TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

1.-INTERFERENCIA DE ONDAS.

2.-FIGURAS DE LISAJOUSS.

3.-MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN.

OBJETIVO

En el presente trabajo se analizaran los fenómenos físicos que se relacionan al tema de ondas mecánicas los cuales son: interferencia de ondas, modos normales de vibración así como también comprender las figuras de Lisajouss.

Índice

INTRODUCCIÓN

MARCO TEÓRICO

Tipos de onda

DESARROLLO

1.-INTERFERENCIA DE ONDAS.

2.-FIGURAS DE LISAJOUSS.

Antecedentes Figuras de Lissajous

Conjunto De Figuras De Lissajous

3.-MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN.

Modos Normales De Osciladores Acoplados Ondas estacionarias

APLICACIONES

Medida de radios de curvatura de lentes.

Estetoscopio

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

El movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la Física. Sin duda alguna, la noción más intuitiva que tenemos del movimiento ondulatorio está asociada con las ondas producidas por el viento o alguna otra perturbación sobre la superficie del agua. Oímos un foco sonoro por medio de las ondas (ondas sonoras) que se propagan en el aire o en cualquier otro medio material- y las vibraciones del propio foco (ejemplos: la cuerda de una guitarra, la columna de aire en un tubo sonoro, etc. Constituyen una onda denominada onda estacionaria. Muchas de las propiedades de la luz se explican satisfactoriamente por medio de una teoría ondulatoria, estando

firmemente establecido hoy día que las ondas luminosas tienen la misma naturaleza que las radioondas, las radiaciones infrarrojas y ultravioletas, los rayos X y la radiación gamma.

Debido a las propiedades elásticas del medio material, la perturbación original se transmite a las porciones de materias vecinas, y de éstas a las siguientes, y así sucesivamente, de modo que la perturbación se propaga por el medio, alcanzando a todas las porciones de éste, que quedarán sometidas a movimientos análogos al del punto donde se inició la perturbación. Obviamente, todos los puntos del medio no serán alcanzados simultáneamente por la perturbación, ya que ésta se propaga con una velocidad finita que depende de las propiedades (elásticas e inerciales, como veremos más adelante) del medio, de modo que las partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse con un cierto retraso. En definitiva, podemos decir que: la propagación de una perturbación en un medio constituye un movimiento ondulatorio.

El movimiento ondulatorio transporta energía. Este transporte de energía, que puede tener lugar a distancias considerables, se realiza sin necesidad de desplazamiento de materia a gran distancia, ya que cada elemento del medio transmite energía a los elementos vecinos.

Para que se propaguen las ondas mecánicas es necesario tener como soporte un medio material. Sin embargo, no es necesario tal medio para la propagación de ondas electromagnéticas (v.g., la luz), que pueden propasarse en el vacío, aunque también se propagan en los medios materiales. Las propiedades del medio material que determinan la velocidad de las ondas mecánicas en él son su elasticidad y su inercia. Todos los medios materiales (aire, agua, acero, etc.) poseen esas propiedades y en ellos pueden propagarse las ondas mecánicas. Es la elasticidad la que da lugar a las fuerzas restauradoras sobre cualquier elemento que se desplaza de su posición de equilibrio; es la inercia la que determina la respuesta a esas fuerzas restauradoras.

El término de onda, como tendremos ocasión de comprobar, se refiere a un modelo matemático que sirve para interpretar de manera análoga fenómenos físicos de naturaleza muy diferente. En este tema tratamos de los diferentes tipos de ondas que pueden existir.

MARCO TEÓRICO

Tipos de onda

Aunque las ondas se pueden clasificar de otras formas, las vamos a clasificar de acuerdo con propiedades físicas notorias.Dependiendo del tipo de medio que necesitan para su propagación se clasifican en mecánicas ó elásticas y no mecánicas o electromagnéticas.Si la dirección en la cual varía la magnitud que define la perturbación coincide con la dirección de propagación de la misma, las ondas se llaman longitudinales, y si la dirección de variación de la magnitud que define la perturbación es normal a la dirección de propagación de la misma, las ondas se llaman transversales.

