Ondas

Frentes de onda y rayos

• Frentes de onda: lugar geométrico de los puntos del espacio que están en fase.– 1D=Líneas (onda plana)– 2D=círculos– 3D=esferas

• Rayos: Líneas perpen-diculares a los frentesde onda. Indican la propa-gación de la onda.

Energía de una onda

• Toda la energía de una onda armónica se produce en el foco, que realiza un MAS

• Definimos la Potencia producida por el foco como la energía que produce por unidad de tiempo:– P=ΔE/ Δt; Unidad=J/s=Watio=W

Propagación

• La energía producida en el foco se distribuye entre cada vez más osciladores (si se propaga en 2D o 3D, al menos), de tal forma que como cada vez son más “tocan” a menos.

• Como la EMAS=1/2kA2, los osciladores más lejanos tendrán menos A hasta desaparecer la onda, incluso aunque el medio sea perfectamente elástico y no absorba energía.

¿relación r (distancia al foco) y A?

• Para ver dicha relación, introducimos un nuevo concepto, la Intensidad de una onda.

Si nos preguntamos de qué depende la energía solar que entra por una ventana, responderemos que del tiempo y de la superficie de la ventana.

• I= ΔE/ Δt ΔS=Energia que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación. Unidad=W/m2

Un foco y 2 frentes de onda

• Por los 2 atravesará la misma potencia, la que se produce en el foco

P=I1S1=I2S2

I14πr12=I24πr2

2

I1r12=I2r2

2

I α 1/r2

¿Y con A?

• Ya sabemos que I disminuye con el cuadrado de r. ¿Y A?

• La intensidad I será proporcional a la energía de cada oscilador (ΔE/ Δt ΔS) , y por tanto, proporcional a A2 ->I α A2

Sale…..

• Combinando las 2 expresiones anteriores• I α A2

• I α 1/r2

• A2 α 1/r2->A α 1/r

Si se quiere ser riguroso: E=1/2kA2=1/2m4π2ν2A2= 2mπ2ν2A2

Ecada superficie=nº osciladores/S(=σ)·4πr2·Potencia de un oscilador=σ·4πr2· 2mπ2ν2A2. Al igualar en cada superficie se obtiene:

A12r1

2= A22r2

2

Onda atenuada. Sin pérdida de energia

Absorción de energía por el medio

• Absorción. Paneles para absorber el sonido.ΔI/I0=-βL->ΔI/I=-β ΔxdI/I =-βdx

dx

I0I

L

Propagación: Huygens

• Propagación de una onda: Todo punto de un frente de ondas se convierte a su vez en un emisor de ondas secundarias cuya envolvente es el nuevo frente de ondas.

Uso del P. Huygens: Difracción

Se usa para demostrar las leyesde la reflexión y la refracción

Una onda llega a un cambio de medio…

• Y en esa interfase se producen 2 ondas, una que vuelve al medio original (reflexión) y otra que atraviesa al segundo medio (refracción).

Nota: A veces la refracción no es posible: Medio opaco a la luz, cuerda amarrada en un extremo.

– Reflexión: Rayo en un espejo, Eco del sonido: Cambio de dirección de la onda dentro del mismo medio al llegar a la superficie de separación entre 2 medios.

– Refracción: Rayo de luz en un prisma: Cambio de dirección de una onda que pasa a otro medio debido a su cambio de velocidad de propagación.

Ley de la reflexión y la refracción

• 1ª. Los rayos incidente, reflejados, refractado y la normal a la superficie están en el mismo plano.

• 2ª. REFLEXION: El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es el mismo que el que forma el ángulo reflejado con la normal

Seguimos…

• 3ª: Ley de Snell: El cociente entre el seno del ángulo de incidencia y de refracción es igual al cociente entre las velocidades de propagación de la onda en ambos medios

• Situaciones en la refracción:

Ruedas en un plano inclinado

Difracción

• la difracción es un fenómeno característico de las ondas. Se basa en el curvado y esparcido de las ondas cuando encuentran un obstáculo o al atravesar una rendija.

