operaciones logicas combinacionales

Luis Tarazona, UNEXPO Barquisimeto EL-3213 Circuitos Digitales I - 2004 75

Tema III

Circuitos Digitales I

Funciones Lgicas Y MtodosDe Minimizacin


Funciones lgicas

Circuito combinacional: Un circuito cuya salida depende nicamente del

estado actual de sus entradas. Puedes dar ejemplos? Las salidas de un circuito combinacional pueden

expresarse matemticmante mediante funciones lgicas.

! Representacin de funciones lgicas: Mediante tablas de verdad Mediante expresiones algebraicas


Tablas de Verdad

Lnea X Y Z F0 0 0 0 F(0,0,0)1 0 0 1 F(0,0,1)2 0 1 0 F(0,1,0)3 0 1 1 F(0,1,1)4 1 0 0 F(1,0,0)5 1 0 1 F(1,0,1)6 1 1 0 F(1,1,0)7 1 1 1 F(1,1,1)

Estructura general de una tabla de verdad para una funcin lgica de 3

variables, F(X,Y,Z)

Lnea X Y Z F0 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 1 3 0 1 1 14 1 0 0 05 1 0 1 06 1 1 0 17 1 1 1 0

Tabla de verdad para una funcinlgica de 3 variables, F(X,Y,Z)


Representacin Algebraica

Definiciones:! Literal: Una variable binaria o su complemento.

Ej: X, Y, Y

! Trmino producto: Un literal simple o un producto lgico (AND) de dos o ms literales. Ej: X, XYZ, YZ

! Expresin de suma de productos: Suma lgica (OR) de trminos producto. Ej: XYZ + XYZ + XYZ


Definiciones...

! Trmino suma: Un literal simple o una suma lgica de dos o ms literales. Ej: X, X+Y+Z, Y+Z

! Expresin de producto de sumas: producto lgico de trminos suma. Ej: (X+Y+Z)( X+Y+Z)(X+Z)

! Trmino normal: Es un trmino producto o suma en el cual ninguna variable aparece ms de una vez. Ej: XYZ, X+Y


Definiciones...

! Minitrmino de n variables es un trmino producto normal con n literales

! Maxitrmino de n variables es un trmino suma normal con n literales

! Existen 2n mintrminos y maxtrminos en una funcin de n variables.

Lnea X Y Z F Mintrmino Maxtrmino 0 0 0 0 0 X.Y.Z X+Y+Z 1 0 0 1 0 X.Y.Z X+Y+Z 2 0 1 0 1 X.Y.Z X+Y+Z 3 0 1 1 1 X.Y.Z X+Y+Z 4 1 0 0 0 X.YZ X+Y+Z 5 1 0 1 0 X.Y.Z X+Y+Z 6 1 1 0 1 X.Y.Z X+Y+Z 7 1 1 1 0 X.Y.Z X+Y+Z


Definiciones...! Suma cannica: Es la suma de todos los mintrminos para

los cuales la funcin es 1. ! Producto cannico: Es el producto de todos los

maxtrminos para los cuales la funcin es 0.! De la tabla anterior:

)'''()''()'()'()(

)7,5,4,1,0(:canonico Producto

'''')6,3,2(:canonica Suma

,,

,,

ZYXZYXZYXZYXZYX

F

ZYXZYXZYXF

ZYX

ZYX

++++++++++

==

++==


Anlisis de Circuitos Combinacionales

Dado un circuito, obtener la descripcin formal de su funcin lgica. Luego es posible:

! Determinar el comportamiento del circuito para distintas combinaciones de entrada.

! Manipular la descripcin algebraica para obtener estructuras de circuito alternativas.

! Transformar la descripcin algebraica a una forma estndar que puedas ser programada en un dispositivode lgica programable (PLD)


Anlisis de circuitos Combinacionales

! Ej: Obtener todas las salidas de las compuertas para todas las posibles combinaciones de entrada


Expresiones lgicas para las lneas de seal

! Multiplicando:F = ((X + Y) Z) + (X Y Z)

= (X Z) + (Y Z) + (X Y Z)


Un circuito nuevo, la misma funcin

! Circuito AND OR de dos niveles:


Funcion lgica obtenida al sumar

CircuitoOR-AND:


Atajo: Sustitucin de smbolos (DeMorgan)


Circuito diferente, pero la misma funcin


Otro ejemplo (Wakerly)

G(W,X,Y,Z) = W X Y + Y Z


Sntesis de circuitos combinacionales

! Idea: obtener una funcin lgica (y luego su circuito lgico) a partir de una descripcin en palabras de un problema en el que intervienen variables de conmutacin (binarias).

