Embed Size (px)
Citation preview
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЦЕНТР ПРОФОРИЕНТАЦИИ И ДОВУЗОВСКОЙ ПОДГОТОВКИ
Л.А. Щербакова
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для 7-8 классов
Тюмень2010
1
Л.А. Щербакова. МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для 7-8 классов.
Учебное пособие предназначено для системной подготовки учащихся 7-8 классов к Итоговой государственной аттестации, а так же для учащихся 9 классов при подготовке к экзаменам.
Пособие дополняет школьные учебники и обеспечивает методическое сопровождение курса математики для 7-8 классов.
2
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕТЕМА 7. Квадратичная функция
Урок 1. Построение графика квадратичной функцииУроки 2-3. Решение задач на применение свойств
квадратичной функцииУрок 4. Построение графиков квадратичной функции.
Использование свойств функцииТест: «Использование свойств квадратичной функции»Тест: «Свойства квадратичной функции»Ответы
ТЕМА 5. Квадратные корниУрок 1. Квадратные корни. Основное свойство корняУрок 2. Квадратный корень из произведения и дробиУрок 3. Квадратный корень из степениУрок 4. Освобождение от иррациональности в знаменателеУрок 5. Преобразование выражений, содержащих
квадратные корниУрок 6. Контрольная работа по теме «Квадратные корни»Тест: «Определение арифметического квадратного корня»Тест: «Свойства арифметического квадратного корня»Ответы
ТЕМА 8. Квадратные неравенстваУроки 1-2. Решение квадратных неравенств с одной переменной (аналитический и графический способ)Уроки 3-4. Решение квадратных неравенств с одной переменной (метод интервалов)Уроки 5-6. Решение неравенств обобщенным методом интерваловУроки 7-8. Тренировочные задания по теме: «Решениеквадратных уравнений»Ответы
ТЕМА 6. Квадратные уравненияУроки 1-2. Неполные квадратные уравнения. Выделениеквадрата двучленаУрок 3. Формула корней квадратного уравненияУрок 4. Теорема Виета Урок 5. Упрощенная формула корней квадратногоуравненияУроки 6-7. Решение уравнений, сводящихся к квадратнымТест: «Квадратные уравнения»Тест: «Квадратные уравнения. Теорема Виета»Ответы
3
ТЕМА 9. НеравенстваУрок 1. Числовые неравенства. Свойства числовыхнеравенствУрок 2. Сложение и умножение числовых неравенствУроки 3-4. Решение линейных неравенствУрок 5. Методы доказательств числовых неравенствУрок 6. Решение системы линейных неравенствУрок 7. Решение задач на применение неравенствУрок 8. Проверочная работа по теме: «Решение неравенстви их систем»Тест: «Неравенства и их свойства»Ответы
ТЕМА 4. Рациональные дробиУрок 1. Рациональные выражения. Основное свойство дробиУрок 2. Сложение дробей с одинаковыми знаменателямиУроки 3-4. Сложение и вычитание дробей с разнымизнаменателямиУроки 5-6. Почленное деление числителя на знаменатель. Деление многочленовУроки 7-8. Умножение и деление дробейУроки 9-10. Преобразование рациональных выраженийТест №1Тест №2Ответы
ТЕМА 3. Системы линейных уравненийУрок 1. Линейные уравнения с двумя переменнымиУрок 2. График линейного уравнения с двумя переменнымиУрок 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными.Способы решения систем уравненийУрок 4. Способы решения систем линейных уравнений.Решение задач на составление системУрок 5. Контрольная работа №1Урок 6. Контрольная работа №2Ответы
ТЕМА 1. Степень с натуральным показателемУрок 1. Определение степени с натуральным показателемУрок 2. Умножение и деление степенейУрок 3. Возведение в степень произведения и степениТест: «Степень с натуральным показателем»Урок 4. Одночлен и его стандартный вид. Действияс одночленамиТест: «Степень. Свойства степени»
4
Приложение. Разноуровневые контрольные работы по теме:«Степень. Свойства степени»Урок 5. Функции у=х2 и у=х3 и их графикиОтветы
ТЕМА 10. Текстовые задачиУроки 1-2. Типовые задачи. Задачи на проценты, части, долиУроки 3-4. Тестовые задания на процентыУроки 5-6. Избранные задачи вариантов Единогогосударственного экзаменаУрок 7. Задачи для самостоятельной работыУроки 8-9. Задачи на совместную работуУроки 10-11. Задачи на движение
ТЕМА 10. Формулы сокращенного умноженияУрок 1. Возведение в квадрат суммы и разности двух выраженийУрок 2. Разложение на множители с помощью формулквадрата двучленаУрок 3. Умножение разности двух выражений на их суммуУрок 4. Разложение разности квадратов на множителиУрок 5. Разложение на множители суммы и разности кубовУрок 6. Применение различных способов разложенияна множителиУрок 7. Решение уравнений с помощью разложенияна множителиУрок 8. Контрольная работа по теме: «Формулы сокращенного умножения»Это интересно! (Треугольник Паскаля)Ответы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для системной подготовки учащихся 7-8 классов к Итоговой государственной аттестации, а так же для учащихся 9 классов при подготовке к экзаменам.
Хотя по своей структуре пособие опирается на учебник алгебры под редакцией С.А. Теляковского, оно может использоваться учащимися не зависимо от программы обучения, так как представленные в нем материалы составлены в соотвествии с требованиями обязательного образовательного минимума.
Учебное пособие включает теоретический материал, задания для самостоятельной работы, тестовые и контрольные задания. Данная структура позволяет учащимся самостоятельно организовать процесс изучения материала и подготовиться к государственной итоговой аттестации.
