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OPERACIONES
UNITARIAS I
Ing. Alicia Pérez Olivares.
1
BREVE DESCRIPCIÓN DEL CURSO:
Asignatura conducente a entregar a los alumnos los conocimientos y
fundamentos de la operaciones unitarias que se observan en las
industrias, su modelamiento, control y diseño de equipamiento.
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA:
Al finalizar la asignatura, el alumno estará en condiciones de conocer y
comprender los principios y fundamentos de las operaciones unitarias
industriales, considerando los fenómenos de transporte de fluidos,
transferencia de calor y balances de materia y energía, en sistemas con y
sin cambios químicos.
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN:
Por definir. 2
UNIDADES:
1.- Escurrimiento de fluidos.
2.-Transferencia de calor.
3. Transporte y mezclado de sólidos.
4.- Balances de Materia y Energía en sistemas de procesos
5.- Sistemas Reaccionantes
BIBLIOGRAFIA:
•Mecánica de fluidos / / Frank M. White ; México : : McGraw-Hill,, 1988.
•Operaciones unitarias en ingeniería química / Warren L. McCabe, Julian
C. Smith, Peter Harriott ; Madrid : McGraw-Hill, 1991.
•Procesos de transporte y operaciones unitarias / / Christie J. Geankoplis ;
México : Continental,, 1998.
•Termodinámica técnica fundamental / M. W. Zemansky, H. C. VanNess ;
Madrid : Aguilar, 1972
3
MÓDULO I
ESCURRIMIENTO DE FLUIDOS
4
1.- Principios Básicos
¿Qué es un Fluido?
Cuando se observa algo que tiene la capacidad de moverse en cualquier
medio sin conservar su forma original, entonces puede llamarse fluido.
Estado de la materia que no tiene volumen definido debido a su poca
cohesión intermolecular, por lo tanto este se adapta a la forma del
recipiente que lo contiene, y además son poco resistibles a fuerzas
tangenciales o cortantes, es decir cualquier fuerza grande o pequeña que
se le aplique a un fluido, este enseguida se pondrá en movimiento.
De los estados de la materia se consideran fluidos los líquidos y los gases.
5
Propiedades de los fluidos
Los fluidos poseen propiedades que los definen, como presión (P),
temperatura (T), densidad (ρ), volumen (V), peso (P) viscosidad (µ) etc.
Los valores de las propiedades son los que definen en que estado se
encuentra un sistema.
Propiedades Intensivas y Extensivas
Intensivas: Son funciones de masa Ej.: Volumen, Peso.
Extensivas: Son funciones de punto, independiente de la masa. Ej.:
Presión, Temperatura.
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Densidad
La densidad de un cuerpo es la relación que existe entre la masa del
mismo dividida por su unidad de volumen.
Densidad (ρ) = masa / volumen
Unidades
S.I: [Kg/m3 ]
Densidad del Agua: a 1 [atm]
ρH2O= 1[g/cm3] = 1000 [Kg/m3] T: 4ºC
ρH2O= 1000 – (T-4)/180 [Kg/m3] T: ºC, Para cualquier temperatura
7
Densidad del Mercurio: ρ Hg= 13.600 [Kg/m3]
Densidad del Aire: ρ aire = 1,293 [Kg/m3]
8
Densidad Relativa
La densidad relativa de un cuerpo es un número adimensional establecido
por la relación entre el peso de un cuerpo y el peso de un volumen igual
de una sustancia que se toma como referencia.
D.R= ρ Sustancia / ρ H2O (estándar) Líquidos
D.R= ρ Sustancia / ρ aire (estándar) Gases
9
Peso Específico
El peso específico de una sustancia se puede definir como la relación
entre el peso de la sustancia por su unidad de volumen.
Peso específico (γ) = peso / volumen [N/m3]
(γ)= P/ V = m * g / V = ρ* g
g = aceleración de la gravedad = 9.81 [m/s2]
10
En el Sistema Técnico se mide en kilogramos–fuerza por metro cúbico:
[Kgf/m3]
Como el kilogramo fuerza representa el peso de un kilogramo en la
Tierra, el valor numérico de esta magnitud, expresada en [Kgf/m3], es el
mismo que el de la densidad, expresada en [Kg/m3].
11
Problema 1
Si la densidad de un líquido es de 835 [Kg/m3], determinar su peso
específico y su densidad relativa.
(γ)= ρ* g = 835 [Kg/m3] * 9.81 [m/s2] = 8191,35 [N/m3]
1 N = [Kg*m/s2] (Newton)
D.R= ρ Sustancia / ρ H2O (estándar) = 835 [Kg/m3] / 1000 [Kg/m3] = 0,835
12
Tensión Superficial
Indica la cantidad de trabajo que debe realizarse para llevar una molécula
del interior de un líquido hasta la superficie.
Capilaridad
Se define como la capacidad que tiene una columna de un líquido para
ascender y descender en un medio poroso. La capilaridad está
influenciada por la tensión superficial y depende de las magnitudes
relativas entre las fuerzas de cohesión, las fuerzas de adhesión del líquido
y las paredes del medio.
Cuando se trabaja en medios porosos con diámetros menores de 10 mm,
es importante a considerar.
13
2.- Gases ideales
Se dice que una sustancia en estado gaseoso se comporta como un gas
ideal cuando obedece con exactitud a las leyes de los gases que se
detallan a continuación:
Ley de Boyle
A temperatura constante, el volumen (V) que ocupa una masa definida de
gas es inversamente proporcional a la presión aplicada (P).
V α 1/P → V* P =Cte
Cantidad de Gas (n) y Temperatura
constante.
P1*V1=P2*V2
14
Ley de Charles
A presión constante, el volumen (V) que ocupa una masa dada de gas es
directamente proporcional a su temperatura absoluta (T).
VαT → V= cte * T (n,P ctes)
V1 / T1 = V2 / T2
Las temperaturas han de
expresarse en Kelvin
15
Ley de Gay-Lussac
Establece la relación entre la temperatura y la presión de un gas cuando
el volumen es constante.
Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más
rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las
paredes, es decir aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes
fijas y su volumen no puede cambiar.
