Operacion con fracciones

Operaciones confracciones

Uni

dad

IIU

nida

d II

Tema 1 Suma de fracciones con igual denominador

Tema 2 Resta de fracciones con igual denominador

Tema 3 Suma de fracciones con diferente denominador

Tema 4 Resta de fracciones con diferente denominador

Tema 5 Multiplicacin de fracciones

Tema 6 Divisin de fracciones

En esta unidad usted aprender a: Sumar y restar fracciones con un mismo denominador. Sumar y restar fracciones con diferente denominador y

con nmeros mixtos. Multiplicar nmeros con fracciones. Dividir nmeros con fracciones.

Le servir para: Hacer sumas y restas de cantidades de productos

expresadas en enteros y fracciones. Determinar el total de ventas de un producto cuando ste

se vende por partes o fracciones. Calcular la suma total de uno o varios productos cuando

stos se tratan en fracciones de diferentes valores. Calcular la diferencia entre dos cantidades expresadas en

fracciones. Determinar la cantidad que queda de una mercanca

despus de haber realizado las ventas del da en partes ofracciones.

64

NMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA

H

Tema 1 Suma de fracciones con igual denominador

oy, durante la maana, Karina vendi de kg de queso; luego, despach de kg de queso; y un poco ms tarde, otro de kg.

Paso 1Acomoda las fracciones que se van a sumar una enseguida de la otra, separndolascon el signo de ms (+).

+ + =

Paso 2Verifica que todas las fracciones que se van a sumar tengan comn denominador, locual quiere decir que se van a sumar cuartos y por lo tanto el resultado debeobtenerse en cuartos.

comn denominador

34

14

34

14

+ + =14

34

14 4

Para saber qu cantidad vendi en total, Karina hace la suma de fracciones de lasiguiente manera.

14

14

OPERACIONES CON FRACCIONES

65

Paso 3Suma los numeradores: 1 + 3 + 1 = 5

Paso 4Escribe el total (5) sobre el comn denominador (4):

Paso 5En caso de que el resultado sea una fraccin con el numerador mayor que eldenominador, se hace la divisin para obtener el resultado en un nmero mixto.

= 5 4 = = 1

Las ventas de queso realizadas por Karina se pueden expresar as:

Para comprobar lo anterior, observe las siguientes figuras.

+

Primero vendi Luego vendi

Hasta ahora ha vendido Ms tarde vendi

+ + = =14

34

14

1 + 3 + 14

54 Comn denominador

54

14

14 5

- 41

kg + kg + kg = kg = 1 kg14

34

14

54

14

+

= = 44

= 54

14

34

44

14

66


El resultado se puede simplificardividiendo entre 6 ambos trminos.

Ejemplo

Ejercicios

1. Realice las siguientes sumas de fracciones.

a) + = =

Ejemplo

Problema

1. La seora Elosa compr en la carnicera tres cuartos de kilo de lomo de puerco,un cuarto de kilo de chuletas de puerco y tres cuartos de kilo de costillas deres. La seora Elosa desea saber cunto compr de carne en total.

Generalmente conviene simplificar el resultado de una suma de fracciones,encontrando la fraccin equivalente con el denominador ms pequeo.

612

512

112+ =

512

112+ =

612

4 + 35

45

35

75

b) + + =2313

c) + =4929

23 d) + =

26

66

e) + + =1232

12

612

12=

6

6

Sumando los numeradores: 5 + 1 = 6


67

on Pepe vende leche en unestablo; para hacer sus cuentasde la cantidad de litros quevende al da, anota en unalibreta las cantidades que vavendiendo.

D

Antes sumaba mentalmente los litros y luego los medios litros, diciendo un litro ymedio ms tres litros y medio son 5 litros, ms dos litros y medio son 7 litros,ms cuatro litros y medio son 12 litros.

Paso 1Se escriben las cantidades en fracciones o nmeros mixtos, uno enseguida delotro, separndolos con el signo ms (+).

Paso 2Se suman todos los enteros.

Paso 3Por separado, se suman las fracciones del mismo denominador. Se suman losnumeradores y el resultado se escribe sobre el comn denominador.

+ + + =

Suma de nmeros mixtos con el mismo denominador

12

Tambin se pueden hacer las cuentas con lpiz y papel escribiendo las cantidadesen fracciones, como se muestra a continuacin.

1 + 3 + 2 + 4 = 10

1 + 3 + 2 + 4 =12

12

12

12

12

12

12

12

42

68


= = 2

Paso 4Si el resultado es una fraccin con el numerador mayor que el denominador,conviene hacer la divisin para obtener el resultado en un nmero mixto o entero.

Paso 5Finalmente, se agregan a la suma de enteros el resultado de la suma de lasfracciones.

Don Pepe lleva vendidos 12 litros (1 + 3 + 2 + 4 = 12)

Ejercicios1. Realice las siguientes sumas de fracciones.

a) 5 + 3 =

Problemas

1. Doa Juana fue al mercado a comprar su mandado del da para preparar lacomida.Doa Juana compr:

de kg de papas

de kg de carne molida

de kg de arroz14

3414

Todo lo guard en su bolsa demandado. Cunto pesaba la bolsade doa Juana?

10 + 2 = 1212

12

12

12

42

22 4

- 40

14

14

b) 6 + 3 =310310

c) 7 + 6 =2949

d) 9 + 3 =2464

e) 3 + 1 =3262


69

Viernes, 3 kilos

Sbado, 2 kilos

Domingo, 3 kilos

2. Lalo tena en su papelera un rollo de hule de 30 metros. Tiene una lista de lo quevendi: en la primera semana, 5 metros; en la segunda semana, 6 metros; y8 metros, en la tercera. Hace la cuenta de los metros que vendi para sabercuntos metros le quedan en el rollo. Podra usted ayudarle a realizar suscuentas por escrito para saber cuntos metros de hule vendi en las 3 semanas?

3. La seora Aurelia vende tacos de suadero los viernes, sbados y domingos.Ella lleva la cuenta de los kilos de carne que vende por da.

1212

12

4. La seora Valeria vende quesadillas todos los das, para ello compra queso cadatercer da. Lunes, 2 kilos; mircoles, 1 kilos; viernes, 2 kilos. Cuntoskilos de queso compra en la semana?

