OPCIÓN A...2019/09/02 · c) (1,5 puntos) Determine la integral 3 1 ³f x dx(). 4. La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,75

EvAU Junio 2019 Matemáticas II en Aragón I.E.S. Vicente Medina (Archena)

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EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA DE JUNIO DE 2019

EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II TIEMPO DISPONIBLE: 1 hora 30 minutos

PUNTUACIÓN QUE SE OTORGARÁ A ESTE EJERCICIO: (véanse las distintas partes del examen)

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.

OPCIÓN A

1.

a) (2 puntos) Determine el rango de la matriz 𝐴 siguiente, según los diferentes valores del

parámetro 𝑘.

0

0 2 0

1 1 2

k k

A k

k

b) (1 punto) Determine la inversa de la matriz 𝐴 anterior cuando 𝑘=1.

2.

a) (1 punto) Determine el valor de las constantes 𝑎 y 𝑏 para que los puntos siguientes estén

alineados 𝐴:(1,1,2), 𝐵∶(2,2,2) y 𝐶∶(−1,𝑎,𝑏) y determine la recta que los contiene.

b) (0,5 puntos) Dados dos vectores u y v , calcule el vector:

u v u v

Donde el símbolo “” representa el producto vectorial.

3.

a) (1,5 puntos) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0,0), (𝑎,0),(0,𝑏) y (𝑎,𝑏), donde

𝑎>0 y 𝑏 >0 y además el punto (𝑎,𝑏), está situado en la curva de ecuación:

2

19y

x

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área

mínima y calcule dicha área mínima.

b) (1 punto) Determine:

2

1

9dx

x

c) (1,5 puntos) Determine el valor de la constante 𝑘 para que se verifique que: 3 2

3 21

3lim 2

1x

x x kx

x x x

4. Se dispone de dos cajas, la caja A contiene 3 bolas moradas y 2 bolas rojas; mientras que la caja

B contiene 4 bolas moradas y 4 rojas.

a) (0,75 puntos) Se escoge una bola cualquiera de la caja A y se pasa a la caja B. Posteriormente

se saca una bola de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la caja B sea

morada?

b) (0,75 puntos) Ahora volvemos a la situación original de las cajas; la A contiene 3 moradas y 2

rojas y la B contiene 4 moradas y 4 rojas. Seleccionamos una caja al azar y se saca una bola que

resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la caja A?


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OPCIÓN B

1.

a) (1,5 puntos) El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes

disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de

esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas

de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico.

Calcula el número de deportistas de cada disciplina.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que 𝑎=−2, calcule el valor del siguiente determinante.

2 3 2 4 2

3 6 3 10 3

a a b a c

a a b a c

a a b a c

2.

a) (1 punto) Determine la ecuación del plano determinado por el punto 𝑃∶(2,1,2) y la recta

𝑟∶(1,0,0)+𝑡(−1,1,1).

b) (0,5 puntos) Dados los vectores 1,2,0 2,1, 3u y v , determine el área del triángulo que

tiene por lados esos dos vectores.

3. Considere la función:

2

1( )

1

xf x

x

a) (1,5 puntos) Determine las asíntotas de la función, si existen.

b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si

existen.

c) (1,5 puntos) Determine la integral

3

1

( )f x dx .

4. La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,75.

Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20 mensajes de Twitter.

A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los

cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que

la definen.

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en

un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?

b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga

faltas de ortografía?

c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí

tengan faltas de ortografía?


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SOLUCIONES

OPCIÓN A

1.

a) (2 puntos) Determine el rango de la matriz 𝐴 siguiente, según los diferentes valores del

parámetro 𝑘.

0

0 2 0

1 1 2

k k

A k

k

b) (1 punto) Determine la inversa de la matriz 𝐴 anterior cuando 𝑘=1.

a) El determinante de la matriz es

2

0

0 2 0 2 2 2 2 1 2 1

1 1 2

k k

A k k k k k k k k k k k

k

Si igualamos a cero este determinante

0

0 2 1 0 2 0 2

1 0 1

k

A k k k k k

k k

Hay 4 casos distintos.

CASO 1. 0; 2 1k k y k

En este caso el rango de la matriz A es 3.

CASO 2. 0k

La matriz queda

0 0 0

0 2 0

1 1 2

A

.

