Operaciones de Matematica

7/25/2019 Operaciones de Matematica

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MATEMTICAMediante la abstraccin y el uso de la lgica en el razonamiento, las matemticas hanevolucionado basndose en las cuentas, el clculo y las mediciones, junto con el estudiosistemtico de la forma y el movimiento de los objetos fsicos. Las matemticas, desdesus comienzos, han tenido un fin prctico.Las explicaciones ue se apoyaban en la lgica aparecieron por primera vez con la

matemtica hel!nica, especialmente con los "lementos de "uclides. Las matemticassiguieron desarrollndose, con continuas interrupciones, hasta ue en el #enacimiento lasinnovaciones matemticas interactuaron con los nuevos descubrimientos cientficos.$omo consecuencia, hubo una aceleracin en la investigacin ue contin%a hasta laactualidad.

&uma. #esta. Multiplicacin. 'ivisin. (otenciacin. #az. (ropiedad )sociativa.

(ropiedad $onmutativa. (ropiedad 'istributiva. (ropiedad de $erradura. "lemento neutro.

RAMAS MATEMTICAS1) Aritmtica

*peraciones con n%meros enteros, n%meros racionales y n%meros reales.(otencias, radicales y logaritmos.

2) Algebra*peraciones con polinomios, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de

ecuaciones. Matrices, determinantes y programacin lineal.1.-Suma algebraica&umando a y b + ab

-ab c + abc

&uma de n%meros algebraicos/ -0 -1 + -2

2.- Resta algebraicaa3b + a3b

c3b3a + 3cba

34 35 + 36

#esta de n%meros algebraicos/ -7 3 -2 + 3732+1

3.- Divisi! algebraica'ivisin de n%meros algebraicos/ -87 / -1 + 5

Multi"licaci!9n : 9m + bnm

Multiplicacin de 1a0 por 4a1

1a0 ; 4a1 + 1a;4a14 + 80a2

2) A!#l isis


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ectores y rectas en elplano. >ectores, rectas y planos en el espacio.

e'em"l%s3.2 (%l&g%!%s

=ringulo/ polgono de 1 lados$udrilatero/ polgono de 4 lados(entagono/ polgono de 2 lados?exgono/ polgono de 5 lados?eptgono/ polgono de @ lados

*ctgono/ polgono de 7 ladosAongono/ polgono de 6 lados'ecgono/ polgono de 8B lados'odecgono/ polgono de 80 ladosn 3 gono/ polgono de n lados

) Esta*&sticaModa, media, mediana y desviacin tpica de variables discretas y continuas.#ectas de regresin. 'istribucin binomial, distribucin normal. Muestreo yestimacin. (robabilidad y combinatoria.

SISTEMAS DE +,MERACI+Cn sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas ue permiten representardatos num!ricos. Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicionales, ue secaracterizan porue un smbolo tiene distinto valor seg%n la posicin ue ocupa en lacifra.E'em"l%sSistema *e !umeraci! *ecimal"l sistema de numeracin ue utilizamos habitualmente es el decimal, ue se componede diez smbolos o dgitos -B, 8, 0, 1, 4, 2, 5, @, 7 y 6 a los ue otorga un valordependiendo de la posicin ue ocupen en la cifra/ unidades, decenas, centenas, millares,etc."l valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 8B, n%mero ue coincidecon la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a laposicin ue ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha."n el sistema decimal el n%mero 207, por ejemplo, significa/2 centenas 0 decenas 7 unidades, es decir/


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2D8B0 0D8B8 7D8BB o, lo ue es lo mismo/2BB 0B 7 + 207"n el caso de n%meros con decimales, la situacin es anloga aunue, en este caso,algunos exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los dgitoscolocados a la derecha del separador decimal. (or ejemplo, el n%mero 7042,6@ secalculara como/

7 millares 0 centenas 4 decenas 2 unidades 6 d!cimos @ c!ntimos7D8B1 0D8B0 4D8B8 2D8BB 6D8B38 @D8B30, es decir/7BBB 0BB 4B 2 B,6 B,B@ + 7042,6@C%!versi! e!tre !/mer%s *ecimales 0 bi!ari%s$onvertir un n%mero decimal al sistema binario es muy sencillo/ basta con realizardivisiones sucesivas por 0 y escribir los restos obtenidos en cada divisin en ordeninverso al ue han sido obtenidos.(or ejemplo, para convertir al sistema binario el n%mero @@8B haremos una serie dedivisiones ue arrojarn los restos siguientes/@@ / 0 + 17 #esto/ 817 / 0 + 86 #esto/ B86 / 0 + 6 #esto/ 8

6 / 0 + 4 #esto/ 84 / 0 + 0 #esto/ B0 / 0 + 8 #esto/ B8 / 0 + B #esto/ 8

+MERS +AT,RAES

"nmatemticas, un !/mer% !aturales cualuiera de los n%meros ue se usanpara contarlos elementos de un conjunto como tambi!n en operaciones elementales de

clculo.