Podra usted ayudarle a saber cuntos kilos vendi, para calcular la comprade carne para el siguiente fin de semana?

12

12

12

12

12

70


Para resolver este problema, sigui el siguiente procedimiento.

Resto los numeradores, y la diferencia la escribi como fraccin con el mismodenominador.

D

Tema 2 Resta de fracciones con igual denominador

on Sebastin parti un queso en ocho partes, es decir, tiene ; quiere sabercunto le qued del queso si vendi slo dos partes, es decir, .

- = =

28

88

88

28

8 - 28

68

88 - = =

28

68

34


71

Como los pedazos corresponden a octavos del queso original, stos se puedenexpresar como la fraccin y como sta tiene el mismo denominador que lafraccin anterior, se puede hacer la resta de las fracciones, de la siguiente manera.

A don Sebastin, a medio da, slo le quedaban de su queso original, por lo que aesta cantidad le deber restar los tres pedazos que vendi en la tarde.

Observe usted que la primera figura representa la fraccin . La segundarepresenta el resultado (diferencia), despus de restar o quitar . En la figuratambin se observa que el resultado se puede simplificar con la fraccinequivalente .

Ejemplo

34

68

28

88

Si don Sebastin vende por la tarde otros tres pedazos de su queso, cmo puedesaber cunto le queda de su pieza original de queso?

68

38

- = =

A don Sebastin slo le quedan de su queso original.38

Observe que cuando las fracciones tienen el mismo denominador, su resta se puedehacer directamente restando los numeradores y ponindoles el comn denominador.

68

38

38

6 - 38

72


a) - = =

Ejercicios

1. Realice las siguientes restas de fracciones.

Ejemplo

b) - =

Problemas

1. Don Pepe tiene una vaca que le da 30 litros de leche al da. Si ayer vendi18 litros, cunta leche le sobr?

2. Un pintor tiene 19 litros de pintura; el primer da utiliz 6 litros, elsegundo da emple 8 litros. Podra usted ayudarle a saber cunta pinturale sobra para seguir pintando el siguiente da?

121

2

34

141

4

c) - =

d) - =

e) - =

62

32

32

6 - 32

87

67

96

36

44

24

73

23


73

I

+ = ?

sabel necesita 1 de litro de crema para hacer un postre. Si en el refrigeradortiene un recipiente con de litro de crema y otro con litro, le alcanza otiene que comprar ms crema?

En esta suma de fracciones, se puede observar que cada una de las fraccionesque la componen tienen diferente denominador.

Isabel record que para sumar o restar fracciones stas deben tener el mismodenominador, por lo que decide encontrar fracciones equivalentes con el mismodenominador.

Tema 3 Suma de fracciones con diferente denominador

14 1

2

Isabel, para conocer si le alcanza la crema que tiene, debe sumar y ; luego,comparar su resultado con lo que necesita ( 1 de litro) y con ello definir si lealcanza su crema o tiene que comprar ms.

34

14

34

12

12

34Suma de lo que tiene:

74


Como tiene las fracciones y , tratar de encontrar una fraccin equivalentea pero con denominador de 4.

Con esta fraccin equivalente, se puede plantear la suma de las fracciones deIsabel, de la siguiente manera:

+ =

Con lo que el resultado ser la suma de los numeradores con denominador 4.

+ = =

Realizando la conversin a nmeros mixtos se tiene:

= 1 1454

Con este resultado, Isabel se da cuenta que los de litro y el de litro decrema que tiene suman 1 litros que es exactamente lo que necesita para hacerun postre, por lo que no tiene que comprar ms crema.

Ejemplo

5 + 4 =

La seora Araceli tiene un negocio donde vende quesadillas. Ella fue a visitar porla noche a su comadre para que le ayudara a calcular cuntos kilos de masa tieneque comprar para el da siguiente, si por la maana us 5 de kg de masa y porla tarde 4 de kg de masa.

=

Para esto, se debe buscar un nmero que multiplicado por 2 de 4. Este nmero esel 2, por lo que la fraccin equivalente a con denominador 4 ser:

34

121

2 12

?4

12

14 5

- 41

14

12

34

341

2

34

24

54

34

24

3 + 24

34

12

=

x 2

x 2

24

12

En este caso, se trata de una suma de nmeros mixtos.Entonces, para saber el total de kilos de masa, hay que hacer la siguiente suma:


75

+ =

PrimeroSume los enteros:

Enseguida, se busca una fraccin equivalente a con denominador 4. Observe que el 2 se puedeigualar al 4 multiplicndolo por 2.

Ahora tenemos la suma de fracciones con el mismo denominador:

+ = + = =

Araceli se da cuenta que el resultado es una fraccin con el numerador msgrande que el denominador, por lo que conviene convertirlo a nmero mixtohaciendo la divisin 5 4.

= 1

Finalmente, volvemos a sumar enteros con enteros y al resultado se le agrega laparte fraccionaria de la siguiente forma:

9 kg + 1 kg = 10 kg (diez kilos un cuarto)

Recuerde que para sumar fracciones se necesita que todas tenganel mismo denominador.

34

12

34

12

24

34

3 + 24

54

14

14

54

12

14 5

- 41

54

14

=

x 2

x 2

24

12

SegundoSume las fracciones:

5 + 4 = 9

76


Otra manera de realizar este tipo de sumas es pasando los nmeros mixtos adecimales y, luego, hacer la suma con la calculadora.

5 = 5 + = 0.75

Entonces: 5 = 5 + 0.75 = 5.75

Entonces:

Ahora, se suman los nmeros decimales usando la calculadora:

10.25 kg = 10 kg = 10 kg

Observe que el resultado 10.25 se puede expresar como nmero mixto haciendola conversin a fraccin de la parte decimal.

Recuerde que se simplifica dividiendo entre 25 arriba y abajo paraobtener la fraccin equivalente igual a .

Ejemplo

Marcos tiene un negocio de cerrajera y sus ingresos mensuales son alrededor de$6,000.00, pero una quinta parte la utiliza para pagar la renta del local y la luz, yuna cuarta parte la gasta en materiales.

