamenteelegidonoser,normalmente,un divisor entero de la prdida total. Entonces, al final de la red de flujo quedar una hilera de rectngulos. Para los fines usuales sta no es una desventaja, ya que la ltima hilera se toma en consideracin en los clculos estimando la relacin de los lados de los rectngulos. Si para dar una mejor apariencia se desea que toda el rea est formada por cuadrados, ser necesario cambiar el nmero de tubos de corriente, ya seaporinterpolacinomedianteunnuevotanteo.Nosedebeintentarforzarlaredaformarcuadros ajustando en las reas vecinas, a menos que la correccin necesaria sea muy pequea h)Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red de flujo i)Una superficie de salida en la red en contacto con aire si no es horizontal, nunca es ni lnea de corriente ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie no pueden ser completos. APLICACIONES DE LA RED DE FLUJO En el diseo de las estructuras hidrulicas son tres las aplicaciones de la red de flujo: a)Determinacin del gasto de agua que fluye, ya sea a travs del cuerpo de la cortina (Presas de tierra) o de su cimentacin (gasto de filtracin) OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO b)Valuacindelapresinejercidaporelaguaenunpuntocualquieradelared.(Diagramade Subpresiones) c)Determinacindelgradientehidrulicoencualquierpuntodelaredyenparticularalasalidadelas filtraciones.(Problemas de tubificacin). GASTO DE FILTRACIN Delaecuacin(3)esfcilverquesientodalared,trazadodeacuerdoconlasnormasestablecidasdel procedimientogrfico,secumplelacondicindequelarelacin:l/eseaconstante,larelacin A kq permanece tambin constante para cualquier tubo de corriente. Puesto que k y A mantienen el mismo valor paracualquiercuadrodelared,seconcluyequeentodoslostubosdecorrienteescurreelmismogasto,es decir: Q = q nt ----------------------------------------- (4) En la que:nt es el nmero de tubos de corriente trazados en la red de flujo. Si:

ei Lk qii A = ; qi = gasto por el tubo de corriente i Llamando a la prdida total de carga y ne al nmero de cadas equipotenciales:

A =en-------------------------------------------- (5) Sustituyendo esta expresin en la ecuacin anterior y en la (4), as como que 1eL=, Q = k etnn-----------------------------------------(6) Donde: Q =Gasto de filtracin (en medios porosos) por unidad perpendicular al papel, en cm2/seg k=coeficiente de permeabilidad (conductividad hidrulica) en cm/seg =prdida total de carga, en cm nt =nmero de tubos de corriente ne =nmero de cadas equipotenciales nt =puede ser fraccionario ne =con menos frecuencia el nmero de cadas de potencial es fraccionario Porejemplo:sialguientomatrestubosdecorrienteyresultan10cadasdepotencial,setiene:3 . 0103 nnet= =

OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO Pero otra persona toma 4 tubos de corriente, entonces debe tener: 13.330.34n 0.3n4ee= == Cadas de potencia. Lodeseableestrabajarconnmerosenterosdecadasdepotencialynmerosfraccionariosdetubosde corriente. DIAGRAMAS DE SUBPRESIN. Subpresin es la fuerza ejercida por el agua de filtracin -que satura la masa de suelo en la cimentacin- por debajo de la base de las estructuras. Haydiversosmediosparacalcularestafuerza;unodelosmstilesysencilloseselusodelasredesde flujo. Lasubpresinenlabasedeunapresadebeserconsideradaenladeterminacindelaestabilidaddedicha estructura. Para conocer esta fuerza, valindose de la red de flujo, se traza elDiagrama de Subpresiones en la forma que se indica a continuacin: sobre una recta horizontal que se puede suponer representa la base delapresa,sedeterminantrazosperpendicularescorrespondientesacadaequipotencial;sobreestostrazos perpendicularessellevaaescalaelvalordelasubpresinqueserigualaladiferenciadenivelesentrela superficie del agua en la presa (o estructura) y el punto considerado, mediante la correspondiente prdida de potencial. Comoserecordarlacargahidrostticatotalsepierdeporfriccinenelrecorridodefiltracin, correspondindole a cada espacio entre equipotenciales la misma prdida de carga A, de manera que en una equipotencialncualquiera,laprdidadepotencialser Amultiplicadaporn.Trazandoparacada equipotencial el valor de la subpresin a escala, se obtiene una curva semejante a dos parbolas conjugadas. Esta parbola se compensa con una recta y se acepta el diagrama de subpresiones para fines prcticos como un tringulo o un trapecio. Fig. 7.Trazo del diagrama de subpresiones. OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO Expresin General para el clculo de la carga de subpresin Sn = ne nZnn- + = |.|

\| e------------------------------- (7) Donde: Sn= subpresin en el punto n, en m = potencial total en m n = nmero de orden del punto a analizar nZ = profundidad del punto n de aplicacin en m Altrazarlascoordenadasdelasubpresinresultaunacurvacosenoidal,lacualsecompensaconunarecta segn Boussinesq, tal como se muestra en la figura 7. Fig. 8. Curva resultante del diagrama de subpresin y recta compensadora. SOLUCIN DEL PROBLEMA En esta ocasin se propone el siguiente problema Calculo del gasto de filtracin. Para este caso se utiliz la siguiente expresin.

Dnde: Q =Gasto de infiltracin (en medios porosos) por unidad perpendicular al papel, en cm3/seg k=coeficiente de permeabilidad (conductividad hidrulica) en cm/seg. =prdida total de carga, en cm nt =nmero de tubos de corriente ne =nmero de cadas equipotenciales OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO SMBOLOCANTIDADUNIDAD Coeficiente de PermeabilidadK0.0001cm/s PrdidaTotalde Carga 4100cm Nmero de Tubos de Corrientent4Adimensional Nmero de Cadas Equipotencialesne17Adimensional Tabla 1. Datos del problema Sustituyendo los datos en la ecuacin (

) ( ) (

) ( )

El gasto de infiltracin anual por metro lineal en la estructura es: (

)(

) (

) (

)

Obtener el diagrama de supresiones en la base de la presa mostrada en la figura siguiente: OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO

Conesasdistanciasobtenidaspodemosdibujarnuestrodiagramadesubpresionesyquedadela siguiente manera: En u diagrama completo con la base de la presa se ve de la siguiente manera: OBRAS HIDRAULICAS REDES DE FLUJO BIBLIOGRAFA Presas de derivacin.1975. Velazco Snchez Octavio. Plan nacional de obras hidrulicas para el desarrollo rural. Mxico DF Presas de almacenamiento y derivacin. 1983. Vega Roldan O. Arregn Corts F. facultadde ingeniera, UNAM. Segunda edicin. Mxico DF