• La difracción ocurre en todo tipo de ondas• Se observa muy bien si la rendija L≈λ

Interferencias

• Cuando llegan 2 o mas ondas a un punto se suman sus efectos->Principio de superposición.

• Fenómenos propiamente ondulatorio.• La luz no se sabía si era onda o partícula (rayos

no coherentes), hasta que se realizó el experimento de la doble rendija->Experimento de Young

Experimento Young

INTERFERENCIA DE DOS PULSOS DE ONDA

Estudio gráfico

F1 F2

n=0

n=1/2

n=1n=3/2

n=2

n=3

n=4

Cresta de la onda

Valle de la onda

Interferencia constructiva

Interferencia destructiva

AB

C

Punto A: Distancia foco 2: x2=9 (Cresta)Distancia foco 1: x1=6 (Cresta) Difer. de camino: x2-x1=3Tipo Interferencia: Constructiva

Punto B:Distancia foco 2: x2=6,5 (Valle)Distancia foco 1: x1=5,5 (Valle) Difer. de camino: x2-x1=Tipo Interferencia: Constructiva

Punto C: Distancia foco 2: x2=7 (Cresta)Distancia foco 1: x1=2,5 (Valle) Difer. de camino: x2-x1=4,5Tipo Interferencia: Destructiva

Fotografía de interferencias de una cubeta de ondas

Analíticamente

2cos

22 babasensenbsena

tendríamos:

• Interferencia constructiva:

• Interferencia destructiva:

Caso especial de interferencias

Ondas estacionarias

Ondas Estacionarias

• Son un caso especial de interferencias en el que una onda, confinada en un medio, interfiere con su reflejo.

• Se producen en:– Instrumentos de cuerda: cuerda y caja de resonancia.– Instrumentos de viento: La onda de presión que se

produce en la lengüeta interfiere con el reflejo producido en la boca del tubo (cambio de presión=cambio de medio)

– Modelo de Bohr:

Una onda, al llegar a un punto de cambio de medio en el que no puede vibrar,se refleja y además se invierte. Se puede ver en el dibujo superior o en video en los siguientes 2 enlaces:- https://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs&feature=plcp- https://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI&feature=plcp

Observemos una onda reflejándose

Analiticamente

Recordemos que Al reflejarse una onda transversal en un punto fijo experimenta un cambio de fase de 180º. El signo menos de y2 aparece porque sen(180+α)=-senα

El resultado es una sucesión de M.A.S. de A variable según la distancia x

Nodos y vientres• Hay partículas que oscilan con mucha amplitud (el doble de la original) y

partículas que no oscilan en absoluto (siempre se encuentran quietas). En una onda estacionaria, en realidad no hay propagación de energía, sino que existe un intercambio de energía cinética y potencial para cada partícula del medio, es un estado de vibración.

• Nodos: puntos de no vibración: 2AsenKx=0 ->xnodos=0, λ/2, λ; etc

DISTANCIA ENTRE NODOS: λ/2• Vientres: puntos de vibración máxima: 2AsenKx=+1 o -1 ->xvientres= λ/4,

3λ/4, 5λ/4; etc

DISTANCIA ENTRE VIENTRES: λ/2

Con esos datos y la idea que nodos y vientres están siempre intercalados (a distancia λ/4) se pueden construir múltiples ondas estacionarias

En una cuerda• Los extremos, al estar fijos, serán NODOS.• Podemos producir varias ondas estacionarias (para

calcular su λ /2 recordar que la distancia N-N= λ /2; V-V= λ /2 y N-V= λ /4 :

La primera tiene una frecuencia:ν0=v/λ =v/2L. Se denomina1er armónico o vibración fundamental

La cuarta tiene una frecuencia:ν4=v/λ =2v/L=4v/2L=4ν0 .Se denomina 4º armónico o 3er sobretono

En una flauta

• En el extremos cerrado nodo y en el otro vientre y en medio las distintas posibilidades

música• Si tenemos en cuenta que la velocidad de una onda en una cuerda viene

dada por – T= Tensión de la cuerda– μ= densidad lineal (m/L)

• A mayor T mayor v y según lo anterior mayor frecuencia. Las cuerdas producen sonidos más agudos al tensionarlas.