Algunas ondas no son exclusivamente longitudinales ni transversales, por ejemplo las ondas sobre la superficie del agua.

También se pueden clasificar de acuerdo con el número de dimensiones en que se propaga en:

Unidimensionales: p.e. ondas en una cuerda.

Bidimensionales: p.e. ondas sobre la superficie del agua.

Tridimensionales: p.e. ondas sonoras, luminosas.

En las ondas tridimensionales se define al frente de ondas como el lugar geométrico de los puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la perturbación y que, por consiguiente, en un instante dado, están en el mismo estado o fase de la perturbación.

La dirección de propagación siempre es perpendicular al frente de ondas y se representa mediante el rayo.

Atendiendo a la forma del frente de ondas, pueden clasificarse en:

Planas, la perturbación se propaga en una sola dirección. Los frentes de onda son planos y los rayos rectas paralelas.

Cilíndricas

Esféricas, la alteración se propaga en todas direcciones a partir del punto que es la fuente de las ondas. Los frentes de onda son superficies esféricas y los rayos líneas radiales. Lejos de la fuente los frentes de onda tienen una pequeña curvatura y a menudo pueden tomarse como planos.

Una perturbación unidimensional en movimiento en una sola dirección (por ejemplo OX), debe ser función de x y de t, y puede escribirse como:

La forma o perfil de la onda en cualquier instante se puede encontrar manteniendo el tiempo constante. Por ejemplo en t=0:

Nos limitaremos al estudio de las ondas cuya forma no varía mientras avanzan.

Supongamos un pulso cuya forma en el instante inicial para un sistema de referencia S viene dada por

En t segundos habrá avanzado a lo largo del eje X una distancia vt, pero su forma permanece inalterada.

Si introducimos un sistema de referencia S´ que viaja junto con el pulso a la velocidad v, en este sistema, ya no es función del tiempo y vemos un perfil estacionario, de forma que:

El perfil se ve igual para cualquier valor de t en S´como lo era para t=0 cuando S y S´tenían el origen común (figura 2).

De la figura: de forma que, en términos de las variables asociadas con el sistema S, se puede escribir:

Lo que representa la forma general de la función de onda unidimensional.

Si la onda estuviera viajando en la dirección negativa del eje X, quedaría:

Si investigamos las derivadas de la función de onda, obtendremos una ecuación diferencial que se denomina ecuación de ondas unidimensionales, lo que permitirá predecir teóricamente la existencia de las ondas en un sistema.

Tomemos la derivada parcial segunda de con respecto a x:

siendo y

Idem con respecto a t:

Puesto que

Si las comparamos:

que es la ecuación de ondas en una dimensión.

Por ser una ecuación lineal, es evidente que si Y1 y Y2 son soluciones de la ecuación de ondas, también lo será Y1 + Y2, lo que constituye el principio de superposición.

Podría demostrarse que una onda tridimensional satisface una ecuación de onda dada por:

Si introducimos el operador laplaciano:

Nos queda:

DESARROLLO

1. INTERFERENCIA DE ONDAS (1-D)

Se produce interferencia cuando varias ondas coinciden en un mismo punto del medio por el que se propagan. Las vibraciones se superponen y el estado de vibración resultante del punto es la suma de los producidos por cada onda.

En las figuras adjuntas se representa la evolución de dos estados de vibración transmitidos a un punto cuando es alcanzado por dos ondas armónicas de la misma frecuencia. En el caso representado por el dibujo situado más a la izquierda los estados de vibración (verde y rojo) llegan al punto en fase y el resultado de su superposición es una vibración (azul) de mayor intensidad. En ese punto tiene lugar una interferencia constructiva. En el otro dibujo las vibraciones llegan en oposición de fase y el resultado

de su superposición es una vibración de menor intensidad (podría ser nula). Se produce una interferencia destructiva.Para practicar este concepto hemos diseñado una animación Modellus interactiva. Representa dos estados de vibración armónica simple y su superposición. Se pueden modificar las amplitudes de las dos vibraciones y el desfase entre ellas, comprobando cómo afecta la modificación a la evolución del estado de vibración resultante de su superposición. También se representan tres partículas virtuales que simulan las vibraciones, y el punto del medio vibrante donde se superponen esos dos estados de vibración. Aplicando el desfase adecuado, el usuario puede lograr que ese punto vibre con amplitud máxima (interferencia constructiva) o nula (interferencia destructiva).

