Olimpiadas de matematicas nivel B

7/30/2019 Olimpiadas de matematicas nivel B

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Nivel B (9-10)

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XVII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMTICA

UNA- UCR- UNED- ITCR- MEP

PRIMERA ELIMINATORIA

NACIONAL

NIVEL B(9-10)

2005


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I eliminatoria 2005

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1. Sean a y b los nmeros reales definidos por: 84 8by4a == .Entonces se satisface que

2. Se ha construido la siguiente figura con fsforos. El mnimo nmero defsforos que han de moverse de la figura para obtener cuatro cuadrados,tres de igual rea y uno ms grande que los otros tres es igual a

3. Considere las siguientes proposiciones relativas a la teora de ladivisibilidad:I. Si un nmero entero a divide a una suma de nmeros enteros

entonces a divide a cada uno de los sumandos

II. Si un nmero entero a divide a 2b entonces a debe dividir a b

III. Si un nmero entero a es un divisor comn de b y c entonces adivide a la suma b + cDe ellas es (son) verdadera(s)

4. En la figura adjunta se tiene que los tringulos ABC y ADE son tringulosrectngulos en C y en A, respectivamente. Se sabe que ED = 2 AB, AM es

mediana del tringulo ADE y = 18EBCm . La medida del ngulo ABEes igual a

A) ba < B) ba = C) ba > D) ba =

A) 5B) 2C) 3D) 4

A) slo II y IIIB) slo I y IIC) slo IIID) todas las proposiciones

A) 72B) 54C) 18D) 36


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5. En un colegio hay 200 estudiantes que participan en Olimpiadas de Fsica,Geografa y Matemtica. Los alumnos que participan exclusivamente en laOlimpiada de Fsica son 60, los que participan exclusivamente en laOlimpiada de Geografa son 60 y slo hay 6 alumnos que participan de lastres Olimpiadas mencionadas.La cantidad de alumnos que participan de la Olimpiada de Matemtica, dela de Fsica o de ambas viene dado por

6. Hay cuatro botes en una de las orillas del ro; sus nombres son Ocho,Cuatro, Dos y Uno, porque esa es la cantidad de horas que tarda cada unoen cruzar el ro. Se puede atar un bote a otro, pero no ms de uno, yentonces el tiempo que tardan en cruzar es igual al del ms lento de los dosbotes. Un solo marinero debe llevar todos los botes a la otra orilla.La menor cantidad de tiempo que necesita el marinero para completar eltraslado es de

7. La cantidad de nmeros naturales de tres cifras, tales que la suma de loscuadrados de sus cifras sea un divisor de 26, viene dada por

8. En cada escaln de una escalera de 10 peldaos hay una rana. Cada unade ellas puede, de un salto, colocarse en otro escaln, pero cuando lo hace,al mismo tiempo, otra rana saltar la misma cantidad de escalones en

sentido opuesto: una sube y otra baja. Despus de realizar repetidas vecesestos saltos se afirma que las ranas no se pueden ubicar todas en unmismo peldao.Podemos asegurar entonces que dicha afirmacin

A) 140B) 134C) 112D) 100

A) 8 horas B) 12 horas C) 10 horas D) 15 horas

A) 30B) 17C) 11D) 4

A) no es ciertaB) es vlidaC) no se puede decidir su veracidad con las condiciones del enunciadoD) es vlida slo si se indica el nmero de veces que se realiza el proceso


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9. Dada la siguiente identidad en la que a, d, t representan, respectivamente,la aceleracin, la distancia recorrida por un cuerpo al caer y el tiempo:

Al expresar t en trminos de las variables a y d, obtenemos laigualdad

10. Hay tres hombres: Juan, Jos y Joaqun; cada uno de los cuales tiene dosprofesiones. Sus ocupaciones son las siguientes: chofer, comerciante,msico, pintor , jardinero y barbero. Sabiendo que:

El chofer ofendi al msico rindose de su cabello largo El msico y el jardinero solan ir a pescar con Juan El pintor compr al comerciante un litro de leche El chofer cortejaba a la hermana del pintor Jos deba dinero al jardinero Joaqun venci a Jos y al pintor jugando ajedrez

Entonces, el que tiene el oficio de pintor

11. La base de un tringulo equiltero mide 15 metros. Si se trazan dos rectasparalelas a la base que divide al tringulo en tres regiones de reas iguales,entonces la longitud de la paralela ms lejana a la base es de

A)

a2

ad+=t

B)

a2

2d-at =

C)

a

2dat

+=

D)