Gay-Lussac descubrió que, en cualquier momento de este proceso, el
cociente entre la presión y la temperatura siempre tenía el mismo valor:
P / T = cte
P1 / T1 = P2 / T2
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Ley de Avogadro
A la misma temperatura y presión, volúmenes iguales de gases contienen
el mismo número de moléculas (n: Nº de moles)
Vα n → V=Cte* n (P,T ctes)
V1 / n1 = V2 / n2
A partir de combinar estas leyes de los gases ideales, se
obtiene la ecuación de los gases ideales.
17
Ley de los Gases Ideales
La ley de los gases ideales es la ecuación de estado del gas ideal, un gas
hipotético formado por partículas puntuales, sin atracción ni repulsión entre
ellas y cuyos choques son perfectamente elásticos (conservación de
momento y energía cinética).
La ecuación que describe normalmente la relación entre la presión, el
volumen, la temperatura y la cantidad (en moles) de un gas ideal es:
P*V= n*R*T
V=n *Ѵ P* Ѵ=R*T Ѵ=1 / ρ P / ρ = R*T ρ=P / (R*T)
Donde:
P = Presión absoluta (medida en atmósferas) [atm]
V = Volumen [L]
n = Moles de Gas [mol]
R = Constante universal de los gases ideales (R = 0,082 atm·L/(mol·K))
T = Temperatura absoluta [K] TºK= TºC + 273,15 ºC
Ѵ= Volumen específico molar [m3/Kg*mol]
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Procedimiento alternativo
En caso de que la cantidad de sustancia fuese dada en masa en lugar de
moles, a veces es útil una forma alternativa de la ley.
El número de moles (n) es igual a la masa (m) dividido por la masa molar
(M)
n= m /M
Donde queda
P* V= m*R*T / M -> P= m*R*T / (V* M)
m/V = ρ -> P= ρ*R*T / M
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Problema 2
Un gas con peso molecular 44 [g/mol] esta a una presión de 0,9 [MPa] y a
una temperatura de 20[º C]. Determine su densidad.
Se tiene
M= 44 [g/mol] ; P= 0,9 [MPa] ; T = 20 [º C] ; ρ = x
P*V= n*R*T ; n= m /M ; Remplazando
P*V = (m/M) *R*T
P= m *R*T / (V*M) en donde m/V = ρ , remplazando
ρ = P*M / R*T
Observación: P en [atm] por lo tanto 0,9 [MPa] = x [atm]
1 [atm] = 100 [KPa] → 0,9 [MPa] = 9 [atm]
20
Desarrollo:
ρ = P*M / R*T
ρ = 9 [atm] * 44 [g/mol] / (0,082 [atm·L/(mol·K)]* (273+20) [K])
ρ = 16,48 [g/L] = 16,48 [Kg/m3]
21
Observación :
La ecuación de los gases ideales nos permite calcular una de las
variables del gas (P,V,T ó n) a partir de conocer las tres restantes.
Cuando un gas sufre una trasformación sus variables P, V ó T, y siempre y
cuando se mantenga la misma cantidad de gas (n), existe una ecuación
resultante de la ecuación de los gases ideales que permite relacionar las
variables del gas ( P, V y T) del estado inicial y final de la trasformación.
P1*V1 / T1 = P2*V2 / T2
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3.- Estática de Fluidos
La estática de fluidos es el estudio de fluidos en los que no hay
movimiento relativo entre sus partículas. Si no hay movimiento relativo, no
existen esfuerzos cortantes, el único esfuerzo que existe es un esfuerzo
normal, la presión, por lo que ésta es de primordial importancia en la
estática de fluidos.
Concepto de Presión
La presión promedio se calcula al dividir la fuerza normal que empuja
contra un área plana entre dicha área.
P= F/A S.I se mide [N/m2] = [Pa]
Patm = = 1 [atm] = 1,013* 105 [Pa] ≈ 100 KPa
23
De manera particular la presión puede expresarse como presión
manométrica y presión absoluta. Estos conceptos de la presión se
encuentran referidos a un nivel de presión determinado (nivel de
referencia de la presión), que en el caso de la presión absoluta es cero,
que es la mínima presión alcanzable cuando se tiene el vacio absoluto.
Las presiones manométricas se encuentran referidas a la presión
atmosférica.
Pman = Pabs - Patm (para presiones superiores a la Patm)
Pvac = Patm – Pabs (para presiones inferiores a la Patm)
Donde
Pman= Presión manométrica
Pvac= Presión de vacío
Pabs= Presión absoluta
Patm= Presión atmosférica
24
Fluidos Compresibles e Incompresibles
Llamaremos fluido compresible a aquel cuya densidad en un recipiente
depende de la profundidad a que nos encontremos.
Fluido incompresible es aquel cuya densidad es constante,
independiente de la profundidad. (H2O prácticamente incompresible)
Los gases son en general muy compresibles, en cambio, la mayoría de los
líquidos tienen una compresibilidad muy baja. Por ejemplo, una presión de
500 kPa provoca un cambio de densidad en el agua a temperatura
ambiente de solamente 0.024%, en cambio esta misma presión aplicada al
aire provoca un cambio de densidad de 250%. Por esto normalmente al
estudio de los flujos compresibles se le conoce como dinámica de gases
25
Clasificación
Los flujos compresibles pueden ser clasificados de varias maneras, la más
común usa el número de Mach (M) como parámetro para clasificarlo.
M = V/a
Donde V es la velocidad del flujo y a es la velocidad del sonido en el
fluido.
Prácticamente incompresible: M < 0.3 en cualquier parte del flujo. Las
variaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser
despreciadas. El gas es compresible pero la densidad puede ser
considerada constante.
Flujo subsónico: M > 0.3 en alguna parte del flujo pero no excede 1 en
ninguna parte. No hay ondas de choque en el flujo.
26
Flujo transónico: 0.8 ≤ M ≤ 1.2. Hay ondas de choque que conducen a
un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas
de hipersónicas dentro del flujo. Debido a que normalmente no se pueden
distinguir las partes viscosas y no viscosas este flujo es difícil de analizar.
Flujo supersónico: 1.2 < M ≤ 5. Normalmente hay ondas de choque pero
ya no hay regiones subsónicas. El análisis de este flujo es menos
complicado.
Flujo hipersónico: M > 5. Los flujos a velocidades muy grandes causan
un calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la
frontera del flujo, causando disociación de moléculas y otros efectos
químicos.
27
Variación de la presión con la altura en un fluido
incompresible.
En un fluido cualquiera en reposo, la presión depende de la profundidad.