Marcos desea saber qu parte de sus ingresos usa en su negocio y qu tantocorresponde a sus ganancias.

Recuerde que para convertir un nmero mixto a un nmero decimal slose requiere agregar a la parte entera el decimal que resulte de la divisinde la fraccin.

Observe:

Tambien:

34

34 3 4

34

4 = 4 +1212

= 0.501 2

4 = 4 + 0.50 = 4.5012

5 7 5 + 4 5 = 10.25

25100

14

25100

14


77

La parte de larenta ( )

La parte de losmateriales ( )+

La parte de los ingresos quese gastan en el negocio

Para sumar fracciones se necesita que stas tengan el mismo denominador.Primero, hay que buscar un comn denominador para las dos fracciones ( y ).

Recuerde que el comn denominador es el nmero que es divisible entre losdos denominadores (el 5 y el 4) en forma exacta, es decir, sin residuo.

Primero, prob el 5 y encontr que no funciona porque el 5 no se puede dividirde manera exacta entre 4. Luego, prob el 4 y encontr que tampoco funcionaporque el 4 no se puede dividir en forma exacta entre el 5.

Como ni el 4 ni el 5 funcionan como comn denominador, Marcos busc otro nmero.El nmero ms seguro, aunque no siempre es el ms pequeo, resulta de multiplicarlos dos denominadores (4 x 5 = 20).

Observe que el 20 s funciona como comn denominador porque s es divisibleentre el 5 y el 4.

Marcos se pregunt si alguno de los dos denominadores (el 5 el 4) podra servirpara ambas fracciones.

15

15

14

14

=

Marcos piensa que necesita hacer una suma de fracciones.

20 5 = 4 y 20 4 = 5

78


Enseguida, Marcos trat de encontrar las fracciones equivalentes condenominador 20 para cada una de las dos fracciones.

Finalmente, Marcos hizo la suma as:

Observe que se pueden transformar en porcentaje buscando la fraccinequivalente con denominador 100.

= 0.45 = 45%

Ahora Marcos sabe que nueve veinteavos ( ), o el 45% de sus ingresos, los gastaen su negocio y el resto (55%) es la ganancia que se lleva a su casa.

+ = + = =1514

420

520

920

4 + 520

920

920

INGRESOS

=

x 4

x 4

15

420 =

x 5

x 5

14

520

=

x 5

x 5

45100

920


79

EjemploEl otro da fueron a visitar a don Paco tres amigos que tenan una granja de pollosen sociedad y haban decidido cerrar porque no les haba ido bien. Les sobraron35 pollos que ahora queran repartirse, de acuerdo con la participacin que cadauno tena en el negocio.

Don Paco se dio cuenta del fondo del problema y, tomando ventaja de susconocimientos de fracciones, acept ayudarles a resolver el asunto.

Don Paco les asegur que con la solucin que l tena, todos iban a salir ganando.

Como don Paco tena pollos, les ofreci prestarles uno para completar 36 pollos yas tener una cantidad ms fcil de repartir sin necesidad de partir ninguno.

A uno de los socios leperteneca la mitad del negocio,mientras que a los otros dosles corresponda y ,respectivamente.

El problema que tenan era que al dividir la cantidad de pollos entre la parte queles corresponda les resultaban cantidades con decimales y no queran partir lospollos.

Como no se ponan de acuerdode cuntos pollos les tocaban acada uno, fueron a ver a donPaco para que les ayudara ahacer el reparto.

369As, al que tena la novena parte del negocio le tocaban 4 pollos (porque = 4),

en lugar de los 3.888 que le correspondan.

19

13

121319

35 2 = 17.5

35 3 = 11.6666

35 9 = 3.8888

( )

( )

( )

80


Al socio que tena la tercera parte le tocaron 12 pollos (porque = 12), en lugarde los 11.666 que le correspondan.

Al que tena la mitad del negocio le tocaron 18 pollos (porque = 18), en lugarde 17.5 que le correspondan.

De qu se dio cuenta don Paco para tomar ventaja del problema de sus amigos?,a qu se debe que todos salieron ganando?

Luego, represent en el crculo lasparticipaciones de los tres socios ( , y ).

Don Paco represent el negocio de lagranja o lo que quedaba de sta (los35 pollos) con un crculo, as:

Como sobraron dos pollos, donPaco recuper el pollo que leshaba prestado y sus amigos notuvieron inconveniente en quese quedara con el otro pollocomo pago por sus servicios.

Asombrados por la astucia dedon Paco, los tres amigos sedespidieron muy agradecidos.

Don Paco se dio cuenta que haba un error en las participaciones de los socios ( , y ) porque la suma de las partes no corresponda con la unidad o el todo.

363

362

13

19

13

19

12

12


81

Y observ que quedaba una fraccin sin repartir, de la cual los tres socios no sehaban percatado. En la figura se puede ver que la fraccin faltante podra ser unpoquito menor a .

+ + =

Deber buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, por loque hace lo siguiente:

Busca el menor nmero posible que divida de manera exacta al 2, 3 y 9.

Prueba con el nmero ms chico de los tres que es el 2, pero ni el 3, ni el 9 sondivisibles entre 2. Lo mismo sucede con el 3 y el 9, por lo que prueba el producto delos tres nmeros: 2 x 3 x 9 = 54, nmero que s es divisible entre 2, 3 y 9.

Ahora, deber encontrar las fracciones equivalentes con denominador 54.

a) =

Observe que si divide el comn denominador (54) entre el denominador de lafraccin que se tiene (?), se obtiene el nmero por el que se debe multiplicarel numerador para encontrar la fraccin equivalente.

Para saber la cantidad de la fraccin que falta, slo basta sumar las fracciones( + + ) y determinar por diferencia lo que falta para que sume uno.

Recuerde que la suma de todas las fracciones que componenun todo debe ser igual a uno.

Esto es:

Recuerde que para sumar o restar fracciones se necesita quetodas tengan el mismo denominador.

19

19

13

12

12

13

19

12

?5 4 b) =

13

?5 4 c) =

19

?5 4

a) x 1 = 275 42 b) x 1 = 185 43 c) x 1 = 6

5 49

Don Paco pens que alguno de los tres socios tena equivocada su participacin ofraccin del negocio.