(or definicin convencional se dir ue cualuier miembro del siguiente conjunto, + EB,

8, 0, 1, 4,FG 'e dos n%meros vecinos cualesuiera, el ue se encuentra a la derecha se

llama siguie!teo sucesiv%.

"jemplo/ 1 3 2 + 30, y 30 no es un elemento de HA.

8 / 4 + B,02I y B,02 no es un elemento de HA.

C%!mutativi*a* a 4 b 5 b 4 a, con a y b pertenecientes a HA

"sto se puede apreciar claramente, ya ue 1 5 + 6, es lo mismo ue 5 1 + 6.

As%ciativi*a* 6a 4 b) 4 c 5 a 4 6b 4 c), con a, b y c pertenecientes a HA

>erifiuemos ue -2 0 5 + 2 -0 5. #esolvamos los par!ntesis/

@ 5 + 2 7

81 + 81
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Numerablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Numerablehttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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"n los n%meros naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicacin/

C%!mutativi*a* a 7 b 5 b 7 a, con a y b pertenecientes a HA

"sto se puede apreciar claramente, ya ue 1 : 5 + 87, es lo mismo ue 5 : 1 + 87.

As%ciativi*a* 6a 4 b) 4 c 5 a 4 6b 4 c), con a, b y c pertenecientes a HA

>erifiuemos ue -2 : 0 : 5 + 2 : -0 : 5. #esolvamos los par!ntesis/

8B : 5 + 2 : 80

5B + 5B

Eleme!t% +eutr% a 7 1 5 a, con a perteneciente a HA.

=odo elemento de HA multiplicado por 8, resulta el mismo elemento. 2 : 8 + 2I 6 : 8 +6 ...

Distributivi*a* a76b 4 c) 5 a7b 4 a7c, con a, b y c pertenecientes a HA.

>erifiuemos ue 2:-1 5 + 2:1 2:5

2:6 + 82 1B

42 + 42

+MERS D8$ITS

A%mero dgito es auel ue solo tiene una cifra. Aada ms hay 8B n%meros dgitos ue

son/ B,8,0,1,4,2,5,@,7 y 6.

Los n%meros de ms de una cifra se llaman n%meros. A%mero polidgito, ue son los ue

tiene ms de una cifra.

"jemplo/ 425, 25@, 11, 55 ..etc, es decir auel ue no es un n%mero dgito.

+MERS E+TERS

son elementos de un conjuntode n%merosue re%ne a los positivos-8, 0, 1, ..., a

losnegativos opuestos de los anteriores/ -..., J1, J0, J8 y al B. Los enteros negativos,

como J8 o J1 -se leen Kmenos uno, Kmenos tres, etc., son menores ue todos los

enteros positivos-8, 0, ... y ue el cero. (ara resaltar la diferencia entre positivos y

negativos, a veces tambi!n se escribe un signo Kms delante de los positivos/ 8, 2,

etc. $uando no se le escribe signo al n%mero se asume ue es positivo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivo


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E'em"l%s

Los !/mer%s e!ter%sincluyen tanto los n%meros naturales ue ya conocemos -B, 8, 0,

1F., como los n%meros negativos -38, 30, 31F

Sumas 0 restas

- @ 3 -3 2 -30 3 - 6

)uellos n%meros ue vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y

al n%mero le cambiamos el signo/

- @ - 2 -30 -3 6

)hora procedemos igual ue en la suma.

(or un lado sumamos los n%meros positivos/

- @ - 2 + 80

(or otro lado sumamos los n%meros negativos/

-3 0 -3 6 + 3 88

)hora se restan ambos resultados. &e pone como minuendo el de mayor valor absoluto

80 y como sustraendo el de menor valor absoluto 88.

80 N 88 + 8

"l resultado de la resta tendr el signo del minuendo -80, luego/

- @ 3 -3 2 -30 3 - 6 + 8

>eamos otro ejemplo/

- 0 3 -3 @ 3 -0 3 -3 6

+MERS RACI+AES


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es todo n%meroue puede representarse como el cocientede dos n%meros enteroso,

ms precisamente, un entero y unnatural positivoI8es decir, unafraccin com%n con

numerador y denominador distinto de cero. "l t!rmino Kracional alude a una fraccin

o parte de un todo. "l conjuntode los n%meros racionales se denota por 9-o bien ,en negrita de pizarra ue deriva de Kcociente -9uotient en varios idiomas europeos.