Esta variación de presión se debe a la fuerza gravitatoria que
experimentan las partículas del fluido, o dicho de otra manera, al peso del
que se encuentra por encima.
La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un
líquido viene dada por:
P2 –P1 = γ (h2-h1)
[N/m2] ó [Kg/m2]
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Donde
P= Presión [Pa]
γ= Peso especifico [N/m3] ó [Kg/m3]
h= altura [m]
P2 –P1 = γ (h2-h1) -> P2 –P1 = ρ*g (h2-h1)
Puntos importantes como consecuencia
•Dos puntos del fluido a la misma profundidad tienen la misma presión.
•La presión NO depende de la forma del recipiente.
29
Problema 3
Un dispositivo de exploración de las profundidades del mar tiene una
ventana de área 0,10 [m2]. ¿Qué fuerza es ejercida sobre ella por el agua
de mar (densidad 1.030 [Kg/m3]) a la profundidad de 5.000 [m]?
30
Datos:
Área= 0,1 [m2]
ρ= 1.030 [Kg/m3]
Δh = 5.000 [m]
Patm = 100 KPa
F2= x
Desarrollo
P=F/A → P2 = F2 / A2 F2 = A2 * P2
P2 –P1 = ρ*g (h2-h1) P2 –Patm = ρ*g* Δh
P2= ρ*g* Δh + Patm
31
P2 = 1.030 [Kg/m3] * 9,8 [m/s2]* 5.000 [m] + 100.000 [Pa] 1[Pa] = [N/m2]
P2 = 50.470.000 [Kg/m*s2] + 100.000 [Kg/m*s2]
P2 = 50.570.000 [Kg/m*s2]
F2 = A2 * P2
F2 = 0,1 [m2] * 50.570.000 [Kg/m*s2]
F2 = 5.057.000 [N] = 5,05*106 [N]
32
Variación de la presión con la altura en un flujo
compresible
A partir de:
Si el fluido es un gas ideal en reposo a temperatura constante, se tiene
P / ρ = P0 / ρ0
Ecuación para la variación de presión en un gas isotérmico en función de
la elevación.
P= P0 * exp [ - (z – zo) / (Po/ g*ρo) ]
P = P0 * exp-(z– zo)g/RT
Valores para la Estratosfera, en donde se supone una Tº constante.
33
Ecuación para la variación de presión de un gas al
presentarse gradiente de temperatura.
Se tiene:
La temperatura (T) a una altura z está dada por:
T = T0 – α * (z – z0)
Donde T0 es la temperatura a un nivel de referencia z0.
La presión (P) a una altura z está dada por:
P = P0*[(T0 – α *(z – z0))/T0]g/α*R
Donde P0 es una presión conocida a una altura z0 a una temperatura T0 y α
es un gradiente de temperatura.
Ecuación de valores para la Troposfera donde existe variación de
temperatura.
34
Problema 4
Suponiendo que prevalecen las condiciones isotérmicas en la atmósfera,
calcúlese la presión y densidad de una elevación de 2.000 [m] si P= 105
[Pa] abs y ρ = 1,24 [Kg/m3] al nivel del mar.
Datos
P= x ; ρ = x ; z = 2.000 [m] ; Po = 105 [Pa] abs ; ρo = 1,24 [Kg/m3] ;
zo= 0 [m]
Se tiene
P= P0 * exp [ - (z – zo) / (Po/ g*ρo) ] ; P / ρ = P0 / ρ0
[ - (z – zo) / (Po/ g*ρo) ] = [ - (2.000 [m] - 0 [m]) / (105 [Pa]/ 9,8 [m/s2] * 1,24
[Kg/m3] ) ]
= [ - 0,24304 ]
exp (- 0,24304) = 0,78424
35
P= P0 * 0,78424 = 105 [Pa] * 0,78424
P = 78424,0 [Pa]
P = 78,42 [KPa]
ρ = P* ρ0 / Po = 78424,0 [Pa] * 1,24 [Kg/m3] / 105 [Pa]
ρ = 0,972 [Kg/m3]
36
Manometría
Es la medición de presiones (o diferencia de presiones) por medio de los
desplazamientos de las columnas fluidas.
Los manómetros son tubos adaptados a depósitos, tuberías o canales con
el propósito de medir presiones (fluidos en reposo o en movimiento).
Tubos piezómetros
Los piezómetros son dispositivos elementales para medir la presión.
Consiste en un simple tubo el cual se conecta por un extremo inferior al
recipiente que contiene el líquido cuya presión se desea conocer.
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El liquido en el recipiente llena
parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto
nivel B. La presión absoluta en A se reduce
a la suma de columnas de presión sobre el
plano horizontal que pasa por el punto A:
PA = Po + γ * h
En esta expresión γ es el peso específico
del líquido y Po la presión atmosférica.
La presión relativa es entonces:
PRA = γ* h → h= PRA / γ
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Para el caso en que la presión del líquido en el recipiente es menor que la
atmosférica, el tubo piezómetro deberá disponerse en la siguiente forma:
La presión en A se calcula así:
Pc =Patm
Pc’=PA’ + γ*h’
Como c y c’ pertenecen al mismo plano se debe
satisfacer que Pc = Pc’ resultando entonces
PA’ = Patm + γ*h’
Una vez determinada la presión en A’ se puede deducir la presión en otro
punto del recipiente.
Este dispositivo solo es aplicable para medición de bajas presiones, de lo
contrario seria necesario disponer de tubos demasiado largos.
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Manómetros
Para medir presiones altas se emplean manómetros con líquidos de peso
específico elevado a fin de evitar que la columna manométrica alcance
una exagerada altura.
Manómetros abiertos
Presiones mayores que la atmosférica
Sea el recipiente o tubo mostrado en la figura, lleno con un líquido
sometido a presión, al cual se ha conectado un manómetro de mercurio.
La columna de mercurio ocupa la zona BCD del tubo y actúa sobre su
extremo D de la presión atmosférica.
40
La presión en A, objeto de la medición,
se obtiene estableciendo la presión en
B y C.
PB= PA + γ* h1
Pc= Patm + γ Hg* h
Como PB = Pc (están en el mismo plano horizontal)
PA + γ* h1= Patm + γ Hg* h
PA = Patm + γ Hg* h - γ* h1
Siendo γ el peso especifico del líquido del recipiente que llena
parcialmente el tubo manométrico entre A y B.