• Las cuerdas de los bajos son mas densas, mayor μ, y por tanto menor v y menor frecuencia.

• Si bien se trata de una explicación grosera -una primera aproximación- los agujeros laterales que tienen los instrumentos de viento tienen en el efecto de alargar y acortar la longitud del tubo. Lo propio hace el asa deslizante del trombón. Las curvas que deba pegar la columna de aire no tienen ningún efecto sonoro, los instrumentos las tienen para ahorrar espacio.

Onda estacionaria (Applet de java)

Videos

• Ondas estacionarias en video:– Con extremos abiertos (vientres):https://www.youtube.com/watch?v=7_GeW73SGnc&feature=plcp– Con los 2 extremos fijos (nodos):https://www.youtube.com/watch?v=jovIXzvFOXo&feature=plcp- Con un extremos libre y el otro fijo:https://www.youtube.com/watch?v=DWhCdlPM19M&feature=plcp

Efecto doppler

• Consiste en el cambio de la frecuencia percibida por un observador (es un cambio aparente) cuando hay movimiento relativo entre él y el foco.– Dopler (1842)->Sonido– Fizeau (1848) ->ondas electromagnéticas (luz). El rayas

del espectro del H emitido por la luz de una galaxia se “corren” hacia el rojo->Las galaxias se alejan->Hubble.

– Usaremos f en las ecuaciones en lugar de ν porque aparecen muchas velocidades v que se pueden prestar a confusión.

Es super útil

• Rádar de la policia (basado en el cambio de frecuencia de la onda de radar emitida por el aparato del coche policia y la onda reflejada por el vehículo infractor)

• Ecografia doppler• Astronomia

Efecto doppler del espectro del H

• Corrimiento hacia el rojo de la luz estelar. http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Hubble

ejemplo

Un flash del efecto doppler

Estudio gráficoNace una onda. En el instante inicial el foco, que se encuentra en el origen, emiteuna onda.

0

Estudio gráficoAl cabo de un tiempo igual al período, T, el frente de la onda emitida antes llega a λ y, mientras tanto, el emisor se ha movido a vfocoT y desde ahí emite el siguientefrente de ondas.

vfocoT1T10

Estudio gráficoAl cabo de un tiempo igual al 2T, el frente de ondas emitido desde el punto 0 está a 2λ del origen y el emitido desde el punto 1 avanzó λ desde su punto de emisión, vfocoT.Mientras tanto, el emisor se ha movido a 2vfocoT y desde ahí emite el siguientefrente de ondas.

2vfocoT2T10

λ

2λ La distancia entre 2 frentes de onda consecutivossegún se acercan al observador ya no es λ, sinoλ-vfocoT

2

λ-vfocoT

Estudio gráficoCada frente avanza λ desde su anterior posición. El móvil avanza.

3vfocoT3T

10

2λ3λ

La distancia entre 2 frentes de onda consecutivossegún se acercan al observador ya no es λ, sinoλ-vfocoT

2 3

λ

¿Qué frecuencia mide el observador?

• A él los frentes no le llegan cada T segundos, sino antes, ya que la distancia entre frentes es =

• Esa distancia se tarda en recorrer un tiempo =.Ese t será el período aparente que percibirá el observador, lo que tardan en llegarle 2 frentes de ondas consecutivos, T’.

• La

Seguimos…

• Si el observador estuviese “detrás” (el foco se aleja de él), el signo del denominador sería el +, ya que los frentes tardarían más en llegar, al tener que recorrer .

• Agrupando ambas expresiones:

Para recordar

• Para recordar el signo debemos recordar que si el foco se acerca al nosotros, al observador, “acelera” la llegada de las ondas, llegan antes, con un T’ menor y por tanto con una frecuencia ν’ mayor. El signo del denominador será el que hace que ν’ aumente, el signo -

• Si el foco se aleja de nosotros, espacia aún mas la llegada de los frentes, T’ mayor y ν’ menor. El signo del denominador será el que hace que ν’ aumente, el signo +

¿Y si se mueve el observador?

