Introduccıon Operaciones de Conjuntos Ejercicios

Conceptos Basicos de Teorıa de ConjuntosOperaciones de Conjuntos

Ysela Ochoa Tapia

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Introduccion

Una operacion es una regla o procedimiento para producir unobjeto a partir de uno o mas objetos.Aquı operaremos conjuntos, para producir nuevos conjuntos.Las operaciones usuales son Interseccion, union, diferencia,producto cartesiano y complemento.

Diagramas de Venn para representar las operaciones.

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Operaciones de Conjuntos

Interseccion de Conjuntos

Sean A y B conjuntos, la interseccion es:

A ∩ B = {x ∈ U |x ∈ A y x ∈ B}

A

A ∩ B

B

U

Ejemplo:Si A = {a, b, c , d , e, f } yB = {m, n, e, p, b}entonces A ∩ B = {b, e}

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Operaciones de Conjuntos

Conjuntos Disjuntos

A y B son disjuntos, si no tienen elementos en comun.

A ∩ B = φ

A B

U

Ejemplo:Si A = {9, 12, 14, 15, 17, 18}y B = {10, 11, 13, 16}entonces A ∩ B = φ

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Operaciones de Conjuntos

Union de Conjuntos

Sean A y B conjuntos, la Union es:

A ∪ B = {x ∈ U |x ∈ A o x ∈ B}

A

A ∪ B

B

UEjemplo:Si A = {a, b, c , d , e, f } yB = {m, n, e, p, b}entoncesA ∪ B ={a, b, c , d , e, f ,m, n, p}

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Operaciones de Conjuntos

Nota : Si A ∩ B = φ (son disjuntos), la Union A ∪ B es:

A

A ∪ B

B

U

Las dos regiones son la union

Ejemplo:Si A = {a, b, c , d , e, f } yB = {i , o, u}entoncesA ∪ B ={a, b, c , d , e, f , i , o, u}

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Operaciones de Conjuntos

Diferencia de Conjuntos

Sean A y B conjuntos, la Diferencia A− B es:

A− B = {x |x ∈ A y x /∈ B}

A

A− B

B

U

Ejemplo:Si A = {a, b, c , d , e, f } yB = {a, e, i , o, u}entoncesA− B = {b, c , d , f }

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Operaciones de Conjuntos

Nota : Claramente B − A 6= A− B :

A

A− B

B

B − A

U

Ejemplo:Si A = {a, b, c , d , e, f } yB = {a, e, i , o, u}entoncesA− B = {b, c , d , f } yB − A = {i , o, u}

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Operaciones de Conjuntos

Leyes de Morgan

Sean A y B conjuntos tenemos las siquientes igualdades:

A ∪ B = A ∩ BA ∩ B = A ∪ B

A ∪ B A ∩ B

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Operaciones de Conjuntos

Par Ordenado

Un par ordenado esta formado por dos componentes, en orden:(a, b), donde a: primera componente y b: seguna componente

Dos pares ordenados son iguales: (a, b) = (c , d) si a = c y b = d

Producto Cartesiano de Conjuntos

El producto cartesiano de A y B es:

A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

Ejemplo:Si A = {a, b} y B = {1, 2, 3} entoncesA× B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}Nota: card(A) = 2, card(B) = 3 entonces card(A×B) = 2× 3 = 6

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Ejercicios

1 Sean los conjuntos U = {a, b, c , d , e, f , g , h, i},A = {a, c , g}, B = {b, d , f },C = {a, b, e, g , i}.Determinar:

A ∪ B

A ∩ C

B − C

C − B

A ∩ (B ∪ C )

A ∪ (B ∩ C )

B − C

A ∩ (B ∪ C )

C ∩ (B ∪ A)

2 Si A = {x , y , z}, B = {3, 4, 5},C = {d}. Determinar:

A× B

A× C

B × C

B × B

card(B ∪ C )

card(A× B)

cardB − C

card(B × B)

card(A× C )

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Ejercicios

1 Sombrea la region que representa cada uno de lossiguientes conjuntos

A B

C

U A ∩ B

A ∩ C

C − B

A ∩ (B ∪ C )

A ∩ (B ∩ C )

A ∪ (B ∩ C )

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