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Presiones menores que la atmosférica
Pc =γ * h1 + PA + γ Hg* h
PD= Patm
Pc= PD
PA = Patm - γ Hg* h - γ * h1
42
Manómetros diferenciales
Están destinados, como lo indica su nombre, a determinar diferencias de
presión.
Para establecer la diferencia de presiones que hay entre A y E, se
procede en forma similar a la seguida en los casos anteriores.
Un procedimiento simplificado sigue los siguientes pasos:
•Comenzando con un extremo, anotar la presión en ese punto
empleando unidades adecuadas.
•Utilizando las mismas unidades, se suma a este valor el cambio de
presión que se entrega de un menisco al siguiente (positivo si el segundo
menisco se encuentra a menor elevación, negativo si se trata de una
elevación mayor).
•Proceder de esta manera hasta alcanzar el otro extremo del manómetro
e igualar la expresión obtenida a la presión en éste ultimo punto, se
conozca o no.
•Despejar la presión o la diferencia de presiones desconocida de la
ecuación así obtenida.
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Para el caso del manómetro de la figura se
tendrá que:
PA+ γ1*h1 + γm*h2-γ2*h3 = PE
La diferencia de presiones en columna de
agua resulta
PA - PE / γH20 = ( γ2*h3 - γ1*h1 - γm*h2 ) / γH20 =
S2* h2 – S1* h1 – Sm* h2
Siendo
S1 Gravedad especifica del líquido en el
recipiente A.
S2 Gravedad especifica del líquido en el
recipiente E.
Sm Gravedad especifica del líquido
manométrico.
44
Manómetro diferencial compuesto
Cuando la diferencia de presión es apreciable se puede usar un
manómetro con diferentes líquidos, como se muestra en la figura.
Para calcular de presión PA - PB se puede mostrar que
PA + γ1*H1 - γM1*h2 + γM2*h3 - γM3*h4 – γ2*h5 = PB
PA – PB = γM1*h2 + γM3*h4 + γ2*h5 - γ1*H1 - γM2*h3
PA –PE / γH20 = Sm1* h1 + Sm3*h4 + S2*h5 - S1*h1 – Sm2*h3
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EJERCICIOS
46
1.- Una cantidad de gas ocupa un volumen de 80 cm3 a una presión de
750 mm Hg. ¿Qué volumen ocupará a una presión de 1,2 atm.si la
temperatura no cambia?
2.- El volumen inicial de una cierta cantidad de gas es de 200 cm3 a la
temperatura de 20ºC. Calcula el volumen a 90ºC si la presión permanece
constante.
3.- Una cierta cantidad de gas se encuentra a la presión de 790 mm Hg
cuando la temperatura es de 25ºC. Calcula la presión que alcanzará si la
temperatura sube hasta los 200ºC.
47
5.- Las sales de nitatrato (NO3-) al calentarse producen nitritos (NO2-) y
oxígeno (O2), una muestra de nitrato de potasio se calienta de manera que
el gas O2 producido se recolecta en un matraz de 750 mL. La presión de
este gas en el matraz es de 2,8 atmósferas y la temperatura medida es de
53,6 °C. ¿Cuántas moles de O2 se han producido?
4.-Se tiene una masa de oxigeno, que ocupa un volumen de 200 [L] a la
temperatura de 97 ºC y presion de 100,8 [KPa], se requiere saber a que Tº
ocupara un volumen de 150 litros si la presion es de 103, [KPa]
48
5.- Cual es la presión a 1 m a 10 m de profundidad desde la superficie
del mar ? Suponga que la ρ = 1,03 * 10^3 Kg/m3 como densidad y que
la presión atmosférica en la superficie es de 10^5 Pa. Suponga además
que a este nivel de presión la densidad no varia con la profundidad.
6.- Un experimentador desea determinar la densidad de una muestra de
aceite que ha extraído de una planta. A un tubo de vidrio en Y abierto en
ambos extremos llena un poco de agua con colorante (para la visibilidad).
Después vierte sobre el agua una pequeña cantidad de la muestra de
aceite en un lado del tubo y mide las alturas h1 y h2. Según como se
muestra en la figura. ¿Cual es la densidad del aceite en términos de la
densidad del agua y de h1 y de h2?
49
Presión sobre un punto de un fluido
La presión sobre un punto totalmente sumergido en un fluido en reposo es
igual en todas direcciones. Para demostrar esto consideremos un pequeño
prisma triangular como se muestra en la figura. Debido a que la cuña esta
en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas que existen son
perpendiculares a las superficies.
Los valores de presiones promedio
sobre cada una de las tres superficies
son P1,P2 y P3, en la dirección z las
fuerzas son iguales y opuestas y se
cancelan mutuamente
50
Haciendo la sumatoria de fuerza obtenemos
También
51
Cuando el prisma triangular se aproxima a un punto
dy →0, y las presiones promedio se hacen uniformes, esto es la presión
para un “punto”
P1=P3
Por lo tanto finalmente
P1=P2=P3
52
Principio de Pascal
Al aplicar una presión extra en un punto de un fluido en reposo, el
aumento de presión se trasmite por igual a todos los puntos del fluido.
Este principio tiene numerosas aplicaciones, especialmente en el caso de
los líquidos, ya que por ser estos prácticamente incompresibles se les
puede utilizar como multiplicadores o reductores de fuerza. Esto se
consigue variando la superficie contra la cual se transmite la presión, y
proporcionalmente a la fuerza que se desea obtener.
Modelo básico de prensa hidráulica.
53
Se tiene
P1 = F1 / A1 P2 = F2 / A2 ʌ P1 = P2
Entonces:
F1 / F2 = A1 / A2
54
Principio de Arquímedes
Este principio sostiene que todo cuerpo parcial o completamente
sumergido en un líquido experimenta una fuerza de empuje cuyo valor
equivale al peso del líquido desalojado por él.
Para comprobar éste principio, considere una porción pequeña de agua en
un recipiente como se muestra en la figura.
55
El agua sobre ésta porción actúa hacia abajo,
al igual que su peso. El agua bajo la porción
empuja hacia arriba. Puesto que la porción de
agua está en equilibrio, la fuerza hacia arriba
equilibra las fuerzas hacia abajo.