Пособие адресовано ученикам 7, 8, 9 классов общеобразовательных школ, преподавателям математики. Оно дополняет школьные учебники и обеспечивает методическое сопровождение курса математики для 7-8 классов.
6
ТЕМА: КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Урок 1. Построение графика квадратичной функции
Определение: Функцию вида где – заданные действительные числа, – переменная, называют квадратичной.
Пример. Построим график функции . Что для этого удобно сделать? (Выделить квадрат двучлена: ).
Тогда искомый график получится из графика переносом на . Постройте его (смотри рисунок).
Имеет ли смысл так делать всегда? (Нет, разумно сделать это один раз в общем виде).
Итак,
Кстати, в доказательстве вывода корней квадратного уравнения мы уже выделяли квадрат двучлена в общем виде.
Пусть ; ; тогда функция примет вид: , поэтому ее график получится из графика (при ) или графика (при ) c помощью стандартных преобразований:
1) сжатия (растяжения) к (от) оси x; 2) переноса на . Иногда, координаты вершины параболы обозначают , где ,
а .
7
4
2
-2
-4
-5 5
n=1
8m=
3
4
1
у=-2х2+3х-1
Итак,1) графиком квадратичной функции является парабола; 2) при ее ветви направлены вверх, а при – вниз; 3) вершина параболы: O ; 4) ось симметрии параболы: прямая .По этим данным и нескольким характерным точкам можно построить
график любого квадратного трехчлена.
Пример. – квадратичная функция, график – парабола.1) , следовательно, ветви параболы направлены вниз;
2) вершина параболы: O ; т.к. , ;
3) ось симметрии: ;4) если то при или .
Как выйти из положения, если вы забыли формулу для вычисления: а) m; б) n?
а) , где x1 и x2 – корни трехчлена; б)
Таким образом, мы теперь владеем двумя способами построения графика квадратичной функции и можем в каждом случае выбирать тот, который удобнее.
Упражнения для самостоятельной работы
Задание 1. Найдите координаты вершины параболы
1) ; 7) ;
8
2) ; 8) ;
3) ; 9) ;
4) ; 10) ;
5) ; 11) ;
6) ; 12)
Задание 2. Даны пары: «Квадратичная функция – координаты вершины параболы». Найдите ошибку и укажите правильные ответы.
№ Квадратичная функция
Координаты вершины параболы
1
2 (x+12)2
- 434
5
6
78
9
Уроки 2-3. Решение задач на применение свойств квадратичной функции
Используя графики квадратичных функций, можно исследовать многие свойства данных функций.
Рассмотрим наиболее типичные примеры.Устно. Даны четыре графика квадратичной функции (см.
рис. 1-4). В каждом случае определите знаки коэффициентов и c.
9
Пример 1. По графику квадратичной функции , изображенному на рисунке, найдите:
1. значения х, при которых значение у равно 6;2. наименьшее значение ;
10
3. укажите промежутки возрастания и убывания функции;4. укажите промежутки, где .
Решение.1. при переменная х принимает значения и 3;2. наименьшее значение 3. функция возрастает при , а функция убывает при
;4. при .
Пример 2. Используя график функции , изображенный на рисунке, определите, какое утверждение верно:
1.2. функция возрастает на промежутке ;3. наибольшее значение функция принимает при 4. Ответ: 4.
Пример 3. Найдите р и постройте график функции , если известно, что он проходит через точку .
Решение.Т.к. точка с координатами принадлежит параболе, то ее координаты
можно подставить в уравнение параболы . После подстановки, имеем: , , значит,
11
Построим график функции: .
Т.к. то ветви параболы направлены вниз.Найдем координаты вершины параболы: , .
– координаты вершины параболы.
Пример 4. Не производя построение графика, определите, наибольшее или наименьшее значение принимает квадратичная функция:
1) 3)
2) 4)
Решение.1) Графиком заданной квадратичной функции является
парабола с ветвями направленными вверх, т.к. поэтому для данной функции можно указать только наименьшее значение. Для этого определим значение функции в точке m.
значит, наименьшее значение функции равно .2) Аналогичные рассуждения позволяют определить, что наименьшим
значением функции является 7.3) Стандартный вид квадратичной функции: Ветви
параболы направлены вниз. Т.к. значит можно указать наибольшее значение функции Наибольшее значение функции равно .
4) Аналогичные рассуждения позволяют определить, что наибольшим значением функции является .
Пример 5. Найти нули квадратичной функции (если они существуют). 1)
12
2) 3) 4) Решение. Для нахождения нулей функции необходимо функцию приравнять к нулю,
т.е. решить уравнение: В задании 1) получаем т.е. или , в задании 2)решаем уравнение
значит, или . Аналогично, после решения уравнений в задании 3) получаем или , а в 4)
или
Задание для самопроверки
Найдите пары: «Квадратичная функция –график этой функции» и отметьте знаком «+»
Урок 4. Построение графиков квадратичной функции.Использование свойств функции
1. Постройте графики указанных функций:а) д) б) е) в) ж) г) з)
2. По графику квадратичной функции изображенному на рисунке, найдите:
1. значение у при ;2. значения х, при которых значение у равно 0;3. укажите промежутки возрастания и убывания функции;4. укажите промежутки, где
13
3. Найдите р и постройте график функции , если известно, что он проходит через точку .
Тест: «Использование свойств квадратичной функции»
1. Какая из следующих парабол отсутствует на рис.?А. Б. В. Г.
2. Дана функция На каком рисунке изображен график этой функции, если известно, что и квадратный трехчлен имеет два положительных корня?
14
3. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов а и с.
а) б) в)
15
4. На рисунке изображен график функции Используя график, сравните и
А. Б.
В. Г. Сравнить нельзя.