"ste conjunto de n%meros incluye a losn%meros enteros- , y es un subconjunto delos n%meros reales- .

E'em"l%s

Suma

&e define la sumao adicin de dos n%meros racionales a la operacin ue a todo par de

n%meros racionales, le hace corresponder su suma

.

Resta

La operacin ue a todo par de n%meros racionales, le hace corresponder su diferencia se

llama resta o diferencia y se la considera operacin inversa de la suma.88

.

Multi"licaci!

La multiplicacino producto de dos n%meros racionales es la operacin

.

Divisi!

&e define la divisin o cociente de dos racionales r entre s distinto de B, al

producto . "n otra notacin,

.

Hnversos

Los inversos aditivoy multiplicativo existen en los n%meros racionales/
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(divisi%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Numeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Blackboard_boldhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional#cite_note-11https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_aditivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(divisi%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Numeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Blackboard_boldhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional#cite_note-11https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_aditivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo


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+,MERS :RACCI+ARIS

"s la expresin de una cantidad dividida entre otra cantidadI es decir ue representa un

cociente no efectuado de n%meros. (or razones histricas tambi!n se les llama fraccin

com%n, fraccin vulgar o fraccin decimal. Las fracciones comunes se componen de/numerador, denominador y lnea divisora entre ambos -barra horizontal u oblicua. "n una

fraccin com%n aOb el denominador PbP expresa la cantidad de partes iguales ue

representan la unidad, y el numerador PaP indica cuntas de ellas se toman.

&uma y resta de fracciones

8. $uando tienen el mismo denominador

&e suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

'espu!s si podemos se simplifica.

Ejemplos

Divisi! *e ;racci%!es

8Q Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda,

el producto es el nuevo numerador.

0Q Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda,

el producto es el nuevo denominador.

1Q 'espu!s si podemos se simplifica.

E'em"l%s


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S +MERS CM(E 4 >iEjemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Multi"licaci!-2 0 i : -0 J 1 i +

+ 8B J 82 i 4 iJ 5 i0 + 8B J 88i 5 + 1? = 11iEjemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((31 - 27) + (37 + 21)i) = -11 + 23i

Divisi! *e !/mer%s c%m"le'%s

"l cociente de n%meros complejos se realiza mult ipl icandonumerador y denominador por el conjugado de este.

E'em"l%


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E $E@RA

"s la rama de la matemtica ue estudia la combinacin de elementos deestructuras abstractas acorde a ciertas reglas. *riginalmente esoselementos podan ser interpretados como n%meros o cantidades, por loue el lgebra en cierto modo originalmente fue una generalizacin yextensin de la aritm!tica.0 1 "n el lgebra moderna existen reas dellgebra ue en modo alguno pueden considerarse extensiones de laaritm!tica -lgebra abstracta, lgebra homolgica, lgebra exterior, etc..

E'em"l%s

"jemplo de suma de monomios/

4x0y1z 3 2x0y1z + 3x0y1z

"jemplo de multiplicacin de monomios/

-4x0y1z : -1y4z0 + 80x0y@z1

"jemplo de divisin de monomios/

7x1

y4

z0

/ 0x0

y0

z0

+ 4xy0

"jemplo de potencia de monomios

-1x11+ 11 : -x11+ 0@x6

ARITMTICALa )ritm!tica es una rama de las matemticas ue se encarga deestudiar las estructuras num!ricas elementales, as como laspropiedades de las operaciones y los n%meros en s mismos en suconcepto ms profundo, construyendo lo ue se conoce como teora de

n%meros.(ara t i es ms sencil lo encontrar la aritm!tica dentro de tu vida cuando/>as a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular pormedio de una resta, el cambio ue dar el tendero.$uando estas a punto de a abordar el servicio p%blico y cuantasrpidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor delpasaje.E'em"l%s1.- As%ciativa


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&i a, b, c son n%meros naturales cualesuiera se cumple ue/-a b c + a -b c(or ejemplo/-@ 4 2 + 88 2 + 85@ -4 2 + @ 6 + 85Los resultados coinciden, es decir,