F1 + P = F2
La fuerza neta hacia arriba debido al fluido se
llama fuerza de Empuje, así
FE = F2 – F1 = P
Aquí P es el peso del fluido desplazado por el
objeto.
56
Si la porción de agua de peso P es substituido por un objeto de la misma
forma y tamaño, este objeto también sentiría la fuerza de empuje hacia
arriba.
F = P
O sea que la fuerza de empuje FE es FE = ρ*g*V, donde ρ es la densidad
del fluido, y V es el volumen del cuerpo sumergido.
Si el peso del objeto es mayor que P (el peso del fluido desplazado), el
objeto se hundirá. Si el peso del objeto es menor que el peso del agua
desplazada cuando se sumerge totalmente, experimentara una fuerza
neta hacia arriba y flotará a la superficie.
57
Centro de empuje
Es el punto a través del cual actúan las fuerzas de empuje, y está en el
centro de gravedad del volumen del líquido desplazado. Si el cuerpo es
homogéneo y esta totalmente sumergido, su centro de gravedad coincide
con el centro de empuje.
Equilibrio rotacional de objetos flotantes
Un cuerpo tiene estabilidad vertical cuando un pequeño desplazamiento
vertical en cualquier sentido origina fuerzas restauradoras que tienden a
volver al cuerpo a su posición original y tiene estabilidad rotacional cuando
al aplicar un pequeño desplazamiento angular se origina un par
restaurador. En la figura se muestran los diversos casos de equilibrio que
se presentan.
58
Estable: Ocurre cuando el centro de gravedad del cuerpo está por debajo
del centro de empuje, para una pequeña rotación el par de fuerzas hará
retornar al cuerpo a su posición inicial.
Inestable: Ocurre cuando el centro de gravedad del cuerpo está por
encima del centro de empuje para una pequeña rotación el par de fuerzas
tenderá a hacer rotar el cuerpo hacia una nueva posición de equilibrio.
Indiferente: Ocurre para cilindro recto horizontal y esfera, ya que su peso
y fuerza de empuje son siempre colineales al aplicarle cualquier rotación.
59
Fuerzas sobre superficies planas sumergidas
Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su
superficie superior, si ésta esta bajo la presión de un liquido mientras que
por el otro lado no tiene presión aplicada.
Cp: centro de presión
Cg: centroide
x̅, y̅ : coordenadas del centroide de la placa.
x', y’ :coordenadas del centro de presión de
la placa.
y: coordenada del elemento diferencial de
presión
θ: ángulo de la placa con el eje vertical
h: altura desde la superficie libre al elemento
diferencial
FR: fuerza resultante
60
Sabemos que la fuerza hidrostática actúa perpendicularmente a cualquier
superficie en el fluido.
dF = PdA
La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada
elemento diferencial:
FR =
Para ello se debe tomar en cuenta que la relación entre la presión y la
altura viene dada por:
P = P0 + = P0 + ρgh = P0 + γh
Si se usan presiones manométricas, en general P0 es cero, luego:
P= γh
61
Y como la geometría de la placa se expresa en función de x e y, h se
puede expresar como:
h = y senθ
En este caso la ecuación de la fuerza será:
La distancia al centroide se define como:
Por lo tanto la fuerza se puede expresar como
FR = γ senθ y̅ A = γ h̅ A
Donde h̅ es la distancia vertical desde la superficie hasta el centroide del
área.
62
Centro de presión
El punto de aplicación de la fuerza debe ser tal que el momento de dicha
fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de la fuerza
distribuida respecto al mismo eje. Si llamamos a las coordenadas del
punto de aplicación de la fuerza resultante de x’, y’.
El valor de la coordenada y’ se puede obtener igualando momentos
alrededor del eje x, siendo éste horizontal:
Luego la coordenada y’ será:
63
Donde el momento de inercia del área A se define como:
Este momento de inercia se pude determinar a partir del momento de
inercia respecto al centroide con la ayuda del teorema de transferencia de
ejes paralelos:
IX = I̅ + Ay̅ ²
Sustituyendo estos valores en la ecuación para la coordenada y’
obtenemos:
y' = I ̅ + Ay̅ ² / (y̅ A) = I ̅ / (y̅ A) + y̅
64
El valor de la coordenada x’, se puede obtener igualando momentos
alrededor del eje y:
Luego la coordenada x’ será:
Donde el producto de inercia del área A se define como:
65
Utilizando el teorema de transferencia para el punto de inercia:
IXY = I̅XY + A x ̅y̅
Obtenemos
X’ = ( I ̅XY + A x ̅y̅ ) / (y̅ A) = I ̅XY / (y̅ A) + x̅
Nótese que si la superficie tiene un área simétrica x’ coincide con x̅.
66
En resumen se tiene que:
1.- La magnitud de la fuerza está dada por la ecuación:
FR = γ h̅ A
2.- La dirección de la fuerza es perpendicular a la superficie.
3.- La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del punto (x’,
y’), cuyas coordenadas se obtienen con las expresiones:
x' = I ̅XY / (y̅ A) + x̅
y’ = I ̅ / (y̅ A) + y̅
67
Fuerza sobre superficies curvas sumergidas
La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una
superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de se dF
perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial
de fuerza tiene una dirección diferente.
Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los
componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas
adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como
máximo, la ecuación para la superficie.
68
Componentes de la fuerza
Si se tiene la superficie mostrada en la figura
69
La fuerza de presión en este caso esta dada por:
dF = PdA
La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada
elemento diferencial:
Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:
FR = FRx i + FRy j + FRz k
Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z
respectivamente
Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:
70
Donde θx, θy y θz son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k
respectivamente.
Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los
planos perpendiculares a los ejes x,y y z respectivamente.
Aquí se pueden diferenciar dos casos:
•Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una
superficie curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión
ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos
verticales.
•La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva
es igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de
dicha superficie hasta la superficie libre.
Esto ya que si se analiza la expresión para la fuerza vertical y tomando en
cuenta que P = γ h obtenemos lo siguiente:
71
Línea de acción de la fuerza
Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar
las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que
para superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada
componente de la fuerza resultante debe ser igual al memento de la fuerza
distribuida, respecto al mismo eje.
Así se tiene
72
Caso de superficie con curvatura en dos dimensiones
Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una
superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con
ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas
hidrostáticas en esa dirección.
La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz.