Esta matriz tiene rango 2. Si quitamos la fila y columna 1ª nos queda un menor de orden 2

no nulo. 2 0

4 01 2

CASO 3. 2k

La matriz queda

2 0 2

0 0 0

1 1 0

A

Esta matriz tiene rango 2. Si quitamos la fila y la columna 2ª nos queda un menor de orden 2

no nulo. 2 2

2 01 0

CASO 4. 1k

La matriz queda


4 de 12

1 0 1

0 1 0

1 1 1

A

Esta matriz tiene rango 2. Si quitamos la fila y columna 3ª nos queda un menor de orden 2

no nulo. 1 0

1 00 1

b) Cuando k =1 la matriz queda

1 0 1

0 3 0

1 1 3

A

Su determinante vale

1 0 1

0 3 0 9 3 6 0

1 1 3

A . Existe la inversa y la calculamos con la fórmula

1

3 1 0 1 0 31 0 1

0 3 1 3 1 00 3 19 1 3

0 1 1 1 1 01 0 3 1 10 2 0

0 3 1 3 1 06 6 63 1 3

0 1 1 1 1 0

3 1 0 1 0 3

t

Adj

Adj AA

A

2.

a) (1 punto) Determine el valor de las constantes 𝑎 y 𝑏 para que los puntos siguientes estén

alineados 𝐴:(1, 1, 2), 𝐵∶(2, 2, 2) y 𝐶∶(−1, 𝑎, 𝑏) y determine la recta que los contiene.

b) (0,5 puntos) Dados dos vectores u y v , calcule el vector:

u v u v

Donde el símbolo “” representa el producto vectorial.

a) Para que los puntos estén alineados los vectores que los unen deben tener la misma

dirección, es decir, deben tener coordenadas proporcionales.

1, , 1,1,2 2 1 2

1 1 02,2,2 1,1,2

2 12 1 1

1 1

( ) ( 2, 1, 2)

(1,1,

2 20 2 2

1 0

0)

A a b a b

AB

aa a

bb

C a b

b

Para 𝑎 = –1 y 𝑏 = 2 los puntos están alineados y la recta que definen tiene ecuación que

podemos obtener a partir del vector director, por ejemplo, (1,1,0)AB y un punto, por

ejemplo, A(1,1,2).


5 de 12

1(1,1,0)

: 1Pasa por A(1,1,2)

2

r

x t

rv

tAB

y

z

b) Si , , , ,u a b c y v x y z entonces , , , , , ,u v a b c x y z a x b y c z .

0

i j k

u v u v a x b y c z

a x b y c z

, ya que hay dos filas iguales, la 2ª y la 3ª.

OTRA FORMA DE COMPROBARLO

u v u v es otro vector con módulo el producto del módulo de cada uno de los

vectores que se multiplican y por el seno del ángulo que forman. Como el ángulo que

forman es 0º, su seno es 0 y el producto vectorial es el vector nulo.

· · , · · 0º 0u v u v u v u v sen u v u v u v u v sen

3.

a) (1,5 puntos) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0,0), (𝑎,0), (0,) y (𝑎,𝑏), donde 𝑎>0

y 𝑏 >0 y además el punto (𝑎,𝑏), está situado en la curva de ecuación:

2

19y

x

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área

mínima y calcule dicha área mínima.

b) (1 punto) Determine:

2

1

9dx

x

c) (1,5 puntos) Determine el valor de la constante 𝑘 para que se verifique que: 3 2

3 21

3lim 2

1x

x x kx

x x x

a) El triángulo es como en el dibujo

Como el punto (a, b) está en la gráfica de la función 2

19y

x la coordenada b vale


6 de 12

2

19b

a

El área del rectángulo es 2 2

1 1· · 9 9 9

aÁrea a b a a a

a a a

Calculamos su derivada e igualamos a cero buscando el mínimo.

2

2 2

2 2

1 19 ´ 9

1 1 1 1 1´ 0 9 0 9 1 9

9 9 3

A a a A aa a

A a a a aa a

Solo nos interesa el valor positivo. Veamos el signo antes y después de 1

3a .

Antes de 1

3a , por ejemplo 0,1a la derivada vale 2

1´ 0,1 9 91 0

0,1A la función

decrece.

Después de 1

3a , por ejemplo 1a la derivada vale 2

1´ 1 9 8 0

1A la función crece.