! La descripcin normalmente incluye las conjunciones Y, O, NO (AND, OR , NOT) para relacionar las entradas.

! La descripcin tambin puede ser una lista de combinaciones de entrada y el valor de la salida correspondiente. Mediante una tabla, una suma cannica, o un producto cannico.

! La implementacin o realizacin de la funcin normalmente requiere un proceso de minimizacin o manipulacin para obtener la solucin ms adecuada.


Manipulaciones de circuitos

! Permiten transformar un circuito a otra forma ms adecuada

Ms rpida, que use los componentes disponibles.

! Generalmente circuitos de dos niveles:AND OROR ANDNAND NANDNOR NOR

! Uso de los smbolos equivalentes y de los teoremas de DeMorgan.


Ejemplos

1. Disee un circuito detector de nmeros primos de 4 bits. Las salida debe ser activa en alto.

2. Disee un circuito detector de nmeros primos en unaentrada BCD de un dgito, la salida debe ser activa en alto.

3. Disee un circuito que permita abrir electrnicamente la puerta de la habitacin de Mara si Mara inserta su llave o si Pap y Mam insertan sus llaves o si Pap y hermanita insertan sus llaves. Asuma que la puerta abre con un nivel BAJO y que cada llave genera un nivel alto cuando se inserta en la ranura correspondiente (la cerradura tiene unaranura para cada llave).


Simplificacin de funciones lgicas

! Es posible usar los axiomas y teoremas del lgebra de Boole estudiados anteriormente para simplificar expresiones lgicas y reducir la complejidad del circuito. Se reduce el tamao y el costo. Se reduce el nmero de conexiones Se reducen la posibilidad de falla?

! Tambin es posible transformar la expresin en una forma ms conveniente De acuerdo a la disponibilidad de dispositivos


Ejemplos de simplificacin

! Simplificar: F = XYZ + XYZ + XYZZ Y X

F

3/6 7404 3/3 74112/4 7432

Simular


Ms ejemplos para simplificar...

! Un misil nuclear se activa si al menos tres de cuatro llaves son insertadas. Asumiendo que cada llave insertada genera un 1 lgico, disee un circuito mnimo para activar el misil con un 1 lgico. Use componentes reales.

!

!

====

====

CBA

WZYX

F

F

,,

,,,

)6,4,0(

)13,8,7,2( Asuma que posee compuertas de 2

entradas solamente


Mapas de Karnaugh

! Es el mtodo ms fcil para simplificar expresiones lgicas de hasta seis variables.

! La tabla de verdad de una funcin de n variables se representa grficamente en un arreglo de 2n celdas.

! Cada celda representa un mintrmino.

31

20

5731

4620

101462

111573

91351

81240X

01

0 1XY

WX

00 01 11 10

01

ZY

00 01 11 10YZ

00

01

10

11

2 variables 4 variables3 variables


Uso de los mapas de Karnaugh para simplificar expresiones

! En un mapa de Karnaugh, cada celda difiere de sus vecinas en un solo una variable Un cambio de una variable de 1 a 0 Qu le recuerda sto?

! Para simplificar una suma cannica, se combinan celdas adyacentes 1 en el mapa y dado que dichas celdas difieren en solo una variable,stos pueden combinarse en un solo trmino producto Recordar que: XY + XY = X , en general: (Trmino)Y + (Trmino)Y = (Trmino)

! El nmero de celdas adyacentes debe ser mltiplo de dos


Regla para combinar celdas y formar el trmino producto simplificado

Un conjunto de 2i celdas 1 puede combinarse si existen i variables de la funcin lgica que tomen todas las 2i combinaciones posibles dentro de ese conjunto, minetras las restantes n i variables tienen el mismo valor en todo ese conjunto. El trmino producto correspondiente tiene n iliterales, donden una variable est complementada si aparece como cero en todas las celdas 1 y no complementada si aparece como 1.

Wakerly, J. F., Diseo Digital, Principios y Prcticas,pg 181 (2da edicin), pg 224 (3ra edicin).


Ejercicios de Mapas de Karnaugh

! Realizar la simplificacin de los ejemplos anteriores! Disear un circuito de cuatro entradas y una salida,

tal que la salida sea 1 siempre que en la entrada exista mayora de unos

! Simplificar:F=ABCD + BCD + ABCD + BCD

Si ABCD y ABCD son condiciones NO IMPORTA (Dont Care).

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