82


1 - = - = =

Esto significa lo mismo que:

a) b) c)

La suma quedar de la siguiente manera:

Para encontrar la cantidad que no est reportada en la sociedad, se deben restara 1 los .

Recordando que 1 = , se tiene:

Esta fraccin ( ) se puede representar por una equivalente de menordenominador ya que tanto el 3 como el 54 se pueden dividir entre 3.

Con las operaciones anteriores se obtiene la cantidad que falta para que lasfracciones sumadas den el todo.

+ + = =27 + 18 +654

=

Recuerde que una fraccin no se altera si su numerador y denominadorse multiplican o dividen por un mismo nmero.

5154

1854

654

5154

5154

5454

2754

354

354

118

5454

5154

354

=

x 6

x 6

19

654

2754=

x 27

x 27

12

1854=

x 18

x 18

13

54 - 5154


83

+ + = + + = =

EN RESUMEN, PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES CON DIFERENTEDENOMINADOR, SE PUEDEN SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS.

1. Busque un denominador comn (el menor que sea posible) que pueda serdividido por todos los denominadores de las fracciones.

En este caso, ninguno de los tres denominadores (6, 9 y 3) divide a los otros dosde manera exacta, por lo que se puede probar con el producto de los tres(6 x 9 x 3 = 162) o con otro nmero menor que pueda ser dividido por los tres(se puede probar con el 18).

2. Obtenga una fraccin equivalente de cada una de las tres que se van a sumar,pero con denominador 18.

3. Ahora, sume las tres fracciones equivalentes que tienen el mismo denominador.

4. Cuando tenga fracciones con numerador mayor que el denominador, conviertaa un nmero mixto.

76 + + =

18 6 = 318 9 = 218 3 = 6

Aun cuando el resultado sera el mismo al usar cualquiera de los dos nmeros(18 162), es ms fcil utilizar el menor.

49

13 ?

76 = , = y =

49

13

?18

?18

?18

2118

618

818

76

49

13

21 + 8 + 618

3518

3518 = 1

3518

1718

11 8 3 5

- 1 81 7

=

x 3

x 3

76

2118 =

x 2

x 2

49

818 =

x 6

x 6

13

618

84


Ejemplo

Paso 1Busque un comn denominador que sea divisible por todos los denominadoresde las fracciones a sumar. El nmero que es dividido por los denominadores(7, 5, 3) puede ser el producto de tres denominadores.

7 x 5 x 3 = 105

Paso 2Obtenga las fracciones equivalentes de , y con denominador 105.

Observe que los nmeros por los que hay que multiplicar a los dos trminos delas fracciones (15, 21 y 35) se obtienen al dividir al comn denominador (105)entre el denominador de la fraccin correspondiente. Por ejemplo, 105 7 = 15.Cantidad por la que se debe multiplicar el numerador y denominador paraobtener la fraccin equivalente.

Paso 3Se suman las fracciones equivalentes con el mismo denominador.

Paso 4Se obtiene el nmero mixto.

11 0 5 1 2 2

- 1 0 51 7

= 1

37 + + =

25

13 ?

37 + + =

25

13 105

37

25

13

37

?105 = , = y =

25

?105

13

?105

45105

37 + + = + + =

42105

35105

25

13

122105

17105

122105

=

x 15

x 15

37

45105 =

x 21

x 21

25

42105 =

x 35

x 35

13

35105


85

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes operaciones con fracciones.

Problemas

1. El da de tianguis de la semana pasada, doa Soledad obtuvo $5,000.00 comototal de su venta. Una tercera parte de la venta fue de mangos; dos quintaspartes, de naranjas y toronjas; una cuarta parte, de manzanas y peras; y elresto, de verduras.

a) Represente grficamente el total deventas y la fraccin que correspondea cada uno de los diferentesproductos.

b) Determine qu fraccin representa laventa de frutas con respecto altotal.

c) Determine la fraccin querepresenta la venta de las verduras.

d) Calcule cunto vendi doa Soledadde cada uno de los productos.

b) 8 + 1 =

c) 5 + 1 =

d) 2 + 1 + 3 =

e) 2 + 3 + 4 =

f) 3 + 2 + 2 =

13

36a) 9 + 2 =

14

32

16

23

18

24

12

25

23

49

23

16

410

2. Don Jos tiene un negocio de pinturas; desea saber cuntos litros vendi entotal en el da. Hoy vendi lo siguiente: 9 litros de pintura blanca, 4 litrosde pintura negra, 3 litros de pintura roja y 1 litros de pintura azul.

34

121

214

86


5. La seora Lupe tiene un puesto donde vende crema suelta y queso blanco.En la maana, vendi crema: litro, 1 litros, 1 litros, 1 litros, de litro. Tambin vendi queso: de kg, de kg, 2 kg, kg, kg, 1 kgy kg. Ella necesita saber cunto vendi en total de crema y queso parapoder surtirse nuevamente.

3. A la ferretera de Luis lleg un cliente a comprar clavos de diferentestamaos para hacer un mueble. El cliente le pidi lo siguiente:

de kilo de clavos de 1 pulgada.

1 kilos de clavos de 3 pulgadas.

kilo de clavos de 2 pulgadas.

1 kilos de clavos de 4 pulgadas.

Ayude usted a Luis a saber el total de la venta en kilos.

4. En la rosticera de la esquina, don Manuel vende pollo rostizado; necesitasaber cunto lleva vendido. Primero, vendi de pollo; despus, pollo;luego, de pollo; por ltimo, 1 de pollo. Podra ayudarle a obtener elresultado?

12

14

121

2

141

4

34

12

12

12

14

14

34 1

2

34

14

12

12


87

E n la carnicera, don Sergio tena 7 kilos de carne de maciza de puerco;quiere saber cunta carne vendi si le sobraron 3 kilos.

Este problema tambin se puede resolver con lpiz y papel haciendo una restade fracciones, de la siguiente manera:

7 - 3 =

Paso 1Escriba la resta anotando, primero, la fraccin ms grande seguida del signo menos() y luego, la cantidad ms chica.

Tema 4 Resta de fracciones con diferente denominador

34 1

2

14

34

12

Siete kilos menos tres kilos me quedan cuatro kilos, y tres cuartos menos un mediome queda un cuarto. Entonces me quedan 4 kilos de maciza de puerco.