73
En este caso las
componentes de la fuerza se
expresan:
Y la línea de acción se
obtiene con las expresiones:
74
Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante)
es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la
circunferencia es decir:
dA = WRdθ
Donde:
R: radio del cilindro
W: ancho de la superficie
θ: ángulo de barrido de la circunferencia
De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando
la fuerza expresada de la siguiente forma:
Donde θ es el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l.
75
4.- Fenómeno de flujo de fluidos
Principios Básicos
Viscosidad
La viscosidad es el coeficiente de fricción interna del fluido.
Entre las moléculas de un fluido existen fuerzas moleculares que se
denominan cohesión. Al desplazarse unas moléculas con relación a las
otras se produce a causa de la cohesión una fricción.
Por otra parte, entre las moléculas de un fluido en contacto con un sólido y
las moléculas del sólido existen fuerzas moleculares que se denominan
fuerzas de adherencia.
76
u : velocidad
y : distancia transversal
A : área en contacto con el
fluido
τ : esfuerzo cortante aplicado al
fluido
μ : viscosidad
Se tiene
77
F= A* μ * du/dy
τ = μ du/dy
En al figura se observa que u0 / y0 = du/dy
La viscosidad se puede expresar entonces como:
μ = τ * y0 / u0
Esto indica que la velocidad con que se desplaza la placa superior es
proporcional a la fuerza aplicada, principio descubierto por Newton.
• En un fluido ideal la viscosidad es cero μ = 0
• En un fluido real la viscosidad toma un valor finito μ > 0
• En un sólido la viscosidad tiende al infinito μ ≅ ∞
La unidad de viscosidad en el sistema internacional es Pa*s= N*s/ m2 =Kg
/ (m*s) , aunque esta se suele expresar comúnmente como un submúltiplo
de esta unidad denominado centipoise (cP): 1 cP = 10-3 Pa*s
78
Fluidos Newtonianos y No Newtonianos
La relación entre la fuerza y la velocidad de desplazamiento lineal expresada
en el párrafo anterior es válido solo para el caso de fluidos Newtonianos.
Fluido Newtoniano
Aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la
rapidez de deformación se denominan fluidos Newtonianos.
Algunos ejemplos de fluidos prácticamente newtonianos son el agua, el aire, la
gasolina y el petróleo.
Fluido No Newtoniano
Los fluidos No Newtonianos son aquellos en que el esfuerzo cortante no es
directamente proporcional a la deformación.
Algunos ejemplos de fluidos con comportamientos marcadamente No
Newtonianos son la crema dental, la grasa y el lavaplatos en gel. En estos
ejemplos existe un esfuerzo de cedencia por debajo del cual se comportan
como un sólido.
En los fluidos Newtonianos este esfuerzo de cedencia es cero.
• En un fluido No Newtoniano la viscosidad varía en función a du / dy
79
Viscosidad cinemática:
La viscosidad cinemática (ν) es una medida de la viscosidad referida a la
densidad:
ν = μ / ρ
Esta medida de la viscosidad se usa mucho en hidrodinámica ya que
además de las fuerzas de roce intervienen las fuerzas de inercia que
dependen de la densidad.
La unidad en el sistema internacional es [m2 / s] pero también se suele
usar el Stoke (St),
1 St = 10-4 [m2 /s]
80
Fenómeno de flujo de fluidos
Anteriormente se ha considerado a los fluidos en reposo y la única
propiedad significativa es el peso del fluido, en esta sección se expondrán
conceptos adicionales, requeridos para el estudio del movimiento de
fluidos.
Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido
en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a
distintas aceleraciones. Tres principios fundamentales que se aplican al
flujo de fluidos son:
•El principio de conservación de la masa, a partir del cual se establece la
ecuación de continuidad.
•El principio de la energía cinética, a partir del cual se deducen ciertas
ecuaciones aplicables al flujo y
•El principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen
ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en
movimiento.
81
Características Generales Del Flujo De Fluidos:
El flujo puede clasificarse como estacionario (o estable) y no estacionario
uniforme y no uniforme, laminar (o irrotacional) o turbulento (o rotacional),
compresible e incompresible y viscoso y no viscoso.
Cuando un fluido está en movimiento existen dos grandes tipos de flujo:
Flujo estacionario y flujo no estacionario: Un flujo se dice estacionario
cuando las magnitudes de interés, tales como la presión, velocidad y
densidad, no dependen del tiempo. Por el contrario cuando alguna de las
magnitudes de interés y, en particular, el campo de velocidades, dependen
del tiempo, el flujo se denomina No estacionario o variable.
Un flujo en un campo es uniforme cuando el vector velocidades constante
e igual en todos los puntos de aquel campo y es no uniforme cuando el
vector velocidad está variando.
82
El camino seguido por una partícula del fluido en un flujo estacionario se
denomina línea de corriente. La velocidad de la partícula siempre es
tangente a la línea de corriente. Dos líneas de corriente no se pueden
cortar por considerar el flujo como estacionario. Un conjunto de líneas de
flujo se denomina tubo de flujo.
83
El estudio de un fluido real es muy complejo, por lo que comenzaremos
modelizando un fluido en base a ciertas hipótesis sencillas. Se dice que
un fluido es ideal si se verifica lo siguiente:
a) Fluido no viscoso: se desprecia la fricción interna. Un objeto que se
desplace dentro del fluido no sufre fuerzas opuestas a su movimiento.
b) Flujo estacionario: la velocidad, densidad y presión en un punto del
fluido son constantes en el tiempo.
c) Fluido incompresible: la densidad del fluido es igual en todos los
puntos (es constante espacialmente)
d) Flujo irrotacional: no hay momento angular del fluido respecto a
ningún punto. Es decir, si se coloca una pequeña rueda en el seno del
fluido, simplemente se traslada, no se producen giros.
84
Flujo laminar y flujo Turbulento
Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares y turbulentos,
teniendo en cuenta la estructura interna de flujo.
En un flujo laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento
en láminas o capas.
En régimen turbulento la estructura del flujo se caracteriza por
movimientos tridimensionales aleatorios de las partículas de fluido,
superpuesto al movimiento promedio.
El que el flujo sea laminar o turbulento depende de las propiedades del
fluido y de la velocidad de movimiento a la cual se somete.
85
Se puede predecir el tipo de flujo en un tubo usando el número de
Reynolds:
Re = ρ*V̅*D / μ
Donde
ρ = densidad
V̅ = velocidad promedio
μ = viscosidad.