En el punto 1

3a hay un mínimo. El valor de

2

19b

a será

2

19 9 9 18

1

3

b

El rectángulo tiene vértices:

0,0 , ,0 , 0,1 1

( 18 ,18)3 3

y

Y el valor del área mínima es 21 1 1

9 3 3 613 3

3

A u

b)

2

2

1 1

9 3 3

11 6

1 61 3 3

13 3 3 31 6

6

1 1

1 1 1 1 16 6

9 3 3 6 3 6 3

1 1ln 3 ln(3 )

6 6

dx dxx x x

B BA B

A x B xx x x x

A A

dx dx dx dxx x x x x

x x C

c) 3 2

3 21

3 5lim

1 0x

x x kx k

x x x

, para que sea igual a 2 debe de producirse una indeterminación y

en la resolución de la misma debe salir 2. Para que haya indeterminación debe de anularse el

numerador, es decir, 5 + k = 0, luego k = –5.

Comprobémoslo.


7 de 12

3 2

3 21

2

21

1

5 3 0lim Indeterminación resolvemos por L´Hôpital

1 0

3 2 5 0lim Indeterminación resolvemos por L´Hôpital

3 2 1 0

6 2 8lim 2

6 2 4

x

x

x

x x x

x x x

x x

x x

x

x

4. Se dispone de dos cajas, la caja A contiene 3 bolas moradas y 2 bolas rojas; mientras que la caja

B contiene 4 bolas moradas y 4 rojas.

a) (0,75 puntos) Se escoge una bola cualquiera de la caja A y se pasa a la caja B. Posteriormente

se saca una bola de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la caja B sea

morada?

b) (0,75 puntos) Ahora volvemos a la situación original de las cajas; la A contiene 3 moradas y 2

rojas y la B contiene 4 moradas y 4 rojas. Seleccionamos una caja al azar y se saca una bola que

resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la caja A?

a) Construyamos un diagrama de árbol.

P(Sacar bola morada de la caja B) = P(sacar morada de A) · P(Sacar morada de B /sacar

morada de A) + P(sacar roja de A) · P(Sacar morada de B /sacar roja de A) =

= 3 5 2 4 23

· · 0,515 9 5 9 45

b) Construyamos un nuevo diagrama de árbol para la nueva situación.

Elijo bola de caja A

Saco morada de A

3/5

La paso a la caja B y tiene ahora 5 moradas y 4 rojas

Saco bola morada de caja B

5/9

Saco bola roja de caja B

4/9

Saco roja de A

2/5

La paso a la caja B y tiene ahora 4 moradas y 5 rojas

Saco bola morada de caja B

4/9

Saco bola roja de caja B

5/9


8 de 12

La bola sea de la caja A bola es rojaLa bola sea de la caja A / bola es roja

Bola es roja

2 2 20,5·

20 45 5 5 0,442 4 2 1 9 45 9

0,5· 0,5·5 8 5 2 10

PP

P

Elijo caja

Elijo caja A

0,5

Saco bola morada

3/5

Saco bola roja

2/5

Elijo caja B

0,5

Saco bola morada

4/8

Saco bola roja

4/8


9 de 12

OPCIÓN B

1.

a) (1,5 puntos) El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes

disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de

esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas

de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico.

Calcula el número de deportistas de cada disciplina.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que 𝑎 = −2, calcule el valor del siguiente determinante.

2 3 2 4 2

3 6 3 10 3

a a b a c

a a b a c

a a b a c

a) x = deportistas de esquí alpino, y = deportistas de esquí nórdico, z = deportistas de escalada.

Hay 60 deportistas en el club 60x y z

Hay 16 deportistas menos de esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada

16y z x .

El número de deportistas de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de

deportistas de esquí nórdico 3x z y .

Resolvamos el sistema:

1 1 1

1 1 1

1 3 1

1 1 1

1 1 1 1 1 3 1 1 3 8

1 3 1

60 1 1

16 1 1

0 3 1 60 48 16 180 17622

8 8 8

1 60 1

1 16 1

1 0 1 16 60 16 60 12015

8 8

60 60

16 16

3 3 0

8

1 1 60

A

A

Por Crame

x y z x y z

y z x x y z

x z y x y

r

x

y

z

z

1 1 16

1 3 0 16 180 60 48 18423

8 8 8

Hay 22 deportistas de esquí alpino, 15 de esquí nórdico y 23 de escalada.