La forma de producir interferencias consiste en hacer incidir una onda sobre una pared con dos aberturas. Se produce difracción en cada una de ellas y al otro lado de la pared se superponen las dos ondas secundarias dando lugar a

interferencias constructivas y destructivas.

A la derecha se representa esta situación. Las líneas de color continuas del esquema representan puntos en concordancia de fase con cada foco (situado en una rendija) y las líneas discontinuas a puntos en oposición de fase con él. A los puntos como B, C o D las ondas rojas (procedentes de F1) llegan en fase con las ondas azules (procedentes de F2) mientras que a puntos como el A,

las ondas rojas llegan en oposición de fase con las azules. Así se delimitan unas zonas donde se produce interferencia constructiva (se representan por líneas negras de trazo continuo) y otras en las que se produce interferencia destructiva (representadas por líneas negras de trazo discontinuo).

Las figuras adjuntas muestran el aspecto que adquiere una onda difractada de este modo y la distribución de la intensidad recibida en una pantalla a una cierta distancia de dicha rendija (señalada por la línea azul de puntos).

Como consecuencia de la superposición de las ondas secundarias procedentes por las dos rendijas la distribución de la intensidad recibida en la pantalla resulta con una sucesión de máximos y mínimos de intensidad equidistantes entre sí. El máximo de mayor intensidad se ubica enfrente del centro geométrico entre las dos rendijas.

En todos estos procesos se obtiene en la pantalla un figura típica de franjas de interferencia, cuya forma depende de la forma geométrica que tengan las rendijas o aberturas (por ejemplo, rectangulares, circulares..) y cuya localización se puede prever en función de la separación existente entre las rendijas y la distancia a la que se coloca la pantalla.

En todos los casos, el máximo de intensidad se ubica enfrente del centro geométrico entre los dos focos.

Las interferencias se pueden aprovechar para incrementar señales ondulatorias o para disminuirlas. Así, por ejemplo, en un teatro interesa que los sonidos que puede enviar un apuntador a los actores interfieran constructivamente en el escenario donde actúan y en cambio no se oigan en la zona donde se sientan los espectadores. Igualmente se precisa que la voz de los actores llegue alta y clara a los espectadores. Estos recintos tienen una geometría que considera estas necesidades, procurando que después de múltiples reflexiones (en paredes y techos) los sonidos interfieran de la forma más adecuada en cada zona.

2. FIGURAS DE LISSAJOUS (2-D)

Antecedentes

Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y matemático americano de Salem Massachusetts Nathaniel Bowditch en 1815 cuando estudiaba el movimiento del péndulo compuesto. Bowditch (1773-1838) fué un científico autodidacta, autor de numerosos trabajos científicos, recordado principalmente por su libro “The New American Practical Navigator”, que fue adoptado por el Departamento Americano de la Marina de Estados Unidos. Jules Antoine Lissajous (1822-1880) fue un físico francés que, independientemente de Bowditch, estudió ampliamente las curvas que llevan su nombre en sus investigaciones sobre Óptica. Lissajous no se encuentra entre los gigantes de la historia de la ciencia, sin embargo, su nombre es conocido en la física por las “figuras de Lissajous", patrones de formas que aparecen cuando se superponen movimientos a lo largo de líneas perpendiculares. Lissajous entró en la Ecole Normale Superieure en 1841 y más tarde se convirtió en profesor de física en la Lycee Saint-Louis en París, donde estudió el sonido y las vibraciones. En 1855 ideó un simple método óptico para el estudio de vibraciones compuestas, colocando un pequeño espejo a cada uno de los objetos que vibran (dos diapasones, por ejemplo) y apuntaba un haz de luz a uno de los espejos. El haz se refleja en

primer lugar al otro espejo y de allí a una gran pantalla, donde se formaba un patrón bidimensional como resultado visual de la combinación de las dos vibraciones. Esta sencilla idea es el precursor del moderno osciloscopio, que fue una novedad en la época de Lissajous, hasta entonces el estudio de sonido dependía únicamente del proceso de audición; es decir, solo por el oído humano. Lissajous literalmente hizo posible "ver el sonido."