5. На рисунке изображен график функции Используя этот график, решите неравенство
А. Б.
16
В. Г.
6. На рисунке изображен график функции Вычислите координаты точки А.
А. Б. В. Г. .
7. На каком рисунке изображен график функции , обладающей свойствами: и функция убывает на промежутке ?
17
Тест: «Свойства квадратичной функции»
Вариант 1
1. Найдите координаты вершины параболы 2. Найдите множество значений функции 3. Найдите область возрастания функции 4. Найдите область убывания функции 5. Найдите нули функции 6. При каких значениях переменной х функция принимает
положительные значения 7. При каких значениях переменной х функция принимает отрицательные
значения
Вариант 21. Найдите координаты вершины параболы 2. Найдите множество значений функции 3. Найдите область возрастания функции 4. Найдите область убывания функции 5. Найдите нули функции
18
6. При каких значениях переменной х функция принимает положительные значения
7. При каких значениях переменной х функция принимает отрицательные значения
19
Ответы
Урок 1
Упражнения для самостоятельной работы:1) Координаты вершины параболы следующие: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
8) , 9) 10) 11) 12)
2) Правильными ответами являются 1), 4), 6), 7) и 9).
Уроки 2-3
Устно: 1) 2) 3) 4) ).
Задание для самопроверки
Найдите пары: «Квадратичная функция –график этой функции» и отметьте знаком «+»
++
++
+
Урок 4
20
1. а) б)
в) г)
д)
4
2
-2
-4
-5
5
y=- x+4 2+5
е)
21
ж) з)
2. 1) при 2) при и при 3) функция возрастает при и убывает при ; 4) функция неотрицательна при .
3. , функция принимает вид ее график изображен на рисунке:
Тест: «Использование свойств квадратичной функции»
22
1. Б2. Г3. 1) в 2) б 3) а4. Б5. Г6. Б7. Б
Тест: «Свойства квадратичной функции»
Вариант 11)
2)
3)
4) 5) 6)7)
Вариант 2
1)
2)
3) 4) 5) 6) 7)
23
ТЕМА 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Урок 1. Квадратные корни. Основное свойство корня
Рассмотрим уравнение где . Выясним количество решений этого уравнения в зависимости от значений а. Проще всего это сделать графически (см. рис.) Возможны три случая:
1) Если то решений нет.2) Если то – одно решение.3) Если , то – два решения.
Определение 1. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен .
Для обозначения арифметического квадратного корня из применяется запись: , где – знак радикала (корня); – подкоренное выражение.
С ее помощью можно кратко записать определение: , где и .
Выражение имеет смысл лишь при !
Примеры. 1) , но не !, так как только и .
2) , так как и
3) , так и . 4) – не имеет смысла, так как уравнение не имеет решений,
то есть, не существует чисел, квадрат которых равен –1,3.
Из определения вытекает основное свойство арифметического квадратного корня: если , то .
Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.
24
Упражнения для устной работы1. Проверьте равенства:
а) ; б) ; в) ; г)
Например, чтобы проверить равенство необходимо:
Кроме того, очевидно, что и .
2. Объясните, почему неверно равенство: а) б) в) ; г)
Пример 1. Вычислите:
Решение.
Пример 2. Упростите: Решение.
Пример 3. Вычислите: Решение.
Упражнения для самостоятельной работы1. Упростите: .2. Упростите: 3. Вычислите:4. Вычислите:5. Вычислите: 6. Вычислите:
Урок 2. Квадратный корень из произведения и дроби
Устно.1) Что необходимо сделать для того, чтобы доказать справедливость
равенства вида: , где ? (нужно проверить выполнение двух условий: 1) 2) ).
2) Какие из следующих равенств не являются тождествами для всех допустимых значений а и b? Обоснуйте примерами.
а) б) ; в) ; г)
.
25
Запишем равенства в) и г) в виде теорем, сформулируем их (полностью и кратко) и докажем.
Если и , то , т.е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Доказательство.1) Если , то следовательно, 2)
Следовательно, по определению арифметического квадратного корня, , ч. т. д.
Обобщение. Если , то .
Если , то , т.е. корень из дроби равен корню из
числителя, деленному на корень из знаменателя.
Доказательство.
1) Если а 0, b > 0, , , следовательно,
2)
Следовательно, по определению арифметического квадратного корня,
ч. т. д.
Пример 1. Вычислить: Решение.
Пример 2. Вычислите: Решение.
Пример 3. Вычислите:
Решение.
Пример 4. Вычислите:
Решение.
26
Упражнения для самостоятельной работы1. Вычислите:
2. Вычислите:
3. Используя свойства корня, найдите значения выражения:
4. Вычислите:5. Используя свойства корня, найдите значения выражения:
6. Используя свойства корня, найдите значения
выражения:
Урок 3. Квадратный корень из степени
Напоминание. Модулем числа x называется расстояние на координатной
прямой от точки с координатой x до нуля;
Найдите устно значения выражений: ; ; ; (во всех случаях получается 3).Верно ли, что ? Почему? Как составить верное равенство? Итак,
Для любого числа х справедливо равенство
Доказательство. 1) если , то , то есть, выражение в левой части имеет смысл и
2) |x|2 = ( x)2 = x2. Следовательно, по определению арифметического квадратного корня,
, ч. т. д.Следствие. Если , то , При каких значениях x выполняется равенство: ? (Если ).
27
Пример 1. Упростить: 1) ; 2)Решение. 1) , т.к. при любом а, то и поэтому 2) . Если то , если , то , значит,
Пример 2. Упростить выражение: Решение. т.к. , то
Пример 3. Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число
Решение. значит, .
Пример 4. Найти корни уравнения: Решение. , , значит, или
, т.е. а .
