opcion a

PAU - SEPTIEMBRE 2009 MATEMÁTICAS II - OPCIÓN A

Resuelto por: Ana Isabel Aparicio Cervantes, Araceli Arjona Muñoz y Carmen de la Llave Peral http://ticmatec.blogspot.com/

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. O PCIÓN A

EJERCICIO 1: (Puntuación máxima: 3 puntos)

Una carpintería vende paneles de contrachapado de d os tipos A y B. Cada m 2 de panel

del tipo A requiere 0,3 horas de trabajo para su fa bricación y 0,2 horas para su

barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 euros. Cada m 2 de panel del

tipo B requiere 0,2 horas de trabajo para su fabric ación y 0,2 horas para su barnizado,

proporcionando su venta un beneficio de 3 euros. Sa biendo que en una semana se

trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabr icación y de 200 horas en el taller

de barnizado, calcular los m 2 de cada tipo de panel que debe vender semanalmente la

carpintería para obtener el máximo beneficio. Calcu lar dicho beneficio máximo.

Este ejercicio hace referencia al tema de programación lineal, los pasos a seguir para

resolver este tipo de problemas son los siguientes:

PASO 1: Recogemos los datos del enunciado en una tabla.

TIPO A TIPO B

Horas de fabricación 0,3 0,2

Horas de barnizado 0,2 0,2

PASO 2: Definimos las variables que vamos a utilizar.

Sea:

� x: número de m2 de panel de tipo A

� y: número de m2 de panel de tipo B

PASO 3: Definimos la función objetivo.

��, �� 4� 3�

PASO 4: Escribimos las restricciones.

≥≥

≤+≤+

0

0

2002,02,0

2402,03,0

y

x

y

yx



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PASO 5: Dibujamos la región factible.

PASO 6: Calculamos los vértices del área factible.

)1000,0(A

)0,800(B

)0,0(C

)600,400(D



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PASO 7: El máximo y el mínimo de la función beneficio, se alcanzaran en los vértices de la

área factible. Sustituimos los puntos hallados en el paso anterior en la función beneficio.

� 3000)1000,0( =F

� 3200)0,800( =F

� 0)0,0( =F

� 3400)600,400( =F

Solución: El máximo beneficio se alcanzará para 400 paneles del tipo A y 600 paneles

del tipo B. Siendo el beneficio obtenido de 3400 eu ros.



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Se considera la función real de variable real defin ida por:

>+−≤<−+

−≤+=

215

239

3242

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf

a) Represéntese gráficamente la función f .



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b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfi ca de f en el punto de

abscisa 1=x .

La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 0x es:

))(()( 00

'

0 xxxfxfy −=−

Vamos a hallar lo que nos hace falta para completar la ecuación:

� 9)( 2 += xxf

� 10)1( =f

� xxf 2)(' =

� 2)1(' =f

Sustituyendo en la fórmula obtenemos: 82)1(210 +=⇒−=− xyxy

Solución: � � � �

c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitad o por la gráfica de f y el eje

OX.

Para calcular el área debemos plantear las integrales de cada tramo de la función

definiendo lo límites de integración con anterioridad.

[ ]15

2

22

3

33

12

2

3

15

2

3

12

22 152

93

24)15()9()242(

+−+

+++=+−++++=

−

−

− −−∫ ∫ ∫ x

xx

xxxdxxdxxdxxA

Solución: � � �� , ��



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En un cierto banco el 30% de los créditos concedido s son para vivienda, el 50% se

destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se s abe además que de los

créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan imp agados, de los créditos

concedidos a empresas son impagados el 20% y de los créditos concedidos para

consumo resultan impagados el 10%.

Antes de comenzar a resolver este ejercicio es recomendable hacer un diagrama de

árbol:

Vivienda (V)

Empresa (E)

Consumo (C)

Impagado (I)

Pagado (P)

Impagado (I)

Impagado (I)

Pagado (P)

Pagado (P)

0,3

0,1

0,5

0,2

0,9

0,2

0,8

0,1

0,9



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a) Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado.

Utilizamos la fórmula de la probabilidad total:

( ) ( ) ( ) 9,0·2,08,0·5,09,0·3,0)·()·()·()( ++=++=CPPCP

EPPEP

VPPVPPP

Solución: �� , ��

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se hay destinado

a consumo, sabiendo que se ha pagado?

Para responder a esta pregunta hay que utilizar el teorema de Bayes:

( ) ( )85,0

9,0·2,0

)(

)·(==

PP

CPPCP

PCP




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Se supone que el tiempo de una conversación en un t eléfono móvil se puede

aproximar por una variable aleatoria con distribuci ón normal de desviación

típica igual a 1,32 minutos. Se desea estimar la me dia de tiempo de las

conversaciones mantenidas con un error inferior o i gual en valor absoluto a 0,5

minutos y con un grado de confianza del 95%.

a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es nec esario observar

para llevar a cabo dicha estimación mediante la med ia muestral.

En este problema hay que utilizar la fórmula que relaciona el error, el intervalo de

confianza y el tamaño de la muestra.

2

22

=⇒=E

znn

zEσσ

αα

Nuestros datos son los siguientes:

� 5,0=E

� 32,1=σ

� 96,12

=αz , este número lo averiguamos teniendo en cuenta el

intervalo de confianza del 95%:

� 025,02

95,01 =⇒=− αα

� Buscamos en la tabla de la normal a que Z le corresponde

96,1975,0025,01 ⇒=−

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

⇒=

= 77,265,0

32,196,1

2

n El tamaño de la muestra será 27



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b) Si se supone que la media del tiempo de las convers aciones es de 4,36

minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es

la probabilidad de que el tiempo medio de las conve rsaciones de la

muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?

Lo primero que hay que hacer en este ejercicio es averiguar a que distribución

normal se asemejan las características de nuestro problema:

),( σµN donde µ es la media dada en el enunciado (4,36) y σ es la desviación

típica que tenemos que hallar para una muestra de 16.

34,016

32,1 ===n

cialMuestraIniσσ

Nuestra distribución normal será: )34'0,36'4(N

La probabilidad que queremos calcular es: ( )54 ≤≤ XP pero para poder mirar en

las tablas que se adjuntan en el examen primero tenemos que tipificar las

variables.

( )

[ ] 8253,08554,019699,0)06,1(1)88,1(

)06,1()88,1(88,106.134,0

36,45

34,0

36,44

=+−=−−=

=−−=≤≤−=

−≤≤−

FF

FFZPZP

Siendo )1,0(NZ =


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