Figuras de Lissajous

Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas rectangulares (x,y) se describen por movimientos armónicos simples3 . Las ecuaciones para este sistema pueden observarse en las Ecuaciones 1 y 2.

Ecuación 1. Función horizontal variable en el tiempo de un Movimiento Armónico Simple (MAS)

Ecuación 2. Función vertical variable en el tiempo de un Movimiento Armónico Simple (MAS)Donde las funciones x (t), y y(t) son perpendiculares entre sí. Un ejemplo de este sistema puede describirse mecánicamente como se muestra en la Figura 1.

Figura 1, Sistema mecánico para construir las figuras de LissajousPor simplicidad para el análisis se considerará de aquí en adelante que A1 = A2

= 1; por lo tanto, se obtiene las Ecuaciones 3 y 4.

Ecuación 3. Función horizontal de amplitud unitaria variable en el tiempo de un Movimiento Armónico Simple (MAS).

Ecuación 4. Función vertical de amplitud unitaria variable en el tiempo de un Movimiento Armónico Simple (MAS).La figura resultante depende entonces de ω1, ω 2, Φ1 y Φ2. Donde Φ1 y Φ2

están asociadas a las condiciones iniciales del sistema y definen el punto de partida de coordenadas x (0), y (0) en el instante t = 0. Posteriormente, las coordenadas (x, y) que varían con el tiempo definen puntos para diferentes instantes t describiendo las trayectorias denominadas Figuras de Lissajous.El método más general para dibujar estas figuras consiste en evaluar las ecuaciones paramétricas en valores discretos de t, tomando como base un múltiplo de las frecuencias que interactúan. Una representación alterna de las funciones x(t), y(t), refiriéndolas al punto (0,y) como se ve en la Figura 2,

busca definir una forma simplificada (que permite dibujarlas fácilmente) en la que en la escala adecuada se aprecia el desfase δ entre las funciones.

Figura 2, Ejemplo de una figura de LissajousEsta representación alterna se obtiene mediante el siguiente análisis: Cuando t = 0 en las ecuaciones 3 y 4:

Analizando el corte con el eje y (x=0):

Lo cual ocurre cuando:

Reemplazando este valor en y, se obtiene:

Se obtiene el valor δ en la Ecuación 5:

Ecuación 5. Desfase δ entre las funciones x(t), y(t)Se tiene que las ecuaciones paramétricas del movimiento pueden reescribirse mediante las ecuaciones 6 y 7 Definiendo la representación alterna antes mencionada así:

Ecuación 6. Representación alterna de la Ecuación 3

Ecuación 7. Representación alterna de la Ecuación 4

Conjunto De Figuras De Lissajous

En la Figura 4 se muestran algunas figuras de Lissajous organizadas por la relación ω1/ω2 y el ángulo de desfase denominado δ.

Figura 3, Conjunto de Figuras de Lissajous Elementales generadas por computador

3. MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN

Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son también llamados frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es único.Es usual utilizar un sistema formado por una masa y un resorte para ilustrar el comportamiento de una estructura deformable. Cuando este tipo de sistema es excitado en una de sus frecuencias naturales, todas las masas se

mueven con la misma frecuencia. Las fases de las masas son exactamente las mismas o exactamente las contrarias. El significado práctico puede ser ilustrado mediante un modelo de masa y resorte de un edificio. Si un terremoto excita al sistema con una frecuencia próxima a una de las frecuencias naturales el desplazamiento de un piso (nivel) respecto de otro será máximo. Obviamente, los edificios solo pueden soportar desplazamientos de hasta una cierta magnitud. Ser capaz de representar un edificio y encontrar sus modos normales es una forma fácil de verificar si el diseño del edificio es seguro. El concepto de modos normales también es aplicable en teoría ondulatoria, óptica y mecánica cuántica