Пример 5. Упростите выражение: если Решение.
Упражнения для самостоятельной работы1. Упростить: , если 2. Упростить: , если 3. Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено
число 4. Найти корни уравнения 5. Упростите выражение: если
Урок 4. Освобождение от иррациональности в знаменателе
В математике большую роль играет умение освобождаться от знака корня в знаменателе дроби. С этим преобразованием мы уже имели дело в
геометрии. Вспомним, например: tg 30=
Если знаменатель имеет вид , то числитель и знаменатель дроби следует умножить на .
28
Если знаменатель имеет вид или , то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на .
Пример 1. Исключить иррациональность из знаменателя: .
Решение.
.
Пример 2. Упростите выражение:
Решение.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Исключить иррациональность из знаменателя: .
2. Исключить иррациональность из знаменателя: .
3. Упростить выражение: .
Урок 5. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Рассмотрим различные виды преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Для таких преобразований применяются: 1) все виды алгебраических преобразований, то есть правила действий с
29
многочленами, формулы сокращенного умножения и т. д. 2) Все свойства корней и операции над ними, в частности, внесение множителя под знак корня и вынесение его из под знака корня и т. д.
Пример 1. Вычислите:
Решение.
Пример 2. Вычислите: .Решение. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
, т.к. , то , т.к. , то
После преобразований имеем: .
Пример 3. Упростите до целого числа выражение:
Решение.
Пример 4. Упростите выражение:
Решение. Приведем дроби к общему знаменателю:
В числителе применим формулы квадрата разности и квадрата суммы двух выражений, а в знаменателе – формулу разности квадратов. Получим:
Урок 6. Контрольная работа по теме: «Квадратные корни»
Вариант 11. Вычислите без использования таблиц и МК:
30
2. Найдите значение выражения , если .
3. Упростите выражение
4. Сократите выражение
5. Расположите в порядке возрастания числа: 0,5; ; и 1.
6. Сравните числа и , если
7. Выполните действия:
8. Проверьте равенство
Вариант 21. Вычислите без использования таблиц и МК:
2. Найдите значение выражения , если
3. Упростите выражение
4. Сократите выражение
5. Расположите в порядке возрастания числа: 0,75; ; и 1.
6. Сравните числа А и В, если
7. Выполните действия:
8. Проверьте равенство
Тест: «Определение арифметического квадратного корня»
1. Вычислите: .
а)7.5 б)6,1 в)5,1 г)4,8.
2. Найдите значение выражения: .
а) 18 б) 24 в) 12 г) 22.
31
3.Решите уравнение: .а) в)б) г) нет корней.
4.Решите уравнение: .а) нет корней в) 2б) 4 г) 16.
5. Вычислите значение выражения: .
а) б) в) г) .
6. При каких значениях х имеет смысл выражение а) б) в) г) .
7. Упростите выражение , если .
а) б) в) г) b – 5a.
8. Какие из перечисленных ниже точек принадлежат графику функции :
, В , ,
а) В б) С в) D г) А.
9. С помощью графиков функции и найдите координаты точки их пересечения. Запишите произведение этих координат.
а) 4 б) 6 в) 8 г) графики не пересекаются.
10. При каком значении графики функции y = и y = ax – 3 не пересекаются?
а) б) в) г) .
Тест: «Свойства арифметического квадратного корня»
1. Найдите значение выражения:
а) 67,4 б) 66,8 в) 28,4 г)80,6.
2. Внесите множитель под знак корня: .
32
а) б) в) г) .
3. Упростите выражение а) б) в) г) .
4. Выполните действия а) б) в) г) .
5. Сократите дробь
а) б) в) г)
6. Расположите числа в порядке возрастания: и .
а) б)
в) г) .
7. Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби .
а) б) в) г) невозможно.
8. Упростите выражение .
а) б) в) г) .
9. Вынесите множитель из-под знака корня: а) б) в) 2b г) .
10. Укажите верное равенство:а) б) в) г) верного равенства нет.
33
Ответы
Урок 1Упражнения для самостоятельной работы1. 27,92. 583. 34. 25. 116. 5
Урок 2Упражнения для самостоятельной работы1. 120
2.
3. 0,14. 7,25. 3
6.
Урок 3Упражнения для самостоятельной работы1.2.3.4. и 5.
Урок 4Упражнения для самостоятельной работы1.
2.
3.
Урок 6. Контрольная работа по теме: «Квадратные корни»
34
Вариант 11. 234
2.
3.
4.
5.
6. , , значит, 7. -1
Вариант 2
1. 3562.3.
4.
5.
6. , значит,
7.
Тест: «Определение арифметического квадратного корня»
1 б 2 г 3 а 4 г 5 б 6 в 7 г 8 а 9 в 10 г
Тест: «Свойства арифметического квадратного корня»
1 а 2 в 3 а 4 б 5 г 6 г 7 б 8 в 9 а 10 б
35
ТЕМА 3. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Уроки 1-2. Решение квадратных неравенств с одной переменой (аналитический и графический способ)
Ранее мы изучали решение линейных неравенств и некоторых неравенств, содержащих знак модуля. Расширим класс решаемых неравенств.
Неравенства вида где – любые числа, называются квадратными неравенствами с одной
переменной.Решить неравенство, значит найти такие значения переменной, при
которых неравенства будут верными, или доказать, что таких значений нет. Так как нам известны все случаи расположения графика квадратного трехчлена, то решение любого квадратичного неравенства можно свести к выяснению промежутков знакопостоянства квадратичной функции, причем существенным для определения этих промежутков является только направление ветвей параболы и нули функции.
Решать такие неравенства можно различными способами:1. аналитически;2. графически;3. методом интервалов.