Primero, lo hace mentalmente, diciendo:

88


Paso 2Encuentre el comn denominador de las dos fracciones, y .

Paso 3Haga la resta de las fracciones con el mismodenominador.

Paso 4Haga la resta de los enteros.

Paso 5Agregue al resultado de la resta de los enteros el resultado de la resta de lasfracciones ( ).

Naturalmente, esta operacin tambin se puede realizar con la calculadora,convirtiendo, primero, los nmeros mixtos a decimales, de la siguiente manera:

Veamos ahora cmo hacer la resta cuando la fraccin del nmero mayor (elminuendo) es menor a la del nmero menor (sustraendo).

34

34

12

12

- = - = =1234

24

14

3 - 24

7 - 3 = 4

347 - 3 = 4

12

14

347 - 3 = 7.75 - 3.5

12

7 7 5 - 3 5 = 4.25

14

=

x 2

x 2

24

12

Escoja el 4 como comn denominador porque el 4 puede dividirse entre 4 y entre 2.Enseguida, encuentre una fraccin equivalente a con denominador 4.


89

Encuentre el comn denominador de y .De nuevo, escoja el 4 y encuentre la fraccin equivalente de con denominador 4.

Paso 1

Ejemplo

Las fracciones sern y .

Paso 2Como a no se le puede restar se hace un ajuste, reagrupando el 7.

Como 7 = 6 , y agregando la fraccin que se tena ( ) queda 6 .

Paso 3Ahora la resta nos queda as: 6 - 3 = 3

Otra forma de resolver una resta de este tipo es convirtiendo los nmeros mixtosa decimales y haciendo la resta directamente con la calculadora.

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes restas de fracciones.

a) - =

7 2 5 - 3 5 = 3.75

7 - 3 =1412

14

14

12 1

2

14

24

24

44

14

54

7 = 6 = 6

14

14

54

4 + 14

54

24

34

7 - 3 = 7.25 - 3.50 =1424

68

24

b) - =4334

c) 5 - 1 =1214

d) - =3468

=

x 2

x 2

24

12

90


Problemas

1. En su tocinera, don Jos vende longaniza. Por la maana, tena 6 kilos; alterminar el da, haba vendido en total 3 kilos. Podra usted ayudarle asaber cunto le qued?

2. En la farmacia, venden crema lquida; duranteel da vendieron lo siguiente:1 litros, de litro, 1 litros. Cuntacrema vendieron en total y cunta cremasobr si el frasco es de 5 litros?

3. Don Jess tena 21 kilos de jitomate paravender en el tianguis; al terminar la venta,sabe que vendi 13 kilos de jitomate.Podra usted ayudarle a saber cuntoskilos le sobraron?

4. Doa Patricia atiende la carnicera con su esposo; una clienta le pide 2 kilos ymedio de surtida de puerco. Doa patricia pes de kg de falda de puercoy el resto lo complet de costilla. La clienta quiere saber cunto le dieron decostilla si sabe que de kilo son de falda. Podra usted calcular cuntole dieron de costilla para completar los 2 kilos de surtida de puerco?

e) 8 - 3 =3224

f) - =6824

g) 3 - 1 =6226

h) 8 - 2 =1312

i) 6 - 3 =1413

j) 7 - 5 =1434

34

14

12

14

34

12

12

34

12

34

12


91

R

Tema 5 Multiplicacin de fracciones

amiro vende manzanas en el mercado de la Estrella; si a cada caja que recibe lecabe 8 kilos de manzanas y el lunes recibi 4 cajas, cuntos kilos de manzanatiene para vender Ramiro?

Para resolver su problema, Ramiro puede sumar 4 veces 8 kg.

Primero, suma los enteros: 8 + 8 + 8 + 8 = 32

Luego, suma las fracciones: + + + = = = 1

14

14

14

8 + 8 + 8 + 8 =1414

14

14

14

14

14

44

1 + 1 + 1 + 14

92


Con lo anterior, Ramiro sabe que tiene 32 kg de los enteros y 1 kg de los cuartos,lo que da un total de 33 kg.

Una forma sencilla de obtener el resultado de la multiplicacin de fracciones esconvertir multiplicando y multiplicador a fracciones sin que tengan nmeros mixtos.

Esto implica, primero, convertir al 4 en fraccin, lo que resulta sencillo porquees la forma ms fcil de presentar a 4 como fraccin.

=

Se busca un nmero que multiplicado por 1 d 4. Este nmero es el 4. Para que no sealtere la fraccin original ( ), se multiplica su numerador y denominador por 4.

Con lo anterior, se sabe que la fraccin es igual a y como la fraccincompleta es 8 falta agregar a los el ; por lo que:

Con lo anterior, la multiplicacin de las fracciones de Ramiro quedar as:

Luego, se debe convertir 8 . Como este nmero tiene cuartos ( ), convieneconvertir el 8 a cuartos y agregar los cuartos que le acompaan:

Pero recuerda que cuando va a sumarvarias veces la misma cantidad es msfcil multiplicar, por lo que hace losiguiente:

14

41

14

14

81

811

414

324

324

Multiplica el nmero de cajas (4)por el peso de cada caja (8 kg):

4 x 8 =14

81

?4

148 =

334

4 x 8 = x1441

334

=

x 4

x 4

81

324


93

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores por los numeradores ylos denominadores por los denominadores, sin importar si son o no iguales y conello se obtiene una nueva fraccin, producto de la multiplicacin.

Se reduce la fraccin de la siguiente manera:

= 33 kg

Mismo resultado que obtuvo Ramiro sumando las cajas.

Ejemplo

Ramiro vendi, de sus 4 cajas de manzanas, slo 2 . Cunto vendi Ramiro demanzanas en kilos?

Convertir 8 a una fraccin con denominador 4 porque se estn manejandocuartos ( ).

Se busca un nmero que multiplicado por 1 d 4.