Modos Normales De Osciladores Acoplados

Sean dos cuerpos (no afectados por la gravedad), cada uno de ellos de masa M, vinculados a tres resortes con constante característica K. Los mismos se encuentran vinculados de la siguiente manera:

donde los puntos en ambos extremos están fijos y no se pueden desplazar. Se utiliza la variable x1(t) para identificar el desplazamiento de la masa de la izquierda, y x2(t) para identificar el desplazamiento de la masa de la derecha.Si se indica la derivada segunda de x(t) con respecto al tiempo como x″, las ecuaciones de movimientos son:

Se prueba una solución del tipo:

Sustituyendo estas en las ecuaciones de movimiento se obtiene:

dado que el factor exponencial es común a todos los términos, se puede omitir y simplificar la expresión:

Lo que en notación matricial es:

Para que esta ecuación tenga más solución que la solución trivial, la matriz de la izquierda debe ser singular, por lo tanto el determinante de la matriz debe ser igual a cero, por lo tanto:

Resolviendo para , existen dos soluciones:

Si se substituye en la matriz y se resuelve para ( ), se obtiene (1, 1). Si se substituye , se obtiene (1, -1). (Estos vectores son autovectores (o eigenvectors), y las frecuencias se denominan autovalores, (o eigenvalues).)El primer modo normal es:

y el segundo modo normal es:

La solución general es una superposición de los modos normales donde c1, c2, φ1, y φ2, son determinados por las condiciones iniciales del problema.

El proceso demostrado aquí puede ser generalizado utilizando el formalismo de la mecánica lagrangiana o el de la mecánica hamiltoniana.

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es una forma continua de modo normal. En una onda estacionaria, todos los elementos del espacio (o sea las coordenadas (x,y,z)) oscilan con la mismafrecuencia y en fase (alcanzando el punto de equilibrio juntas), pero cada una de ellas con una amplitud diferente.La forma general de una onda estacionaria es:

donde f(x, y, z) representan la dependencia de la amplitud con la posición y el seno y coseno son las oscilaciones en el transcurso del tiempo. En términos físicos, las ondas estacionarias son producidas por la interferencia (superposición) de ondas y sus reflexiones (a pesar de que también es posible decir justamente lo opuesto; que una onda viajera es una superposición de ondas estacionarias). La forma geométrica del medio determina cual será el patrón de interferencia, o sea determina la forma f(x, y, z) de la onda estacionaria. Esta dependencia en el espacio es llamada un modo normal.Usualmente, en problemas con dependencia continua de (x,y,z) no existe un número determinado de modos normales, en cambio existe un número infinito de modos normales. Si el problema está acotado (o sea está definido en una porción restringida del espacio) existe un número discreto infinito de modos normales (usualmente numerados n = 1,2,3,...). Si el problema no está acotado, existe unespectro continuo de modos normales.Las frecuencias permitidas dependen de los modos normales como también de las constantes físicas del problema (densidad, tensión, presión, etc.) lo que determina la velocidad de fase de la onda. El rango de todas las frecuencias normales es por lo general llamado el espectro de frecuencias. Por lo general, cada frecuencia está modulada por la amplitud a la cual se ha

generado, dando lugar a un gráfico del espectro de potencia de las oscilaciones.En el ámbito de la música, los modos normales de vibración de los instrumentos (cuerdas, vientos, percusión, etc.) son llamados "armónicos".

APLICACIONES

Medida de radios de curvatura de lentes.

Medida de radios de curvatura de lentes. Existen diferentes métodos interferenciales que permiten medir parámetros de una lente tales como su focal, sus radios de curvatura o las aberraciones que presenta. En este caso vamos a estudiar franjas de igual espesor que se producen en el espacio de aire comprendido entre una lente oftálmica y un calibre plano para obtener información sobre el estado de la superficie de la lente y en particular medir su radio de curvatura. Se trata de una técnica sencilla, precisa y conceptualmente muy elemental en cuanto a su descripción teórica. La técnica de los anillos de Newton constituye un método muy simple para establecer la calidad de una superficie óptica. Normalmente, los diseñadores de lentes indican la calidad de la misma en términos del número de anillos que aparecen cuando se compara con la superficie de un calibre que sirve de referencia. En las lentes de baja calidad suelen aparecer unas cuantas franjas que nos indican lo que se aleja la superficie bajo test de la superficie calibrada. En una lente de mucha calidad se puede llegar a que haya un anillo. La precisión que se puede obtener con esta técnica sencilla es del orden de l/2 por lo que es suficiente para lentes oftálmicas dada la tolerancia del sistema visual. La disposición habitual para observar los anillos de Newton se representa en la figura. La luz de un láser se colima y mediante un divisor de haz se envía la luz reflejada sobre la superficie de la lente cuyo radio se quiere medir. La luz que incide sobre la lente pasa a través el espacio de aire que queda entre ésta y el calibre plano. El haz reflejado por la segunda cara de la lente interfiere con el haz reflejado por el calibre dando lugar a franjas del mismo espesor que se forman aproximadamente sobre la