-@ 4 2 + @ -4 22.-C%!mutativa&i a, b son n%meros naturales cualesuiera se cumple ue/a b + b a"n particular, para los n%meros @ y 4, se verifica ue/@ 4 + 4 @Rracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adicin se puedenefectuar largas sumas de n%meros naturales sin utilizar par!ntesis y sin tener encuenta el orden.3.- Eleme!t% !eutr%"l B es el elemento neutro de la suma de enteros porue, cualuiera ue sea eln%mero natural a, se cumple ue/

a B + aResta *e +umer%s E!ter%s(ara restar dos n%meros enteros se le suma al minuendo el opuesto delsustraendo/a 3 b + a -3b(or ejemplo/2 3 -31 + 2 1 + 730 3 2 + -30 -32 + 3@

M+MI"s una expresin algebraica en la ue se uti l izan exponentes naturalesde variables l i terales ue constan de un solo t!rmino -si hubiera 3seria binomio , un n%mero l lamado coeficiente. Las %nicas operaciones

ue aparecen entre las letras son el producto y la potencia deexponentes naturales. &e denomina polinomio a la suma de variosmonomios. Cn monomio es una clase de polinomio con un %nico t!rmino.

E'em"l%s *e M%!%mi%s s%!

x2

a2b3

+t5

y4

x-2y

+ x3

0.52

-!m


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+1.5"-3

- 10m#3

@I+MI(ara otros usos de este t!rmino, v!ase binomial -desambiguacin."n lgebra, un binomio consta %nicamente de dos t!rminos, separadospor un signo de ms - o de menos -3. "n otras palabras, es unaexpresin algebraica formada por la suma de dos monomios."n la clase de espaSol se usa mucho el t!rmino de los factores delproducto interno bruto (uede l lamarse Pbinomio de razonestrigonom!tricasP.

E'em"l%s@i!%mi% al cua*ra*%Cn binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer t!rminoms, o menos, el doble producto del primero por el segundo ms elcuadrado segundo.

-a b0 + a0 0 : a : b b0-x 10 + x 0 0 : x :1 1 0 + x 0 5 x 6-a J b0 + a0 J 0 : a : b b0-0x 3 10 + -0x0 0 : 0x : 1 1 0 + 4x0 80 x 6@i!%mi% al cub%Cn binomio al cubo es igual al cubo del primero ms, o menos, el tr ipledel cuadrado del primero por el segundo ms el tr iple del primero por elcuadrado del segundo ms, o menos, el cubo del segundo.-a b1 + a1 1 : a0 : b 1 : a : b0 b1-x 11 + x 1 1 : x0 : 1 1 : x: 10 11 ++ x 1 6x0 0@x 0@-a J b1 + a1 J 1 : a0 : b 1 : a : b0 J b1

-0x 3 11 + -0x1 3 1 : -0x0 :1 1 : 0x: 10 3 11 ++ 7x 1 3 15 x0 24 x N 0@Di;ere!cia *e cua*ra*%sCna diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.a0 J b0 + -a b : -a J b4x0 J 02 + -0x0 J 20 + -0x 2 : -0x 3 2

(I+MIes una expresin matemtica constituida por un conjunto f inito devariables -no determinadas o desconocidas y constantes -n%meros f i josllamados coeficientes, ut i l izando %nicamente las operaciones aritm!ticasde suma, resta y mult ipl icacin, as como tambi!n exponentes enteros

posit ivos. "n t!rminos ms precisos, es una relacin n3aria demonomios, o una sucesin de sumas y restas de potencias enteras deuna o de varias variables indeterminadas.

E'em"l%s *e (%li!%mi%s s%!

$x + 2x2% 5x3& % 5x4


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3xy % y2+ x2% 7xy2% 11x2y

5m# ' m ' # ' 12m3#3% 5

( +a ' ab2+ a2b ' b)

$RAD DE ,+ M+MI.

Rrado de un monomio es el exponente de su parte literal/

1x4, este es un monomio de grado 4

"l grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables

ue lo componen.

E'em"l%s

5x2y, tiene grado 1

pues euivale a la expresin/ 5 (x2)(y1), la suma de los exponentes es

0 8 + 1

x, tiene grado 8 por el exponente, pero no se pone, se sobrentiende.

- 3y2, tiene grado 0

+ 2m4#3, tiene grado @

$RADS DE ,+ @I+MI9inomio/ -grado depende de los MnomiosCn binomio es un polinomio ue consta de dos monomios.(-x + 0xT0 1x

9inomio al cuadradoCn binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer t!rmino ms, o menos,el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado segundo.