2aa2d

t+

=

A) no se puede deducir cul esB) es JoaqunC) es JosD) es Juan

A) metros38 B) metros36 C) metros33 D) metros35

22 )1t(a21

ta21

d =


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12. La edad de Juan es6

1 la edad de su padre. La edad del padre dividida por

2, 3,4,6 y 8 da como resto 1; pero al dividirlo por 5 el resto es cero. La edad

de Juan es de

13. La cantidad de mltiplos positivos de 6, menores que 1 000 y cuya suma desus dgitos es igual a 21, viene dada por

14. En una reunin se han dispuesto diversas cajas de cigarrillos, de tal modoque los asistentes fumadores pudieron establecer los siguientes hechos:

De cada caja de cigarrillos fumaron exactamente tres personas Cada fumador us precisamente dos cajas distintas Por cada posible par de cajas hubo exactamente un fumador y slo

uno que fum de ambas cajasPodemos afirmar que se dispusieron en la reunin de un total de

15. Adolfo, Felipe, Manuel y Santiago son diputados de los partidos P, Q, R y T,aunque no necesariamente en correspondencia con el orden enunciado ycumplen entre ellos con las siguientes condiciones:

Si Adolfo no es del partido Q, Manuel no es del partido R Si Felipe es del partido R o del partido T, Adolfo es del partido Q Si Manuel no es del partido P, Felipe es del partido T Si Santiago es del partido R, Felipe no lo es del partido Q Si Santiago no es del partido Q, Felipe es del partido Q

Entonces podemos afirmar que Manuel es del partido

A) 25 aosB) 4 aos y 2 mesesC) 24 aosD) 6 aos y 4 meses

A) 10B) 12C) 6D) 8

A) 12 cajas de cigarrillosB) 4 cajas de cigarrillosC) 3 cajas de cigarrillosD) 6 cajas de cigarrillos

A) QB) TC) RD) P


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16. La suma de los tres ltimos dgitos del nmero 99997 es igual a

17. El seor Prez, presidente de una sociedad que viva fuera de la ciudad enque se encontraba su despacho tena por costumbre tomar el tren y que elchofer le recogiese en la estacin terminal, trasladndolo al despacho enautomvil.Un da tom el tren anterior al habitual y lleg a la estacin con una hora deadelanto. Como lgicamente el chofer no estaba, decidi caminar por la rutaacostumbrada hasta toparse con el automvil que lo recoga siempre. As lohizo, y de esta forma lleg al despacho con 20 minutos de anticipacin.Suponiendo que el chofer llegaba cada da a la estacin a recogerle en elpreciso momento de la llegada del tren, entonces la cantidad de minutosque el seor Prez camin es igual a

18. Sea ABC un tringulo issceles con AB = AC = 17 cm y P un punto

cualquiera (diferente de los extremos) del lado BC . Por P se trazan unaparalela AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a

AC en R. El permetro del cuadriltero AQPR viene dado por

19. Cuatro jvenes: Alberto, Bernardo, Carlos y Diego han competido en unacarrera. Al preguntarles quin fue el ganador, sus respuestas han sido:Alberto: gan BernardoBernardo: gan DiegoCarlos: yo no ganDiego: Bernardo minti cuando dijo que yo ganSi solamente es falsa una de estas afirmaciones, el ganador fue

A) 8

B) 1C) 6D) 7

A) 30B) 40C) 50D) 20

A) 8. 5 cm B) 24 cm C) 51 cm D) 34 cm

A) CarlosB) DiegoC) AlbertoD) Bernardo


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20. En la figura adjunta se verifica que AB = AC, la medida del ngulo BAD esde 30y AE = AD. La medida, en grados, del ngulo EDC es

21. El 70% de los habitantes de un pas habla espaol y el 60% de la mismapoblacin habla ingls. Sabiendo que cada habitante habla al menos unode los dos idiomas, el porcentaje de la poblacin que habla los dos idiomases el

22. En un parqueo se encuentran ocupados los espacios sealados con 1, 2, 3,4, 5, 6 y 8, de la figura adjunta. Un cliente dej su automvil en el lugar 7impidiendo la salida del que ocupa el lugar 6.De los 8 automviles dos son de marca Datsun, dos Hyundai, dos Nissan ydos Isuzu. Adems, sabemos que:

Cada Datsun se encuentra junto a un Hyundai Cada Hyundai se encuentra junto a un Nissan Cada Nissan se encuentra junto a un Isuzu Ningn Nissan se haya junto a un Datsun No hay dos autos juntos, de la misma marca