10 de 12

b)

Fila 2ª - 2 · Fila 1ª Fila 3ª - 3 · Fila 1ª2 2 2

4 6 2 8 2 6 12 3 20 34 6 2 8 2

4 4 2 4 2 6 6 3 6 36 12 3 20 3

0 2 4 0 6 14

2 2 2 2 2 2

0 2 4 0 2 4

0 6 14 0 6

b cb c b c

b cb c b c

b c

b c

0 2 2 2

0 2 4 0 2 4 0

14 0 6 14 0 6 14

1 1 1

2· 2 2 0 1 2 2· 2 2 7 6 8

0 3 7

b c

2.

a) (1 punto) Determine la ecuación del plano determinado por el punto 𝑃∶(2,1,2) y la recta

𝑟∶(1,0,0)+𝑡(−1,1,1).

b) (0,5 puntos) Dados los vectores 1,2,0 2,1, 3u y v , determine el área del triángulo que

tiene por lados esos dos vectores.

a) Tenemos que hallar la ecuación del plano que pasa por P y con vectores directores el de la

recta 1,1,1u y el que va de un punto de la recta Q(1,0,0) a P(2,1,2).

1,1,1 2 1 2

2,1,2 1,0,0 1,1,2 1 1 1 0

1 1 2Pasa por 2,1,2

2 4 1 2 2 2 2 2 0

3 2 1 0

u x y z

QP

P

x y z z y x

x y z

b) El área de este triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de ambos vectores.

1,2,0 2,1 1 2 0 6 4 3 6 3 3 6,3, 3

2 1 3

, 3

i j k

i k j ju iv k k

236 9 9 54

3,742 2

6,3,

2

3

2

u vÁrea u


11 de 12

3. Considere la función:

2

1( )

1

xf x

x

a) (1,5 puntos) Determine las asíntotas de la función, si existen.

b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si

existen.

c) (1,5 puntos) Determine la integral

3

1

( )f x dx .

a) Asíntota vertical. x = a

x = –1. Pues el dominio de la función es R–{–1}

Asíntota horizontal. y = b

2

1 1 1lim lim 0

2 11x x

x

xx

La asíntota es y = 0

Asíntota oblicua. y = mx + n

No hay, pues hay horizontal.

b) Calculamos la derivada y la igualamos a cero, obtendremos los puntos críticos de la función

y de ahí obtenemos la información pedida.

2

2 4

11 1 2 11( ) (́ )

1 1

xx x xxf x f x

x x

1 1 2

1

x x

x

3

3 3

1

1 2 2 3(́ )

1 1

x

x x xf x

x x

3

3(́ ) 0 0 3

1

xf x x

x

Veamos que ocurre en las tres zonas en que se divide la recta real al marcar x = –1 y x = 3.

En , 1 tomamos x = –2 y la derivada vale

3

2 3(́ 2) 1 0

2 1f

La función

decrece.

En 1,3 tomamos x = 0 y la derivada vale

3

0 3(́0) 3 0

0 1f

La función crece.

En 3, tomamos x = 4 y la derivada vale

3

4 3 1(́4) 0

1254 1f

La función decrece.

La función decrece en , 1 3, y crece en 1,3 .


12 de 12

c)

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

3 333

2 2 2 1

11 11

32 2 2

1

1 1 2 2 1 2 2 4 1 2 2 1 4( )

2 2 2 21 1 1 1 1

1 4 1ln 1 1 ln 1 2 1

2 2 2

1 2 1 2 1ln 1 ln 3 1 ln 1 1

2 1 2 3 1 2

x x x xf x dx dx dx dx dx dx

x x x x x

x x dx x x

xx

2

1 1

1 1ln 4 ln 2 1 ln 2 0,1931

2 2

4. La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,75.

Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20 mensajes de Twitter.

A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los

cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que

la definen.

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en

un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?

b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga

faltas de ortografía?

c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí

tengan faltas de ortografía?

X = Número de mensajes sin faltas de ortografía. Se trata de una binomial de parámetros

p = 0,75 y n = 20. X = B(20, 0.75).

a)

10 1020 20

10 0,75 ·0,2510

P X

·19·18·17·16·15·14·13·12·11

10·9·8·7·6·5·4·3· 2

10 10

10 10

0,75 ·0,25

184756·0,75 ·0,25 0,0099

b)

20 0 1020

20 0,75 ·0,25 0,75 0,003220

P X

c)

0 20 1 19 2 18

20 19

18 mensajes o más con faltas de ortografía 2 o menos sin faltas de ortografía

2 0 1 2

20 20 20·0,75 ·0,25 ·0,75 ·0,25 ·0,75 ·0,25

0 1 2

20·190,25 20·0,75·0,25

2

P P

P X P X P X P X

2 18·0,75 ·0,25 0,00000000161

Prácticamente imposible.

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OPCIÓN A...2019/09/02 · c) (1,5 puntos) Determine la integral 3 1 ³f x dx(). 4. La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,75