-a bT0 + aT0 0 : a : b bT0

9inomio al cuboCn binomio al cubo es igual al cubo del primero ms, o menos, el triple del cuadradodel primero por el segundo ms el triple del primero por el cuadrado del segundo ms,o menos, el cubo del segundo.-a bT1 + aT1 1 : aT0 : b 1 : a : bT0 bT1


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$RAD DE ,+ (I+MI"l polinomio de un slo t!rmino se denomina monomioI el de dos,binomioI el de tres, tr inomioI el de cuatro, cuadrinomio o polinomio dePAP t!rminos dependiendo de cuantos haya.La expresin general de los polinomios ue slo t ienen una variable, losms uti l izados, es/

(or ejemplo/&e denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de losmonomios ue lo componen.E'em"l%s

"l grado de un polinomio (-x es el mayor exponente al ue se encuentra

elevada la variable x.

(olinomio de grado cero

(-x + 0

(olinomio de primer grado

(-x + 1x 0

(olinomio de segundo grado

(-x + 0x0 1x 0

(olinomio de tercer grado

(-x + x1 3 0x0 1x 0

(olinomio de cuarto grado

(-x + x4 x1 3 0x0 1x 0

S,MA DE M+MIS

(ara realizar la suma de monomios, nos debemos fijar en los coeficientes y susacompaSantes, las variables -o tambi!n conocidos como parte literal, por auello de ue

son letras.

(ara sumar monomios se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. ?ay ue

tener en cuenta ue solamente se pueden sumar los monomios ue son semejantes.

E'em"l%s


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axn bxn+ -a bxn


4x0y1z 2x0y1z + 6x0y1z

0x0y1z 1x0y1z + -0 1x 0y1z + 2x0y1z

RESTA DE M+MIS

"n la resta de monomios, de lo ue se trata es de realizar una reduccin entre monomios

semejantes, es decir, con la misma composicin de variables, no pudiendo realizarse en

caso contrario, siendo el resultado de esta operacin, otro monomio. =endremos ue tener

mucho cuidado a la hora de mirar los signos, pues toda la cuenta puede salirnos mal si en

vez de un menos ponemos un ms.

E'em"l%saxn3 bxn+ -a 3 bxn


4x0y1z 3 2x0y1z + 3x0y1z

2x 3 1x + 0x

8@y 3 80y + 2y

0xy 3 xy + xy

82UT0 3 80UT0 + 1UT0

0@dT8B 3 8BdT8B + 8@dT8B

S,MA DE (I+MIS(ara sumar dos polinomios, hay ue sumar entre s los coeficientes de los t!rminos delmismo grado "l resultado de sumar dos t!rminos del mismo grado, es otro t!rmino delmismo grado. &i falta alg%n t!rmino de alguno de los grados, se puede completar con B,como en el ejemplo en el segundo polinomio se complet con Bx0. V se los suele ordenarde mayor a menor grado, para ue en cada columna ueden los t!rminos de igual grado.E


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) + 3 1x0 0x43 7 3 x1 8O0 x9 + 32x43 8B 1x @x1

0x4 3 x1 3 1x0 8O0 x 3 7 -el polinomio ) ordenado y completo4

32x4 @x1 Bx0 1x 3 8B -el polinomio 9 ordenado y completoWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW 31x4 5x13 1x0 @O0 x 3 87

) 9 + -3B4 ?B3- 3B24 >2 B - 1

EB 3

E


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EB202

RESTA DE (I+MISCna manera muy com%n de hacerlo es transformando la resta en suma, y cambindole

los signos a todos los t!rminos del segundo polinomio -el ue se est restando, el

PsustraendoP. (orue restar es euivalente a sumar Pel opuestoP. "l opuesto de un

n%mero era un n%mero del mismo valor, pero con el signo contrario. (or ejemplo/ 32 es el

opuesto de 2, 1 es el opuesto de 31, etc. V el opuesto de un polinomio es un polinomio

ue tenga Plos mismos t!rminos pero con el signo contrarioP. (or ejemplo, el opuesto de

1x0 @x sera 31x03 @x.

>eamos en un ejemplo num!rico cmo es eso de Prestar + sumar el opuestoP/

8B 3 1 + @

8B -31 + @

&e puede ver ue, al Psumar el opuestoP, se est Pcambiando la resta por suma, ycambiando el signo al segundo n%meroP. "so mismo se hace con los polinomios. (orejemplo/

) + 2x03 0x 49 + 7x0 1x N 8

E


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6x4 3 4x13 1x0 8O0 x 3 74

32x43 @x1 Bx0 3 1x 8B -el polinomio 9 con los signos cambiadosWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

4x43 88x13 1x03 2O0 x 0

) 3 9 + B- 11B3- 3B2- F2 B 4 2

E


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)l multiplicar un n%mero por un monomio obtenemos otro monomio semejante cuyo

coeficiente ser el producto del coeficiente del monomio por el n%mero en cuestin.

b : axny + -b : a xny

"jemplo de multiplicacin de un n%mero por un monomio/

1 : -0x0y1 z + 5x0y1 z

DIHISI+ DE M+MIS

(ara dividir monomios hay ue tener en cuenta siempre ue el grado del dividendo debe

ser mayor o igual ue el grado del divisor. )dems, solamente se pueden dividir los

monomios ue tengan la misma parte literal.