1. Аналитический способ Находим корни квадратного трtхчлена. Раскладываем на множители,
используя формулу От квадратного неравенства переходим к двум системам линейных неравенств. Решив их, запишем ответ.
Пример: Решить неравенство .Решение. Произведение
больше нуля, если множители имеют одинаковые знаки (оба положительны или отрицательны).
или
Решаем первую систему, получаем . Вторая система дает решение
Покажем оба решения на числовой оси.
36
Ответ: .
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства: 1. ;2. ;3. ;4. .
2. Графический способ основан на том, что левую часть неравенства можно рассматривать как квадратичную функцию где для решения неравенства применяется метод нахождения промежутка знакопостоянства функции (промежуток, где функция сохраняет свой знак).
При этом пользуемся алгоритмом:1. определите направление ветвей параболы по знаку коэффициента a;2. найдите нули функции, если они есть (Это корни квадратного
уравнения);3. постройте эскиз графика;4. по графику определите, при каких значениях , функция принимает
указанные в задании значения.
Пример 1.Решить неравенства:1) 2) 3) 4) 5)Решение.1) x
1. ветви параболы направлены вверх. 2. (нули функции, они же точки пересечения с осью Ох).
37
3. Эскиз графика
4. По графику видно, что парабола лежит ниже оси (значит, значения неположительные), если
Ответ: .
2) 1. ветви параболы направлены вниз.2. (нули функции, они же точки
пересечения параболы с осью ).3. Эскиз графика.
4. По рисунку видно, что график лежит выше оси (функция принимает положительные значения), если
Ответ:
3) 1. ветви параболы направлены вверх.2. значит корень в уравнении один (точка касания с осью ),
3. Эскиз графика.
38
4. По рисунку видно, что неравенство будет верным при любых значениях кроме
Ответ:
4) 1. a = -1, ветви параболы направлены вниз.2. D = -3, значит, парабола не пересекает ось Ох (квадратный трёхчлен
всюду отрицателен).3.Эскиз графика.
Ответ: пустое множество.
5) 1. ветви параболы направлены вверх.2. корней нет (точек пересечения с осью нет).
3. Эскиз графика.
39
4. По рисунку видно, что функция всюду положительна.Ответ:
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства:5.6.7.
8.9. .
Уроки 3-4. Решение квадратных неравенств с одной переменой (метод интервалов)
3. Метод интервалов В основе метода лежит свойство непрерывной функции. Если она
непрерывна, то она сохраняет знак между своими нулями.
Алгоритм решения квадратного неравенства с одной переменной методом интервалов:
1. Вычисляем дискриминант и находим корни (нули функции), если они есть;
2. Разбиваем числовую ось этими нулями на интервалы;3. Находим знаки функции в каждом из промежутков;4. Выбираем по условию нужные промежутки.
Примеры.Решить неравенства методом интервалов:1)2)
40
3) 4)5)
Решение.1)
1. 2. Имеем две точки пересечения с числовой осью.
3. Выберем любое значение из левого интервала, например Вычисляем значение квадратного трехчлена при этом значении:
В промежутке функция положительна (поставим знак « + »).
Из второго промежутка можно взять . В промежутке функция отрицательна, (ставим знак « – »).
в последнем интервале стоит знак « + ».4. По условию задачи, неравенство должно быть неотрицательным,
значит, ответ: Ответ:
2) .1. два нуля функции 2. Числовая ось разбилась на три интервала.3. Найдем знаки трехчлена в каждом из них.
Ответ:
3) 1. , нулей функция не имеет, ветви параболы направлены
вверх, значит, заданный трехчлен принимает положительные значения при любых значениях переменной.
Ответ: решений нет.
4)
41
1. Разделим обе части неравенства на , изменим знак неравенства, получим равносильное неравенство: . В данном случае имеем сумму двух слагаемых, первое из которых неотрицательно при любых значениях переменной, а второе положительное число, значит, сумма всегда положительна.
Ответ: решений нет
5) 1. Произведение 6х(х-2) равно нулю, если x = 0 или x = 22. Числовая ось выглядит так.
3. Знаки в интервалах можно определить для точек
.Ответ: .
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства методом интервалов:1.
2.
3. 4. 5.
Уроки 5-6. Решение неравенств обобщенным методом интервалов
Используя метод интервалов, можно решать не только квадратные неравенства.
Метод интервалов для неравенств вида: ( ).
42
Схема решения:1. Найти область определения функции ; 2. Найти нули функции , т.е. корни уравнения 3. На числовую прямую нанести область определения и нули функции.
Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;
4. Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;
5. Записать ответ.
Замечание. Рассмотренный метод применим не только для рациональных
функций, т.е. функций вида , где и – многочлены, но и для
любых функций, непрерывных на каждом из промежутков, входящих в область определения.
Метод интервалов без хитростей
Пример 1. Решить неравенство: Решение. Левая часть этого неравенства уже разложена на линейные
множители, можно сразу расставлять знаки.
Теперь запишем ответ: .Ответ: .
Случай кратного корня Пример 2. Решить неравенство:
Решение. Угадав корень разложим левую часть на множители
Расставив корни на числовой оси, определяем знаки на интервалах.
Теперь запишем ответ: .Ответ: .
Заметим, что в ответ попала отдельная точка – корень многочлена, разделяющая два интервала, не входящих в ответ.
43
Приведение к стандартному виду
Пример 3. Решить неравенство: Решение. Перенесем правую часть налево, раскроем скобки и приведем
подобные члены. Получается квадратное неравенство: Найдем корни его левой части: Расставим знаки с учетом того, что старший коэффициент квадратного
трехчлена отрицателен.
на графике вместо поставить и кружочки сделать «пустыми»
Записываем ответ .Ответ:.