Entonces, la marca del automvil que ocupa elespacio 6 del parqueo es

23. En el trapecio adjunto se tiene que 3 AB = 5 CD, AP + PB = 30 metros.Entonces CP + PD es igual a

A) 15B) 10C) 12.5D) 7.5

A) 30%B) 40%C) 100%D) 130%

A) HyundaiB) IsuzuC) NissanD) Datsun

A) 16 metros B) 14 metros C) 20 metros D) 18 metros

1

4

6

1

5

32 4

6 7

8


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24. En una comunidad rural hay mil escolares que son atendidos por 19maestros y maestras. La Direccin asigna a cada maestro 30 escolaresms que a cada maestra. Sin embargo, se reconoci que la situacin no era

justa y se decidi aumentar en 8 escolares ms la clase de cada maestra,reducindose proporcionalmente las de los maestrosActualmente cada maestro atiende un total de

25. Las cifras de una calculadora (a excepcin del 0) estn dispuestas en laforma indicada en el cuadro adjunto, donde aparece tambin la tecla con el

signo +.Dos jugadores A y B juegan de la manera siguiente: Aenciende la calculadora y pulsa una cifra, y acontinuacin pulsa la tecla +. Pasa la calculadora aB, que pulsa una cifra en la misma fila o columna quela pulsada por A que no sea la misma que la ltima pulsada por A; acontinuacin pulsa la tecla + y le devuelve la calculadora a A, que repite laoperacin y as sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador quealcanza o supere la suma 31. Podemos afirmar entonces que

26. Hagamos que B designe una coleccin de objetos llamados Aes ysupongamos vlidas las siguientes proposiciones:

I. Hay cuando menos dos AesII. Cualesquiera dos Aes estn en un B y solamente en uno

III. Toda B contiene dos o ms AesIV. Para una B dada, hay exactamente una A que no est en B

Podemos afirmar entonces que hay

A) 48 escolaresB) 45 escolaresC) 59 escolaresD) 62 escolares

7 8 94 5 6 +1 2 3

A) B tiene una estrategia ganadoraB) A tiene una estrategia ganadoraC) ni A ni B tienen estrategia ganadoraD) no es posible definir si alguno de los dos tendr una estrategia

ganadora

A) exactamente dos BeesB) cuando menos tres BeesC) a los sumo dos BeesD) exactamente tres Bees


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27. Los lados de un tringulo ABC miden BC = 6 cm, CA = 8cm, AB = 4 cm,respectivamente. Si por un punto M de AB se traza la paralela MN al lado

BC de modo que el permetro del tringulo MAN sea igual al permetrodel trapecio BMNC, entonces la longitud del segmento AM es igual a

28. Carolina hizo un queque que dividi en cuatro porciones: dos de un cuarto,una de un tercio y una de un sexto. Ella se comi una de las porciones y ledio las otras tres a su hermano Juan, quien a su vez comi una porcin ylos dos hijos de ste, Margarita y Pedro, comieron las restantes. Sabiendoque:

El gemelo del que comi la mayor porcin y quien comi la menorporcin son de sexos opuestos

Quien comi ms y quien comi menos tienen la misma edadLa porcin de pastel que comi Carolina es de

29. En la figura adjunta se tiene un rectngulo ABCD en el cual AD = 2 CD y

donde BPOOMA

. Si MN y PQ se intersecan en O, con PO = 2cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm. Entonces la longitud del segmento NO esigual a

A) 1.5 cm B) 2.5 cm C) 2 cm D) 3 cm

A)3

1

B)

4

1

C)125

D)61

A) 8 cm B) 10 cm C) 7 cm D) 6 cm


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30. Carlos es un criminal muy buscado. Tiene la particularidad de cambiar deaspecto habitualmente y pasar desapercibido. Un da en el que esperseguido por el Inspector Gonzlez, se refugi en un microbs de 12

asientos. Sobre cada lado del pasillo hay dos asientos que llevan nmerosconsecutivos y de las dos personas que los ocupan hay una que diceverdad y otra que miente.En el siguiente cuadro aparecen numerados los doce asientos y lasdeclaraciones dadas por los pasajeros que ocupan dichos lugares en elbus:

(1) el 5 es un embustero (5) yo s quien es Carlos (9) yo no soy Carlos(2) yo soy Carlos (6) yo no soy Carlos (10) yo s quin es Carlos(3) yo soy Carlos (7) el 3 dice la verdad (11) el 10 dice la verdad(4) yo no soy Carlos (8) el 2 es embustero (12) el 5 dice la verdad

Segn las condiciones del problema, se puede afirmar que Carlos ocupa elasiento nmero

A) 8B) 9C) 11D) 1

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