$uando dividimos monomios obtenemos otro monomio ue tiene por coeficiente el

cociente de los coeficientes de los monomios y como parte literal la divisin de laspotencias ue tengan la misma base. V ya sabemos ue la divisin de potencias de la

misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los

exponentes.

axn/ bxm+ -a / bxn J m

"jemplo de divisin de monomios/


19/30

7x1y4z0/ 0x0y0z0+ 4xy0

M,TI(ICACI+ DE (I+MISMultiplicando todos los t!rminos de uno de ellos por todos los t!rminos del otro. &e aplica

la (ropiedad distributiva entre en la multiplicacin y la suma. )ntes de aprenderpolinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar Pexpresiones algebraicasP, ue

son polinomios. Hncluso en las ecuaciones. (or ejemplo/

-x 2.-x 3 1 es una multiplicacin de dos polinomios de grado 8

0x.-x 8 es una multiplicacin de dos polinomios de grado 8

V en general, a hacer esas PdistributivasP ya se aprende antes de ver el tema

P(olinomiosP. Lo ue haba ue hacer era Pmultiplicar todo con todoP, es decir, cada

t!rmino de una expresin con cada t!rmino de la otra/

-x 2.-x 3 1 + x.x 3 1.x 2.x 3 82 + x03 1x 2x 3 82 +

V luego Pjuntar las x con las x, los n%meros con los n%meros, las x 0con las x0...P. PXuntar

era en realidad/ Phacer la cuenta entre los n%meros ue tienen delanteP. "n este ejemplo

slo tenemos para juntar las x. &on 31 2 + 0. "s decir ue uedan 0x. $omo otro

n%mero no hay, ueda 382. V como otra x0no hay, ueda x0. "so de juntar se ve tambi!n

la suma de polinomios/ Pjuntar las x con las x, los n%meros con los n%meros...P es en

realidad Psumar los t!rminos semejantes o de igual gradoP. -ver/suma de polinomios

+ x

0

0x 3 82

V multiplicar a dos polinomios no es otra cosa ue aplicar la (ropiedad distributiva de la

multiplicacin con la suma a esos dos polinomios. "s lo mismo ue se haca en las

ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores ue 8, y tener

muchos t!rminos. (or ejemplo/

) + 36x1 x 4x2

9 + 1x0 0x43 7 3 x1 2x

-36x13 x 4x2.-1x0 0x43 7 3 x1 2x +

&e trata, como antes, de multiplicar cada t!rmino de uno por todos los t!rminos del otro.

"so es aplicar la propiedad distributiva. Las multiplicaciones ue hay ue hacer son/

-36x1.-1x0 + 30@x2 -Ycmo se hacen estas multiplicacionesZ -Ypor u! 1, si no tena

el Z

-36x1.-0x4 + 387x@
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/suma.htm#xconxhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/suma.htm#xconxhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/multipol.htm#multimonohttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/multipol.htm#sinsignohttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/multipol.htm#sinsignohttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/suma.htm#xconxhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/multipol.htm#multimonohttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/multipol.htm#sinsignohttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/multipol.htm#sinsigno


20/30

-36x1.-37 + @0x1

-36x1.-3x1 + 6x5

-36x1

.-2x + 342x4

-3x.-1x0 + 31x1

-3x.-0x4 + 30x2

-3x.-37 + 7x

-3x.-3x1 + x4

-3x.-2x + 32x0

DIHISI+ DE (I+MIS

&e ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo

sentido -en orden ascendente u orden descendente, si el polinomio no es

completo se dejan los espacios de los t!rminos ue faltan.

"l primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del

dividendo entre el primer miembro del divisor.

&e multiplica el primer t!rmino del cociente por todos los t!rminos del divisor,

se coloca este producto debajo de !l dividendo y se resta del dividendo.

"l segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino deldividendo parcial o resto -resultado del paso anterior, entre el primer termino

del divisor.