Определяем порядок корней
Пример 4. Решить неравенство: Решение. Найдем корни квадратных трехчленов:
и
Теперь их нужно сравнить друг с другом, чтобы правильно расставить на числовой оси.
Обозначим галочкой неизвестный знак неравенства и преобразуем неравенство, сохраняя знак.
или
Мы видим, что третий корень меньше первого.Аналогично сравним второй и четвертый корни.
или
,
44
Значит, второй корень меньше четвертого.Расставляем корни на числовой оси и определяем знаки на интервалах.
Записываем ответ .
Ответ: .
Пример 5. Решить неравенство: Решение. Перенеся в правую часть 2 (с противоположным знаком) и
приведя к общему знаменателю, получаем неравенство: которое
можно заменить на неравенство:
Теперь действуем в соответствии с алгоритмом решения неравенства с многочленом.
Ответ: .
Пример 6. Решите неравенство: .
Решение. Разложив знаменатель первой дроби на множители, перенеся все слагаемые в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим
. Пусть , решим неравенство методом
интервалов.1) Область определения функции – множество действительных чисел,
кроме 2 и 3.2) при или .3) Так как областью определения функции является множество
действительных чисел, кроме чисел 2 и 3, то на координатной прямой обозначим точки 2 и 3.
4) Отметим нули функции – точки 1 и -5. Поскольку решается нестрогое неравенство, то нули функции входят во множество решений (это принято изображать «жирными» точками на координатной прямой).
45
5) Расставляя знаки значений функции в полученных интервалах, получаем, что , если и .
Упражнения для самостоятельной работы
Решить неравенства методом интервалов:1.
2.
3.
4.
5.
6.
Уроки 7-8. Тренировочные задания по теме: «Решение квадратных уравнений»
1. Решить неравенство , используя график функции
, изображенный на рисунке:
А) ( Б) В) Г) нет верного ответа.
2. Найдите решение неравенства используя построенный график функции
46
А) Б) В) Г) .
3. Решите квадратное неравенство опираясь на построенный график функции
А) Б) В) Г)
10. Найдите все решения неравенства , используя построенный график функции
А) Б) В) пустое множество Г) .
5. Сколько целых решений имеет неравенство: ?А) 2 Б) 1 В) 3 Г) 4.
6. Сколько натуральных чисел являются решением квадратного неравенства: ?
47
А) 2 Б) 7 В) 5 Г) 6. 7. Используя построенный график функции , найдите
область определения выражения
А) Б) В) Г) нет верного ответа
8. Найдите область определения выражения воспользовавшись
графиком функции , изображенным на рисунке.
А) Б) В) Г) .
9. Найдите наибольшее целое решение неравенства 3 А)1 Б) 2 В) 0 Г) .
10. На рисунке изображен график функции Используя график, решите неравенство:
48
А) Б)
В) Г)
11. Найдите наименьшее натуральное решение квадратного неравенства:
А) 2 Б) 8 В) 3 Г) 9.
12. Выберите верные утверждения для заданного неравенства :
А) неравенство верно, если х – неотрицательные числа;Б) неравенство верно при любых значениях переменной;В) неравенство является неверным при любых значениях переменной;Г) неравенство верно, если х принимает положительные значение.13. На каком из рисунков изображено множество решений неравенства
?
14. Используя график функции на рисунке найдите число целых решений неравенства:
А) 2 Б) 3 В) 1 Г) целых решений нет.
15. Укажите неравенство, которое не имеет решений:A) Б)
49
B) Г)
16. Укажите неравенство, решением которого является любое число:А) Б) В) Г)
17. Выберите решение неравенства используя построенные графики:
А) Б) В) Г) .
А) Б)
В) Г)
18. При каких значениях переменной, имеет смысл выражение: ?
А) В) Б) Г) ни при каких.
19. Найти область определения функции:А) В) Б) Г) .
20. При каких значениях t, уравнение имеет два корня?
50
А) В) Б) Г)
21. При каком значении m, уравнение: не имеет корней?А) В) Б) Г)
22. При каком значении m, уравнение: имеет хотя бы один корень?
А) В) Б) Г)
23. Среди предложенных вариантов решения неравенства выберите верное:
А) В) Б) Г)
24.Укажите неравенство, которое не имеет решения.А) В) Б) Г)
25. При каких значениях n ,уравнение имеет два корня?А) В) Б) Г)
26. Сколько решений неравенства содержится среди чисел -3; 0; 1; 2; 5?
А) Ни одного В) ДваБ) Одно Г) Три
27. Найдите область определения функции: .
А) В)Б) Г)
28. Решите неравенство: А) В) нет решенийБ) Г)
51
Ответы
Уроки 1-2
Упражнения для самостоятельной работы:1.2.3.
4.
5.6. х – любое действительное число7. 8. Решений нет.9.
Уроки 3-4
Упражнения для самостоятельной работы:1. 2. 3. х - любое действительное число.4. Решений нет.5.
Уроки 5-6
Упражнения для самостоятельной работы:1.2.3.4.5.6.
52
Уроки 7-8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10В Г Г В А Б В В В Г
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20А Б А Б Б Г А В В Б
21 22 23 24 25 26 27 28Б В Б Б А В А А
53
ТЕМА 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Урок 1. Неполные квадратные уравнения
Устно. 1) Как называются уравнения вида где – переменная, ,
?2) Как решить такое уравнение? Сколько корней оно может иметь и от
чего это зависит? Перечислите все возможные случаи. ( если то – один корень; если то корней нет;
если то – бесчисленное множество корней).
3) Какие из следующих уравнений являются линейными? Найдите их решения.
а) б) в) г) д) е) ж)
(Линейными являются: б) ; г) ; е) ).