Como se tienen 8 , hay que agregar a los el que falta, lo que da:

Para saber cunto vendi Ramiro,multiplica lo que pesa una caja demanzanas (8 kg) por las 2cajas que vendi.

x = =41334

4 x 331 x 4

1324

1324

3 34 1 3 2

- 1 2 .0 1 2

0

14

12

14

141

4

14

14

324

8 x 2 = ?12

81

?4=

148 =

334

=

x 4

x 4

81

324

12

94


Convertir 2 a una fraccin impropia con denominador 2 porque se estnmanejando medios ( ).

Primero, se toma al 2.

=

Se debe buscar un nmero que multiplicado por 1 d 2.Este nmero es el 2.

Se agrega a los el que falta:

Con estas dos nuevas fracciones equivalentes a 8 y 2 se tiene que:

Ramiro simplifica, de la siguiente manera, la fraccin que obtuvo:

Ramiro, al vender 2 cajas de manzana, vendi el equivalente a 20 kg.

5 8 = 0.625Por lo que ahora puede decir con toda seguridad que las 2 cajas de manzanaque vendi pesaban exactamente 20.625 kg, o sea, 20 kg con 625 gramos.

Observe que en la multiplicacin de fracciones no importa si los denominadoresson iguales. Simplemente se multiplican los numeradores por los numeradorespara obtener el nuevo numerador, y los denominadores por los denominadores paraencontrar el nuevo denominador.

21

12

12

12

42

12

14

12

58

58

12

?2

122 =

52

8 x 2 = x =1412

334

52

1658

= 20

2 08 1 6 5

- 1 6 .0 5

- 05

1658

58

=

x 2

x 2

42

21

Para conocer a cunto equivalen los de kg en gramos, Ramiro hace con sucalculadora la divisin y obtiene:


95

En su tienda de abarrotes, don Javier va anotando diariamente lo que vende deazcar y as saber qu cantidad reponer. En la lista de hoy, l anot nueve vecesmedio kilo y desea saber cuntos kilos son en total.

La multiplicacin de una fraccin por un entero ( x 9) tambin se puede hacercomo si fuera una multiplicacin de dos fracciones.

Se deja al entero (9) como numerador y colocamos un 1 como denominador ( ).

Despus, se multiplica directamente numerador por numerador y denominadorpor denominador.

Como es una fraccin con el numerador mayor que el denominador, convieneconvertirla a un nmero mixto haciendo la divisin:

La cantidad de azcar que vendi Javier fueron 4 kg.

Ejemplo

Don Javier realiza la sumacontando los pares de medioskilos que se pueden formar conlos 9 medios y le da un total de4 pares y le sobra 1 medio;como cada par forma 1 kilo,entonces se tienen 4 kg.

Recuerde que un entero se puede expresar comofraccin con denominador uno.

12

12

92

91

x = =1291

92

1 x 92 x 1

92

42 9

- 81

= 4 12

12

96


Roco compra un queso completo que pesa 5 kg. Pag 121 pesos por todo el queso.Si su cuada quiere una tercera parte y su prima dos quintas partes, cunto debecobrar y cunto queso debe de dar a cada una?

Primero, convierte los 5 a una fraccin impropia de medios, por lo que convierteel 5 a una fraccin de medios y, luego, le suma el medio que falta.

Se busca un nmero que multiplicado por 1 d 2.

Suma a los el que falta, con lo que tiene que: + = ; por lo que:

Con la fraccin equivalente anterior, puede fcilmente hacer su multiplicacin.

Reduce la fraccin obtenida, de la siguiente manera:

Lo anterior significa que de los 5 kg debe dar a su cuada 1 kg. Al hacer ladivisin de los de kg obtiene que:

= 5 6 = 0.833

Ejemplo

Por lo que le entregar 1.833 kg de queso. Para saber cunto le debe cobrar,saca la tercera parte a lo que pag (121 pesos), o sea, multiplica 121 x .

102

102

112

12

12

13

12

12

12

12

565

6

13

5 x = ?

5 = 112

56

5 x = x = =112116

12

13

12

12

13

13

11 x 12 x 3

= 111656

16 1 1

- 65

=

x 2

x 2

51

102

Roco, para saber cunto queso debe entregar a su cuada, quien slo quiere delos 5 kg, hace una multiplicacin de fracciones, de la siguiente manera:


97

Esta multiplicacin de fracciones, como no tiene nmeros mixtos, la puede resolverde manera directa.

Reduce su fraccin haciendo la divisin y obtiene lo siguiente:

Lo que quiere decir que le debe cobrar 40 pesos y un tercio de un peso, o sea,1 3 = 0.33; es decir, debe cobrar a su cuada 40.33 pesos.

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes operaciones y simplifique el resultado.

simplificando:

1. Con el procedimiento anterior, ayude usted a Roco para calcular qu cantidaden kg debe darle a su prima, quien slo quiere partes del queso, y cuntodebe cobrarle de los $121.00 que Rocio pag por el queso que pesa 5 kg.

Problema

13

1211 x =

1213

1213

13= 40

4 03 1 2 1

-1 2 00 1

12

25

a) x = =3562

3 x 65 x 2

1810

b) x =9338

c) x =1213

d) x =3972

e) x =6935

f) x =2677

g) x =5497

h) x =3845

i) x 10 =45

j) x 7 =516

k) 6 x =45

18 2 910 2 5=

98


1. Don Pancho quiere poner un puesto mvil en forma de carro, para venderchurros con azcar.

12 kilos de harina de trigo1 cucharada sopera de polvo de hornear1 cucharada sopera de vainilla3 litros de agua hirviendo1 puo de sal de grano kg de manteca vegetalaceite caliente, el necesario para frer, y azcar para espolvorear.

Problemas

2. Doa Juana va a comprar diferentes tipos de chile seco en la central de abastopara venderlo por gramos en su tienda de abarrotes. Los precios del chile porkilo son: guajillo, $44.00; ancho, $36.00; mulato, $32.00 y pasilla, $26.00.Cunto pagar por cada tipo de chile si compra de kg de guajillo, kg dechile ancho, de kg de chile mulato y medio kilo de chile pasilla?

La receta que l preparaba incluye las cantidades de ingredientes que siguen:

En la panadera donde trabajaba, preparaba 12 kilos de harina para la masade los churros; pero ahora, para no tener prdidas o sobrantes, sabe quetiene que preparar menos cantidad. l desea saber qu cantidades de lareceta necesita si slo quiere preparar una tercera parte ( ) de masa.