&e multiplica el segundo t!rmino del cociente por todos los t!rminos del divisor,

se coloca este producto debajo de !l dividendo parcial y se resta del dividendo

parcial.

&e continua de esta manera hasta ue el resto sea cero o un dividendo parcial

cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

E'em"l%s

0x4 / x0+ 0 x0


21/30

(rocedemos igual ue antes.

2x1 / x0+ 2 x

>olvemos a hacer las mismas operaciones.

7x0 / x0+ 7

(A+ CARTESIA+

"l "la!% cartesia!%est formado por dos rectas num!ricas perpendiculares, unahorizontal y otra vertical ue se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada e'e *elas abscisaso de las euis -x, y la vertical, e'e *e las %r*e!a*aso de las yes, -yI elpunto donde se cortan recibe el nombre de %rige!.

"l "la!% cartesia!%tiene como finalidad describir la posicin de puntos, los cuales serepresentan por sus c%%r*e!a*as % "ares %r*e!a*%s.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las euis a uno de las yes,

respectivamente, esto indica ue un "u!t% 6()se puede ubicar en el plano cartesianotomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como/

( 6B 0)

(ara localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente

procedimiento/
http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm


22/30

1.(ara localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes haciala derecha si son positivas o hacia la izuierda si son negativas, a partir del punto de

origen, en este caso el cero.

2.'esde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes -en el

eje de las ordenadas hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y deesta forma se localiza cualuier punto dadas ambas coordenadas.

E'em"l%s

Localizar el punto ) - 34, 2 en el plano cartesiano. "ste procedimiento tambi!n se emplea

cuando se reuiere determinar las coordenadas de cualuier punto ue est! en el plano

cartesiano.

'eterminar las coordenadas del punto M.

Las coordenadas del punto M son -1,32.

0

'e modo inverso, este procedimiento tambi!n se emplea cuando se reuiere determinar

las coordenadas de cualuier punto ue est! en el plano cartesiano.


23/30

E'em"l%

'eterminar las

coordenadas del punto

M.

Las coordenadas del

punto M son -1,32.

+/mer%s "%sitiv%sLos n%meros positivos se usan para contar y expresar cantidad como tambi!n en

operaciones matemticas, como suma, resta, multiplicacin y divisin. 'e acuerdo con el

sitio [eb &cience "ncyclopedia, todos los n%meros mayores a cero se llaman n%meros

positivos y !stos estn siempre a la derecha del cero en la lnea num!rica. (or cada

n%mero positivo, de acuerdo con MathLeague.com, hay un n%mero negativo ue es su

opuesto. "ste sitio [eb explica ue hay un espacio euivalente entre cada n%mero en la

lnea num!rica para ue puedan hacer comparaciones de tamaSo. 'os n%meros

cualuiera pueden ser comparados examinando su posicin en la lnea num!rica porue

los n%meros a la derecha siempre son ms grandes ue los n%meros a la izuierda."jemplos

Positivos

1

2

3

4

5

56

78

98


24/30

A%meros negativos

Cn n%mero negativo es cualuier n%mero cuyo valor es menor ue cero y, por tanto, ue

los dems n%meros positivos, como @, 46O00 o \. &e utilizan para representar p!rdidas,

deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas. Los n%meros negativos son

una generalizacin %til de los n%meros positivos, cuando una magnitud o cantidad puede

variar incrementalmente por encima o por debajo de un punto de referencia, usualmenterepresentado por el cero.

"jemplos

-1

-2

-3

-4

-5

-77

-89

E'em"l%.

8. -8B J -J2 + -8B -2 + 82

0. -J@,4 J -5 + -J@,4 -J5 + J81,4

1. -J4 J -J7 + -J4 -7 + 4

4. -0O1 J -6O@ + -0O1 -J6O@ + 84O0830@O08+J81O08

*peraciones bsicas con negativos y positivos

1.-Suma de nmeros enteros


25/30

Vamos a distinguir tres casos:

a)Si todos los nmeros son positi!os se suman " el resultado es

positi!o:

3 + # + $ = 1%

b)Si todos los nmeros son negati!os se suman " el resultado es

negati!o:

(-3) + (-#) + (-$) = -1%

c)Si se suman nmeros positi!os " negati!os& los positi!os suman " los

negati!os restan:

3 + (-#) + % + (-7)

'or un lado sumamos los nmeros positi!os: 3 + % = $

'or otro lado sumamos los nmeros negati!os: (-#) + (-7) = -11

ora el resultado positi!o suma " el negati!o resta:

$ - 11 = -3

*,mo a $ le podemos restar 11 'onemos como minuendo la ci.ra

ma"or (11) " como sustraendo la menor ($)& pero el resultado toma

c,mo signo el de la ci.ra ma"or (en este ejemplo toma el signo / - /

por0ue 11 es negati!o)

11 - $ = 3

'ero le ponemos el signo / - /& luego el resultado es /-3/


26/30

2.-Resta de nmeros enteros

na resta de nmeros enteros se puede resol!er como si se tratara de

una suma& pero con una particularidad:

El smolo de la resta le camia el signo a la ci.ra 0ue le sigue& por lo

0ue:

Si el nmero 0ue se resta es positi!o lo con!ierte en negati!o4

Si el nmero 0ue se resta es negati!o lo con!ierte en positi!o4

Vamos a !er a continuaci,n cuatro posiles casos:

a) un nmero positi!o le restamos otro nmero positi!o:

3 - 2

5o tratamos como si .uera una suma& pero a la ci.ra 0ue se resta (2) le

tenemos 0ue camiar el signo

= 3 + (-2)

'or un lado sumamos los nmeros positi!os: 3

'or otro lado sumamos los nmeros negati!os: (-2)


3 - 2 = 1

b) un nmero positi!o le restamos un nmero negati!o:

3 - (-#)


27/30

5o tratamos como si .uera una suma& pero a la ci.ra 0ue se resta (-#) le


= 3 + (#)

Se tratara "a de una suma normal:

= 3 + (#) = 7

c) un nmero negati!o le restamos otro nmero negati!o:

(-3) - (-#)

5o tratamos como si .uera una suma& pero a la ci.ra 0ue se resta (-#) le


= (-3) + (#)

'or un lado sumamos los nmeros positi!os: #

'or otro lado sumamos los nmeros negati!os: (-3)


# - 3 = 1

d) un nmero negati!o le restamos un nmero positi!o:

(-3) - #

5o tratamos como si .uera una suma& pero a la ci.ra 0ue se resta (#) le

tenemos 0ue camiar el signo (-#)

= (-3) + (-#)


28/30

Se tratara de una suma de dos nmeros negati!os4 Es una suma normal

pero el resultado tiene signo negati!o:

= (-3) + (-#) = -7

Ejercicio

14 6esuel!e las siguientes operaciones:

1 + % + (-2) + (-3) = 18

2 + (-2) + 1 + (-9) = -%8

% + $ + (-2) + (-1) = 18

$ + (-1) + ; + (-%) = 118

7 + 9 + (-$) + ; = 1#8

; + (-$) + ; + (-$) = 28

9 + ; + (-#) + (-1) = 18

% + 3 + (-7) + (-9) = -%8

# + (-1) + # + (-2) = %8

2 + (-;) + (-2) + $ = -18


29/30

"l c%!'u!t% *e l%s !/mer%s e!ter%ses el conjunto ue contiene a losn%meros cardinales y los enteros negativos, representados por la letramay%scula Z. "sto es,

Z5 JK -3 -2 -1 L 1 2 3 K

Reglas "ara e;ectuar %"eraci%!es c%! l%s !/mer%se!ter%sSuma(%sitiv% 4 (%sitiv% &e suman los valores absolutos y se mantiene el

mismo signo."jemplos/ 7 5 + 84I 4 88 + 82

+egativ% 4 +egativ% &e suman los valores absolutos y se mantiene elmismo signo."jemplos/ 380 32 + 38@I 30B 3 5 + 3 05

(%sitiv% 4 +egativ% % +egativ% 4 (%sitiv% &e halla la diferencia delos valores absolutos de los n%meros. "l resultado es "%sitiv%, si eln%mero positivo tiene el valor absoluto mayor. "l resultado es !egativ%,si el n%mero negativo tiene el valor absoluto mayor."jemplos/ 81 35 + @I 86 3 88 + 7I 384 5 + 37I 380 @ + 32I

1 -31 + B

Resta$uando se resta n%meros enteros, se cambia la operacin de resta a lasuma del opuesto. "l n%mero ue est siendo restado sellamasustrae!*%. "l sustraendo es el n%mero ue est despu!s del


30/30

signo de resta. "l signo de resta se reemplaza por el signo de suma y sebusca el opuesto del sustraendo. Luego de transformar el ejercicio deresta a suma, se procede con las reglas de suma de n%merosenteros. "sto es, si a y bson enteros, entonces, a b 5 a 4 6- b).

"jemplos/ 6 N 80 + 6 -380 + 31 7 N -380 + 7 80 + 0B 38 N -38B + 38 8B + 6 30B N 8B + 30B -38B + 31B

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Operaciones de Matematica