Как называются остальные уравнения?
Определение 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида где – переменная, причем
Уравнения а), в), д), ж) являются квадратными, так как либо имеют такой вид, либо к такому виду приводятся. Например, в уравнении а) – первый коэффициент; – второй коэффициент; – свободный член.
Определение 2. Квадратное уравнение называется приведенным, если его первый коэффициент равен 1.
Например, уравнения в) и ж).
Определение 3. Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.
Например, уравнения а), д) и ж).Рассмотрим все виды неполных квадратных уравнений и способы их
решений. 1) значит, или
Пример. значит, или
2) Если и – одного знака ( ), то
решений нет; если и – разных знаков ( ), то
54
Примеры. а) решений нет, т.к.
б) т.е. уравнение имеет два корня: и
.
в) Например,
Урок 2. Неполные квадратные уравнения. Выделение квадрата двучлена
Устно.1) Даны уравнения c переменной x: а) б) Укажите
значения а, при которых каждое из уравнений не имеет корней. Сколько решений имеет уравнение при остальных значениях а?
а) Если то уравнение не имеет корней; при – один корень; б) при уравнение корней не имеет, при – два корня, при –
один корень.В дальнейшем, для исследования квадратных уравнений договоримся, что
если уравнение имеет корни, то их два, но при этом эти корни могут совпадать.
2) Уравнения, в которых помимо переменной присутствуют другие буквенные выражения, называются уравнениями с параметром. В этих заданиях мы занимались исследованием таких уравнений, то есть выясняли, при каких значениях параметра уравнение имеет те или иные решения. Может быть поставлена и другая задача: решить уравнение, то есть найти все его корни в зависимости от значений параметра.
а) (при при ).
б) (при при или ).
в) (для любого ). г) (при при решений нет).
д) (при при при и
решений нет).
55
Приступим к решению полных квадратных уравнений. Для простоты начнем с приведенных. (Вспомните определение приведенных квадратных уравнений).
Пример 1. Ответ:
Пример 2. или
Ответ: или При решении уравнения можно действовать и по-другому:
значит, т.е. или Способ решения, который мы применяли, называется выделением
квадрата двучлена.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите самостоятельно следующие уравнения: 1.
2.
3.
4.
5.
Урок 3. Формула корней квадратного уравнения
Решая квадратные уравнения выделением квадрата двучлена, мы видели, что иногда это достаточно громоздкая операция. Поэтому имеет смысл сделать ее один раз в общем виде, получив тем самым универсальные формулы для решения произвольных квадратных уравнений.
Рассмотрим в общем виде квадратное уравнение где и решим его выделением квадрата двучлена:
Обозначим: – дискриминант квадратного уравнения («дискриминант» по-латыни – различитель). Что же он «различает»? (Количество корней уравнения). А именно:
1) Если то корней нет.56
2) Если то – один корень.
3) Если то – два
корня.
Это и есть формула корней квадратного уравнения. Можно ли ее применять для случая ? (Да, проверим это). Именно поэтому принято считать, что если квадратное уравнение имеет одно решение, то это – два совпадающих корня! (Мы с этим уже сталкивались).
Пример. Решите уравнение: Выделять квадрат двучлена –
громоздко, поэтому: или
Ответ: ; .
Полезно запомнитьЕсли в квадратном уравнении то один из корней
квадратного уравнения равен 1, а другой корень равен .Если в квадратном уравнении то один из корней
квадратного уравнения равен – 1, а другой корень равен .
Доказательство.
Если то тогда
57
Если a – b + c = 0, то b = a + c, тогда D = b2 – 4ac = (a + c)2 – 4ac = (a – c)2;
xb D
a
2
= ( ) ( )a c a c
a2 ; x1 = –1; x2 = – ca .
Пример. Решите уравнение Решать уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения,
представляется очень громоздко. Однако можно заметить, что т.е. значит, , а второй корень уравнения
.
Устно. Найдите корни уравнений: а) б) в) г)
Урок 4. Теорема Виета
Рассмотрим квадратное уравнение: где Пусть
то есть, уравнение имеет корни: . Обозначим эти корни
x1 и x2 (возможно, что ). Найдем сумму и произведение корней:
;
Сформулируйте полученный результат. (Если квадратное уравнение имеет корни, то...) Сформулируйте обратное утверждение. (Если числа x1 и x2
таковы, что ...) Докажем это. где
Так как ; , то уравнение можно записать так:
Проверим, являются ли числа x1 и x2 корнями полученного уравнения: 1) равенство верно; 2) равенство также верно. Итак, Числа и являются корнями квадратного уравнения
где тогда и только тогда, когда ; .
58
Основные применения теоремы Виета: вычисление суммы и произведения корней квадратного
уравнения, не находя при этом сами корни; проверка правильности решения квадратного уравнения; исследование знаков корней квадратного уравнения; подбор корней квадратного уравнения; составление квадратных уравнений по их корням.
Применение теоремы Виета к решению задач.
Рассмотрим фундаментальную задачу, связанную с теоремой Виета. Дано уравнение: Имеет ли оно корни? Обозначим их x1 и . Не вычисляя корней уравнения, найдите:а) ; б) ;
в) ; г)
д) ; е)
Решение. а) .
б) .
в) = .
г) .
д) = .
е) .
Урок 5. Упрощенная формула корней квадратного уравнения
Существует ряд квадратных уравнений, для которых имеет смысл упростить формулу вычисления корней. Это – квадратные уравнения с
59
четным коэффициентом . Если то уравнение имеет вид: где
Тогда где – упрощенный дискриминант
квадратного уравнения; –
упрощенная формула корней квадратного уравнения. Почему она бывает удобна? (Меньше вычислений).
Пример. Решите уравнение: Решение. ;
или .