Ayude usted a don Pancho a obtener, con ayuda de las fracciones, las cantidadesde ingredientes que necesita para preparar su masa.

13

12

12

14

14

14

12


99

3. Todos los das, Inocencio, en su puesto de tacos de suadero preparacarne, tortillas, salsa, verdura y limones para 200 tacos.

Las cantidades de ingredientes que compraba para 7 das eran:35 kilos desuadero, 28 kilos de tortillas, 28 kilos de jitomate, 1 kg de chile de rbol, 5 kg de cebolla, 17.50 pesos de cilantro, 3 kg de sal y 35 kg de limones.

Ayude usted a Inocencio a calcular las cantidades de ingredientes que necesitasi se abastece los lunes, mircoles y viernes.

4. Doa Concha, como todas las amas de casa, sabe que el papel higinico seocupa mucho, por eso decidi comprarlo por mayoreo para gastar menos. Asque convenci a su prima y a su cuada de comprar un paquete grande pararepartirlo entre las tres en partes iguales.

El paquete le sali a doa Concha en 105 pesos y trae 16 paquetes con 6 rolloscada uno. Ahora doa Concha quiere saber cuntos rollos de papel le tiene quedar a cada una y cunto les debe cobrar por ello. Ayude usted a doa Concha aresolver su problema.

l compraba la mercanca para toda la semana, pero como se le echaba aperder tena prdidas en su negocio, por eso ahora piensa abastecerse loslunes, mircoles y viernes. l necesita saber qu parte o fraccin de mercancanecesita comprar en cada uno de los das en que va de compras.

12

14

34

100


5. Doa Carmen fue de compras con su vecina y encontraron en oferta el quesomanchego a 48 pesos el kilo. Como estaba en oferta se vendi rpido y ya sloquedaban quesos grandes; decidieron entre las dos llevarse uno que pesabados kilos y un cuarto; doa Carmen le dijo a su vecina que ella slo necesitabauna tercera parte del queso.

6. Doa Chuy, cada semana, compra yogures para sus hijos porque sabe que esnutritivo; la caja con 48 botellitas le cuesta $72.00, pero si ella compratoda la caja se sala de su presupuesto, entonces su cuada le dijo quecomprara toda la caja y que le vendiera a ella una cuarta parte, la que lepagara al llegar.

7. Doa Chela, aun cuando las cosas estn muy caras, hace el esfuerzo por ahorraruna quinta parte de su gasto, que es de 500 pesos a la semana. Como en quincesemanas es el cumpleaos de su hijo Lalito, ella lo quiere festejar hacindole unpastel de cumpleaos e invitar a sus familiares.

Ahora su vecina necesita saber qu cantidad en kilos de queso tiene que dara doa Carmen y cunto le tiene que cobrar. Podra usted ayudarle?

Doa Chuy, para poder cobrar a su cuada los yogur, en el trayecto a su casava haciendo sus cuentas. Ella necesita saber cuntas botellitas tiene que dara su cuada y cunto dinero le tiene que cobrar. Podra usted ayudar a doaChuy a hacer sus cuentas?

Cunto ahorrar doa Chela en quince semanas para la fiesta de Lalito?


101

D oa Lupe fue a la tienda a comprar 3 litros de crema que le hacan falta parapreparar un pedido de pasteles, pero en la tienda slo encontr tarritos de cremade de litro. Doa Lupe quiere saber cuntos tarritos debe comprar paracompletar los 3 litros que le hacen falta.

Ella necesita saber cuntos tarritos de de litro hay en 3 litros, lo cual se puedeexpresar como una divisin, as:

Observe que cada litro contiene 4 tarritos de lllll, entonces 3 litros contienen3 veces 4, o sea, 12 tarritos de crema.

3 x 4 = 12

inverso

Tema 6 Divisin de fracciones

14

14

14

3 = 1214

= 1

= 1

= 1

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

102


Aplicando la regla tenemos:

= x =

inverso

Efectuando la multiplicacin y luegosimplificando:

Ejemplo

, su inverso es .

, su inverso es .

, su inverso es .

Este problema nos hace recordar que la divisin es el inverso de la multiplicacin,y de aqu se origina la siguiente regla para dividir fracciones.

Recuerde que el inverso de una fraccin se obtiene alinvertir el numerador y el denominador de la fraccin.

Ejemplo

=

ReglaPara dividir un nmero (entero o fraccin) entre una fraccin, multiplique elnmero por el inverso de la fraccin.El inverso (recproco) de una fraccin se obtiene invirtiendo el numeradorpor el denominador.

14

41

67

76

29

92

54

32

54

32

54

23

54 x =

23

1012 =

2

2

56

1012


103

EjemploLa seora Olivia cobr en su cremeria $76.50 por 12 kilos de crema. A cmodio el kilo de crema?

76.50 12 = ?

Observe que se est dividiendo una cantidad con decimales entre una cantidadcon fracciones. Tambin se podra haber planteado la divisin de fracciones de lasiguiente manera: 76 12 = ?

Para hacer una divisin de fracciones, se debe obtener el inverso de la fraccin yluego multiplicar, por lo que en este caso se obtendr la fraccin impropia de 12 .Es conveniente que esta fraccin se obtenga con denominador 4 porque se tienencuartos.

=

Se suman los que ya se tenan: + = =

Para conocer el precio por kilo,necesita dividir lo que cobrentre el nmero de kilos decrema que vendi.

Para convertir 12 a , primero se convierte el entero (12) a cuartos.Se busca un nmero que multiplicado por 1 d 4. ste es 4.

Sin embargo, esto no es comn, por lo que se continuar con el planteamientooriginal.

34

34

12

34

34

?4

34

34

76.50 12 = ?34

121

?4

484

34

514

48 + 34

=

x 4

x 4

121

484

104


Con lo que se obtiene que:

Con lo anterior, la divisin de la seora Olivia quedar de la siguiente forma:

Para hacer la divisin de fracciones, se debe multiplicar al primer nmero por elinverso de la fraccin que divide, la seora Olivia hace lo siguiente:

El inverso de es , por lo que:

Haciendo la reduccin de la fraccin, la seora Olivia obtuvo lo siguiente:

Con lo anterior, la seora Olivia sabe que el kilo de crema lo dio en 6 pesos.

