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Operaciones matematicas con arreglos
Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Topicos
1 Introduccion
2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision
3 Sistemas de ecuaciones
4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion
5 Ejemplos
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Topicos
1 Introduccion
2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision
3 Sistemas de ecuaciones
4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion
5 Ejemplos
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Objetivos de la clase
Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal
Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.
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Topicos
1 Introduccion
2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision
3 Sistemas de ecuaciones
4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion
5 Ejemplos
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Suma y resta
Suma
[A11 A12 A13A21 A22 A23
]+[
B11 B12 B13B21 B22 B23
]=[
A11 + B11 A12 + B12 A13 + B13A21 + B21 A22 + B22 A23 + B23
]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =
1 2 5 73 8 11 19
>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =
3 4 10 146 16 22 29
>> C=A+BC =
4 6 15 219 24 33 48
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Suma y resta
Suma
[A11 A12 A13A21 A22 A23
]+[
B11 B12 B13B21 B22 B23
]=[
A11 + B11 A12 + B12 A13 + B13A21 + B21 A22 + B22 A23 + B23
]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =
1 2 5 73 8 11 19
>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =
3 4 10 146 16 22 29
>> C=A+BC =
4 6 15 219 24 33 48
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Suma y resta
Resta
[A11 A12 A13A21 A22 A23
]−[
B11 B12 B13B21 B22 B23
]=[
A11 − B11 A12 − B12 A13 − B13A21 − B21 A22 − B22 A23 − B23
]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =
1 2 5 73 8 11 19
>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =
3 4 10 146 16 22 29
>> C=B−AC =
2 2 5 73 8 11 10
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Suma y resta
Resta
[A11 A12 A13A21 A22 A23
]−[
B11 B12 B13B21 B22 B23
]=[
A11 − B11 A12 − B12 A13 − B13A21 − B21 A22 − B22 A23 − B23
]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =
1 2 5 73 8 11 19
>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =
3 4 10 146 16 22 29
>> C=B−AC =
2 2 5 73 8 11 10
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Suma y resta
Suma y resta
>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =
1 2 5 73 8 11 19
>> D = 5+AD =
6 7 10 128 13 16 24
>> C = A−2C =
−1 0 3 51 6 9 17
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Multiplicacion
[A11 A12A21 A22
]∗[
B11 B12B21 B22
]=[
A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22
]>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =
1 4 25 7 39 1 64 2 8
>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =
6 12 57 3
>> C = A*BC =
28 2765 4998 3284 38
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Multiplicacion
[A11 A12A21 A22
]∗[
B11 B12B21 B22
]=[
A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22
]>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =
1 4 25 7 39 1 64 2 8
>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =
6 12 57 3
>> C = A*BC =
28 2765 4998 3284 38
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Multiplicacion
>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =
1 4 25 7 39 1 64 2 8
>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =
6 12 57 3
>> C = B*A??? Er ro r using ==> mtimesInner mat r i x dimensions must agree .
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Multiplicacion
>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =
1 4 25 7 39 1 64 2 8
>> C = 2*AC =
2 8 410 14 618 2 12
8 4 16
>> C = A*2C =
2 8 410 14 618 2 12
8 4 16
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Exponenciacion
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> C = A*AC =
48 36 3836 80 3462 98 65
>> C = Aˆ2C =
48 36 3836 80 3462 98 65
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Division
A =[
4 −2 62 8 26 10 3
], b =
[840
]Division izquierda
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ]b =
840
>> c = A\bc =−1.8049
0.29272.6341
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Division
Calculando inversa
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3 ] ;
>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ] ;
>> c = A\bc =−1.8049
0.29272.6341
>> c = inv (A ) * bc =−1.8049
0.29272.6341
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Division
A =[
4 2 6−2 8 26 2 3
], b = [ 8 4 0 ]
Division derecha
>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3]A =
4 2 6−2 8 10
6 2 3>> b =[8 4 0]b =
8 4 0>> c = b /Ac =−1.8049 0.2927 2.6341
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Division
Calculando inversa
>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3 ] ;
>> b =[8 4 0 ] ;
>> c = b /Ac =−1.8049 0.2927 2.6341
>> c = b* inv (A)c =−1.8049 0.2927 2.6341
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Topicos
1 Introduccion
2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision
3 Sistemas de ecuaciones
4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion
5 Ejemplos
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
[4 −2 62 8 26 10 3
] [xyz
]=[
840
]Division izquierda
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ]b =
840
>> x = A\bx =−1.8049
0.29272.6341
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Calculando inversa
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3 ] ;
>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ] ;
>> x = A\bx =−1.8049
0.29272.6341
>> x = inv (A ) * bx =−1.8049
0.29272.6341
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
[ x y z ][
4 2 6−2 8 26 2 3
]= [ 8 4 0 ]
Division derecha
>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3]A =
4 2 6−2 8 10
6 2 3>> b =[8 4 0]b =
8 4 0>> x = b /Ax =−1.8049 0.2927 2.6341
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Calculando inversa
>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3 ] ;
>> b =[8 4 0 ] ;
>> x = b /Ax =−1.8049 0.2927 2.6341
>> x = b* inv (A)x =−1.8049 0.2927 2.6341
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Topicos
1 Introduccion
2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision
3 Sistemas de ecuaciones
4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion
5 Ejemplos
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Multiplicacion
Multiplicacion elemento por elemento
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =
2 3 −15 8 1
11 3 4>> C = A . * BC =
8 −6 −610 64 266 30 12
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Division derecha
Division derecha elemento por elemento
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =
2 3 −15 8 1
11 3 4>> C = A . / Bc =
2.0000 −0.6667 −6.00000.4000 1.0000 2.00000.5455 3.3333 0.7500
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Division izquierda
Division izquierda elemento por elemento
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =
2 3 −15 8 1
11 3 4>> C = A.\BC =
0.5000 −1.5000 −0.16672.5000 1.0000 0.50001.8333 0.3000 1.3333
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Exponenciacion
Exponenciacion por elemento
>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =
4 −2 62 8 26 10 3
>> C = A. ˆ 2C =
16 4 364 64 4
36 100 9
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Topicos
1 Introduccion
2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision
3 Sistemas de ecuaciones
4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion
5 Ejemplos
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Ejemplo 1
Cree las siguientes matrices:
A =
5 8 71 4 36 −2 1
B =
−3 1 84 7 2−5 3 6
a) Calcule A + B
b) Calcule A−B
c) Calcule A ∗Bd) Calcule AB
e) Calcule A−1 ∗B
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Ejemplo 2
El circuito electrico esta formado por distintas resistencias y fuentesde alimentacion. Determinar la intensidad de corriente que pasa porcada resistencia utilizando para ellos las leyes de Kirchhoff para lasolucion de circuitos resistivos. Los datos son:
V 1 = 20, V, V2 = 12 V, V3 = 40 VR1 = 18 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 16 ΩR4 = 6 Ω, R5 = 15 Ω, R6 = 8 Ω
R7 = 12 Ω, R8 = 14 Ω,
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Ejemplo 2
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Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones
V1 −R1i1 −R3 (i1 − i3) −R2 (i1 − i2) = 0−R5i2 −R2 (i2 − i1) −R4 (i2 − i3) −R7 (i2 − i4) = 0−V2 −R6 (i3 − i4) −R4 (i3 − i2) −R3 (i3 − i1) = 0
V3 −R8i4 −R7 (i4 − i2) −R6 (i4 − i3) = 0
Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones
V1 − i1 (R1 + R2 + R3) + i2R2 + i3R3 = 0i1R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7) + i3R4 + i4R7 = 0−V2 + i1R3 + i2R4 − i3 (R3 + R4 + R6) + i4R6 = 0
V3 + i2R7 + i3R6 − i4 (R6 + R7 + R8) = 0
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Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones
V1 −R1i1 −R3 (i1 − i3) −R2 (i1 − i2) = 0−R5i2 −R2 (i2 − i1) −R4 (i2 − i3) −R7 (i2 − i4) = 0−V2 −R6 (i3 − i4) −R4 (i3 − i2) −R3 (i3 − i1) = 0
V3 −R8i4 −R7 (i4 − i2) −R6 (i4 − i3) = 0
Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones
V1 − i1 (R1 + R2 + R3) + i2R2 + i3R3 = 0i1R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7) + i3R4 + i4R7 = 0−V2 + i1R3 + i2R4 − i3 (R3 + R4 + R6) + i4R6 = 0
V3 + i2R7 + i3R6 − i4 (R6 + R7 + R8) = 0
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Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones
A i = b
donde,
Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones
A =
[− (R1 + R2 + R3) R2 R3 0
R2 − (R2 + R4 + R5 + R7) R4 R7R3 R4 − (R3 + R4 + R6) R60 R7 R6 − (R6 + R7 + R8)
]
b =
[−V1
0V2
−V3
], i =
[i1i2i3i4
]
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Ejemplo 2
>> V1=20;V2=12;V3=40;>> R1=18; R2=10; R3=16; R4=6;>> R5=15; R6=8; R7=12; R8=14;>> A=[−(R1+R2+R3) R2 R3 0;R2 −(R2+R4+R5+R7) R4 R7 ;R3 R4 −(R3+R4+R6) R6 ;0 R7 R6 −(R6+R7+R8 ) ]A =−44 10 16 0
10 −43 6 1216 6 −30 8
0 12 8 −34>> b = [−V1 ; 0 ; V2;−V3 ]b =−20
012−40
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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos
Ejemplo 2
>> i =A\bi =
0.84110.72060.61271.5750