Уроки 6-7. Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяются два основных метода: 1) разложение на множители и 2) введение новой переменной.
Многие уравнения приводятся к квадратным с помощью удачной подстановки. Рассмотрим уравнение: .
Решение. Введем новую переменную Так как
, то заданное уравнение можно переписать: .Это – квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные
формулы. Получим , . Но , значит, исходное уравнение свелось к решению двух уравнений: , . Из первого уравнения находим , второе уравнение не имеет корней.
Ответ: ± 2.
Итак, рассмотренное нами уравнение имеет вид Уравнение такого вида называется биквадратным уравнением («би» –
два, т.е. как бы «дважды квадратное» уравнение).
Порядок решения биквадратных уравнений: 1. ввести новую переменную , ;2. решить квадратное уравнение ;
60
3. решить уравнения , .
Для закрепления этого вида уравнений решим:
а) ;
б) .
Решение. а) , , , .
Ответ:
б) Ответ: .
Рассмотрим еще одно уравнение .Решение.Заметив, что здесь дважды встречается одно и то же выражение ,
введем новую переменную . Это позволит переписать уравнение в более простом виде, что собственно говоря, и составляет цель введения переменной – упрощается запись, и структура уравнения становится более ясной.
61
Итак, данное уравнение имеет четыре корня: , и
.
Решить уравнение: .
Решение.Можно заметить, что в знаменателе этого уравнения дважды встречается
одно и то же выражение поэтому введем замену Запишите получившееся уравнение:
Перенесем все члены уравнения в одну часть:
Преобразуем левую часть уравнения: ,
.
Запишем условия равенства дроби нулю: .
Относительно новой переменной уравнение имеет корни: .Осталось решить два уравнения:1) , 2) ,
,
, .
Ответ:
Решите уравнение:
Решение.
62
Заметим, что в данном уравнении замена не сразу видна. Так бывает в некоторых уравнениях и тогда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразования. Так будет обстоять дело и в последнем примере.
.
Теперь новая переменная «проявилась»: , ., , .
1) 2)
Ответ: .
Тест: «Квадратные уравнения»
1 вариант
1. Какое из данных уравнений не является квадратным?
а) б) в) г) .
2. Найдите коэффициенты квадратного уравнения:
а) 1, , 7 б) , 1, 7 в) 0, , 7 г) другой ответ.
3. Выберите уравнение, дискриминант которого равен 49.а) б)
63
в) г)
4. Решите уравнение а) 2 и б) корней нет в) и 0,2 г) другой ответ.
5. При каких верно равенство ?а) и б) 5 в) и г) другой ответ.
6. При каком уравнение имеет корень 5?а) 3 б) 0 в) г) другой ответ.
7. Найдите сумму корней уравнения .а) – 0,25; б) корней нет; в) 0,25; г) другой ответ.
8. Составьте уравнение по условию задачи.Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых
равно 156.Ответ:________________________.
2 вариант
1. Какое из данных уравнений является квадратным?а) б)
в) г)
2. Найдите коэффициенты квадратного уравнения:
а) 2, 0, 9 б) , 2, 9 в) 2, , 9 г) другой ответ.
3. Выберите уравнение, дискриминант которого равен 25.а) б) в) г)
4. Решите уравнение .а) 3 и б) корней нет в) и 1,5 г) другой ответ.
64
5. При каких верно равенство ?а) 5 и б) 0,2 в) и г) другой ответ.
6. При каком уравнение имеет корень 3?а) 17 б) в) г) другой ответ.
7. Найдите произведение корней уравнения а) б) корней нет в) 4,5 г) другой ответ.8. Составьте уравнение по условию задачи.
Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210.
Ответ:____________________.
Тест: «Квадратные уравнения. Теорема Виета»
1. Решите уравнение
а) б) в) 17,5 г) 0; 17,5.
2. Решите уравнение .а) 0 и б) в) г) нет корней.
3. Решите уравнение а) б) в) 3 г) 3; .
4. Решите уравнение .а) 1,5; б) в) г) ; 2,5.
5. При каких значениях m уравнение имеет единственный корень?
а) 0,5 б) в) 0,25 г) .
6. При каких значениях k и p корнями уравнения являются числа 1 и ?
а) б)
65
в) г)
7. Составьте квадратное уравнение с корнями а) б) в) г) составить нельзя.
8. Решите уравнение:
а) ; 1,6 б) 1; в) 2; г) ; 3,2.
9. Один из корней уравнения равен 1, а второй корень совпадает с корнем уравнения Найдите m.
а) б) в) г) .
10. Дано уравнение , Найдите сумму квадратов корней этого уравнения.
а) б) 2 в) г)
66
Ответы
Урок 2
Упражнения для самостоятельной работы:1. выделяя квадрат двучлена, получим: значит,
2. в левой части уравнения: т.е.
3. Выделим квадрат двучлена в левой части уравнения: Значит, уравнение
принимает следующий вид: решая которое, получим: или значит, корнями являются и
4. Выделим квадрат двучлена: значит, применяя формулу разности квадратов двух чисел, уравнение принимает следующий вид: или Корнями уравнения будут
и
5. заметим, что в левой части уравнения также можно выделить квадрат двучлена: (проверьте самостоятельно), значит,
Урок 3
Устно. Найдите корни уравнений: а) (1; ); б) (–1; ); в) (1; ); г) (–1; ).
Тест: «Квадратные уравнения»Вариант 1
№ 1 2 3 4 5 6 7 8Ответ г б б а г г бВариант 2
№ 1 2 3 4 5 6 7 8Ответ в в б г а б г
Тест: «Квадратные уравнения. Теорема Виета»
67
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ответ г в а в б б а г а г
68