• El efecto es similar, pero la causa es el “aceleramiento” o “retraso” en la llegada de los frentes por causa del movimiento del observador. Los frentes de onda son perfectamente concéntricos, pero el observador, al moverse a través de ellos, acelera o retrasa su llegada.

¿Se ve?

0

demostración• Desde que el observador atraviesa el primer frente de ondas,

el siguiente frente y él se dirigen al encuentro. Son como los trenes que salían de 2 estaciones distintas separadas que estudibais en 4º. Cada uno recorre para encontrarse vobs·t y vonda·t y se encuentran cuando la suma de sus recorridos vale λ. Ese t será el período T’ percibido por el observador

resumen

• Al igual que antes, el signo será - sise produce la situación contraria, elobservador se aleja.

• El resumen es:

𝒇 ′= 𝒇 𝒗𝒐𝒏𝒅𝒂± 𝒗𝒐𝒃𝒔

𝒗𝒐𝒏𝒅𝒂 { −𝒔𝒊𝒆𝒍 𝒐𝒃𝒔 . 𝒔𝒆𝒂𝒍𝒆𝒋𝒂+𝒔𝒊𝒆𝒍 𝒐𝒃𝒔 . 𝒔𝒆𝒂𝒄𝒆𝒓𝒄𝒂

Resumen

• Observador fijo- foco moviéndose:

• Foco fijo-observador moviéndose:

Combinamos…

• Si los 2 se mueven las combinamos y hacemos que la ν’ del 1º sea la ν del segundo:

SIGNOS

Se debe pensar en cada signo independientemente del otro y pensando en como influye individualmente en la f’

SITUACION Signo foco Signo observador

F O - -F O - + F O + + F O + -

Error

• Error muy extendido. La regla de los signos:• La regla de los signos es:

– Si hay aproximación relativa la ν’ aumenta. Aumenta el numerador(+) y disminuye el denominador (-)

– Si hay alejamiento relativo la ν’ disminuye. Disminuye el numerador(-) y aumenta el denominador (+)

Un flash del efecto doppler

Un vídeo sobre el mismo efecto

Y otro sobre el mismo, pero en “divertido”.The Bing Bang Theory. Sheldon Cooper y su disfraz

Y el último: Applet de java

Ejercicios

Un tren que se mueve con una velocidad de 40 m/s hace sonar su silbato, con una frecuencia de 500 Hz. Calcula las frecuencias escuchadas por un observador en reposo a medida que el tren se le aproxima y una vez que se aleja. V(sonido)=340 m/sS: 566 Hz y 447 Hz

Ejercicio

Una ambulancia viaja por una recien inagurada autovía de Toledo a una velocidad de 40 m/s. Su sirena emite un sonido de frecuencia 300 hz. ¿Con qué frecuencia escucha la sirena un observador que viaja a 25 m/s en sentido contrario)a) Cuando se aproxima a la ambulanciab) Cuando se aleja de ella. V(sonido)=340 m/sS: 487 Hz y 332 Hz

Ejemplo interferenciasUn ejemplo: Un experimentador conecta dos tubos de goma a la caja de un diapasón que es excitado eléctricamente y mantiene los otros extremos de los tubos en sus oídos. Aumentando progresivamente la longitud de uno de ellos, aprecia que cuando la diferencia entre ambos es de 18 cm percibe por primera vez un sonido de intensidad mínima. Se trata de determinar cuál es la frecuencia del diapasón y la longitud de la onda sonora correspondiente. (Considérese la velocidad del sonido en el aire 340 m/s.)

SoluciónEn este caso el diapasón equivale a dos focos, al generar ondas idénticas que se propagan por caminos diferentes. Si el primer mínimo se consigue cuando es igual a 18 cm, aplicando la condición de mínimo se tendrá:x2-x1=λ/2 luego:

λ=2(x2-x1)=2·18=36 cmDado que la frecuencia f y la longitud de onda l están relacionadas por la ecuación

v = l · ν se tendrá:

Ejemplo Doppler

Una lancha rápida se acerca a la pared vertical de un acantilado en dirección perpendicular. Con la ayuda de un aparato de medida el piloto aprecia que entre el sonido emitido por la sirena de su embarcación y el percibido tras la reflexión en la pared del acantilado se produce un salto de frecuencias de 440 Hz a 495 Hz. ¿A qué velocidad navega la lancha? (Tómese la velocidad del sonido en el aire v = 340 m/s.)