D = diámetro de la tubería
El número de Reynolds no tiene dimensiones, por lo tanto, es
independiente del sistema de unidades utilizado.
Si Re > 4000 el flujo será turbulento.
Si Re < 2000 el flujo será laminar.
Existen pocos casos en la naturaleza de flujo laminar, un ejemplo particular
es el flujo sanguíneo, y algunos sectores del flujos al inicio del movimiento
(humo del cigarrillo).
86
Principio de continuidad
De la conservación de la masa del líquido en un tubo del flujo, resulta
inmediatamente la ecuación de la continuidad.
Consideremos un tubo de flujo constante de un líquido no viscoso; tal
como el mostrado en la figura. Sean 1 y 2 dos sectores cuyas secciones
tienen áreas normales al flujo A1 y A2, con velocidades ν1 y ν2
respectivamente.
87
Considere las porciones sombreadas de los líquidos en 1 y 2. Luego, en un
intervalo de tiempo Δt la masa de líquido Δm1 pasa por la sección 1 y la
masa Δm2 que pasa por la sección 2 deben ser iguales, porque las mismas
partículas son las que se mueven en el tubo de flujo, sin haber ingresado o
salido partículas.
Tal que Δm1= Δm2
Pero Δm1 = ρ1ΔѴ1 = ρ1 A1 ν1 Δt y
Δm 2 = ρ2ΔѴ2 = ρ2 A2 ν2 Δt
88
Donde ΔѴ1 y ΔѴ2 son los volúmenes del líquido en las secciones 1 y 2
respectivamente y ρ1 y ρ2 son las densidades del líquido en 1 y 2.
De tal manera que ρ1 A1 ν1 Δt = ρ2 A2 ν2 Δt ⇒ ρ1 A1 ν1 = ρ2 A2 ν2
Si consideramos el fluido incompresible o poco incompresible como los
líquidos
ρ1 = ρ2 , y ρ1 A1 = ρ2 A2 ⇒ Aν = constante
Ahora Aν = constante
Aν = área * distancia/ tiempo = Volumen / tiempo = Gasto (G)
A esta razón de flujo de volumen G = Aν = constante, se le conoce con el
nombre de Gasto o Caudal y sus unidades son [m3/s].
89
Ecuación de Bernoulli
Al aplicar las leyes de Newton a los fluidos en movimiento se obtiene la
ecuación de Bernoulli.
Se tiene una tubería por la que circula un fluido ideal de densidad ρ y p, ν y
z denotan la presión, la velocidad del fluido y la altura respectivamente.
Tomemos una partícula de fluido de
forma prismática (sección A largo Δs)
que se mueve a lo largo de una línea
de flujo en la dirección s. La partícula
prismática se muestra en detalle en
la siguiente figura.
90
Considerando un fluido no viscoso, o sea, que
no hay pérdidas de energía, aplicamos la
segunda ley de Newton
∑Fs = m * as
Las fuerzas que actúan son el peso y las fuerzas
debido a las presiones p y p + dp, la masa de
la partícula es Δm = ρAΔs
Luego:
pA – ( p + Δp ) A – ρ g A Δs cosθ = ρ A Δs as
Simplificando y dividiendo entre Δs:
Δp / Δs + ρ g cosθ + ρ as = 0
91
En el limite Δs → 0
dp/ ds + ρ g cosθ + ρ as = 0 (1)
Como
Por consiguiente la ecuación (1) puede escribirse:
⇒ dp + ρ*g*dz + ρ*g*dν = 0
Si ρ constante integrando obtenemos:
p + ρ*g*z + ½ ρ ν2 = constante
92
p + ρ*g*z + ½ ρ ν2 = constante
Expresión que es la ecuación de Bernoulli. La misma que puede ser
obtenida por la conservación de la energía, siendo por supuesto,
equivalente. Como la ecuación de Bernoulli es válida para cualquier
sección, entre dos puntos cualesquiera, se podrá escribir:
p1 + ρgz1 + ½ ρν2 = p2 + ρgz2 + ½ ρν2
Adicionalmente podemos decir que cuando existen pérdidas por la
presencia de fuerzas viscosas, ésta expresión de la ecuación de Bernoulli
se modificará escribiéndose:
p1 + ρgz1 + ½ ρν2 = p2 + ρgz2 + ½ ρν2 + pérdidas
93
Aplicaciones
•Fluido en reposo
ν1 = ν2 = 0 → p1 + ρgy1 = p2 +ρgy2
p1 – p2 = ρg (y1 - y2)
Es decir, la presión disminuye con la altura (aumenta con la profundidad)
•Fórmula de Torricelli
Permite calcular la velocidad ν2 con que sale un líquido de un recipiente
con un agujero a una distancia h de la superficie.
p1 = p2 = pa , y1 = 0, y2 = - h y ν1 ≈ 0
pa = pa – ρ g h + ½ ρ v22 ⇒ ν2 =
Que es la misma velocidad que tendría en caída libre desde una altura h.
94
Bombas
Una bomba hidráulica es, por definición, una máquina que transmite energía
a un fluido incompresible (agua en nuestro caso). En la Fig. se representa
un esquema sencillo en el cual distinguimos el tubo de aspiración (entrada
del agua) y el tubo de impulsión (salida del agua). El motor eléctrico
acoplado a la bomba hace girar su rotor. Esta rotación genera un defecto de
presión respecto de la presión atmosférica a la entrada del mencionado
rotor. De este modo, el aire externo empuja la masa líquida dentro del rotor
y el agua sale por la periferia del mismo. Como consecuencia de su viaje a
través del rotor, el agua adquiere energía adicional que le permitirá salvar
desniveles en los distintos tramos de su curso posterior, u obtener presión
suficiente para otros usos. Hacemos aquí la observación de que, cuando la
bomba está funcionando, la presión a la entrada del rotor será menor que la
atmosférica.
95
Si en la figura aplicamos Bernoulli entre la entrada
y la salida de la bomba, suponiendo un flujo
irrotacional e incompresible y una bomba que no
entrega energía, obtendremos:
zs + ps /(ρg) + νs2 / 2g = ze + pe /(ρg) + νe
2 / 2g (1)
Donde p es la presión, ν es la velocidad, ρ es la
densidad, g es la aceleración de la gravedad y z
es la altura medida desde una referencia horizontal
arbitraria. Los subíndices “e” y “s” hacen referencia
a “entrada” y “salida”, respectivamente.