superficie de la lente en forma de anillos. La diferencia de fase entre los dos rayos reflejados en la segunda cara de la lente y en el calibre plano será:

Los anillos oscuros se obtendrán cuando d =(2m+1)p, es decir Así, si medimos el radio de los anillos oscuros, y representamos x 2 frente al orden del anillo, m, se obtendrá una recta cuya pendiente es lR. También se puede usar este montaje para analizar la calidad de las superficies de lentes. En efecto, la aparición de franjas deformadas, en lugar de circulares, indicaría un pulido deficiente de la superficie. En las fotos se muestran interferogramas obtenidos para diferentes gafas de sol.

Estetoscopio

Este instrumento fue inventado en 1816 por el médico francés René Laeannec quien, por pudor, no le agradaba la idea de aplicar su oreja sobre el pecho de las pacientes, por lo que se acostumbró a utilizar un tubo de papel. Caminando por París vio cómo un niño golpeaba el extremo de un trozo de madera y otro escuchaba el otro extremo y eso lo inspiró a diseñar el primer estetoscopio (era un tubo cilíndrico de madera). Posteriormente perfeccionó la idea aplicando el principio de interferencia constructiva.

El fonendoscopio o estetoscopio dispone de una membrana circular que se pone sobre el pecho o la espalda del paciente y transmite el sonido al aire que hay en la cápsula cónica en la que va montada; la cápsula concentra el sonido cardiaco o respiratorio de forma que sea mejor escuchado.

El oído humano es capaz de captar frecuencias desde los 20 hasta los 20000 Hertz. El estetoscopio capta frecuencias entre los 50 a los 300 Hertz. Todos los ruidos cardíacos están en el rango de los 50 a 300 Hertz. Los ruidos pulmonares normales están entre los 100 y 2000 Hertz, mientras que los ruidos anormales están entre los 200 y 800 Hz.

CONCLUSIONES

Después de manejar con claridad los conceptos relacionados con las figuras de Lissajous se pueden proponer experiencias de aprendizaje muy interesantes en donde se puede sugerir por ejemplo la construcción de sistemas que permitan la elaboración de la figuras por medios con cierto nivel de automatización como el que se muestra en la Figura 6, de modo tal

que ahora son los estudiantes con su profesor, quienes pueden “crear” las figuras utilizando diversos medios; lo que de alguna manera incentiva la creatividad, tan necesaria en países como Colombia que requieren más investigación e innovación.

Los fundamentos que nos permitieron comprender los fenómenos de interferencia de ondas nos ayudaran para saber manejar sistemas que satisfacen los problemas que se presenten en la ingeniera de las Telecomunicaciones.

Se aprendió que la superposición de ondas existe cuando una onda se propaga en una misma dirección, además de que la trayectoria final de una perturbación será distinto porque depende de diversos factores tales como velocidad, desfase, energía.

BIBLIOGRAFÍA

[1] ARONS, A. A Guide to introductory Physics teaching. Editorial John Wiley & Sons. 1990.

[2] VARELA FAVIERES, Manrique, P. DE LANDAZÁBAL. Iniciación a la Física en el marco de la teoría constructivista. C.I.D.E. 1989.

[3] Traducción de ALBERTO GÓMEZ del artículo de FRANK G. KARIORIS The Physics Teacher, Volúmen 13, número 5, Mayo de 1973.

[4] Alonso Finn. Mecánica Tomo I

[5] www.wikipedia.org