SoluciónObservador (O) en movimiento y foco (F) en reposo:

(O se acerca al F)Observador (O) en reposo y foco (F) en movimiento:

(F se acerca al O)Como se dan ambos casos, se aplicará sucesivamente ambas transformaciones a la frecuencia emitida f para obtener la frecuencia percibido f'

pues en este caso vF = vO

Sustituyendo resulta:

y despejando vF se tiene: vF = 20 m/s = 72 km/h

El sonido

• Qué sabemos:– Onda de presión– Longitudinal– Mecánica

Producción y propagación• Mecanismo de producción:

– Voz humana– Instrumentos– oido

oido

• Entre 20 Hz y 20000 Hz (20 kHz)• v(sonido en el aire)=340 m/s• 17m>λ>1,7 cm

– Si f<20 Hz: infrasonidos– Si f>20 kHz: ultrasonidos. Ambos no audibles. ¿Por

qué se usan los ultrasonidos)? λ bajo. Poder resolución.

Velocidad del sonido

medio Velocidad

hierro 5950 m/s

Aire seco 340 m/s

agua 1500 m/s

𝑣𝑔𝑎𝑠=√𝛾 𝑅𝑇𝑀ϒ=coeficiente adiabático=1,4 para los gases diatómicos, como el aireR=constante de los gases ideales=8,31 J/K·mol (ojo unidades)T=Temperatura absolutaM=masa molecular del gas. Para el aire (21% O2 y 79 N2) Maire=(21·32+79·28)/100=28,9 g/mol

Propiedades del sonido

• Tono: Es la cualidad que nos permite distinguir los agudos (o altos) de los graves (o bajos). Es la frecuencia. Las distintas notas musicales se corresponden con frecuencias distintas.

• Timbre: Permite distinguir quién produce el sonido y distinguir la voz de una persona de otra, el sonido de un instrumento de otro… Se relaciona con la complejidad de las sonidos, que nunca son ondas puras (salvo los diapasones), sino mezclas de armónicos.

Intensidad

• Como en cualquier onda: • I= ΔE/ Δt ΔS=Energía que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad

de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación. Unidad=W/m2

• I es proporcional a A2 y a 1/r2

• Pero la sensación sonora (subjetiva) no es proporcional a la intensidad. Para que una persona aprecie que un sonido tiene doble volumen que otro es necesario que el primero sea aproximadamente 10 veces mayor.

Intensidad sonora

• Umbral de audición: La intensidad más baja que se puede oír para una frecuencia dada. A 1000 Hz la I. umbral se estima en I0=10-12 W/m2 y ahí pondremos el cero de nuestra escala de intensidad sonora

• La máxima intensidad sonora del tímpano humano sin ocasionar dolor se estima en 1 W/m2. Hay una variabilidad de 1012 W/m2 entre el mínimo y el máximo. No pondremos máximo porque el sonido puede ser de mayor intensidad y dañar el timpano.

DecibeliosPor esa enorme variabilidad se emplea para medir intensidades sonoras una escala logarítmica cuyas divisiones son potencias de 10.Se define intensidad sonora (en belios, B, en honor a Alexander Graham Bell) como el logaritmo del cociente entre la I del sonido y la I umbral:

(en B)Se suele usar más un submúltiplo del Belio, el decibelio (dB). 1 B=10 dB. Para usar la formula anterior en dB haremos la conversión de unidades:

(en dB)

decibelios

La formula anterior puede escribirse también como: (β en decibelios)10 dB->I=10I0

20 dB->I=100I0

30 dB->I=1000I0

Cada 10n dB la I se multiplicapor 10n

Eliminadas

Otra manera muy parecida de verlo

0

El observador acelera la llegada de los frentesde onda. La velocidad relativa de las ondas conrespecto al observador es vrel=vonda+vobs, ya que vanal encuentro (principio de Galileo)

Al igual que antes, el signo será - sise produce la situación contraria, elobservador se aleja