96
A consecuencia de que no se han tenido en cuenta la viscosidad del fluido,
ni la turbulencia del flujo, ni la energía entregada por máquinas, no se
podrá satisfacer la igualdad en la ecuación anterior. La bomba trabaja
entregando energía al fluido, energía cuantificada a través de la llamada
altura manométrica Hm suministrada por la bomba:
zs + ps /(ρg) + νs2 / 2g = ze + pe /(ρg) + νe
2 / 2g + Hm (2)
Dicha altura manométrica Hm dependerá fundamentalmente del caudal
circulante a través de la bomba, la geometría del rotor, su frecuencia de
rotación, etc.
97
Si en la ecuación anterior, despreciamos las diferencias tanto de alturas
como de velocidades entre la entrada y la salida, obtenemos:
Hm ≈ ( ps - pe ) / (ρg)
Para calcular Hm, podíamos no haber despreciado las diferencias de
velocidades y de altura entre la entrada y la salida de la bomba. Así, para
calcular las primeras, como conocemos el diámetro tanto de la tubería de
impulsión (Di) como de la tubería de aspiración (Da), bastará con hacer lo
siguiente:
νa = 4Q/ (π Da2)
νi = 4Q/ (π Di2)
98
s
mkgm
s
m
m
kgW
3
3'
)(75
' HPQH
W m
Una vez conocida la altura manométrica Hm para un caudal de
funcionamiento Q, podemos calcular la potencia transmitida al fluido:
W = Q ( ps - pe ) = ρ g Q Hm
De acuerdo al rendimiento del motor (ƞ )
W’ = ρ g Q Hm / ƞ
Ƞ siempre menor a la unidad.
Las unidades de W resultan:
Para expresarla en HP debe dividirse por 75 por lo que finalmente
tendremos:
99
Conceptos de cálculo de flujo en tuberías
Revisión por parte del alumno, por medio de material proporcionado.
100
Flujo laminar. Ecuación de Hagen-Poiseuille.
Cuando se tiene un flujo laminar, el fluido parece desplazarse en forma de
varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea
una tensión de corte entre las capas del fluido. La energía del fluido se
pierde mediante la acción de vencer a las fuerzas de fricción producidas
por la tensión de corte.
Puesto que el flujo laminar es tan regular y ordenado, se puede derivar una
relación entre la pérdida de energía y los parámetros movibles del sistema
de flujo .Esta relación se conoce como ecuación de Hagen-Poiseuille:
En función a las pérdidas de carga lineales: hpl
hpl = 32 μ L ν / (ρ*g*D2)
hpl = 128 μ L Q / ( ρ*g* π* D4)
101
En función de la caída de presión:
∆p = 128 μ L Q / (π* D4)
La ecuación de Hazen-Poiseuille solamente es válida para flujos laminares
con número de Reynolds menor de 2000. Sin embargo, la ecuación de
Darcy se puede utilizar para calcular la pérdida de fricción en un flujo
turbulento.
102
Ecuación de Darcy-Weisbach
La ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación ampliamente usada en
hidráulica, permite el cálculo de la pérdida de carga debida a la fricción
dentro una tubería.
hf = f Lν2 / ( D* 2*g)
Donde:
hf = pérdida de carga debida a la fricción.
f = factor de fricción de Darcy.
L = longitud de la tubería.
D = diámetro de la tubería.
v = velocidad media del fluido.
g = aceleración de la gravedad: g = 9,81 m/s2.
103
Coeficiente de fricción:
La fórmula de Darcy-Weisbach también es válida para flujo laminar
utilizando un coeficiente de fricción definido de la manera siguiente:
f = 64 / Re
Si el flujo es turbulento (Re ≥ 4000) o pertenece a la llamada zona de
transición (2000 <Re < 4000) se recurre a diagramas como el de Moody
que expresa la relación entre "f", el número de Reynolds (Re) y un
parámetro conocido como rugosidad relativa de la conducción, que se
representa como ε/d (d sigue siendo el diámetro interno de la conducción)
y que se encuentra tabulado para distintos materiales.
104
Medición de caudal
El caudal que circula por una instalación se puede determinar de forma
simple imponiendo un estrechamiento en la sección de paso, de modo
que se genere una reducción de presión, tanto más acusada cuanto
mayor es el caudal circulante. Dentro de esta categoría de caudalímetros
se encuentran el tubo Venturi.
105
Tubo Venturi
Un tubo Venturi, como el mostrado en la figura, consiste en un tubo corto
con un estrechamiento de su sección transversal, el cual produce un
aumento de la velocidad del fluido y por consiguiente, puesto que la
conservación de la carga expresada por el teorema de Bernoulli debe
satisfacerse, una disminución de la altura piezométrica. El estrechamiento
va seguido por una región gradualmente divergente donde la energía
cinética es transformada de nuevo en presión con una inevitable pequeña
pérdida por fricción viscosa. La caída de presión puede relacionarse con el
caudal de fluido que circula por el conducto, a partir de la ecuación de
continuidad (caudal constante en cualquier sección de la conducción) y de
la ecuación de Bernoulli (conservación de la energía mecánica).
106
Aplicando el teorema de Bernoulli entre los puntos 1, en la entrada, y 2, en
la garganta del tubo Venturi de la figura, se obtiene:
z1 + p1 / (ρg) + ν12 / (2g) = z2 + p2 / (ρg) + ν2
2 / (2g) (1)
Si el Venturi se encuentra situado en posición totalmente horizontal, las
alturas de posición de los puntos 1 y 2 son iguales, es decir z1=z2, y estos
términos se cancelan en la ecuación (1), pero si el tubo Venturi está
inclinado, como se muestra en la figura, las alturas de posición son
diferentes, z1 ≠ z2.
107
Por otra parte, ν1 y ν2 pueden considerarse como las velocidades medias
en la sección correspondiente del tubo Venturi, y como el flujo se desarrolla
en régimen permanente y el fluido es incompresible, la ecuación de
continuidad establece que:
Q = A1 ν1 = A2 ν2 ⇒ ν1 = A2 ν2 / A1 (2)
Sustituyendo la expresión (2) en la ecuación (1), se obtiene:
y, por tanto, el caudal se calcula como:
108
Ejercicios