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes divisiones de fracciones.

a) =

34

93

514

451

12 = 514

76.50 12 = 76.50 = ?34514

76.50 = 76.50 x =514451

30651

30651 = 306 51 = 6

46

b) =6523

c) =8442

d) =5837

e) =9265

f) =2534

g) =6235

h) 4 =89

i) 5 =37


105

Ejemplo

Convierta las fracciones a decimales:0.4 0.75 = 0.5333

Divida los nmeros decimales:

Compare los resultados en nmerosdecimales:

= 8 15 = 0.5333

Problemas

1. Doa Aurora tiene 1 kg de arroz sin preparar; desea saber si le alcanzapara preparar 25 rdenes de arroz para llevar. Doa Aurora sabe que dede taza de arroz sin preparar sale una orden de arroz para llevar y que unataza de arroz (sin preparar) pesa 200 gramos de kg.

2. Doa Aurora pag en la carnicera 90 pesos por un lomo de puerco que pes2 de kg y desea saber a cmo le cobraron el kg.

3. Doa Aurora tiene de una pizza grande que quiere compartir, para la cena,con sus tres hijas en partes iguales. Cuntas fracciones de la pizza le tocana cada una?

15

25

815 =

34

815

2 5 = 0.4

3 4 = 0.75

12 1

3

34

34

Se pueden comprobar las divisiones de fracciones, convirtiendo las fraccionesa decimales y efectuando las operacines con ayuda de una calculadora.

AutoevaluacinAutoevaluacinUnidad II: Operaciones con fracciones

Ahora que termin la Unidad II, vamos a recordar los temas que ya estudi: Suma defracciones con igual denominador, Resta de fracciones con igual denominador, Suma defracciones con diferente denominador, Resta de fracciones con diferente denominador,Multiplicacin de fracciones y Divisin de fracciones. Para conocer lo que aprendi, esimportante que resuelva los siguientes ejercicios; recuerde que puede utilizar todo elmaterial que considere til.

1. Doa Sofa vende quesadillas; esta semana compr diferentes cantidades de masa,como se muestra en la siguiente tabla.

Da

Jueves

Viernes

Sbado

Domingo

Cantidad de masa

5 kg

kg

6 kg

kg

1428434244

a) Qu cantidad de masa compr en total?

b) Qu da de la semana compr ms cantidad de masa?

2. Rosalinda compr kg de papa, de kg de zanahoria y de kg de calabacitas.

Qu cantidad de verdura compr en total?

12

14

38

3. Julieta compr las botellas de aceite que se muestran abajo. Cunto aceite compr?

1 litro + litro + litro =12

14

106

4. Azucena compr 3 kg de pollo para preparar 3 guisados diferentes. Si prepara

de kg en salsa verde y 1 kg en jitomate con papas, con qu cantidad de pollo

va a praparar el guisado que le falta?

123

414

5. Don Leopoldo dio a su hijo mayor $2,000.00. De esa cantidad, le pidi que con

un pague el predial; con la mitad de lo que le quede pague la renta; con un de

lo que le quede compre la comida; y que le regrese el cambio. Qu cantidad de

dinero va a devolver a don Leopoldo?

14

15

6. Josefa vende lentejas en bolsas de de kilo y frijoles en bolsas de kilo. Si en una

semana vendi 32 bolsas de lentejas y 24 bolsas de frijoles, cuntos kilos de semilla

vendi en total?

14

12

7. La maestra Alejandra va a repartir en partes iguales 8 kilos de caramelos y galletas

entre sus 34 alumnos. Si los quiere poner en bolsitas, qu cantidad deber poner en

cada bolsita?

24

8. Reina va a hacer 20 flores de papel para adornar un saln de baile. Si para cada

flor utiliza del pliego de papel, cuntos pliegos debe comprar para hacer las

20 flores?

14

107

9. Segn la receta de Teresita, se necesitan los siguientes ingredientes para hacerpasteles:

Tamao grande

kg de galletas Maras

kg de mantequilla

kg de queso12

15

14

Tamao mediano

kg de galletas Maras

kg de mantequilla

kg de queso14

110

18

a) Si Teresita quiere hacer 2 pasteles grandes y 3 pasteles medianos, qu cantidadde cada ingrediente tiene que comprar?

Galletas Maras

Mantequilla

Queso

b) Si en la tienda venden los ingredientes en gramos, cuntos gramos son de cadaingrediente?

Galletas Maras gramos.

Mantequilla gramos.

Queso gramos.

10. En la fiesta de cumpleaos de doa Anita, sirvieron ensalada de frutas. Para

preparar la ensalada compraron 2 kg de meln, 3 kg de sanda, 2 kg de

papaya y 3 kg de pltanos.

24

28

12

14

a) Cuntos kilos de fruta compraron?

b) Qu cantidad de ensalada le sirvieron a cada invitado si repartieron toda la

fruta y eran 45 personas?

108

Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Respuesta

a) 25 kg. b) El viernes.

1 kg = 1 kg

1 litros.

1 kg.

$600.00.

20 kilos.

kg.

5 pliegos.

Hoja de respuestas

InstruccionesRevise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntascorrectamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer la unidad.

Unidad II: Operaciones con fracciones

34

14

SugerenciasSi usted respondi 4 preguntas correctamente, se le sugiere que contine estudiandola siguiente unidad.Si obtuvo menos aciertos, es conveniente que se regrese a estudiar esta unidad parareafirmar los temas.

109

12

18

432

a) Galletas, kg; mantequilla, kg; queso,

1 kg.b) Galletas = 875 gramos, mantequilla = 700 gramos, queso = 1,750 gramos.a) 11 kg.

b) 255 gramos.

78

710

34

12

II. Operaciones con fracciones1. Suma de fracciones con igual denominadorSuma de nmeros mixtos con el mismo denominador

2. Resta de fracciones con igual denominador3. Suma de fracciones con diferente denominador4. Resta de fracciones con diferente denominador5. Multiplicacin de fracciones6. Divisin de fraccionesAutoevaluacin

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Operacion con fracciones